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题号猜押09 中考数学19题简单几何证明（解答题）
考点1 全等三角形
1．（2026·福建泉州·三模）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，．求证：．
2．（2026·云南大理·一模）如图，已知，，．求证：．
3．（2026·广西南宁·模拟预测）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
4．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：．
5．（2026·云南红河·一模）如图，已知平分．求证：
6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，．点在上，且，过点作于点，，求证：．
7．（2026·陕西渭南·一模）如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：．
8．（2026·湖北孝感·一模）如图，在中，，D，E分别是，边的中点，连接，．求证：．
9．（2026·云南·一模）如图，在中，是边上的中线，是射线上的两点，且．
求证：．
10．（2026·四川南充·一模）已知：如图，相交于点O，，．
求证：．
考点2 相似三角形
11．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，点D是边上一点，连接，，，求证：．
12．（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
13．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，．
(1)求证：．
(2)若点E为中点，，若，求的长．
14．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，于点，为边上的中线．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求点到的距离．
15．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在和中，已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
16．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
17．（2026·广东汕头·模拟预测）如图，在中，，于D，若，求．
18．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：．
19．（2026·广东广州·模拟预测）如图，点，是中边上的点，．
(1)求证：
(2)若、，，求的长．
20．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在和中，．
(1)求证：∽；
(2)若，求的长．
考点3 尺规作图角平分线
21．（2026·广西防城港·一模）如图，在中，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交，于点，，再以点和为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．②分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．
根据以上作图、回答下列问题．
(1)说明和的位置关系．
(2)若，，，求线段的长．
22．（2026·山东枣庄·一模）如图，已知线段，，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交直线于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点O，画射线交直线于点M．
(1)求的度数
(2)求点M到射线的距离
23．（2026·山东济宁·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，以点C为圆心，以的长为半径作弧，交边于点E．
(1)求的度数；
(2)若，求由线段，和围成的图形的面积．
24．（2026·山东济宁·一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，求的长．
25．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，．
(1)观察尺规作图的痕迹可以发现，是的_____，直线是线段的_____．（填序号）
①高线；②角平分线；③垂直平分线；④中线．
(2)在（1）所作的图中，求的度数．
26．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．连接并延长交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求的面积．
27．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，点E在上，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，连结并延长，交于点．
(1)求证：．
(2)当时，判断四边形的形状，并说明理由．
28．（2026·广西贵港·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，求的周长．
29．（2025·宁夏·模拟预测）如图，点在直线外．
①在直线上任取一点，连接；
②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；
③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；
④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
⑤连接．
(1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．
(2)求证：四边形是菱形．
30．（2025·浙江台州·二模）如图，在中，，且．
任务①：请小明作的平分线；任务②：请小红作边上的高线；
小明的作法如图①：分别以B，C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点D，则为的平分线；
小红的作法如图②：以B为圆心，长为半径画弧，交于点N，再分别以N，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E；则为边上的高线．
(1)判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法________；②小红的作法________；
(2)请从（1）中任选一项判断说明理由．
考点4 尺规作图垂线
31．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，D，E分别为的中点．M是上一定点，按以下步骤尺规作图：
①以点D为圆心，为半径作弧，交于另一点N；
②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线，交于点F，点G在的延长线上，且．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，，求的长．
32．（2026·浙江台州·模拟预测）小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，以，为边作．
小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求．
小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求．
(1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小吴的作法______；②小李的作法______．
(2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程）
33．（2025·浙江宁波·三模）如图，在中，，利用尺规以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．
(1)求证：．
(2)求的长．
34．（2025·浙江衢州·一模）小明研究一道尺规作图题：作一边上的高线．他的作法如下：如图，在中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线．
(1)你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
(2)若，，，求的面积．
35．（2024·湖南长沙·二模）在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．
已知：直线及其外一点．求作：的垂线，使它经过点．小华同学按下列步骤作图（如图）：
①任取一点，使点和点在直线的两旁；
②以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和；
③分别以点，为圆心，线段的长度为半径作弧，两弧相交于点；
④作直线，直线即为所求．
(1)证明：直线；
(2)若点到直线的距离为，，求四边形的面积．
36．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下：
①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点；
②作直线交于点，连接；
③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接．
(1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据；
(2)若，，，求四边形的面积．
37．（2026·湖南长沙·模拟预测）老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图．
求作：边上的高．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：①延长线段 ；
②以点A为圆心，长为半径作弧交的延长线于点D；
③分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方交于点E；
④连接，交于点M．
如图所示，所以线段就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成问题：
将该作图证明过程补充完整：
由②可得： ．
由③可得： ．
∴ （ ）．（填推理的依据）
即是边上的 线．
38．（2025·山东临沂·一模）如图1，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点．作射线，过点作，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若，连接，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交的延长线于点．连接，交于点．求的值．
39．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的周长．
40．（2024·河南开封·一模）如图所示是小华完成的尺规作图题，已知：矩形 ．
作法：①分别以点为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点；
②作直线 ；
③以点 为圆心，以 长为半径作弧，交直线 于点， 连接 ．
根据小华的尺规作图步骤，解决下列问题．
(1)填空： ．
(2)过点 作 ， 交直线于点．
①求证：四边形 是平行四边形；
②请直接写出平行四边形的面积和矩形 的面积的数量关系．
考点5 平行四边形
41．（2026·湖北随州·一模）如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：．
42．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，点是上一点，于，．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
43．（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：．
(2)若，且，求的长．
44．（2026·重庆江津·模拟预测）如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且．
(1)求证：；
(2)若，说明四边形为菱形．
45．（2026·山东济南·一模）如图，在中，点E，F分别在和上，且．求证：．
46．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若是等边三角形，且，求的长．
47．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，四边形的对角线与相交于点，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
48．（2026·贵州六盘水·模拟预测）如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F．
(1)求证：；
(2)如果，求的长．
49．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接．
(1)求证：；
(2)已知，．若，求的面积．
50．（2025·吉林·模拟预测）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，．
(1)求证：．
(2)当，时，求的长．
考点6 圆
51．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点．
(1)求证：为的中点；
(2)若，，求．

52．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
53．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
54．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长．
55．（2025·广西·模拟预测）如图，已知是的直径，点在上，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
56．（2025·安徽滁州·一模）如图，点，在以为直径的上，且，经过点的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
57．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，当，时，求的长．
58．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，在以为直径的半圆中，M是的中点，C是上的点，的延长线相交于点D，连接．

(1)求证：平分；
(2)若平分，则的大小为________度．
59．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在等腰中，，以为直径作，分别交边于点D、E，过点O作于点F，过点B作的切线交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若的直径为24，，求的长．
60．（2026·安徽芜湖·模拟预测）如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求阴影部分的面积．
1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：．
2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，．求证：．
3．（2026·吉林·一模）如图，平分，，求证．
4．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：．
5．（2026·山东济南·一模）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接．
求证：．
6．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：．
7．（2022·山东济南·二模）如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：．
8．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，，求证：．
9．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，点是内部一点，连接，平分，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
10．（22-23九年级上·浙江杭州·月考）如图，是的直径，弦于点E，连结．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
11．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，．
(1)求证：；
(2)猜想与的位置关系，并说明理由．
．
12．（2018·辽宁抚顺·模拟预测）如图，是的弦，半径，分别交于点，，且，求证：．
13．（2018·湖北武汉·一模）如图，是的外接圆，为直径，交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求．
14．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，内接于，平分交于D点，交于点E，连接．
(1)写出一个与相等的角______．
(2)若平分交于点F，求证：．
(3)在（2）的条件下，连接，若．且，求的长．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)题号猜押09 中考数学19题简单几何证明（解答题）
考点1 全等三角形
1．（2026·福建泉州·三模）如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先得出，，再证出即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
2．（2026·云南大理·一模）如图，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先证明，进而证明，进而得出结论．
【详解】证明：，
，
即，
在和中，
，
，
．
3．（2026·广西南宁·模拟预测）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论；
（2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴．
4．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得，再根据即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
5．（2026·云南红河·一模）如图，已知平分．求证：
【答案】见解析
【分析】首先根据角平分线的定义得到，再利用定理便可证明其全等．
【详解】证明：平分，
，
在和中，
．
6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，．点在上，且，过点作于点，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明后，利用全等三角形的性质即可得到．
【详解】证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
．
7．（2026·陕西渭南·一模）如图，在等边中，D、E分别为、延长线上一点，且满足，连接、，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据等边三角形的性质得到，进而得到，利用判定定理证明，从而得出结论．
【详解】证明：在等边中，
，，
，
在和中，
，
，
．
8．（2026·湖北孝感·一模）如图，在中，，D，E分别是，边的中点，连接，．求证：．
【答案】见解析
【分析】证明即可．
【详解】证明：∵，分别是，边的中点，
∴，，
∵，
．
在和中，
，
∴，
．
9．（2026·云南·一模）如图，在中，是边上的中线，是射线上的两点，且．
求证：．
【答案】见解析
【分析】先由三角形中线的定义得到，再由平行线的性质得到，，由此证明．
【详解】证明：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，，
∴．
10．（2026·四川南充·一模）已知：如图，相交于点O，，．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意可证明，继而利用全等性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：在和中，
．
．
．
考点2 相似三角形
11．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，点D是边上一点，连接，，，求证：．
【答案】详见解析
【分析】先计算出，再由即可判定出，进而即可得解．
【详解】证明：∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
12．（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键：
（1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∴，即，
∴．
13．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，．
(1)求证：．
(2)若点E为中点，，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键．
（1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可；
（2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵点E为中点，，
∴，
∵，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
解得：，
∴．
14．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，于点，为边上的中线．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求点到的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，进而得到，再根据求解即可；
（2）易得，设，则，证明，进而得到，从而求出的长，再根据勾股定理求出的长，利用求解即可．
【详解】（1）解：，
，
为边上的中线，
，
，
，
，
、，
；
（2）解：由（1）知，
，
设，则，
、，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
，
即点到的距离为．
15．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在和中，已知，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质：
（1）根据题意得，根据两角相等即可判定相似；
（2）根据面积比等于相似比的平方即可得，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
∵．
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，且，
∴，
∵，
∴．
16．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，D为上一点，E为上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】对于本题重点，掌握相似三角形的判定定理1，以及相似三角形的对应边成比例的性质．
（1）根据两角对应相等，两三角形相似证明即可；
（2）根据得到，然后求出，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，
，
；
（2）解：在（1）中已证明，
，
，，，
，
．
17．（2026·广东汕头·模拟预测）如图，在中，，于D，若，求．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
易证得，进而证得，根据相似三角形的性质得到，设、，进而求出，根据勾股定理求出的长，利用求解即可．
【详解】解：，
，
在中，，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
，
设、，
，
在中，由勾股定理得：，
．
18．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论．
【详解】证明：∵，，
∴．
19．（2026·广东广州·模拟预测）如图，点，是中边上的点，．
(1)求证：
(2)若、，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
（1）根据得到对应角相等，从而证明所求的两三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质，得到比例式，代入数据即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵、，，
∴，
∴．
20．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在和中，．
(1)求证：∽；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据相似三角形的性质解题即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
∴，
又，
∴∽；
（2）解：由（1）知，∽，
又∵，
∴，
∴，
解得．
考点3 尺规作图角平分线
21．（2026·广西防城港·一模）如图，在中，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交，于点，，再以点和为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．②分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．
根据以上作图、回答下列问题．
(1)说明和的位置关系．
(2)若，，，求线段的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据作法得平分，垂直平分，连接，根据角平分线的定义得出，根据垂直平分线的性质得出，根据平行线的判定定理得出；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：由作法得平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
解得，经检验，符合题意，
∴，
∴，
解得，经检验，符合题意.
22．（2026·山东枣庄·一模）如图，已知线段，，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交直线于D；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点O，画射线交直线于点M．
(1)求的度数
(2)求点M到射线的距离
【答案】(1)；
(2)点M到射线的距离为．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线和角平分线的作法可知：是线段的垂直平分线，是的平分线，利用三角形的外角性质求解；
（2）解直角三角形求得，再利用角平分线的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
根据题意可知：是线段的垂直平分线，是的平分线，
∵，
∴，，
∴；
（2）根据题意可知：是线段的垂直平分线，是的平分线，
∵，，
∴，，
∴，
∵是的平分线，，
∴点M到射线的距离为．
23．（2026·山东济宁·一模）如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M和点N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P．连接并延长交于点D，以点C为圆心，以的长为半径作弧，交边于点E．
(1)求的度数；
(2)若，求由线段，和围成的图形的面积．
【答案】(1)
(2)所求图形面积为
【分析】（1）结合已知条件利用三角形内角和定理求出的度数，再由作图可得平分，得到，最后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）利用解含30度的直角三角形得到，结合已知条件利用勾股定理求得的长度，由可得出，最后利用三角形面积公式和扇形面积公式即可得解．
【详解】（1）解：在中，，，
，
由作图可得平分，
，
，，
．
（2）解：在中，，，
，
，
，
，
，
，
∴所求图形面积．
24．（2026·山东济宁·一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，求的长．
【答案】2
【分析】由矩形的性质得到，，，则由勾股定理可得，证明，得到，证明，得到，据此代入数值求解即可．
【详解】解：矩形中，，，
，，，
，
由作图过程知平分，则，
，
，
又，
，
，
∴，
，
，
，即，
．
25．（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，．
(1)观察尺规作图的痕迹可以发现，是的_____，直线是线段的_____．（填序号）
①高线；②角平分线；③垂直平分线；④中线．
(2)在（1）所作的图中，求的度数．
【答案】(1)②；③
(2)
【分析】（1）根据作图痕迹判断即可；
（2）根据题意可得，，再利用三角形内角和求角即可．
【详解】（1）解：根据题意，是的角平分线，直线是线段的垂直平分线；
（2）解：是的角平分线，
，
直线是线段的垂直平分线，
，
，
又，
，
，
．
26．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．连接并延长交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的作图，勾股定理，三角形的面积，三角形的外角，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上知识，进行解答，即可．
（1）由作图过程可得，平分，根据三角形的内角和，求出，根据三角形的外角，则，即可；
（2）根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，再根据，即可．
【详解】（1）解：由作图过程可得，平分，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
27．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，点E在上，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，连结并延长，交于点．
(1)求证：．
(2)当时，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)是菱形，理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）根据题意可得：，平分，从而可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答；
（2）先利用等腰三角形的性质可得，，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用（1）的结论和等量代换可得：，即可解答．
【详解】（1）证明：由题意得，平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形．
28．（2026·广西贵港·模拟预测）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，根据全等三角形的判定和性质定理以及角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
【点睛】本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
29．（2025·宁夏·模拟预测）如图，点在直线外．
①在直线上任取一点，连接；
②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；
③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；
④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
⑤连接．
(1)由②得与的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．
(2)求证：四边形是菱形．
【答案】(1)；射线平分
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图——基本作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系，利用“四边相等的四边形是菱形”进行判定．
（1）根据步骤②中“以点A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B”，直接得出与的数量关系；步骤③是作角平分线的尺规作图方法，据此得出射线的性质．
（2）利用尺规作图得到相等线段和角度，可证，结合菱形的判定定理“四边相等的四边形是菱形”进行证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，
∴，
∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法，
∴射线平分．
故答案为：；射线平分．
（2）证明：∵以点A为圆心，长为半径画弧，交直线l于点B，
∴，
∵射线平分，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
又∵以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
30．（2025·浙江台州·二模）如图，在中，，且．
任务①：请小明作的平分线；任务②：请小红作边上的高线；
小明的作法如图①：分别以B，C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点D，则为的平分线；
小红的作法如图②：以B为圆心，长为半径画弧，交于点N，再分别以N，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点E；则为边上的高线．
(1)判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法________；②小红的作法________；
(2)请从（1）中任选一项判断说明理由．
【答案】(1)正确；正确
(2)见解析
【分析】此题考查了尺规作图，菱形的性质和判定，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）他们的作图方法都是正确的；
（2）①小明的作法：连接，，证明四边形菱形，即可证明平分；
②小红的作法：连接，，，证明是线段的垂直平分线，即可证明为边上的高线．
【详解】（1）解：他们的作图方法都是正确的，
故答案为：正确；正确；
（2）解：①小明的作法：
连接，，
由作图知，，
∵，
∴四边形是菱形，
∴平分；
②小红的作法：
连接，，，
由作图知，，，
∴是线段的垂直平分线，
∴为边上的高线．
考点4 尺规作图垂线
31．（2026·贵州遵义·一模）如图，在中，D，E分别为的中点．M是上一定点，按以下步骤尺规作图：
①以点D为圆心，为半径作弧，交于另一点N；
②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；
③作射线，交于点F，点G在的延长线上，且．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见详解；
(2)1
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据作图痕迹可知：，进而即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质和矩形的性质得，结合中位线的性质可得，进而即可求解
【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点，
∴，即，
∵．
∴四边形是平行四边形，
∵根据作图可知：，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵D，E分别为的中点，
∴，
∴．
32．（2026·浙江台州·模拟预测）小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，以，为边作．
小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求．
小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求．
(1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）
①小吴的作法______；②小李的作法______．
(2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程）
【答案】(1)正确；正确
(2)见解析
【分析】本题考查基本尺规作图、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解答的关键．
（1）根据基本作图信息，以及平行四边形的判定定理可得结论①和②；
（2）选择①：根据两组对边相等的四边形是平行四边形可判断；
选择②：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断．
【详解】（1）解：①小吴的作法正确；②小李的作法正确．
故答案为：正确；正确．
（2）解：选择①：
由作图知，，
∴四边形为平行四边形．
故小吴的作法正确；
选择②：
由作图知，，垂直平分，
∴，
∴四边形为平行四边形．
故小李的作法正确．
33．（2025·浙江宁波·三模）如图，在中，，利用尺规以点为圆心，线段的长为半径作弧，交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交边于点．
(1)求证：．
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作垂线，线段垂直平分线的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）连接，，，根据线段垂直平分线的判定得出点A、E在线段的垂直平分线上，得出垂直平分，即可得出答案；
（2）设，则，根据勾股定理得出，求出，根据求出结果即可．
【详解】（1）证明：连接，，，如图所示：
根据作图可知：，，
∴点A、E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴根据勾股定理得：，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
34．（2025·浙江衢州·一模）小明研究一道尺规作图题：作一边上的高线．他的作法如下：如图，在中，，以为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以、为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点，则为边上的高线．
(1)你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)同意，证明见解析
(2)9
【分析】本题考查尺规作图—作线段，作垂线，中垂线的判定，勾股定理：
（1）根据作图可知：，进而得到垂直平分，即可得证；
（2）勾股定理求出，再利用勾股定理求出，进而求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：同意，证明如下：
连接，
由作图可知：，
∴垂直平分，
∴，即：为边上的高线．
（2）由（1）知：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
35．（2024·湖南长沙·二模）在数学课上，老师提出如下问题，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．
已知：直线及其外一点．求作：的垂线，使它经过点．小华同学按下列步骤作图（如图）：
①任取一点，使点和点在直线的两旁；
②以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点和；
③分别以点，为圆心，线段的长度为半径作弧，两弧相交于点；
④作直线，直线即为所求．
(1)证明：直线；
(2)若点到直线的距离为，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查作图 基本作图，也考查了菱形的判定与性质，勾股定理，
（1）利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的性质得到结论；
（2）设与相交于点，运用正切的定义求出，根据菱形的性质得到，，即可求出面积；
熟练掌握基本作图、菱形的判定和性质及锐角三角函数定义是解题的关键．
【详解】（1）证明：由作法得，
∴四边形为菱形，
∴，即直线；
（2）解：如图，设与相交于点，则，
∵四边形为菱形，，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
36．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，已知：，尺规作图得四边形．作图步骤如下：
①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点；
②作直线交于点，连接；
③以为圆心，的长为半径作弧，交直线于点，连接．
(1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断依据；
(2)若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)菱形，四边相等的四边形是菱形
(2)四边形的面积为．
【分析】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识．
（1）根据作图得到垂直平分， 然后得到，即可求解；
（2）首先根据题意得到，再利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据作图可得，垂直平分，
∴，，
∵由作图得，，
∴，
∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等的四边形是菱形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
37．（2026·湖南长沙·模拟预测）老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图．
求作：边上的高．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：①延长线段 ；
②以点A为圆心，长为半径作弧交的延长线于点D；
③分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方交于点E；
④连接，交于点M．
如图所示，所以线段就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成问题：
将该作图证明过程补充完整：
由②可得： ．
由③可得： ．
∴ （ ）．（填推理的依据）
即是边上的 线．
【答案】；；；是的垂直平分线；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；垂
【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定，基本作图，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明即可．
【详解】解：如图，根据题中作法作图即可得；
由②可得：，（均为圆的半径）
由③可得：，（相同圆的半径）
∴是的垂直平分线（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
即是边上的垂线．
38．（2025·山东临沂·一模）如图1，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点．作射线，过点作，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若，连接，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，．作直线，交的延长线于点．连接，交于点．求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线和平行线证明即可；
（2）先证明是等边三角形，设，然后求出的长，再证即可求出的值．
【详解】（1）解：由题意知平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是等腰三角形；
（2）解：由题意知垂直平分，
∴．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
∵，设，
∴．
∴．
由（1）知，，，
∴，．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图：作角平分线，作线段的垂直平分线，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等边三解形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解尺规作图的原理是解本题的关键．
39．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的周长为．
【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由作图可知，垂直平分，由性质得，再根据等边对等角得，又四边形是平行四边形，则，通过平行线的性质可得，所以，从而得证；
（）由四边形是平行四边形，可知，，然后由垂直平分线的性质可得，最后通过周长即可求解．
【详解】（1）证明：由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
，
∴的周长为．
40．（2024·河南开封·一模）如图所示是小华完成的尺规作图题，已知：矩形 ．
作法：①分别以点为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点；
②作直线 ；
③以点 为圆心，以 长为半径作弧，交直线 于点， 连接 ．
根据小华的尺规作图步骤，解决下列问题．
(1)填空： ．
(2)过点 作 ， 交直线于点．
①求证：四边形 是平行四边形；
②请直接写出平行四边形的面积和矩形 的面积的数量关系．
【答案】(1)
(2)①证明过程见详解；②
【分析】（1）根据尺规作图，垂直平分线的性质，可判定是等边三角形，由此即可求解；
（2）①根据题意可得，，结合，根据平行四边形的判定即可求解；②根据平行四边形，矩形的面积计算方法，即可求解．
【详解】（1）解：根据作图可得，是线段的垂直平分线，，
∴，
∴，即是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
①∵是的垂直平分线，
∴，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形；
②如图所示，设与交于点，
∴，
∴平行四边形的面积为，
矩形的面积为，
∴．
【点睛】本题主要考查尺规作垂线，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质的综合，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键．
考点5 平行四边形
41．（2026·湖北随州·一模）如图，是的对角线，于点E，于点F，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而得到，可证明，即可求证．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
42．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，点是上一点，于，．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，进一步即可得到结论；
（2）根据线段的和差计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，，
∴．
43．（2026·浙江台州·模拟预测）如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F．
(1)求证：．
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，再结合菱形的性质即可证明；
（2）先证明是直角三角形，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵菱形，
∴，
∴，
又∵E是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵ 四边形是菱形，，
∴，
∴在中， ．
44．（2026·重庆江津·模拟预测）如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且．
(1)求证：；
(2)若，说明四边形为菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）证明：由（1）得：四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形．
45．（2026·山东济南·一模）如图，在中，点E，F分别在和上，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质证明即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
．
46．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若是等边三角形，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质．
（1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可；
（2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解．
【详解】（1）解：∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，四边形是平行四边形，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
47．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，四边形的对角线与相交于点，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长是3
【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键；
（1）先判定四边形是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分得出, ，再由两边及夹角对应相等的两个三角形全等得出结论；
（2）由可得平行四边形是矩形．由此得出，进而得出，由此求出三角形周长.
【详解】（1）证明：在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形．
∴, ．
又∵，
∴．
（2）解：∵，四边形是平行四边形．
∴平行四边形是矩形．
∴．即．
∴，
即的周长是3．
48．（2026·贵州六盘水·模拟预测）如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F．
(1)求证：；
(2)如果，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长是
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明全等、利用勾股定理建立方程是解题的关键．
（1）由矩形的性质及已知，得；由平行线的性质得，结合，利用即可证明全等；
（2）设，则；由（1）知，从而可得．在中，由勾股定理建立方程即可求解．
【详解】（1）证明：在矩形中，，
∵，
∴，
∵，点E在上，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：设，则，
由（1）知：，
∴．
在中， ，
∴，
解得：，
∴．
即的长是．
49．（2026·重庆·模拟预测）如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接．
(1)求证：；
(2)已知，．若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)的面积为．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质进行证明即可；
（2）根据题意得出，利用勾股定理求得，再利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴的面积．
50．（2025·吉林·模拟预测）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，．
(1)求证：．
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据矩形得到，再结合已知条件由即可证明全等；
（2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
考点6 圆
51．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是的直径，点，是直径上方半圆上两点，且，与交于点．
(1)求证：为的中点；
(2)若，，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查圆的知识，垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握以上定理，进行解答，即可．
（1）根据直径所对的圆周角是直角，得，根据平行线是性质，可得， 根据垂径定理，即可；
（2）根据三角形的中位线，则，根据，求出，根据勾股定理求出，即可．
【详解】（1）∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点；
（2）解：为的中点，为的中点，
，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
52．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，内接于，是的直径，过点作交于点，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识点是关键；
（1）由直径所对的圆周角是直角及平行线的性质得，由垂径定理即可证明；
（2）由三角形中位线定理即可求解．
【详解】（1）证明：因为是的直径，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以．
（2）解：由（1）得，
所以点是的中点，
因为点是的中点，
所以是的中位线，
因为，所以，
因为，所以，
所以．
53．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)7.5
【分析】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，角平分线的证明，相似三角形的性质和判定，
对于（1），根据切线的性质说明，可得，再根据“等边对等角”得，进而得出，则答案可得；
对于（2），先证明，可得，即可求出，再根据勾股定理求出答案．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，根据勾股定理，得
，
解得，
所以的半径是7.5．
54．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图，为半圆O的直径，C为圆弧上一点，过点C的直线与的延长线交于点E，于点D，平分．
(1)求证：是半圆O的切线；
(2)若，B为的中点，，垂足为点F，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形．熟练掌握证明切线的方法并使用面积相等法是解决本题的关键．
（1）根据平行线的判定可得，再根据垂直即可证明；
（2）先根据边长结合勾股定理可求解的长度，再由面积相等法即可求解．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆O的半径，
∴是半圆O的切线．
（2）解：∵，，
∴，，
∵在中，，.
∴，
，
即，
解得．
55．（2025·广西·模拟预测）如图，已知是的直径，点在上，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据已知条件利用证明全等即可；
（2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求．
【详解】（1）证明：的半径为，
，
，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
56．（2025·安徽滁州·一模）如图，点，在以为直径的上，且，经过点的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，通过圆的切线的性质，得，结合可得，进而得∥，即可求解；
（2）由（1）得∥，证得，通过相似三角形的性质得，结合题意，求得与的值，再通过勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接．
与相切，
．
，
，
，
，
，
∥，
，
．
（2）解：由（1）得，
，
，
，，
，解得，
．
在中，，
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理和推论，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题关键．
57．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可．
（1）连接,可得是的直径，推出；根据，可得，进而得，即可求证；
（2）设与交于点F，可推出，得到，，证得即可求解；
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
为的半径，
是的切线；
（2）解：设与交于点F，
由（1）知：，
∵，
，
，，
在中，，
是直径，
，
，
58．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，在以为直径的半圆中，M是的中点，C是上的点，的延长线相交于点D，连接．

(1)求证：平分；
(2)若平分，则的大小为________度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握“直径所对的圆周角为直角”，“同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等”．
（1）连接，根据点M半圆的中点，易得，再计算得出即可求解；
（2）由（1）可知，利用直角三角形两锐角互余，即可求解．
【详解】（1）解：连接，

∵为直径，
∴，
∴，
∵点M半圆的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴故答案为：．
59．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在等腰中，，以为直径作，分别交边于点D、E，过点O作于点F，过点B作的切线交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若的直径为24，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，切线的性质以及平行线的判定和性质进行解答即可；
（2）根据直角三角形的边角关系，锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．
本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法和性质，等腰三角形的性质以及勾股定理是正确解答的关键．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，，
，，
，
是的切线，点是切点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：在中，，，
，
在中，，
，
，
，
．
60．（2026·安徽芜湖·模拟预测）如图，在中，，以为直径的⊙O分别与、交于点D、E，过点D作于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可；
（2）连接，，过O作于M，求出、的长和的度数，分别求出和扇形的面积，即可求出答案；
【详解】（1）证明：连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过点O，
∴是的切线．
（2）连接，过O作于M，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定以及性质，三角形内角和定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积等知识点，正确作出辅佐线是解题的关键．
1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据角平分线的性质得到，证明，从而得出结论．
【详解】证明：平分，
，
在和中，
，
，
．
2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，．求证：．
【答案】见解析
【分析】证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
3．（2026·吉林·一模）如图，平分，，求证．
【答案】见解析
【分析】根据平分得到，证明，即可证明．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
4．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，在平行四边形中，、是对角线上的两点，且，求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】根据平行四边形的性质，结合平行线的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
5．（2026·山东济南·一模）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接．
求证：．
【答案】见解析
【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴，
∵在与中
∴，
∴，
∴．
6．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质证明即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
．
7．（2022·山东济南·二模）如图，矩形中，点在上，，且，垂足为．证明：．
【答案】见解析
【分析】利用矩形的性质结合证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】证明：在矩形中，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
8．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先根据矩形的性质得，再证明与全等，由此可证．
【详解】证明：∵四边形为矩形，
∴，，
∵，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
9．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，点是内部一点，连接，平分，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，据此即可求解．
（1）根据平分，推出；根据，推出；结合即可求证；
（2）设，，则，，，推出，即可求解；
【详解】（1）证明：平分，
；
由题意得：，
，
由圆周角定理得：，
，
．
（2）解：设，，
，，，
，
由圆周角定理得：，
在中，，
，解得．
．
10．（22-23九年级上·浙江杭州·月考）如图，是的直径，弦于点E，连结．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4π
【分析】本题主要考查了求扇形面积、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据圆周角定理求出，进而可得，根据正弦的定义求出，利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，弦，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵是的直径，弦，
∴，
在中，，
∴扇形（阴影部分）的面积，
答：阴影部分的面积为．
11．（2025·河南·三模）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，．
(1)求证：；
(2)猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明；
（2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，即
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴．
12．（2018·辽宁抚顺·模拟预测）如图，是的弦，半径，分别交于点，，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，，得到，，可以证明，根据全等三角形的对应边相等，可得到．
【详解】证明：连接，，
，是的半径，
，
，
又，
，
．
13．（2018·湖北武汉·一模）如图，是的外接圆，为直径，交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质和判定，中位线的定义和性质，求余弦，等腰三角形的性质，圆周角定理，
对于（1），连接并延长交于点F，连接，先说明为线段的垂直平分线，再说明，可得四边形为矩形，进而得，则此题可证；
对于（2），先根据中位线的性质得，再求出，然后说明，最后根据可得答案.
【详解】（1）证明：连接并延长交于点F，连接，
∵，
∴为线段的垂直平分线.
∵为的直径，
∴.
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵点O，F分别为的中点，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
14．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，内接于，平分交于D点，交于点E，连接．
(1)写出一个与相等的角______．
(2)若平分交于点F，求证：．
(3)在（2）的条件下，连接，若．且，求的长．
【答案】(1)或
(2)见解析
(3)1
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义以及圆周角定理解答即可；
（2）结合三角形外角的性质可得，即可求证；
（3）由（2）的结论以及垂径定理可得，再证明，即可解答．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：或
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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