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题号猜题07 中考数学16题 压轴题（填空题）
考点1 新定义数问题
1．现给出以下两个定义：
定义①：任意一个正整数n都可以进行这样的因数分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这样分解中，如果p，q这两个因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，记为： ．例如：可以分解成或，因为，所以是的最佳分解，所以．定义②：如果一个两位正整数t，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上两个新定义，可求得__________________；在所有的“吉祥数”中，的最大值为 __________________．
2．（2026·安徽合肥·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和平数”．例如：四位数3254，因为，所以3254是“和平数”，根据规定，最小的“和平数”是_________．
3．（2026·重庆·一模）对于一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，如果百位与个位数字之和满足小于千位数字，不小于十位数字，则称这个数为“夺冠数”，则最大的“夺冠数”为___________；对于“夺冠数”，将其百位与十位数字交换，其余数字不变，所得新数记为，将其十位与个位交换，其余数字不变，所得新数记为，记．例：当时，，对于一个“夺冠数”，若能被24整除，是一个完全平方数，则满足条件的“夺冠数”为___________．
4．（2026·重庆·一模）如果一个四位数M能被两个两位数m与n表示为，其中数m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称四位数M为“成功数”，并把数M被数m与n表示为的过程，称为“成功分解”，例如：，35与33的十位数字相同，个位数字之和等于8，所以1258是“成功数”．按照这个规定，则1894__________“成功数”（填“是”或“不是”）；若把一个四位“成功数”M进行“成功分解”，即表示为，并将m放在n的左边组成一个新的四位数N，若N能被13整除，且N的各个数位数字之和能被4整除，则满足条件的数M最小值是__________．
5．（2026·重庆铜梁·一模）一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“融合数”，如数，∵且，∴是“融合数”，如数，∵，∴不是“融合数”，则最小的“融合数”为______；将“融合数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字去掉后得到的三位数记为，若能被整除，则满足条件的所有的值的和为______．
考点2折叠问题
6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，将矩形沿对角线折叠，点A落在点处，交于点E．将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，若，则的长为________．
7．（2026·山东济南·一模）如图，正方形纸片的边长为4，点是边的中点，连接，先将纸片沿直线折叠，使点落在四边形内的点处，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，则______．
8．（2026·四川成都·一模）如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____．
9．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，有一矩形纸片，对其进行第一次折叠操作，使与重合，展开后，得到折痕；再对纸片进行第二次折叠操作，使点A的对应点恰好落在上，且折痕经过点B，展开后得到折痕．
（1）如图（1），延长交于点G，则________°；
（2）如图（2），对矩形纸片进行第三次折叠操作，使得点D的对应点落在上，且折痕经过点C，展开后得到折痕，已知点在点左侧．若，则矩形纸片的面积是________．
10．（2026·安徽阜阳·一模）在等边中，D是上一点，沿着将折叠，得到，F是上一点，沿着将折叠，得到．
（1）如图1，______；
（2）如图2，点G是上一点，已知，若，，则的长为______．
考点3几何最值问题
11．（2026·湖南永州·一模）如图，在中，，，点D为的中点，点P为边上的一个动点，当最小时，______．
12．（2026·湖南娄底·一模）游乐场的摩天轮匀速旋转，其半径米，摩天轮的最底部A到水平地面的距离是2米，则最高点到水平地面的距离是______米．已知摩天轮旋转一周需要30分钟，小明乘坐的轿厢从最底部A出发，顺时针旋转10分钟到达点C，此时点C到水平地面的距离是______米．
13．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，中，，，D为边的中点，将线段以B点为中心逆时针旋转得到线段，连接
（1）若，则长为___________．
（2）长最大为___________．
14．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为______．
15．（2026·河南周口·模拟预测）嵩岳寺塔位于登封市嵩山南麓，初建于北魏正光四年（523年），是中国现存最古老的底座近似圆形的砖塔．为了保护嵩岳寺塔，计划围上圆形的围栏．因受测量工具限制，小峰想了这样的方法来测量：把圆形区域与直尺相切于点，再相切于点，两条切线交于点．测得，若米，则圆形围栏的周长为______米．（结果保留根号和）
考点4阴影部分面积问题
16．（2026·山东济南·一模）如图，将⊙O沿弦折叠，恰经过圆O，若，则阴影部分的面积为_________．
17．（2026·河南周口·一模）如图，经过菱形的顶点，且分别与边相切于点．若，则阴影部分的面积为__________．
18．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，与边相切于点，若，，则图中阴影部分的面积为_____．
19．（2026·河南新乡·一模）如图，扇形的圆心角小于，连接，点为的中点，连接交于点．已知，，则阴影部分的面积为___________．
20．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________．
考点5推理与证明
21．（2025·湖南长沙·中考真题）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么．
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有； ①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有； ②
第三步：把②代入①，可得； ③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得； ④
第五步：把④两边同时除以，得．⑤
请你判断上述推理过程中，第______步是错误的，它违背了数学的基本法则．
22．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下：
设任意一个有理数为，令，
等式两边都乘以，得①
等式两边都减，得②
等式两边分别分解因式，得③
等式两边都除以，得④
等式两边都减，得⑤
所以任意一个有理数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_________________．
23．（2026·湖南长沙·一模）你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关．大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0~9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
望城未来五年主要预期目标为； ①地区生产总值年均增长； ②全社会研发经费投入年均增长； ③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达，居民收入增长与经济增长同步．
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足．请推理出大门密码______．
24．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在四边形中，对角线、交于，，．求证：四边形是菱形．
小王同学写了以下证明：
第一行，，
第二行垂直平分．
第三行，，
第四行四边形是菱形．
对于这个题目及证明，有以下结论；
①推理严谨，证明正确；②证明时，第三行出错；
③证明时，第四行出错；④题目缺少条件，需要补充条件才能证明．
其中，正确的结论是________．（填序号）
25.2020年比较流行一款推理类游戏，是用剧本虚拟出一场故事，玩家根据演绎和推理案件过程，得出结论．类比，此游戏过程，请同学们用扑克牌做一个简单的推理游戏：
①从左到右有三张不重复的扑克牌，这三张牌中不是红桃就是方块；
②红桃右边有且仅有一张方块；
③6的左边至少有一张是8；
④8的右边至少有一张是8．
请写出这三张牌从左到右的顺序可能是：___．（填写正确的序号）
①红桃8，方块6，方块8②红桃8，红桃6，方块8③红桃8，方块8，红桃6
1．（代数推理）观察下列点阵：
第1个点阵对应的等式为；
第2个点阵对应的等式为；
第3个点阵对应的等式为；
第4个点阵对应的等式为；
请按以上规律写出第n个点阵对应的等式：________（用含n的等式表示）．
2．你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关．大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0~9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
望城未来五年主要预期目标为； ①地区生产总值年均增长； ②全社会研发经费投入年均增长； ③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达，居民收入增长与经济增长同步．
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足．请推理出大门密码______．
3．如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______．
4．如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________．
5．如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形周长最小值为________．
6．如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ________________．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
8．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________．
9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________．
10．如图，分别以的两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，三个半圆围成两个月牙形阴影，则两个月牙形阴影的面积之和等于的面积，这就是著名的“月牙定理”．若阴影部分的面积为，，则______．
11．如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为______．
12．对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换， 依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为8；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为3．
（1）对正实数1进行三次变换，得到的数为______．
（2）若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为______．
13．我们规定：一个四位数，若满足，且各个数位上的数字均不为零，称这个数为“九九数”．例如：四位数8136，因为，所以8136是“九九数”．按照这个规定最大的“九九数”是________，一个“九九数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记．再将的千位数字放到个位数字之后得到，将的个位数字放到千位数字之前得到，记．若是完全平方数，且是整数，则满足条件的的值是________．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)题号猜题07 中考数学16题 压轴题（填空题）
考点1 新定义数问题
1．现给出以下两个定义：
定义①：任意一个正整数n都可以进行这样的因数分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这样分解中，如果p，q这两个因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，记为： ．例如：可以分解成或，因为，所以是的最佳分解，所以．定义②：如果一个两位正整数t，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上两个新定义，可求得__________________；在所有的“吉祥数”中，的最大值为 __________________．
【答案】 /0.6 /0.75
【分析】本题考查了新定义下的实数运算．理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
由题意知，，由，可求；依题意得，，则，由，可得或或，或或，即t为；然后根据定义求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴
∵（，x，y为自然数），
∴交换其个位上的数与十位上的数得到的新数为，
依题意得，，
∴，
∵，
∴或或，或或，
∴t为；
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最大值．
故答案为：，．
2．（2026·安徽合肥·一模）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“和平数”．例如：四位数3254，因为，所以3254是“和平数”，根据规定，最小的“和平数”是_________．
【答案】1263
【分析】优先保证高位数字最小，结合“和平数”的定义与各数位数字互不相等且均不为0的条件，即可得到结果．
【详解】解：要得到最小的四位“和平数”，优先让高位数字最小．
千位数字是不为的正整数，因此最小取．
根据“和平数”定义，得，即．
百位数字不为，且与不相等，因此最小取，代入得．
是不为的一位数，且不与，相等，从小到大验证：
当时，，此时四个数字为，均不为且互不相等，满足所有条件．
得到四位数1263，不存在比它更小的“和平数”．
3．（2026·重庆·一模）对于一个四位正整数，各个数位上的数字均不为0，如果百位与个位数字之和满足小于千位数字，不小于十位数字，则称这个数为“夺冠数”，则最大的“夺冠数”为___________；对于“夺冠数”，将其百位与十位数字交换，其余数字不变，所得新数记为，将其十位与个位交换，其余数字不变，所得新数记为，记．例：当时，，对于一个“夺冠数”，若能被24整除，是一个完全平方数，则满足条件的“夺冠数”为___________．
【答案】
【分析】设四位数为，由定义得，要数最大，千位取9，此时；百位最大取7，，十位最大取8，即可得到最大的“夺冠数”；根据题意将化简为，则，需被24整除，得为或或或，结合为完全平方数，进行判断求解即可．
【详解】解：设四位“夺冠数”为，
由题意得，，
∵要使四位数最大，
∴千位取最大值9，此时；
百位尽可能大：若，则，不满足，
∴最大取7，；
∴，
∵十位尽可能大，且，
∴，
∴最大的“夺冠数”为9781；
由题意得，百位与十位交换得；
十位与个位交换得，
∴
，
∴，
∴
，
由题意得，能被24整除，
又∵，
∴，
∴的可能值为，逐一验证：
当时，（时舍去）；
当时，（时舍去）；
当时，（时舍去）；
当时，（时舍去）；
∴4组可能的为：或或或，
∵是完全平方数，
∴当为时，（为正整数），
仅时，
由题意得，
解得，与矛盾，舍去；
当为时，，
仅时，
由题意得，
解得，
∴，得到数；
当为时，，
∵11是质数，
∴无符合条件的整数（），舍去．
当为时，，
仅时，
由题意得，
解得，舍去．
综上所述，最大的“夺冠数”为；满足条件的“夺冠数”为．
【点睛】本题核心是新定义的代数转化与分类讨论，先化简得到的整除条件，再结合完全平方数与“夺冠数”定义逐一验证，关键是代数式化简与列举验证的结合．
4．（2026·重庆·一模）如果一个四位数M能被两个两位数m与n表示为，其中数m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称四位数M为“成功数”，并把数M被数m与n表示为的过程，称为“成功分解”，例如：，35与33的十位数字相同，个位数字之和等于8，所以1258是“成功数”．按照这个规定，则1894__________“成功数”（填“是”或“不是”）；若把一个四位“成功数”M进行“成功分解”，即表示为，并将m放在n的左边组成一个新的四位数N，若N能被13整除，且N的各个数位数字之和能被4整除，则满足条件的数M最小值是__________．
【答案】 是 1728
【分析】若，则，根据“成功数”的定义得到，，因此，只有符合，即可得出1894是“成功数”．设，则，得出的表达式，再根据能被13整除且各位数字之和能被4整除，结合是四位数确定、的范围，进而求解的最小值．
【详解】解：若是成功数，则，
∵m，n都为两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
即，
∴1894是“成功数”．
设，则（为的整数，为的整数），．
∵能被13整除，的各位数字之和为，且能被4整除，即（为整数），化简得，
∴为偶数．
又∵是四位数，
当，时，，，此时，不满足为位数的条件．
当，时，，，，，，能被13整除，各位数字之和为，能被4整除．
因此，的最小值为1728．
5．（2026·重庆铜梁·一模）一个四位自然数N的各个数位上的数字均不为零，若其满足千位数字比百位数字大3，个位数字为十位数字的2倍，则称这个自然数N为“融合数”，如数，∵且，∴是“融合数”，如数，∵，∴不是“融合数”，则最小的“融合数”为______；将“融合数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新数，记，将数的千位数字去掉后得到的三位数记为，若能被整除，则满足条件的所有的值的和为______．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的加减，列代数式，根据“融合数”的定义可得出各数位上最小的数，分别求出、、及，根据能被9整除，即可得解．
【详解】解：设这个四位数为，则，，当最小为时，最小为；最小为时，最小为，
∴最小的“融合数”为；
根据题意得：，，
∴，
∴，
∴，
∵能被整除，
∴能被整除，
∴能被整除，
∵
∴能被整除，
当取时，能被整除，
则可取，取，取，
∴该情况下为；
当取时，能被整除，
则可取，取，取，不满足题意要求；
当取时，能被整除，
则可取或，取，取或，不满足题意要求；
当取时，能被整除，
则可取，取，取，不满足题意要求；
∴该情况下为；
当取时，能被整除，
则可取，取，取，不满足题意要求；
当取时，能被整除，
则可取，取，取，
∴该情况下为；
综上，满足条件的的值总和为
故答案为：；．
考点2折叠问题
6．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，将矩形沿对角线折叠，点A落在点处，交于点E．将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，若，则的长为________．
【答案】/
【分析】根据折叠的性质求出，然后解直角三角形求出即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，，
∵将矩形沿对角线折叠，点A落在点处，
∴，
∵将沿折叠，点C的对应点恰好落在上，
∴，
∴，
∴．
7．（2026·山东济南·一模）如图，正方形纸片的边长为4，点是边的中点，连接，先将纸片沿直线折叠，使点落在四边形内的点处，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，则______．
【答案】
【分析】首先求出，推出，设，则，，表示出，如图，连接，证明出，得到，表示出，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：∵正方形纸片的边长为4，
∴，
∵点是边的中点
∴
∴
∵
∴
由折叠得，，
∴
∴
∴设，则，，
由折叠得，，，，
∴
如图，连接
由折叠得，
∵，
∴
∴
∴
∴
由折叠得，
∴在中，
∴
解得或
当时，，不符合题意，舍去；
∴
∴．
8．（2026·四川成都·一模）如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先由黄金分割的定义求出，由折叠得，，设，然后对运用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：∵点N是线段的黄金分割点，且，
∴，
由折叠得，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
9．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，有一矩形纸片，对其进行第一次折叠操作，使与重合，展开后，得到折痕；再对纸片进行第二次折叠操作，使点A的对应点恰好落在上，且折痕经过点B，展开后得到折痕．
（1）如图（1），延长交于点G，则________°；
（2）如图（2），对矩形纸片进行第三次折叠操作，使得点D的对应点落在上，且折痕经过点C，展开后得到折痕，已知点在点左侧．若，则矩形纸片的面积是________．
【答案】 60
【分析】（1）解直角三角形求得，据此求解即可得到；
（2）证明四边形是平行四边形，求得，同理，设，则，根据，列式计算即可求解．
【详解】解：（1）由题意可得，点E是的中点，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，设与交于点P，与交于点Q，
同（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
∵，，，
∴，，
设，则，
∵，，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴矩形的面积．
10．（2026·安徽阜阳·一模）在等边中，D是上一点，沿着将折叠，得到，F是上一点，沿着将折叠，得到．
（1）如图1，______；
（2）如图2，点G是上一点，已知，若，，则的长为______．
【答案】 120 6
【分析】（1）由折叠的性质得，即可求解；
（2）过点G分别作于点M，于点N，由判定、，由全等三角形性质得，，由线段和差得，，即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，
由折叠可知；
（2）解：如图，过点G分别作于点M，于点N，
由折叠可知，
∴，
，
（），
∴，
同理可证，
，
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴．
考点3几何最值问题
11．（2026·湖南永州·一模）如图，在中，，，点D为的中点，点P为边上的一个动点，当最小时，______．
【答案】2
【分析】作点A关于的对称点，连接交于点E，连接，，得到，当点D，P，三点共线时，最小，即的值，连接，然后证明出是等边三角形，得到，，然后解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点E，连接，，
∴，
∴，
∴如图，当点D，P，三点共线时，最小，即的值，连接，
∵点A和点关于对称，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∵点D为的中点，
∴，，
∴．
12．（2026·湖南娄底·一模）游乐场的摩天轮匀速旋转，其半径米，摩天轮的最底部A到水平地面的距离是2米，则最高点到水平地面的距离是______米．已知摩天轮旋转一周需要30分钟，小明乘坐的轿厢从最底部A出发，顺时针旋转10分钟到达点C，此时点C到水平地面的距离是______米．
【答案】 78 59
【分析】根据题意先得出摩天轮的直径，再由摩天轮的最底部A到水平地面的距离是2米求得摩天轮的最高点到水平地面的距离；过点C作，交于点E，过点O作，交于点D，先证明四边形是矩形，根据摩天轮旋转一分钟可旋转，摩天轮顺时针旋转10分钟到达点C得出的角度，进而求得的度数，再根据特殊角度直角三角形得出的长，最后计算得出的长度．
【详解】解：∵摩天轮的半径米，
∴摩天轮的直径为76米，
又∵摩天轮的最底部A到水平地面的距离是2米，
∴摩天轮的最高点到水平地面的距离是（米），
∵摩天轮旋转一周即旋转，需要30分钟，
∴摩天轮旋转一分钟可旋转，摩天轮顺时针旋转10分钟到达点C，
∴，
如图，过点C作，交于点E，过点O作，交于点D，
，
∴四边形是矩形，
米，，
米，
米，
（米），
即点C到水平地面的距离是59米．
13．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，中，，，D为边的中点，将线段以B点为中心逆时针旋转得到线段，连接
（1）若，则长为___________．
（2）长最大为___________．
【答案】 4
【分析】（1）利用勾股定理以及旋转的性质进行求解；
（2）以为直径画，过点作，使，连接，以线段的中点为圆心，长为半径画，证明，，得出点在以为直径的圆弧上，连接并延长，交于点，此时长最大，最后利用勾股定理进行求解．
【详解】解：（1）∵，，，
∴由勾股定理得，
∵D为边的中点，
∴，
由旋转可得；
（2）如图，以为直径画，
∵，
∴点在上，
过点作，使，连接，
以线段的中点为圆心，长为半径画，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆弧上，
连接并延长，交于点，此时长最大，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴．
14．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为______．
【答案】/
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识．证明，则，推出，由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，根据，计算即可求解．
【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴
，
由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，
∵，
∴当在下方且与相切时，线段最短，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（2026·河南周口·模拟预测）嵩岳寺塔位于登封市嵩山南麓，初建于北魏正光四年（523年），是中国现存最古老的底座近似圆形的砖塔．为了保护嵩岳寺塔，计划围上圆形的围栏．因受测量工具限制，小峰想了这样的方法来测量：把圆形区域与直尺相切于点，再相切于点，两条切线交于点．测得，若米，则圆形围栏的周长为______米．（结果保留根号和）
【答案】
【分析】设圆心为，连接，根据切线的性质可得，根据切线长定理可得平分，利用邻补角定义求出的度数，进而求出的度数，在中利用锐角三角函数求出半径的长，最后利用圆的周长公式计算即可．
【详解】解：设圆心为，连接
直线与圆相切于点
，即
根据切线长定理可知平分
在中，
圆形围栏的周长为（米）．
考点4阴影部分面积问题
16．（2026·山东济南·一模）如图，将⊙O沿弦折叠，恰经过圆O，若，则阴影部分的面积为_________．
【答案】
【分析】过点作于点，交劣弧于点，由题意易得，则有，然后根据特殊三角函数值及扇形面积公式可进行求解阴影部分的面积．
【详解】解：过点作于点，交劣弧于点，如图所示：
由题意可得：，
∴，
，
，
∴弓形的面积为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：．
17．（2026·河南周口·一模）如图，经过菱形的顶点，且分别与边相切于点．若，则阴影部分的面积为__________．
【答案】
【分析】连接，利用菱形的性质求出相关角的度数，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用割补法求面积．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
由切线长定理可得，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
18．（2026·河南南阳·一模）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，与边相切于点，若，，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】先由直径得出圆的半径：；再根据圆与相切于，得，结合推出，进而证得，求出，得到，算出；接着作，利用直角三角形性质求出的长度；最后用扇形的面积减去的面积，算出阴影部分的面积为．
【详解】如解图，连接，过点作于点
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，即，解得，
∴，
，
，
，
，．
，
．
19．（2026·河南新乡·一模）如图，扇形的圆心角小于，连接，点为的中点，连接交于点．已知，，则阴影部分的面积为___________．
【答案】
【分析】设扇形的半径为，利用垂径定理可以求出，根据可证，根据全等三角形的性质可知，利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：设扇形的半径为，
则有，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，，
，
在中，，
，
解得：，
在和中， ，
，
，
．
20．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________．
【答案】
【分析】根据点为的三等分点得，，，根据得，，进而根据直角三角形三角函数值计算，进而得出，根据勾股定理计算，在中，结合三角函数值解直角三角形得，再由，计算即可．
【详解】解：如图所示，、交于点，
在扇形中，，点为的三等分点，
，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
故答案为：．
考点5推理与证明
21．（2025·湖南长沙·中考真题）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
命题：如果a，b，c为实数，且满足．那么．
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有； ①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有； ②
第三步：把②代入①，可得； ③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得； ④
第五步：把④两边同时除以，得．⑤
请你判断上述推理过程中，第______步是错误的，它违背了数学的基本法则．
【答案】五
【分析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．
∴对于等式；
当时，该等式恒成立；
当，两边同时除以，得；
∵，
∴
∴上述推理过程中，第五步是错误的；
故答案为：五．
22．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下：
设任意一个有理数为，令，
等式两边都乘以，得①
等式两边都减，得②
等式两边分别分解因式，得③
等式两边都除以，得④
等式两边都减，得⑤
所以任意一个有理数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是_________________．
【答案】④
【分析】本题考查因式分解的应用，等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，得到第④步出现错误．
【详解】解：∵，
∴，
∴的两边不能除以；
故出现错误的是第④步；
故答案为：④
23．（2026·湖南长沙·一模）你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关．大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0~9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
望城未来五年主要预期目标为； ①地区生产总值年均增长； ②全社会研发经费投入年均增长； ③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达，居民收入增长与经济增长同步．
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足．请推理出大门密码______．
【答案】
【分析】先根据题意得到，，再结合题意依次求出的值即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∵A为x最小值的整数部分；B为y的四分之一；C满足，
∴，
∴，
∴，
∴大门密码是．
24．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在四边形中，对角线、交于，，．求证：四边形是菱形．
小王同学写了以下证明：
第一行，，
第二行垂直平分．
第三行，，
第四行四边形是菱形．
对于这个题目及证明，有以下结论；
①推理严谨，证明正确；②证明时，第三行出错；
③证明时，第四行出错；④题目缺少条件，需要补充条件才能证明．
其中，正确的结论是________．（填序号）
【答案】③④/④③
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，结合菱形的判定即可求解．
【详解】解：∵，
垂直平分，
∴，
由题目条件无法证明四边形是菱形，
故答案为：③④．
【点睛】本题考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质，掌握菱形的判定是解题的关键．
25.2020年比较流行一款推理类游戏，是用剧本虚拟出一场故事，玩家根据演绎和推理案件过程，得出结论．类比，此游戏过程，请同学们用扑克牌做一个简单的推理游戏：
①从左到右有三张不重复的扑克牌，这三张牌中不是红桃就是方块；
②红桃右边有且仅有一张方块；
③6的左边至少有一张是8；
④8的右边至少有一张是8．
请写出这三张牌从左到右的顺序可能是：___．（填写正确的序号）
①红桃8，方块6，方块8②红桃8，红桃6，方块8③红桃8，方块8，红桃6
【答案】③
【分析】由于红桃右边有且仅有一张方块，所以红桃是最左边的一张；红桃右边的两张牌中也有一张是红桃；由于6的左边至少有一张是8，所以6是最右边的一张，由于8的右边至少有一张是8，即最左边是红桃8；中间是方块8，最右边是红桃6．
【详解】解：一共有三张牌：由条件②即可判断红桃右边有两张牌，一张红桃，一张方块，由条件③即可判断6的左边有两张；由条件④即可判断8的右边有两张，所以三张牌的顺次为：红桃8，方块8，红桃6．
故答案为③．
【点睛】本题考查的是逻辑推理，完成本题的关键是抓住方位与张数来进行分析推理．
1．（代数推理）观察下列点阵：
第1个点阵对应的等式为；
第2个点阵对应的等式为；
第3个点阵对应的等式为；
第4个点阵对应的等式为；
请按以上规律写出第n个点阵对应的等式：________（用含n的等式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．根据前面的等式的规律得到第n个点阵图中点的个数共有个，它有从1开始的n个连续奇数的和，即可得出结论．
【详解】解：第n个点阵对应的等式：．
故答案为：．
2．你作为望城“雷小锋”，参加“学习十五五，奋进新征程”密室闯关．大门密码是一个三位数ABC（A，B，C均为0~9的整数），密码线索均来自望城区“十五五”规划主要预期目标：
望城未来五年主要预期目标为； ①地区生产总值年均增长； ②全社会研发经费投入年均增长； ③高技术制造业增加值占规模工业增加值比重达，居民收入增长与经济增长同步．
x、y、z依次为线索中三项数据百分号前的数值：①A为x最小值的整数部分；②B为y的四分之一；③C满足．请推理出大门密码______．
【答案】
【分析】先根据题意得到，，再结合题意依次求出的值即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∵A为x最小值的整数部分；B为y的四分之一；C满足，
∴，
∴，
∴，
∴大门密码是．
3．如图，点在反比例函数的图象上，点在y轴上，且，直线与双曲线交于点，，则的坐标是______．
【答案】
【分析】由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形，设点坐标，代入中计算求解，然后求出，，，的值，探究一般性规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，，，…，都是等腰直角三角形，
联立，得，解得：，
∴，
∴，
设，则有
解得或（舍去）
∴
设，则有
解得或（舍去）
∴
同理可得
∴
∴
当时，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，反比例函数与几何综合．解题的关键与难点在于求解的坐标，推导一般性规律．
4．如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，且满足．当________时，为等边三角形；已知点为的中点，连接，，则的最小值为________．
【答案】 2
【分析】由题意可知，若为等边三角形，则需满足，利用列方程求解即可；
观察图形可知，点A，D为定点，点P为动点，因此我们先探究点P的运动轨迹，通过取特殊点可以发现，点P在的垂直平分线上，那么求的最小值就可以转化为“将军饮马”问题，进而问题得解．
【详解】解：设，由题意可知，．
当为等边三角形时，则有，即．
；
如图1，分别过点F，点P作，，垂足分别为G，H，连接．
，
，
，
．
点为的中点，
，
．
在中，，,
．
，即．
连接，则．
．
当在同一条直线上时，最小，即为的长．
如图2，过点D作，交的延长线于M，
由题意可知，在中，，，
，．
在中，，，
．
的最小值为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称、等边三角形、相似、解斜三角形等知识．掌握研究动态问题的一般方法、熟悉常见最值问题的解题思路是解决问题的关键．
5．如图，以为直径的中，点为上一点，且，过点O作，垂足为，点为直线上一个动点，则，，构成的封闭图形周长最小值为________．
【答案】
【分析】要使得，，构成的封闭图形周长最小，弧的值不变，则最小即可，点关于的对称点为点，即当点与点重合时， ，，构成的封闭图形周长最小，求出半径和的长即可．
【详解】解：要使得，，构成的封闭图形周长最小，的值不变，则最小即可，
连接，，
，
，
是的垂直平分线，
点关于的对称点为点，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，最小，
即，，构成的封闭图形周长最小，
，
，，
的长为，
，，构成的封闭图形周长最小为：．
6．如图所示，，半径为2的圆O内切于．P为圆O上一动点，过点P作、分别垂直于的两边，垂足为M、N，则的取值范围为 ________________．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形．过点M作于H，作于F，推出，进而有，由四边形是矩形得出，因此当与相切时，取得最大和最小，进而确定的最大值和最小值即可解答．
【详解】解：过点M作于H，作于F
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当与相切时，取得最大和最小，
如图，

连接，，，
可得：四边形是正方形，
，
在中，，
，
在中，，
，
∴．
如图，

由上知：，，
，
，
，
∴．
故答案为：．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
【答案】4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB sin45°＝4，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．
8．如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是____________．
【答案】
【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键．
作 ，交于点，以为直径画，证明，推出点在以为直径的运动，并求出半径，再连接，推出点运动的路径长为，然后根据三角形函数和圆周角定理解出，最后运用弧长公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵将沿直线翻折得到，
∴，
作 ，交于点，以为直径画，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点在以为直径的运动，
∵点从点运动到点，
∴连接，点运动的路径长为，
∵，，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴的弧长为．
∴点的运动路径总长为：．
故答案为：．
9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，和分别是轴正半轴和线段上的动点，满足，连接，则的最大值是___________．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形和函数综合，取点的坐标为，即，通过乘积式相等证明，进而可得、、、在以为直径的圆上，从而得出，设，再利用相似三角形的性质勾股定理列方程表示出，，从而可得，利用平方和完全平方公式变形求出分母最小值，得出分式最大值（分子一定，正数范围内）．解题关键是构造得出，再利用分式变形求出最大值．
【详解】解：取点的坐标为，即，连接，，
∵，即，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴、、、在以为直径的圆上，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴
整理变形得：，
∵，
∴，
∴当最小时，即最大，即最大值，
∴，
故答案为．
10．如图，分别以的两直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，三个半圆围成两个月牙形阴影，则两个月牙形阴影的面积之和等于的面积，这就是著名的“月牙定理”．若阴影部分的面积为，，则______．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，圆的面积，由题意得出，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．如图，阴影部分是抛物线与轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为______．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，二次函数的图象与性质，二次函数与x轴和y轴的交点，几何概率，求出矩形的面积是解题的关键．首先求出，，得到，然后求出，求出矩形的面积为，然后利用几何概率公式求解即可．
【详解】解：∵
∴令，即
解得，
∴，
∴
当时，
∴抛物线的顶点坐标为
∴
∴矩形的面积为
∵在矩形中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，
∴阴影部分面积的近似值为．
故答案为：．
12．对于正实数，根据是否是有理数，分以下两种情况得到另一个正实数；若为有理数，则；若为无理数，则．这种得到的过程称为对进行一次变换．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换， 依此类推．例如，正实数为有理数，则对5进行一次变换得到的数为，为无理数，对5进行二次变换得到的数为8；8为有理数，对5进行三次变换得到的数为3．
（1）对正实数1进行三次变换，得到的数为______．
（2）若对正实数进行二次变换得到的数为3，则所有满足条件的的值之和为______．
【答案】 /
【分析】（1）对1进行三次变换，依次计算每次变换后的数即可；
（2）设对正实数进行一次变换得到的数为t，则对正实数进行二次变换就是对t进行一次变换得到3，然后分两种情况讨论：①当t为有理数时，可构建关于t的方程求出，然后再分当为有理数和无理数讨论；②当t为无理数时，可构建关于t的方程求出，不符合题意舍去．
【详解】解：（1）∵1是有理数，
∴对正实数1进行一次变换，得到的数为，
∵是无理数，
∴对正实数1进行二次变换，即对无理数进行一次变换，得到的数为，
∵4是有理数，
∴对正实数1进行三次变换，即对有理数4进行一次变换，得到的数为，
（2）设对正实数进行一次变换得到的数为t，则对正实数进行二次变换就是对t进行一次变换得到3，
①当t为有理数时，则
解得，
当为有理数时，则，
解得，
当为无理数时，则，
解得（负值舍去）；
②当t为无理数时，则，
解得（负值舍去），
又t为无理数，
故此情况不符合题意，
∴所有满足条件的的值之和为．
13．我们规定：一个四位数，若满足，且各个数位上的数字均不为零，称这个数为“九九数”．例如：四位数8136，因为，所以8136是“九九数”．按照这个规定最大的“九九数”是________，一个“九九数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记．再将的千位数字放到个位数字之后得到，将的个位数字放到千位数字之前得到，记．若是完全平方数，且是整数，则满足条件的的值是________．
【答案】
【分析】先根据题意得到，最大为，求出最大“九九数”；然后得到，，即可表示，，，，求出和，利用是完全平方数得到为或时，再计算，然后枚举符合题意的，的值验证解答即可．
【详解】解：∵，且各个数位上的数字均不为零，
∴，最大为，，d相应为，
∴最大的“九九数”是；
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是完全平方数，且各个数位上的数字均不为零，
∴为或，即为或，
∵，
∴，
∵，
当，时，不是整数，不符合题意；
当，时，是整数，符合题意，这时的值为；
当，时，不是整数，不符合题意；
当，时，不是整数，不符合题意；
当，时，不是整数，不符合题意；
当，时，不是整数，不符合题意；
∴满足条件的的值为．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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