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题号猜题13 中考数学24题 二次函数综合压轴题（解答题）
考点1线段与周长问题
1．（2026年天津市北辰区中考二模考试数学题）已知抛物线（，，为常数，），，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点．
(1)若，点的坐标为，点的坐标为．
①求该抛物线的解析式和顶点坐标；
②过点作交抛物线于点，点为轴下方对称轴上一动点，当为等腰三角形时，求点的坐标：
若，，连接，点和点为直线上的两个动点（点在点的右侧），，点为直线下方抛物线上的一个点，点的横坐标为，连接，，当的最小值等于时，求的值．
2．（湖北省恩施市2026年中考第一次适应性考试数学试题卷）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点．
(1)如图1，求二次函数的表达式；
(2)如图2，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接．
①过点作轴垂线交于，求的长；
②若，求点的坐标；
(3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“5阶融合点”．如图3，将二次函数在轴左侧部分的图象沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数在第四象限内的图象沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，请求出的取值范围．
3．（2026·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的对称轴与顶点纵坐标（用含的式子表示）；
(2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，轴左侧部分保持不变，组成新图形．
①若，过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点．若线段的长度随的长度增大而增大，求的取值范围；
②点在图形上，点在抛物线上．（点、不与原点重合）当，若为与无关的定值，求的值．
4．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线过点和．
(1)抛物线的对称轴是__________；
(2)若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边．
①求点的坐标；
②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式；
③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值．
5．（25-26九年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交线段于点Q，求线段的最大值；
(3)连接，将线段沿x轴向右平移个单位长度，若线段与抛物线无交点，请直接写出m的取值范围．
考点2面积最值问题
6．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果点P是抛物线的顶点，求的面积；
(3)点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴．
①当时，如果该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值；
②记矩形的周长为l，当时，直接写出l关于m的函数解析式．
8．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式并直接写出顶点的坐标；
(2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2026·安徽六安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点，为该抛物线与轴的两个交点（在的左侧），求的值；
(3)是该抛物线上任意一点，点也在该抛物线上（，与不重合），（为常数，且）：令，若的值为定值，求此定值是多少？
10．（2026·四川绵阳·二模）如图1，抛物线过点，，与轴交于点，将沿直线平移得到，点分别对应点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点落在抛物线上时，，求的值；
(3)如图2，抛物线平移得到抛物线，图象经过点，抛物线与直线交于另一点，与对称轴右侧的轴交于点，其中点与图象上的对应，当时，若，求的顶点坐标．
考点3角度相等或倍角问题
11．（2026·山东济南·二模）抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及B点坐标；
(2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标；
(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标．
12．（2026·重庆渝中·二模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线与抛物线交于，两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一点，连接交直线于点，点是直线上一点，点是轴上一点，连接，当取最大值时，求点的坐标及的最小值．
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
13．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，过点作轴，且垂足为，点，为线段上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，连接交线段于点，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，记点平移后的对应点为点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
14．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是直线上方该抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，交轴于点．点、是轴上两动点，点在点上方，且，连接，．当的周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，是新抛物线对称轴上纵坐标为2的点，是新抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
15．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”．
在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为．
(1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”；
(2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为．
①当点在的内部时，求的取值范围；
②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式．
考点4特殊三角形存在问题
16．（2026·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点；与轴交于点，，点为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于点．若，求点的横坐标；
(3)点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
17．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值；
(3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2026·辽宁盘锦·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l，
①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标；
②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由．
19．（2022·湖北十堰·模拟预测）如图，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．A点的坐标是，对称轴是直线，抛物线顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若E为线段上的一点，其横坐标为m，过点E作轴于点F，求当m为何值时，四边形的面积最大？
(3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在一点，使，，若存在，求出点P和点的坐标，若不存在，请说明理由．
20．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践
如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长．
(3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标．
考点5特殊四边形存在问题
21．（2026·湖北随州·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“关联对称二次函数”．例如：的“关联对称二次函数”为．
(1)的“关联对称二次函数”为________，的“关联对称二次函数”为________；
(2)关于“关联对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”；
②二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身；
③的“关联对称二次函数”为；
④任意两个“关联对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点．
(3)如图，二次函数与其“关联对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，求出的值．
22．（2026·安徽马鞍山·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点P在抛物线上，点P的横坐标为m，作轴于点Q，将线段绕点O旋转得到线段，作四边形．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当M，N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形的面积；
(3)当，抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，若图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值．
23．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标；
(3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2026·湖南长沙·模拟预测）《镜花缘》是我国清代的长篇小说，其中“镜”有映照、对称的意象．我们把两个图象关于直线对称的函数互称为“镜花缘对”函数．
(1)求函数的“镜花缘对”函数；
(2)已知函数的“镜花缘对”函数为，它们的图象交于点，函数与函数的交于点，（点在的右侧），，当时，求的取值范围；
(3)二次函数与它的“镜花缘对”函数的顶点分别为，（点，不重合），两函数交于点，若在函数图象上还存在一点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，请求出此菱形的面积．
25．（2026·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线对称轴为直线，与y轴交于点．点A，B是该抛物线上不重合的两点（点A，B均不与点M重合），横坐标分别为m，，连接，以为边，以点M为对称中心作．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)当的一条边与坐标轴平行时，求m的值；
(3)当点A在点B的右侧，且的边与抛物线交于点N（点N不与点A，D重合），若的面积等于的面积的3倍，求m的值；
(4)当的顶点C，D恰好落在同一象限内时，直接写出m的取值范围．
考点6相似三角形存在问题
26．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为．
(1)求点、的坐标（用含的式子表示）；
(2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值；
(3)若是钝角，求的取值范围．
27．（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上在直线上方一点，连接，当直线把分成面积比为的两部分时，求点P的坐标；
(3)将射线绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿射线方向平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M）．设这两条抛物线的交点为Q．
①求旋转角度的正弦值；
②当时，请直接写出原抛物线平移的距离．
28．（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且．
(1)求直线的表达式；
(2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式．
29．（2026·四川南充·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，点D是上方抛物线上一点，连接交于点E，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标．
(3)如图2，已知点，与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线与抛物线另一个交点为Q，连接、，分别交y轴于M、N．当时，探究与的数量关系，并说明理由．
30．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F．
①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长；
②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由．
考点7纯代数二次函数问题
31．（2026·山东临沂·一模）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求该二次函数的解析式，并写出其图形的顶点坐标；
(2)若点、在该函数图象上，且，求实数的取值范围；
(3)若当时，该函数的最大值为，最小值为，且满足，求实数的值．
32．（2026·山东德州·一模）已知抛物线过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若，当时，的最大值为，求的值；
(3)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当线段随着的增大而减小时，求的取值范围．
33．（2026·山东德州·一模）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，求的最大值．
34．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图像与x轴有两个公共点，我们将这两个公共点之间的距离记为d．
(1)当，，时．
①______；
②将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像．
i）用含k的代数式表示d；（要求：写出求解过程．）
ii）新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d，求k的值．
(2)下列说法：①当a，b确定时，d随着c的增大而减小；②当a，c确定时，d随着b的增大而减小；③当b，c确定时，d随着a的增大而减小．其中，正确的是______．（填序号）
35．（2026·福建南平·二模）二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4．
(1)求a，b应满足的数量关系；
(2)已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有．
①求该二次函数的表达式；
②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有．
1．（湖南郴州市2026年中考第二次模拟监测数学）已知抛物线与抛物线交于，两点．
(1)求b，c的值；
(2)如图1，直线分别与两条抛物线相交，交点从左到右依次为A，B，C，D．设点A，B，C，D的横坐标分别为，，，．求证：；
(3)如图2，当时，直线与两条抛物线分别相交于点M，N，试问四边形的面积是否存在最大值为？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．
2．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且是等腰直角三角形．
(1)求证：；
(2)已知，过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内．
①求抛物线的函数表达式及点P的坐标；
②若直线：过点P，且抛物线在的部分与有公共点，求实数的取值范围．
3．（福建省南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习数学）已知抛物线（m为常数）过点，与x轴交于，点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)命题一：如果，那么；命题二：如果，那么；
判断命题一、二是否正确，若不正确；请举一个反例；若正确，请证明．
4．（2026年四川成都市初中学业水平模拟测试（模拟一））在平面直角坐标系中，已知图象P对应的解析式（其中m为常数），且P经过点．
(1)求P的解析式（整理为y关于x的函数形式，并写出自变量x的取值范围）；
(2)如图，记点，，动点Q在P上，若以A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，且，求所有满足题意的Q点坐标；
(3)设S是直线上一点，过S分别作直线、交P于点、与点、（四个点互不重合），试探究：在点S和两条直线变化的过程中，是否存在？若存在，求出直线与直线的斜率和；若不存在，请说明理由．
5．（2026·河北保定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q．
(1)求抛物线的对称轴及顶点P的坐标；
(2)若抛物线与关于直线对称，求m的值；
(3)若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围；
(4)连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标．
6．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点，，与y轴交于点C，抛物线：（）经过A，B两点，与y轴交于点D．
(1)求m与n的值；
(2)若抛物线的顶点为E，连接，当直线恰好经过点C时，求b的值；
(3)点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作垂直于x轴的直线，分别交抛物线，于点M，N，且M是的中点．
①求的最大值；
②设，，若实数d满足关于t的方程在内有实数根，求d的取值范围．
7．（2026·湖北孝感·一模）已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点．
(1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____．
(2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若，
①求此时点坐标；
②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____．
(3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为；
①求的值；
②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____．
8．（2026·辽宁大连·二模）定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）．
(1)判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由；
(2)求二次函数的解析式；
(3)点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m．
①求证：点Q是线段的中点；
②当时，求线段的最大值．
(4)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)题号猜题13 中考数学24题 二次函数综合压轴题（解答题）
考点1线段与周长问题
1．（2026年天津市北辰区中考二模考试数学题）已知抛物线（，，为常数，），，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点．
(1)若，点的坐标为，点的坐标为．
①求该抛物线的解析式和顶点坐标；
②过点作交抛物线于点，点为轴下方对称轴上一动点，当为等腰三角形时，求点的坐标：
(2)若，，连接，点和点为直线上的两个动点（点在点的右侧），，点为直线下方抛物线上的一个点，点的横坐标为，连接，，当的最小值等于时，求的值．
【答案】(1)①，顶点坐标为；②，，
(2)
【分析】（1）①用待定系数法求出抛物线的解析式；
②延长交轴于点，用待定系数法求出直线的解析式，求出抛物线与直线的交点的坐标，设，其中，当为等腰三角形时，分情况求出点的坐标；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，把和代入，把点的坐标用含的代数式表示出来，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得：，可知当，，三点共线时,的 值最小，由勾股定理可得：，解方程即可求出此时的值．
【详解】（1）①解：当时，抛物线的解析式为，
抛物线经过点和，
，，
解得：，
抛物线的解析式为，
，
抛物线的顶点坐标为；
②如图，延长交轴于点，
，，
，，
，
，，
，
设直线的解析式为：（，为常数，），
把和代入，
可得解得，
直线的解析式为：，
解方程组：，
解得：，，
，
为轴下方对称轴上一动点，
设，其中，
由抛物线的解析式，令，
可得：，
解得：，（与点重合，舍去），
点的坐标为，
，，，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述：，，；
（2）解：设点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，，
点的坐标为，
，
把和代入，
可得：，
点的横坐标为，
，
即，
如下图所示，过点作，且，连接，，
，，
四边形是平行四边形，
．
，此时，，三点共线，
过点作轴，交轴于点，
为等腰直角三角形，
．
，
，
，
解得：．
2．（湖北省恩施市2026年中考第一次适应性考试数学试题卷）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点．
(1)如图1，求二次函数的表达式；
(2)如图2，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接．
①过点作轴垂线交于，求的长；
②若，求点的坐标；
(3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“5阶融合点”．如图3，将二次函数在轴左侧部分的图象沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数在第四象限内的图象沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，请求出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①；②或；
(3)或．
【分析】（1）利用对称轴公式和待定系数法求解即可；
（2）①先求出点坐标及直线的解析式，再把点A的横坐标代入直线的解析式中求出对应的函数值即可得到点E的坐标，进而可得答案；②由可推出；过点分别作轴的平行线，分别交直线于两点，证明 ，得到，进而推出；设出点的坐标，并表示出点的坐标，进而表示出的长度，进而建立方程求解即可；
（3）根据题意可得所有的“阶融合点”都在直线上，求出直线过点和点时t的值，以及当与只有一个交点时t的值，进而函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数对称轴为直线，且过点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：①在中，当时，，则，
∵二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，
∴由对称性可知点B的坐标为；
设直线的解析式为，则，
解得，
直线的解析式为，
在中，当时，，
，
；
②∵，和同高（到直线的高），
∴，即
如图，过点分别作轴的平行线，分别交直线于两点，
∴，
∴，
由（1）得，
∴
设，则
∴，
∴，
解得，
当时，；
当时，；
∴点的坐标为或；
（3）解：“阶融合点”，满足，
，
∴所有的“阶融合点”都在直线上
当直线过点时，；
当直线过时，，
由图可得：当时，直线与的交点只有2个；
当与只有一个交点时，
联立得，
整理，得，
，
解得，
由函数图象可知，当时，直线与的交点只有2个；
综上，若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，的取值范围为或．
3．（2026·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的对称轴与顶点纵坐标（用含的式子表示）；
(2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，轴左侧部分保持不变，组成新图形．
①若，过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点．若线段的长度随的长度增大而增大，求的取值范围；
②点在图形上，点在抛物线上．（点、不与原点重合）当，若为与无关的定值，求的值．
【答案】(1)对称轴为直线，顶点纵坐标为
(2)①或；②
【分析】（1）代入点得，消元后用对称轴公式求对称轴，再将对称轴代入抛物线方程，结合化简求顶点纵坐标即可；
（2）①确定图形表达式，写出、坐标，得到的长度，分类讨论的正负性，结合函数图像解答即可；
②由得 ，设，则 ，那么，当时，代入，得到，那么可得，同理讨论当的情况即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入可得：，
整理可得：，
∵抛物线的对称轴为：，
∴把代入可得：，
∴抛物线的对称轴为：；
把和代入可得：，
∴对称轴为直线，顶点纵坐标为；
（2）解：①当时，则，
∴，
由（1）可得：对称轴为直线，顶点纵坐标为，
∴顶点坐标为，
∴把抛物线沿轴翻折后的顶点坐标为，
又∵翻折后图象和抛物线的开口大小相等，方向相反，且，
∴翻折后图象为：，
∵过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，
∴在翻折后图象上，即；点直线上，即；
∴线段的长度，
当时，得，
∵，
∴，即，
此时，开口向上，对称轴为，
∵在上随的增大而增大，
∴，
解得：，符合题意；
当时，得，
∵，
∴，解得，
此时，开口向下，对称轴为，
∵在上增大而增大，
∴，
解得：，
又∵，
∴，
综上，的取值范围为：或；
②由得 ，
设，则 ，
∵点在上，
∴，
分两种情况讨论：
当时，点在原抛物线上，代入得 ：
，
∵，两边同除以整理得 ：，
∵是与无关的定值，
∴等式对任意成立时，需满足，
化简得：，
解得，；
当时，点在翻折后的图形上， 代入得：
，
∵ ，两边同除以整理得 ：，
∵是与无关的定值，
∴等式对任意成立时，需满足，
化简得：，
解得：，，
综上，．
4．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线过点和．
(1)抛物线的对称轴是__________；
(2)若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边．
①求点的坐标；
②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式；
③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)①；②；；③，，，
【分析】（1）根据对称轴公式进行计算即可求解；
（2）①根据题意得出，设，根据根与系数的关系得 ，又 ，得出，即可求解；
②根据题意得出 ，联立抛物线： ，设 ，由根与系数的关系得 得出，根据二次函数的性质求得最值，即可求解；
③由题意得：，，，根据勾股定理分别表示出，分三种直角情况讨论，列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：
对称轴为直线
（2）解：①∵ 在对称轴 上，关于对称轴对称，
∴
∵ ，，且
两式相减得
设，
令，则，
由根与系数的关系得 ，
又 ，
代入得： ，
解得
即
②轴且过 ，
故 ，
联立抛物线：
整理得
设 ，
由根与系数的关系得
则：
的高为 ，故面积
∵，，
当 时，根号内取最小值5，
故，
此时抛物线解析式为
③∵点在②中所求抛物线上，横坐标为，则纵坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．
∴，，，分三种直角情况讨论：
，，
点为直角顶点时：，
∴，即
解得：
点为直角顶点时：，
∴，即
解得：
点为直角顶点时：，
∴，即
解得：
综上所述，的值为，，，．
5．（25-26九年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交线段于点Q，求线段的最大值；
(3)连接，将线段沿x轴向右平移个单位长度，若线段与抛物线无交点，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法直线解析式为，设，则，可求出，然后根据二次函数的性质求解即可；
（3）利用待定系数法求出平移前线段的解析式为，可得平移后线段的解析式为，由二次函数的对称性可得点的对称点为，再分别求出当线段经过和时对应的值，结合图象即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过，两点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
∵轴，
∴设，则，
∴
，
∴当时，取最大值为；
（3）解：设平移前线段的解析式为，
代入得，
解得：，
平移前线段的解析式为，
，
抛物线对称轴为，
点关于对称轴的对称点，
线段向右平移个单位长度，
平移后线段的解析式为，
当平移后线段经过，则，
解得：，
当平移后线段经过，则，
解得：，
结合图象得，若线段与抛物线无交点，的取值范围为或．
考点2面积最值问题
6．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点E的坐标为，；
(3)存在；点P的坐标为或或或
【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，
得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；
（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵点，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点E的坐标为；
∴；
（3）解：存在，
∵，
∴对称轴为直线，
设，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
综上，点P的坐标为或或或．
7．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果点P是抛物线的顶点，求的面积；
(3)点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴．
①当时，如果该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值；
②记矩形的周长为l，当时，直接写出l关于m的函数解析式．
【答案】(1)
(2)3
(3)①；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点P的坐标，再利用割补法即可求解；
（3）①先可得，，则可得，即可求解；
②先由时，可得，再分，两种情况即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过和，
∴，
解得，
∴．
（2）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，顶点为，
∵，，
∴．
（3）解：①∵点P在该抛物线上，其横坐标为，
当时，，即，
∵点A在x轴上，其横坐标为m，
∴．
∵点A为对称中心构造矩形PQMN，
∴，
∴，
当该抛物线的顶点在矩形的边上时，如图1，，
解得，，
∵，
∴，
∴当该抛物线的顶点在矩形的边上时，．
②当时，点M和点N重合，
化简得，解得：，，
∵，
∴，
当时，如图2所示，
∵，，
∴；
当时，如图3所示，
∵，，
∴；
综上所述，．

8．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式并直接写出顶点的坐标；
(2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（1）将点，代入二次函数，利用待定系数法解得该函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定顶点的坐标；
（2）首先确定点坐标，进一步利用待定系数法确定直线的解析式，证明为直角三角形，且；过点作轴，交直线于点，过点作于点，作轴，交直线于点，证明，由相似三角形的性质可得，结合，且与同底（底为），可知，即，进一步可得；设点，确定点坐标，可得，整理并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：将点，代入二次函数，
可得，解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）存在．
对于二次函数，当时，可得，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
如下图，过点作轴，交直线于点，过点作于点，作轴，交直线于点，
则，，
∴，
∴，
∴，
∵，且与同底（底为），
∴点到直线的距离等于点到直线的距离的一半，即，
∴，
∵，轴，
∴，将其代入直线，
可得，即，
∴，
∴，
设点，
∵轴，
∴，将其代入直线，
可得，即，
∴，整理可得，
当时，即，
解得，
∴；
当时，即，
∵，
∴该方程无解．
综上所述，点的坐标为或．
9．（2026·安徽六安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点，为该抛物线与轴的两个交点（在的左侧），求的值；
(3)是该抛物线上任意一点，点也在该抛物线上（，与不重合），（为常数，且）：令，若的值为定值，求此定值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)此定值是4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，将代入，可得，即可得抛物线的函数表达式；
（2）令，可得，，记与相交于点，可得，根据三角形的面积公式求解即可；
（3）将，代入抛物线的函数表达式，可得，，结合已知可得，可得，根据题意可得的值与无关，可得，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为，
∵抛物线与轴交于点，
∴，得，
∴抛物线的函数表达式为，即；
（2）解：令，解得，，
∴，，
记与相交于点，
∴
；
（3）解：∵，在抛物线上，
∴，，
∵，
∴
，
，
∴
，
∴，
∵，的值为定值，且点是抛物线上任意的一点，
∴的值与无关，
∴，
∴，
∴，即此定值是．
10．（2026·四川绵阳·二模）如图1，抛物线过点，，与轴交于点，将沿直线平移得到，点分别对应点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点落在抛物线上时，，求的值；
(3)如图2，抛物线平移得到抛物线，图象经过点，抛物线与直线交于另一点，与对称轴右侧的轴交于点，其中点与图象上的对应，当时，若，求的顶点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设，过点作轴交于点，则可得，利用面积公式，再结合得，，从而可以求出，利用的平移的性质即可求解；
（3）根据平移的性质可得，，根据二次函数的对称性得，利用平移的性质得直线的解析式为，从而得到，设，则是由向右平移个单位，再上平移个单位而得，可得设的解析式为，再根据和得是等腰直角三角形，即可列式求解．
【详解】（1）解：点在抛物线上，
，
即．
（2）解：点在抛物线上，
设，
过点作轴交于点，
，
，
直线的解析式为：，
，
，
．
，
，
即，
，
解得（舍去），
．
由平移性质得，且，
，
，
．
（3）解：由平移性质知：，
，
又的对称轴，
，
，
，，
设直线的解析式为，
将代入得，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
在的图象上，又，
设，
则是由向右平移个单位，再上平移个单位而得，
的顶点坐标是，
的顶点坐标为，
设的解析式为：，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
将点代入解析式得：
，
即，
解得或（此时点重合，舍去），
顶点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图像，待定系数法求二次函数解析式，三角形面积与抛物线的平移，能够熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
考点3角度相等或倍角问题
11．（2026·山东济南·二模）抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及B点坐标；
(2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标；
(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标．
【答案】(1)，
(2)或或或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令，求出x的值，从而求得点B的坐标；
（2）先求出抛物线的对称轴，设，由勾股定理和两点间距离公式得出的长度，和的表达式，此时分情况讨论：①当A为直角顶点时；②当C为直角顶点时；③当N为直角顶点时，利用勾股定理求得t的值，即可求得点N的坐标；
（3）延长交y轴于F，在上取点E，使，设，则，
利用勾股定理列出方程求得t的值，即可得到，，通过角度和差关系及等边对等角可得到点F的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，最后联立抛物线解析式即可得到点D的坐标．
【详解】（1）解：将代入得，
将代入得：，
∴抛物线的解析式为：，
令，，解得：（舍），，
∴．
（2）解：∵对称轴，
∴设，
∵，，
∴，，，
①当A为直角顶点时，，
∴，
∴，
∴；
②当C为直角顶点时，，
∴，
∴，
∴；
③当N为直角顶点时，，
∴，
解得：，，
∴或，
综上所述，点的坐标为或或或．
（3）解：如图，延长交y轴于F，在上取点E，使，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点F的坐标是，
点A的坐标是、点F的坐标是，
设直线的解析式是，
可得：，解得：，
∴直线的解析式是，
联立，解得：（舍），，
∴点D的坐标是．
12．（2026·重庆渝中·二模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线与抛物线交于，两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一点，连接交直线于点，点是直线上一点，点是轴上一点，连接，当取最大值时，求点的坐标及的最小值．
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)或，过程见解析．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）过点作轴交直线于点，令，则的横坐标为，证明，则，所以，根据二次函数的性质可得，当，取得最大值，求出，然后求得，然后求出直线解析式为，直线解析式为，联立得，作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，分别过作轴垂线，垂足分别为，连接，，证明四点共线，然后利用两点间的距离求出，则，同理可得，故有，从而求出，又，所以当点四点共线时，最小，为的长，然后利用两点间的距离求得从而得解；
（）由抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，可得抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位，所以平移后新抛物线，然后分如图，过点作交新抛物线于点，交轴于点，由，，则，先求直线解析式，联立，然后解方程组即可；连接交新抛物线于点，如图，由知直线解析式为，当时，，证明，在求出直线解析式为，联立，然后解方程组即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：过点作轴交直线于点，
令，则的横坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，当，取得最大值，
∴，
∴，
联立，解得：或，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
同理可得：直线解析式为，
联立，解得：，
∴，
作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，分别过作轴垂线，垂足分别为，连接，，
∴，，，，，，
∴，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴四点共线，
∵，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当点四点共线时，最小，为的长，如图，
∴的最小值为；
（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位，
由，
∴平移后新抛物线，
如图，过点作交新抛物线于点，交轴于点，
∵，，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
联立，
解得：（舍去），，
∴，
连接交新抛物线于点，如图，
由知直线解析式为，当时，，
∴，
∴，
由得当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得：直线解析式为，
联立，
解得：，（舍去），
综上所述：符合条件的点或．
13．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，过点作轴，且垂足为，点，为线段上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，连接交线段于点，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，记点平移后的对应点为点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据二次函数的性质以及待定系数法求解即可；
（2）先说明，如图：过P作轴交于G，易得∴，即，则；运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则、，易得，，然后代入后运用二次函数的性质求最值可得；如图：将向下得到，即，作B关于的对称点，即连接，利用轴对称的性质、三角形三边关系、两点间距离公式求解即可；
（3）先说明，平移后的函数关系式为，；再运用待定系数法求得直线的解析式，再与直线的解析式联立可求得点；如图：过K作轴于M，过P作轴于N，过H作轴于J，则，，利用等腰直角三角形的判定与性质、正切的定义、角的和差可得，即；如图：当在下方时，作于I，则，，即，设且，利用正切的定义、勾股定理、一次函数的图像的交点坐标可求得，运用待定系数法可求得直线的解析式为，再与平移后的抛物线解析式联立即可求得点T的坐标；同理可求得在上方的情况．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴①，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，即②．
①②联立可得：，
∴抛物线表达式：．
（2）解：令，，解得，即，故，
令，可得，即，故，
∴，
∴，
如图：过P作轴交于G，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
∵抛物线的对称轴是直线，轴交抛物线于点，
∴，
∵轴
∴点G的横坐标为，即，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，
∴直线的解析式为，，
如图：将向下得到，即，作B关于的对称点，即连接，
∴
∴，
∴的最小值为，
∴．
（3）解：∵
∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将向右平移8个单位，向上平移4个单位，
∴平移后的函数关系式为，
∵点平移后的对应点为点，，
∴，
设直线的解析式为，由（2）可得，，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
由（2）可得直线的解析式为，
联立，解得：，
∴，
如图：过K作轴于M，过P作轴于N，过H作轴于J，则，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图：当在下方时，作于I，则，，即，
∵，，
∴，
∴，解得：，，
设且，则，
联立，解得：或（不合题意舍去），
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或（与K重合舍去）；
∴；
如图：当在上方时，作交延长线于， 同理可得，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或（与K重合舍去）；
∴．
综上，点的坐标为或．
14．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是直线上方该抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，交轴于点．点、是轴上两动点，点在点上方，且，连接，．当的周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，是新抛物线对称轴上纵坐标为2的点，是新抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)点的坐标为，的最小值为
(3)符合条件的点的坐标为或，见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的表达式可得，进而得出是等腰直角三角形，求出，可知当取最大值时，的周长取最大值，然后利用二次根式的性质求出取最大值时点的坐标即可，然后将点向下平移1个单位长度得到点，利用轴对称求最短路径的方法进行解答即可；
（3）首先求出直线的表达式，然后分情况讨论：①当点N在下方时，②当点在上方时，分别求出直线及的解析式，再与新抛物线进行联立求解即可．
【详解】（1）解：把，代入中，
得，
解得，
该抛物线的表达式为；
（2）在中，令
解得，
直线过点，，
直线的表达式为，且
轴，，
，
在中，，
的周长为：
设（），则
，
当时，取得最大值，则的周长取得最大值
此时点的坐标为
如图1，将点向下平移1个单位长度得到点，则点的坐标为，连接
，
四边形是平行四边形
即
作点关于轴的对称点，连接，则
当，，三点共线时，取最小值为
的最小值为
又，
的最小值为
点的坐标为，的最小值为；
（3）由（2）知是等腰直角三角形，
∴，
∴将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将该抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∴平移后新抛物线的表达式为，
，，，
设直线的表达式为，
代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为
①当点N在下方时，
，
如图2，过点作交新抛物线于点
设直线的表达式为，
代入得：
解得：
∴直线的表达式为
由，得， （不合题意，舍去）
当时，，
；
②当点在上方时，
如图3，当时，交于L，
∵，
∴，
设，
则，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
由，得， （不合题意，舍去），
∴，
综上，符合条件的点的坐标为或．
15．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”．
在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为．
(1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”；
(2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为．
①当点在的内部时，求的取值范围；
②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征．
（1）根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入求解即可；设抛物线上的“一步点”坐标为，则，联立，，求解即可；
（2）①先确定点、的坐标，根据顶点是“一步点”， 且点的横坐标为，得到，当点在的内部时，则点在第一象限且在直线下方，据此求解；②由平移性质可知，新抛物线的表达式为，令，得，求出，，根据建立方程求解即可．
【详解】（1）解：根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将代入得， ，
解得，
抛物线的表达式为，即，
设抛物线上的“一步点”坐标为，则，
将代入抛物线表达式得，，
解得，，
当时，，点为，
当时，，点为；
（2）①对于，
令，得，，
令，得，，
顶点是“一步点”， 且点的横坐标为，
，
若点在的内部，则点在第一象限且在直线下方，
，
解得，
的取值范围是；
②由平移性质可知，新抛物线的表达式为，
令，得 ，，
过点作轴于点，则，
，，
在中，，
在中，，
，
，解得，
当时，，与原抛物线重合，不合题意，舍去，
当时，，
新抛物线的表达式为．
考点4特殊三角形存在问题
16．（2026·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点；与轴交于点，，点为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于点．若，求点的横坐标；
(3)点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或．
【分析】（1）先求出，解直角三角形得到，则；再利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的表达式为；设，则，则，，根据t的取值范围和，建立方程求解即可；
（3）求出，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵在中，，，
∴，
∴，
∴；
∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的表达式为，
∴，
∴，
∴直线的表达式为；
设，则，
∴，，
当时，，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
∴点M的横坐标为；
（3）解：∵，
∴；
设，
由旋转得，
当时，
过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将点代入得，
整理得，
解得，
∴或；
当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将点代入，
得，
整理得，
解得，
∴或，
综上所述：所有符合条件的点P的坐标为或或或．
17．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值；
(3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为或或或或．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论．
（3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将点、代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
设点P坐标为，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当时，有最大值，
∴，
设点Q的坐标为，
∵、，
∴；
；
，
当即时，，即，
解得，
∴点Q的坐标为或；
当即时，，
解得或，
∴点Q的坐标为或；
当即时，，
解得，
∴点Q的坐标为．
综上所述，点Q的坐标为或或或或．
18．（2026·辽宁盘锦·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l，
①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标；
②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，②存在，或，③位于对称轴左侧，理由见解析
【分析】（1）用待定系数法可求出a，从而得出二次函数的解析式；
（2）①构造一线三垂直模型，得到三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，可以得到关于点横坐的方程，从而可求出的坐标；
②延长交直线于点，可以证得恰好是，的中点，继而可以得出关于，横坐标的方程组，求出的横坐标即可获解；
③由对称性可知，，只要求出的长度，然后与比较，即可判断与对称轴的位置关系．
【详解】（1）解：∵顶点的坐标为，
∴设所求抛物线的解析式为，
把代入，得
，
，
∴所求抛物线的解析式为；
（2）①如图，过D作垂直于y轴，垂足为Q，过E作的垂线，垂足为P，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，，，，
，
解得(舍去)，
，
②如图，延长交直线l于点N，
把代入得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即 为 的中点，
，
设 ，则，
设，则 ，
，，
，
化简得：，
解得，
当时，，
当时，，
的坐标为或，
③
与关于直线对称，
，
当时，
，
，
，
，
，
在对称轴左侧．
【点睛】本题是二次函数和几何的综合题，考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的顶点式，对称轴，三角形的相似，等腰三角形的判定等知识，关键是要将所求结论转化具体的线段关系，寻找合适等量关系列出方程．
19．（2022·湖北十堰·模拟预测）如图，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．A点的坐标是，对称轴是直线，抛物线顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若E为线段上的一点，其横坐标为m，过点E作轴于点F，求当m为何值时，四边形的面积最大？
(3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在一点，使，，若存在，求出点P和点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，；
(3)点或，点或．
【分析】（1）把代入，得，由对称轴方程得，联立方程组，解方程组可得出答案；
（2）点的横坐标为，则点的纵坐标为，点，由题意可知，，，根据面积公式及二次函数的性质可得出答案；
（3）抛物线的对称轴为，当P点在x轴上方时，过点作于G，证明，则，求得；当P点在x轴下方时，为等腰直角三角形，则．
【详解】（1）解：把代入，得，
又对称轴是直线，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：对于，令，得，
；
当时，，
∴，
∵，对称轴是直线，
∴，
设直线的表达式为，
把，代入解析式得，
解得
∴直线的表达式为：，
连接，
∵点的横坐标为，则点的纵坐标为，点，
由题意可知：，，，
∴，
∵，点E在线段上，，
∴当时，；
（3）解：抛物线对称轴与轴交于H，过作于G，
∵，，
∴，°，
∴
在和△中，
，
∴，
∴，，
∵，对称轴，
∴，
设，
∴点，
∵点在抛物线上，
,
整理得，
解得或,
当，，点与点C重合，在抛物线上，满足条件，
当，，点与点B重合，在抛物线上，满足条件，
∴点或，点或．
20．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践
如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长．
(3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)这两盏路灯的坐标分别为
【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果；
（2）令，求解对应自变量的值即可；
（3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果．
【详解】（1）解：据题意，可得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵点，点到的距离均为，
∴令，
解得，
∴．
（3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，
可得垂直于轴，垂足为，且，
设点的横坐标为，则点的纵坐标为，
可得，
解（舍去）．
当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
即这两盏路灯的坐标分别为或．
考点5特殊四边形存在问题
21．（2026·湖北随州·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“关联对称二次函数”．例如：的“关联对称二次函数”为．
(1)的“关联对称二次函数”为________，的“关联对称二次函数”为________；
(2)关于“关联对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号）
①二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”；
②二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身；
③的“关联对称二次函数”为；
④任意两个“关联对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点．
(3)如图，二次函数与其“关联对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，求出的值．
【答案】(1)；
(2)①②③
(3)或或或
【分析】（1）根据“关联对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得；
（2）根据“关联对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误；
（3）先根据“关联对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：由题意得：的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线，
所以的“关联对称二次函数”为；
二次函数的对称轴为直线，
则二次函数的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线，
设二次函数的“关联对称二次函数”的一次项系数为，
所以，解得，
所以的“关联对称二次函数”为；
（2）解：∵，
∴二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”，则结论①正确；
∵，互为“关联对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同，
∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同，
∴二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身，则结论②正确；
的对称轴为直线，
则的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线，
设的“关联对称二次函数”的一次项系数为，
则，解得，
∴的“关联对称二次函数”为，则结论③正确；
若二次函数为，则其“关联对称二次函数”为，
∵方程的根的判别式为没有实数根，
∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误；
综上，结论正确的是①②③；
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴其“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线，
设二次函数的一次项系数为，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为，
将代入二次函数得：，
将代入二次函数得：，
∴，，
∵点关于直线的对称点分别为，，
∴，，即，，
∴，，
∵四边形的邻边之比为，
∴或，
∴或，
解得或或或，
所以的值为或或或．
22．（2026·安徽马鞍山·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点P在抛物线上，点P的横坐标为m，作轴于点Q，将线段绕点O旋转得到线段，作四边形．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)当M，N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形的面积；
(3)当，抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，若图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值．
【答案】(1)
(2)24
(3)
【分析】（1）将点代入求出a的值即可；
（2）由旋转得点P和点M，点Q和点N分别关于原点O对称，推出四边形为平行四边形，且．根据M，N两点关于该抛物线的对称轴对称，推出m的值，进而得出四边形各顶点坐标，进而即可求解；
（3）先求出抛物线的顶点坐标为，根据y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，可得图象G一定包含抛物线的顶点部分，再根据最高点与最低点的纵坐标之差为8，求出最高点的纵坐标，进而即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得．
∴该抛物线所对应的函数表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵点P在抛物线上，横坐标为m，作轴于点Q，
∴，．
∵将线段绕点O旋转得到线段，
∴点P和点M，点Q和点N分别关于原点O对称，且，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，且．
又∵M，N两点关于该抛物线的对称轴对称，且点N在y轴上，
∴点M在对称轴的右侧，
∴，
解得，
∴，，，，
∴，，
∴四边形的面积．
（3）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
∵抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，
∴图象G一定包含抛物线的顶点部分，即图象G的最低点的纵坐标为，如图．
又∵图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8．
∴图象G的最高点的纵坐标为，
∴点P的纵坐标为5，
∴，
解得．
∵，
∴．
23．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标；
(3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数解析式为
(2)
(3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或
【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解；
（3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：二次函数解析式为，
∴当时，，
因式分解得，，
解得，，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵点Q是抛物线在第三象限上的一点，
∴设，过点作轴于点，
∴，，
∵满足，
∴，
∴，
∴，
整理得，，
因式分解得，，
解得，，（舍去），
∴，则，
∴；
（3）解：二次函数解析式为，
∴对称轴直线为，
设，，且，
当四边形是平行四边形时，
∴对角线交点的横坐标相等，即，
解得，，
∴，
∴；
当四边形是平行四边形时，
∴，
解得，，
∴，
∴；
当四边形是平行四边形时，
∴，
解得，，
∴，
∴；
综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或．
24．（2026·湖南长沙·模拟预测）《镜花缘》是我国清代的长篇小说，其中“镜”有映照、对称的意象．我们把两个图象关于直线对称的函数互称为“镜花缘对”函数．
(1)求函数的“镜花缘对”函数；
(2)已知函数的“镜花缘对”函数为，它们的图象交于点，函数与函数的交于点，（点在的右侧），，当时，求的取值范围；
(3)二次函数与它的“镜花缘对”函数的顶点分别为，（点，不重合），两函数交于点，若在函数图象上还存在一点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，请求出此菱形的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先确定函数与、轴的交点坐标，再确定两交点坐标关于直线对称的点坐标，利用待定系数法即可求得“镜花缘对”函数的解析式；
（2）先根据“镜花缘对”函数的定义确定的解析式，进而确定点的坐标，联立和的解析式，表示出、两点的坐标，根据，可知点是的中点，根据中点坐标公式列式计算可确定、两点的坐标，再结合函数图象，即可确定当时，的取值范围；
（3）先根据“镜花缘对”函数的定义表示出点、的坐标，从而可表示出，，根据菱形的性质可知，，根据列方程即可求得点、的坐标，最后根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：对于函数，
当时，，
当时，即，解得，
函数经过点，，
点关于直线对称的点为，
点关于直线对称的点为，
设函数的“镜花缘对”函数为，
将点，代入得，
，解得，
函数的“镜花缘对”函数为；
（2）解：对于函数，
当时，，
当时，即，解得，
函数经过点，，
点关于直线对称的点为，
点关于直线对称的点为，
设函数的“镜花缘对”函数为，
将点，代入得，
，解得，
函数的“镜花缘对”函数为；
两个函数图象关于直线对称，当时，，
，
联立，
即，
整理得，
，
解得，
，，
，
点是的中点，
，解得，
，，，
观察图象可知，当时，的取值范围为或；
（3）解：二次函数的顶点为，则与它的“镜花缘对”函数的顶点为，
，且轴，
两个函数图象关于直线对称，当时，，
，
，
要使以，，，为顶点的四边形是菱形，则有，
，
即，
整理得，，
即，
解得或，
当时，、重合，故舍去，
，
当时，，，
，，
此菱形的面积为：；
当时，，，
，，
此菱形的面积为：；
综上，此菱形的面积．
25．（2026·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线对称轴为直线，与y轴交于点．点A，B是该抛物线上不重合的两点（点A，B均不与点M重合），横坐标分别为m，，连接，以为边，以点M为对称中心作．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)当的一条边与坐标轴平行时，求m的值；
(3)当点A在点B的右侧，且的边与抛物线交于点N（点N不与点A，D重合），若的面积等于的面积的3倍，求m的值；
(4)当的顶点C，D恰好落在同一象限内时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为
(2)，或
(3)，或
(4)，或
【分析】（1）直接根据二次函数的性质以及待定系数法即可解答；
（2）分轴和轴两种情况，分别根据平行线性质和对称点的性质求解即可；
（3）由（2）可得：，，如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，由的面积是的面积的倍可得，再证明可得，如图：过D作轴的平行线交过A作x的垂线与点G，过作，即，则；再证明，易得
，进而得到，最后代入抛物线求得m的值即可；
（4）根据点A在轴右侧，横坐标为，可知排除在一、四象限的可能性，然后分在第二、三象限两种情况，分别列不等式组解得即可．
【详解】（1）解：由题意得，，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，即，
∴，解得，此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的纵坐标相等，
∵点C是点A关于点的对称点，设点，
∴，解得：
∴，同理可得：
∴，整理得：，
解得或；
当轴时，点A的横坐标等于点的横坐标，
∵点A的横坐标为，点的横坐标为，
∴，解得，此时点重合，不合题意；
当轴时，点与点的横坐标相等，即点C的横坐标为，
∵点C是点A关于点的对称点，
∴，解得：，此时点重合，不合题意；
综上所述，或；
（3）解：由（2）可得：，，
如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，
∴，
∵的面积是的面积的倍，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图：过D作轴的平行线，过A作x的垂线，两线交于点G，过作，
即，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点N的横坐标为：，点N的纵坐标为：，即，
∵点N在抛物线上，
∴，
整理得：，
解得：或．
∴m的值为或．
（4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为，
∴，
由（2）可得：，，，
∵，
∴，即点C、D不可能在第一、四象限，
当在第二象限时，
有，解得：；
当在第三象限时，
有，解得该不等式无解；
综上，或．
考点6相似三角形存在问题
26．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为．
(1)求点、的坐标（用含的式子表示）；
(2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值；
(3)若是钝角，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）令，解一元二次方程，即可求解；
（2）作轴，轴，证明，根据，进而根据二次函数的性质，得出时，原式最小取最小值，即可求解；
（3）取的中点，以长为半径作圆，根据当在圆上时，，得出，代入抛物线求得，结合是钝角以及函数图象，即可确定的范围
【详解】（1）解：令，则
，
在左侧
，
（2）解：如图，作轴，轴
轴，轴
，
，
当时，，
∴，
，
直线
是常数
当时，原式最小
（3）解：取的中点，以长为半径作圆
当在圆上时，
，
将代入抛物线表达式
得到
（舍），
是钝角
27．（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上在直线上方一点，连接，当直线把分成面积比为的两部分时，求点P的坐标；
(3)将射线绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿射线方向平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M）．设这两条抛物线的交点为Q．
①求旋转角度的正弦值；
②当时，请直接写出原抛物线平移的距离．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)①，②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，令与的交点为，根据题意分两种情况求解：①当时；②当时，利用同底等高三角形面积比等于高之比，得出点的纵坐标，再代入直线得出点的坐标，从而求出直线的表达式，再求出直线与抛物线的交点坐标，即可得解；
（3）①先求出顶点的坐标，从而得出直线的表达式，过点作交轴于点，过点作于点，则，求出直线的解析式，则，利用等面积法，求出，再根据坐标两点距离公式，求出，即可得出旋转角度的正弦值；
②分别过点、作轴和轴的垂线交于点，根据抛物线沿射线方向平移，设抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，则新的抛物线解析式为，进而得到顶点，再求出两个抛物线的交点，过点作轴于点，过点作的延长线于点，证明，得到，解方程即可得解．
【详解】（1）解：将点和代入得，
，解得：，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：，
令，则，
解得：，，
，
设直线的表达式为，
则，解得：，
直线的表达式为，
令与的交点为，直线把分成面积比为的两部分，
①如图，当时，则，
，
，
令，解得：，
，
设直线表达式为，
则，解得：，
直线的表达式为，
联立，解得：，（舍），
，
点P的坐标为；
②如图，当时，则，
，
，
令，解得：，
，
同法可得，直线的表达式为，
联立，解得：，（舍），
，
点P的坐标为；
综上可知，点P的坐标为或；
（3）解：①，
，
，
同法可得，直线的表达式为，
由旋转的性质可知，为旋转角，
如图，过点作交轴于点，过点作于点，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，，
，
，
，
，
即旋转角度的正弦值；
②如图，分别过点、作轴和轴的垂线交于点，
，，
，，
抛物线沿射线方向平移，
设抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，
新的抛物线解析式为，
，
联立，解得：，
，
如图，过点作轴于点，过点作的延长线于点，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍），
抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，
原抛物线平移的距离为．
28．（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且．
(1)求直线的表达式；
(2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式．
【答案】(1)直线的表达式
(2)抛物线或
【分析】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及待定系数法求解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离，以及梯形的性质，解题的关键是应用分类讨论思想．
（1）根据待定系数法求得抛物线，即可知点，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N，可证明，有，结合两点之间距离求得，利用待定系数法即可求得直线的表达式；
（2）根据题意的，利用待定系数法求得抛物线，则点，联立方程求得点，结合梯形的性质若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F，则点，且，有，两点之间距离公式求得a（当a值接近0时不满足题干要求的梯形字母顺序，故舍去）；若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H，同理可得，点，求得a即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得，
则抛物线，
∴点，
如图，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N，
则，，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
∵点和点，
∴，，
则，解得，
∴点
∴设直线l的解析式为，
∵直线经过点和点N，
∴，
解得
则直线的表达式；
（2）解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线经过、两点，
∴，
解得，
则抛物线，
∵抛物线顶点为，
∴，
联立，
解得，，
则点，
∵四边形是梯形，
∴，或，
①如图，若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F，
则，，点，点，
∴，
∴，
∵点，点，点，点，点，
∴，，，，
则，
解得，（构不成梯形，舍去），
那么，抛物线；
②若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H，
同理可得，点，点，
∴，，，，，
则，
解得，（构不成梯形，舍去），
那么，抛物线．
29．（2026·四川南充·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，点D是上方抛物线上一点，连接交于点E，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标．
(3)如图2，已知点，与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线与抛物线另一个交点为Q，连接、，分别交y轴于M、N．当时，探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)二次函数的解析式为：
(2)点D的坐标为或
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）过点D作于H，根据抛物线的对称性求出，设，根据，得出，则，解方程得，，即可求解；
（3）结合可求直线的解析式，联立直线与抛物线可得，结合与抛物线有唯一交点F，可求出，同法求出直线的解析式为，联立直线与抛物线可得，进而，得出，过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K，证明，得出，进而求出，同理得出，进而求出，即可求解.
【详解】（1）解：由题意可得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：过点D作于H，
抛物线交y轴于点，
∵、B关于直线对称，
∴．
设．
∵，
∴，即
∴
∴，
整理得：，
解得：，，
∴点D的坐标为或．
（3）解：与的数量关系为：．
理由如下：设直线的解析式为：，
把代入可得，，
∴
联立直线与抛物线得，．
∴，
整理得．
∵与抛物线有唯一交点F，
∴．
∵，
∴．
设直线的解析式为：，
把代入可得，，
∴．
联立直线与抛物线得，．
∴，
整理得．
∴，即，
∴，
∴．
过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K，
则，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
同理可得：，
∴，
∴．
30．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F．
①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长；
②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为或
(3)①；②当在之间时，；当在右边时，；当在左边时，，证明见解析
【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于点，利用交点式求解析式即可；
（2）∵先求出直线解析式为，当在轴上方时，点在直线上，
即为直线与抛物线的交点，求出直线解析式与抛物线联立解得；当在轴下方时，由，得到，求出直线解析式与抛物线联立解得；
（3）①在（2）的条件下，点P在x轴下方时，，由，得到，求出直线解析式为，设，过作轴于，过作轴于，先由，得到，再证明，求出，得到，代入直线解析式解得，最后根据求解即可；
②由得到，由可得，再根据当点与、之间的位置关系分情况讨论，得到的关系，即可得到与的关系．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵与y轴交于点C，
∴，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
∵对称轴为直线，
∴直线与对称轴交点坐标为，
∵二次函数的图象与x轴交于点，
∴关于对称轴对称，
∴，
当在轴上方时，
∵，，
∴点在直线上，
即为直线与抛物线的交点，
设直线解析式为，
把，代入得，解得，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
当在轴下方时，
∵，
∴，
∵直线解析式为，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
综上所述，当时，点P的坐标为或；
（3）解：在（2）的条件下，点P在x轴下方时，，
∵，
∴，
∵，
∴设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
∴设，
∵，
∴，
①过作轴于，过作轴于，则，
∵点F恰好与原点O重合，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上任取一点D，直线解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
同理由可得，
当在、之间时，，
∴；
当在右边时，，
∴；
当在左边时，，
∴．
考点7纯代数二次函数问题
31．（2026·山东临沂·一模）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求该二次函数的解析式，并写出其图形的顶点坐标；
(2)若点、在该函数图象上，且，求实数的取值范围；
(3)若当时，该函数的最大值为，最小值为，且满足，求实数的值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)或
(3)或
【分析】（1）使用待定系数法求出函数的解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标；
（2）根据二次函数的图象与性质可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，因此抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，从而得到不等式，求解即可；
（3）分类讨论，当时，随的增大而减小，则，，结合，求出的值；当时，同理，，并求出的值；当时，在顶点处取到最小值，再分为和两类，对应的或，解方程并删去不符合题意的根即可．
【详解】（1）解：将点，代入，得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，
∵，
∴，即，
∴或，
解得或；
（3）解：①当，即时，区间在对称轴的左侧，
∴当时，随的增大而减小，
∴在处，取得最大值，即；在处，取得最小值，即，
∵，
∴，
解得，与题设矛盾，故舍去；
②当时，区间在对称轴的右侧，
∴当时，随的增大而增大，
∴在处，取得最小值，即；在处，取得最大值，即，
∴，
解得，与题设矛盾，故舍去；
③当，即时，此时区间包含对称轴，
∴在处，取得最小值，即，
由（2）可知，离直线越近，函数值越小，
当时，
∵，
∴在处，取得最大值，即，
∴，
解得或（不符题意，舍去）；
当时，
∵。
∴在处，取得最大值，即，
∴，
解得或（不符题意，舍去）；
综上所述，的值或．
32．（2026·山东德州·一模）已知抛物线过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若，当时，的最大值为，求的值；
(3)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当线段随着的增大而减小时，求的取值范围．
【答案】(1)对称轴为
(2)
(3)或
【分析】（1）将已知点代入抛物线解析式求出，再代入对称轴公式 直接计算即可得对称轴；
（2）代入得抛物线顶点式，分情况讨论的最大值和对称轴的位置，代入最大值点解方程并舍去不合理的解即可；
（3）写出、两点坐标求出的绝对值表达式，分两种情况去绝对值，根据二次函数开口和对称轴，找出随增大而减小的的取值范围即可．
【详解】（1）解：把点代入得，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，由（1）可知，则，
∴抛物线的解析式为，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
当，即时，在上，随的增大而减小，
∴当时，取最大值，（舍去），
∴最大值必在时取得，
当，即时，令时，
即，解得，（舍去），
综上可知；
（3）解：由题意知，，
∴，
当，即，
此时或，
，
∵，对称轴为，
∴当时随的增大而减小，
又∵或，
∴，
当，即，此时，
，
∵，对称轴为，
∴当时随的增大而减小，
又∵，
∴，
综上可知，或时，随的增大而减小．
33．（2026·山东德州·一模）已知抛物线（a为常数）经过点．
(1)求a的值．
(2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值．
(3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出对称轴，由题意可知关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可；
（3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线、之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定、的值，进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
解得：；
（2）解：由（1）知：，
∴对称轴为直线，
∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B、C两点，
∴B、C两点关于对称轴对称，B、C的纵坐标均为，
又∵点B为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴代入，得：，
∴；
（3）解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标，
当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间时，、为直线与抛物线的交点，
∴要使最大，则、为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，
又∵直线、之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点时，即： 时，最大，此时另一条直线的解析式为，
如图：
∴当时，
解得：，
即：，，
∴的最大值为：．
34．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图像与x轴有两个公共点，我们将这两个公共点之间的距离记为d．
(1)当，，时．
①______；
②将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像．
i）用含k的代数式表示d；（要求：写出求解过程．）
ii）新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d，求k的值．
(2)下列说法：①当a，b确定时，d随着c的增大而减小；②当a，c确定时，d随着b的增大而减小；③当b，c确定时，d随着a的增大而减小．其中，正确的是______．（填序号）
【答案】(1)①6；②i），ii）
(2)①③
【分析】（1）①由题意易得二次函数的解析式为，然后令得出二次函数与x轴的两个交点坐标，进而问题可求解；
②i）由题意易得平移后的函数解析式为，然后令得出二次函数与x轴的两个交点坐标，进而问题可求解；ii）由题意易得该二次函数的顶点到x轴的距离等于，然后可得新函数的顶点坐标为，进而可得，则问题可求解；
（2）由题意易得，然后根据二次函数与一次函数的图像与性质进行排除选项即可．
【详解】（1）解：①由，，可知：，
∴令时，则有，解得：，
∴二次函数与x轴的两个交点坐标分别为，
∴；
②i）将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像，可得平移后的函数解析式为，
∴令时，则有，解得：，
∴二次函数与x轴的两个交点坐标分别为，
∴；
ii）∵新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d，
∴该二次函数的顶点到x轴的距离等于，
∵，
∴该函数的顶点坐标为，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：令时，则有，解得：，
∴，
①当a，b确定时，则根据可知：令，则可把此函数看作是关于t与c的一次函数，显然t的值随c的增大而减小，根据二次根式的值是随被开方数的增大而增大可知：d随c的增大而减小，故原说法正确；
②当a，c确定时，则根据及二次根式的值是随被开方数的增大而增大可知：d随的增大而增大，故原说法不正确；
③当b，c确定时，则根据可令，则有，
∴当时，则，因为，所以d随t的增大而增大，由于，所以d随a的增大而减小；
当时，则随a的增大而减小，随a的增大而增大，所以的值随a的增大而减小，即d随a的增大而减小，故原说法正确；
综上所述：正确的有①③．
35．（2026·福建南平·二模）二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4．
(1)求a，b应满足的数量关系；
(2)已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有．
①求该二次函数的表达式；
②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有．
【答案】(1)
(2)①；②见解析
【分析】（1）先确定轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为，那么轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为，令，则，即，那么该方程有2个相等的实数根，据此即可求解；
（2）①先确定出抛物线的对称轴为直线，则，那么，再结合即可求解；
②根据二次函数的对称性可得，则，由点在图象上，得到，故，再代入证明即可．
【详解】（1）解：当时，，
∵
∴，抛物线开口向下，
∴抛物线与轴有2个交点，
∴轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为，
∵二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4
∴轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为，
令，则，即
故，
∴；
（2）解：①若，则总有
∴都大于2或者都小于2时，，
而
说明函数在范围内随着的增大而减小，在的范围内，随着的增大而增大，这样才能保证
∴对称轴为直线，
∴，则，
而，
∴，
又
∴解得，
∴抛物线表达式为；
②∵点，均在二次函数的图象上，且纵坐标相同，
∴由二次函数的对称性得这两点关于对称轴直线对称，则，
∴，
∴，
∵点在图象上，
∴，
∴，
等式左边
∴．
1．（湖南郴州市2026年中考第二次模拟监测数学）已知抛物线与抛物线交于，两点．
(1)求b，c的值；
(2)如图1，直线分别与两条抛物线相交，交点从左到右依次为A，B，C，D．设点A，B，C，D的横坐标分别为，，，．求证：；
(3)如图2，当时，直线与两条抛物线分别相交于点M，N，试问四边形的面积是否存在最大值为？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)存在；或
【分析】（1）把，代入即可求解；
（2）由与抛物线相交可得，，可得，，即可证明结论；
（3）由条件可得，再由，可得，可得当时，四边形的面积最大值是，再分在对称轴的左边和右边两种情况即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得，
解得．
（2）证明：由（1）可知，抛物线为，
当时，，即，
∴，
抛物线，当时，，即，
∴，
∴，即．
（3）解：存在．
∵直线与两条抛物线分别相交于点M，N，
∴，，
∴，
如图，过点作于点，设交轴于点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大值是，
∵，
∴四边形的面积存在最大值为，
当时，在对称轴的左边，
∴时，，即，
解得，，
∵，
∴；
当，即时，在对称轴的右边，
∴时，，即，
解得，，
∵，
∴；
综上所述，a的值为或．
2．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且是等腰直角三角形．
(1)求证：；
(2)已知，过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内．
①求抛物线的函数表达式及点P的坐标；
②若直线：过点P，且抛物线在的部分与有公共点，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)①，；②
【分析】（1）先得到，，则只能，由等腰直角三角形得到，结合，得到，即抛物线的对称轴为y轴，；
（2）①由（1）知，，，得到，，代入解方程即可求出解析式；设为抛物线上一点．
依题意，的最小值为．根据勾股定理，，得到当，即时，取得最小值．结合点P位于第一象限，得到．
②代入得到，与抛物线联立得到．根据是方程的一个根，求得．再根据列不等式计算即可；
【详解】（1）证明：∵是直角三角形，
∴，或，或，
如果，则，
此时，但，，，与函数的定义不符，
∴，
同理，，
∴，
∵是直角三角形，
∴，
又∵，所以，即抛物线的对称轴为y轴，
∴；
（2）解：①由（1）知，，，
所以．
因为，所以，
因为C在y轴正半轴上，所以．
又因为，所以解得
所以抛物线的函数表达式为．
设为抛物线第一象限图象上一点．
∵过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内，
∴的最小值为．
根据勾股定理，．
当，即时，取得最小值．
因为点P位于第一象限，所以，所以．
②因为直线过点，
所以，所以．
由（2）知，抛物线的函数表达式为．
由，，得，
整理得，
将代入方程得．
因为直线过点，且在抛物线上，
所以是方程的一个根．
设方程的另一个根为．
因为函数的图象关于直线对称，
所以，
所以．
依题意，，即．
解得．
即实数m的取值范围是．
3．（福建省南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习数学）已知抛物线（m为常数）过点，与x轴交于，点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)命题一：如果，那么；命题二：如果，那么；
判断命题一、二是否正确，若不正确；请举一个反例；若正确，请证明．
【答案】(1)
(2)命题一正确，证明见解析，命题二不正确，反例见解析
【分析】（1）把代入抛物线求出m的值，即可得出答案；
（2）先求出点，再求出直线的解析式为：，过点P作垂直于x轴的直线交于点，得出，， 求出，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：，
所以函数的解析式为；
（2）解：命题一正确；理由如下：
当时，则，
解得：，，
因为抛物线与x轴交于，
所以，
又因为，
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，
所以直线的解析式为：，
由（1）得，抛物线的解析式为：，
又因为点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点，
所以，，
所以
，
线段的长是关于p的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
所以，当时，随p的增大而减小，
所以，当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
如果，则此时，
所以，命题一正确；
命题二不正确；
反例：当时，此时．
4．（2026年四川成都市初中学业水平模拟测试（模拟一））在平面直角坐标系中，已知图象P对应的解析式（其中m为常数），且P经过点．
(1)求P的解析式（整理为y关于x的函数形式，并写出自变量x的取值范围）；
(2)如图，记点，，动点Q在P上，若以A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，且，求所有满足题意的Q点坐标；
(3)设S是直线上一点，过S分别作直线、交P于点、与点、（四个点互不重合），试探究：在点S和两条直线变化的过程中，是否存在？若存在，求出直线与直线的斜率和；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）代入点到P的解析式，求出的值，再将解析式整理为y关于x的函数形式，结合算术平方根的非负性即可写出自变量x的取值范围；
（2）设点Q的坐标为，其中，分两种情况讨论：①当时，过点作轴的垂线交于点，通过证明，得到，进而列出关于的方程，求出的值即可得到一个Q点坐标；②当时，过点作轴的垂线交于点，通过证明，得到，进而列出关于的方程，求出的值即可得到另一个Q点坐标；
（3）设点S的坐标为，利用待定系数法可得直线的解析式为，联立直线与图象P的解析式，整理可得，设点，，利用韦达定理以及一次函数的性质可得，，，，进而得出；设直线的解析式为，同理可得，再根据列出方程，解得或或，再分情况讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：代入点到，得，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴P的解析式为；
（2）解：设点Q的坐标为，其中，
①当时，如图1，过点作轴的垂线交于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，，
∴，
∴，
整理得：，
解得，（舍去），
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
②当时，如图2，过点作轴的垂线交于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，，
∴，
∴，
整理得：，
解得，（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上，点Q的坐标为或；
（3）解：不存在，理由如下：
设点S的坐标为，直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
消去整理得：，
设点，，
则，，，，
∴，
，
∴
，
设直线的解析式为，
同理可得：，
∵，
∴，
即，
解得或或，
当时，点恰好在图象P上，此时点、、、至少有两个点重合，不符合题意；
当时，直线与重合，此时点、与点、重合，不符合题意；
当时，不妨假设，，
∴直线中随着的增大而减小，
∵图象P：，
∴图象P中随着的增大而增大，
∴直线与图象P最多有1个交点，不符合题意；
综上，在点S和两条直线变化的过程中，不存在．
5．（2026·河北保定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q．
(1)求抛物线的对称轴及顶点P的坐标；
(2)若抛物线与关于直线对称，求m的值；
(3)若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围；
(4)连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标．
【答案】(1)对称轴为直线，顶点P的坐标为
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接利用二次函数 的顶点坐标公式得出对称轴方程及顶点 的坐标．
（2）先求出原抛物线的顶点坐标，求出变换后抛物线的顶点坐标，再根据两点关于直线 对称，得出结论．
（3）先利用抛物线与直线交点的横坐标差来表示线段长度．根据 的长度范围，建立关于 的不等式．
（4）过点 作垂线，构造矩形．结合 及角度关系，推导出边角关系（）．再设 点坐标，利用几何关系表示相关线段．将 点坐标代入抛物线解析式，解一元二次方程，舍去不符合题意的解，得出最终坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，顶点P的坐标为．
（2）解：∵抛物线与关于直线对称，且抛物线，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
由（1）得抛物线的顶点坐标为，
∵点与点是关于的对称点，
∴．
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵抛物线与直线交于点C和D，且点C在点D的左侧，
∴当时，，，
∴，，
将点代入中，解得，
当时，，，
∴，．
将点代入中，解得，
∴．
（4）解：点E的坐标为．
如解图，连接交x轴于点F，
过点E分别作于点G，轴于点H，
∴．
∵抛物线，的对称轴均为直线，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵抛物线，
∴．
∵当时，，解得，，
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，，
∴，
∴，
∴点E的坐标是．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵点E在抛物线上，
∴，
整理可得．
∵，
∴，
∴，
整理可得，解得（不符合题意，舍去），，
∴，，
∴点E的坐标是．
【点睛】解题关键：1．数形结合：第(2)、(3)问将几何变换（对称）和几何量（线段长）转化为代数运算（中点公式、解方程/不等式）．
2．方程思想（设参法）：第(4)问是典型难点，核心在于“设点求线”．通过设点 的坐标，利用（垂直、相似）转化线段关系，将线段用参数表示，最后代回解析式建立方程求解．
6．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点，，与y轴交于点C，抛物线：（）经过A，B两点，与y轴交于点D．
(1)求m与n的值；
(2)若抛物线的顶点为E，连接，当直线恰好经过点C时，求b的值；
(3)点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作垂直于x轴的直线，分别交抛物线，于点M，N，且M是的中点．
①求的最大值；
②设，，若实数d满足关于t的方程在内有实数根，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)①的最大值是2；②
【分析】（1）将，代入求解；
（2）首先求出，得到直线的解析式为，求出，然后利用待定系数法求解；
（3）①首先求出抛物线的顶点坐标为，得到的最大值是2，然后结合M是的中点求解即可；
②根据题意得到点，点，点，然后根据点M是的中点求出，得到，然后表示出d，得到当时，，然后利用判别式求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线：与x轴交于点，，
∴
解得；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
∵抛物线：与y轴交于点C，当时，
∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得
∴直线的解析式为，
∵抛物线：（）经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴设点，
∵点E在直线上，
∴，
∴
∴设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴；
（3）解：①∵抛物线：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴的最大值是2，
∵点M是的中点，
∴的最大值是2；
②∵设，，
∴点，点，
∵抛物线：（）经过点，，
∴抛物线的解析式为，
∴点，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴当或时，，
∴当时，，
∵关于t的方程，即，在内有实数根，
∴，
解得，
∴d的取值范围为．
7．（2026·湖北孝感·一模）已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点．
(1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____．
(2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若，
①求此时点坐标；
②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____．
(3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为；
①求的值；
②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____．
【答案】(1)，
(2)①；②
(3)①；②
【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解；
（2）①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明得出，求得直线的解析式为；设，则，，分别表示出，根据建立方程，解方程，即可求解；
②如图，取点，作射线，过点作，连接，过点作轴并延长交于点，得出，则，再解直角三角形，即可求解；
（3）①如图，在上截取，在轴上取点，则，根据中位线的性质可得，。证明得出，则，进而勾股定理求得，即可求解；
②过点作轴交于点，设，则，，根据三角形的面积公式得出，结合①的结论可得，则，解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴抛物线的顶点E的坐标为；
（2）解：①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
解得：，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，代入，得
，
解得：，
∴直线的解析式为；
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴的坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
当在对称轴右侧抛物线上，
∴，
当时，，则，
综上所述，；
②如图，取点，作射线，过点作，连接，，过点作轴并延长交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，的最小值为的长，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图，在上截取，在轴上取点，则，
∴，
∴，
在射线上取一点，使得，连接，
又∵，
∴，
∴，
∴，
当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
在中，，
∴；
②设的面积记为，
如图，过点作轴交于点，
设，则，
，
∵为抛物线上第四象限的一动点，；
∴的横坐标，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
8．（2026·辽宁大连·二模）定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）．
(1)判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由；
(2)求二次函数的解析式；
(3)点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m．
①求证：点Q是线段的中点；
②当时，求线段的最大值．
(4)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围．
【答案】(1)二次函数是“双正二次函数”，理由见解析
(2)
(3)①见解析；②5
(4)
【分析】（1）求出二次函数的顶点A的坐标，再判断点A是否在直线上，即可求解；
（2）求出点B的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）①用m表示出点M，N，Q的坐标，可得到的长，即可解答；②用m表示出的长度，再结合二次函数的性质解答即可；
（4）根据题意可得当时，二次函数的最大值为12，可得到当时，函数的最大值为22，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：二次函数是“双正二次函数”，理由如下：
∵，
∴点A的坐标为，
对于，当时，，
∴点A在直线上，即二次函数是“双正二次函数”；
（2）解：∵，
∴该函数图象的顶点坐标为点，
∵二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A，
∴，解得：或（舍去），
∴二次函数的解析式为；
（3）解：①∵点M的横坐标为m，
∴点，
∵轴，
∴点，，
∴，，
∴，即点Q是线段的中点；
②
当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，当时，随m的增大而减小，
∵当时，，当时，，当时，，
∴当时，线段的最大值为5；
（4）解：如图，
由（2）得二次函数的图象的顶点坐标为，
即当时，二次函数的最大值为12，
对于，当时，y随x的增大而减小，
当时，，
∴当时，函数的最大值为22，
∵函数的最大值为，
∴，即，
∴此时函数的最小值为，
对于，当时，
，解得：，
∴，即，
∴n的取值范围为．
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