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题号猜押10 中考数学21题方程与不等式应用题（解答题）
考点1 一元一次方程应用
1．（2026·北京朝阳·一模）某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价．
【答案】甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元
【分析】设未知数表示两种名著的单价，再根据总费用的等量关系列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设甲种名著的单价为元，则乙种名著的单价为元，
根据题意，得，
解得，
则，
故甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元．
2．（2026·安徽池州·二模）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共80个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费3264元．
(1)求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个；
(2)“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为48元/个、52元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的八五折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是665元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个．
【答案】(1)购进“喜洋洋”玩偶48个，购进“乐融融”玩偶32个
(2)27个
【分析】（1）设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个，根据总共花费3264元，列出一元一次方程，求解即可；
（2）设“乐融融”玩偶打折前卖出m个，根据购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是665元，列方程求解．
【详解】（1）解：设购进“喜洋洋”x个，则购进“乐融融”个，
根据题意，得，
解得，
则，
答：购进“喜洋洋”玩偶48个，购进“乐融融”玩偶32个；
（2）解：设“乐融融”玩偶打折前卖出m个，
根据题意，得，
解得．
答：“乐融融”玩偶打折前卖出27个．
3．（2026·北京丰台·一模）用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高．
【答案】包装盒的高为
【分析】根据题意可设包装盒高为，底面边长为，再根据图列出方程求解即可．
【详解】解：∵高与底面边长的比为，
∴设包装盒高为，底面边长为．
由图可得，
解得，
∴．
答：包装盒的高为．
4．（2026·陕西西安·模拟预测）某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？
【答案】车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母
【分析】设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，再根据“1个螺栓配2个螺母”的配套要求，得到螺母总数量是螺栓总数量的2倍这一等量关系，列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设分配名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，
根据题意，得
解得
则 ，
答：车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母．
5．（2026·北京顺义·一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高．
【答案】
【分析】设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，，则该中国结的总高为，根据题意易得结体总宽为，再根据“总高是总宽的1.5倍”建立关于的方程，求解即可获得答案．
【详解】解：设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，，
则该中国结的总高为，
∵结体内部高和结体内部宽相等，左、右两侧的耳翼宽都是，
∴结体总宽为，
又∵总高是总宽的1.5倍，
∴，
解得，
∴，
即该中国结的总高为．
考点2 二元一次方程组+不等式
6．（2026·江西吉安·模拟预测）为了响应《关于全面推进健康学校建设的指导意见》号召，某校决定在每天下午组织学生“校园跑”，并购买跑鞋给优秀完成任务的学生作为奖励，该校购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元．
(1)求A，B两种品牌跑鞋的单价各是多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的跑鞋共20双，正逢鞋店的“优惠促销”活动，A种品牌的跑鞋单价优惠3元，B种品牌的跑鞋单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双，为了节约资金，学校应制定怎样的购买方案？
【答案】(1)A种品牌跑鞋的单价是40元，B种品牌跑鞋的单价是60元；
(2)为了节约资金，学校应购买10双A种品牌的跑鞋，10双B种品牌的跑鞋．
【分析】（1）设种品牌跑鞋的单价是元，种品牌跑鞋的单价是元，根据“购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买双种品牌的跑鞋，则购买双种品牌的跑鞋，根据“此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出结论．
【详解】（1）解：设种品牌跑鞋的单价是元，种品牌跑鞋的单价是元，
根据题意得，
解得，
答：A种品牌跑鞋的单价是40元，B种品牌跑鞋的单价是60元；
（2）解：设购买双种品牌的跑鞋，则购买双种品牌的跑鞋，
根据题意得，
解得．
又为正整数，
可以为10，11，12，13，14．
∴购买种品牌的跑鞋越少，总费用越少，
答：为了节约资金，学校应购买10双A种品牌的跑鞋，10双B种品牌的跑鞋．
7．（2026·重庆合川·模拟预测）为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元．
(1)求A，B两类物品的单价；
(2)学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？
【答案】(1)A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元；
(2)共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少．
【分析】（1）设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元，根据题意建立方程组求解即可；
（2）设购买A类物品m本，则购买B类物品枚，根据题意建立不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元；
（2）解：设购买A类物品m本，则购买B类物品枚，
由题意得，，
解得，
∵m为非负整数，
∴m的值为15或16或17，
当时，，
当时，，
当时，，
∵1本A类物品的单价比一枚B类物品的单价低，
∴购买A类物品的数量越多，费用越低，
答：共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少．
8．（2026·湖北鄂州·模拟预测）2026年春节期间，鄂州吴都·乔街举办以非遗文化展示为核心亮点的活动，集中呈现雕花剪纸、武昌鱼圆制作技艺、龙灯巡游、采莲船、火壶表演等本地特色非遗项目，搭配打铁花这类视觉震撼的传统技艺，让游客沉浸式感受传统文化的独特魅力．为烘托活动氛围，决定创作A、B两类非遗主题绘染布画悬挂在景区．创作一张雕花主题A类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.6元；创作一张武昌鱼主题B类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.8元．
(1)请问丝绸画布单价是多少元？染料单价是多少元？
(2)经核算，A、B两类绘染布画共需创作400幅，且A类绘染布画数量不足240幅，创作两类绘染布画所需丝绸画布不超过．
①如果创作A类绘染布画m幅，求m的取值范围，
②所需丝绸画布、染料有超市和网购两种购买方式可供选择，且它们均有优惠促销活动：
Ⅰ．超市：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买超市内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知乔街在此之前不是该超市的会员）；
Ⅱ．网购：购买网店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）．
请直接写出超市和网购两种购买方式所需费用相等时，m的值是_____张．
【答案】(1)丝绸画布单价是0.5元，染料单价是0.8元
(2)①（m为整数）②225
【分析】（1）设丝绸画布单价为x元，染料单价为y元，根据创作一张雕花主题A类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.6元；创作一张武昌鱼主题B类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.8元列二元一次方程组，求解即可；
（2）①已知创作A类m幅，则B类幅，根据A类绘染布画数量不足240幅，创作两类绘染布画所需丝绸画布不超过列一元一次不等式组解答即可；
②根据超市和网购两种购买方式所需费用相等列方程求解即可．
【详解】（1）解：设丝绸画布单价为x元，染料单价为y元，根据题意列方程组：
解得，
答：丝绸画布单价是0.5元，染料单价是0.8元；
（2）解：①已知创作A类m幅，则B类幅，根据题意列不等式组：
解得：（m为整数）
②A类每幅3.6元，B类每幅3.8元，总原价为：，
超市费用：办卡295元，商品7折，总费用为：，
网购费用：商品9折，总费用为：
根据题意得：，
解得．
9．（2026·江西抚州·模拟预测）为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元．
(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元；
(2)该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？
【答案】(1)
甲种滑动变阻器单价为34元，乙种滑动变阻器单价为44元
(2)
此次至少需购买20个甲种滑动变阻器
【分析】（1）根据二元一次方程组的购买问题关系：总价格=单价×数量，分别设甲、乙两种滑动变阻器的单价为x元，y元，再根据题意列方程组求解即可；
（2）根据题意，设购买a个甲种滑动变阻器，根据题意列一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元，乙种滑动变阻器的单价为y元，
则，
解得，
∴甲种滑动变阻器的单价为34元，乙种滑动变阻器的单价为44元；
（2）解：设购买a个甲种滑动变阻器，则购买个乙种滑动变阻器
由题意，得，
解得，
∴此次至少需购买20个甲种滑动变阻器．
10．（2026·青海·模拟预测）某汽车销售公司计划购进，两种型号的新能源汽车，1辆型汽车和1辆型汽车总进价万元；2辆型汽车和3辆型汽车总进价127万元，
(1)求每辆型汽车和型汽车的进价分别为多少万元？
(2)现公司购进，两种型号新能源汽车共20辆，每辆型汽车售价为万元，每辆型汽车售价为万元，为保证将这20辆车全部售出后所得利润不低于25万元，那么这个公司最多能购进型汽车多少辆？
【答案】(1)每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元
(2)10
【分析】（1）设每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元，根据汽车数量和总价格可列出关于，的方程组即可求解；
（2）设购进A型汽车辆，可以表示出B型汽车的数量，再根据利润售价进价，可用关于的代数式表示出总利润，从而列出关于的不等式即可求解此题．
【详解】（1）解：设每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元，
由题意得，
解得，
答：每辆A型汽车进价为万元，每辆B型汽车进价为万元．
（2）设购进A型汽车辆．则购进B型汽车辆，
根据题意得：，
解得 ，
答：最多能购进A型汽车10辆．
考点3 分式方程+不等式
11．（2026·湖北省直辖县级行政单位·模拟预测）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同．
(1)求每件种材料和种材料各多少元？
(2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件．
①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围；
②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值．
【答案】(1)A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
(2)①且m为整数；②
【分析】（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元，根据用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同列方程求解即可；
（2）①设购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式组求解即可；
②根据张老师合计付款330元列方程求解即可．
【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元，
依题意，
解得，
经检验是原方程的解且符合题意，
，
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；
（2）解：①设购买种材料m件，则购买种材料件，
依题意得：．
解得且m为整数．
②依题意得：，
解得．
12．（2026·江苏淮安·模拟预测）江苏城市足球联赛（苏超）中，淮安队需要采购两种训练用球：A型训练球和B型训练球．已知买一个A型训练球比买一个B型训练球便宜20元．用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同．
(1)求A型、B型训练球每个各多少元？
(2)淮安队计划购买A、B两种训练球共20个，其中A型球不多于11个，且总费用不超过1430元．问共有几种购买方案？哪种方案总费用最低？并求出最低费用．
【答案】(1)60元，80元
(2)三种方案，购买A型训练球11个，购买B型训练球9个总费用最低；最低为1380元
【分析】（1）设A型训练球每个x元，则B型训练球每个元，根据题意中的等量关系“用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同”建立分式方程即可解决问题；
（2）设购买A型训练球m个，则购买B型训练球共个，根据题意中的不等关系：“A型训练球不多于11个，且总费用不超过1430元”建立一元一次不等式组解决问题．
【详解】（1）解：设A型训练球每个x元，则B型训练球每个元，根据题意，得：
，
解得，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴元，
答：A型训练球每个60元，B型训练球每个80元；
（2）解：设购买A型训练球m个，则购买B型训练球共个，根据题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m可取：9，10，11，
∴共有三种方案：
①A型训练球9个，则购买B型训练球11个，费用：，
②A型训练球10个，则购买B型训练球10个，费用：，
③A型训练球11个，则购买B型训练球9个，费用：，
∴购买A型训练球11个，购买B型训练球9个总费用最低，最低为1380元．
13．（2026·四川成都·二模）2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点．已知一台小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时．
(1)求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？
(2)某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要多少台小番茄采摘机器人？
【答案】(1)20千克
(2)3台
【分析】（1）设熟练采摘工人每小时采摘量为未知数，根据采摘600千克的时间差列分式方程求解即可；
（2）设小番茄采摘机器人的数量为未知数，根据4小时总采摘量不低于920千克列一元一次不等式，结合数量为正整数求出最小值即可．
【详解】（1）解：设一名熟练采摘工人每小时采摘千克小番茄，则一台小番茄采摘机器人每小时采摘千克小番茄，
根据题意列方程得，
解得，
检验：当时，，所以是原方程的解，符合题意．
答：一名熟练采摘工人每小时采摘20千克小番茄；
（2）解：设该果园需要台小番茄采摘机器人，则熟练采摘工人数量为名，
由（1）得，一台采摘机器人每小时采摘量为（千克），
根据题意列不等式得 ，
解得，
因为为正整数，所以的最小值为3．
答：该果园至少需要3台小番茄采摘机器人．
14．（2026·广东深圳·模拟预测）项目式学习问题：迎接APEC的智能机器人采购与工程规划背景：2026年亚太经合组织（APEC）非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题．
素材一 A款机器人单价比B款贵万元．若用元单独采购A款，采购数量会比仅采购B款少台．
素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期天．若两机器人合作天，余下工作由B机器人单独完成，可提前天完工．
素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为千米，每台单价万元；B款机器人每日巡逻路程为千米，每台单价万元．街道办拟购买两种机器人共台，要求每日巡逻总路程不低于千米，且总费用不超过万元．
任务一：机器人单价计算
(1)设B款机器人每台的单价为万元，则A款机器人每台的单价为万元，请根据素材一列出分式方程，不用求解．
任务二：巡逻工程规定日期
(2)根据素材二，求该项工程规定日期多少天？
任务三：机器人采购方案
(3)根据素材三，问有多少种购买方案，款机器人各购买多少台？
【答案】(1)
(2)
(3)共有种购买方案，分别是购买A款台、B款台，或购买A款台、B款台
【分析】（1）据“万元买B款的数量减去买A款的数量等于台”直接列出分式方程即可；
（2）设规定日期为天，根据“A工作天的工作量加上B工作天的工作量等于总工作量”列分式方程求解并检验即可；
（3）设买A款台，根据“每日总路程千米”和“总费用万元”列不等式组，求出正整数解即可得到购买方案．
【详解】（1）解：；
（2）解：设该项工程规定日期为天，
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合实际意义，
答：该项工程规定日期为天；
（3）解：设购买A款机器人台，则购买B款机器人台，
，
解得，
∵为正整数，
∴或，对应两种购买方案：
方案一：购买A款机器人台，B款机器人台；
方案二：购买A款机器人台，B款机器人台；
答：共有种购买方案，分别是购买A款台、B款台，或购买A款台、B款台．
15．（2026·重庆·模拟预测）五一小长假即将来临，某商场为迎接即将到来的销售旺季，准备购进甲、乙两种商品进行销售． 若每个乙商品的进价比每个甲商品的进价贵10元，且用900元购进甲商品的数量是用500元购进乙商品的数量的2倍．
(1)求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还多5个，且乙商品的数量不超过30个，甲商品的售价定为每个130元，乙商品的售价定为每个150元． 若购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过5000元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种进货方案？
【答案】(1)甲商品进价为每个90元，乙商品进价为每个100元
(2)商场有两种方案，方案①：购进甲商品92个，乙商品29个；方案②：购进甲商品95个，乙商品30个
【分析】（1）设甲商品进价为每个元，则乙商品进价为每个元，根据购进甲商品数量是乙商品数量的2倍列出分式方程，求出解，并检验可得答案；
（2）设购进乙商品个，则购进甲商品个，再根据两个不等关系列出不等式组，求出解集得出整数解，并设计购买方案．
【详解】（1）解：设甲商品进价为每个元，则乙商品进价为每个元，根据题意，得
则，
解得，
经检验，是原方程的解，
乙商品进价：
答：甲商品进价为每个90元，乙商品进价为每个100元；
（2）解：设购进乙商品个，则购进甲商品个
得，
解得，其中为正整数，
∴或30，
则或95，
答：商场有两种方案，方案①：购进甲商品92个，乙商品29个；
方案②：购进甲商品95个，乙商品30个．
考点4 二元一次方程组+一次函数
16．（2026·辽宁朝阳·一模）某电商计划购进A、B两种农产品，已知购进2件A产品和3件B产品共需270元，购进3件A产品和2件B产品共需230元．
(1)求每件A、B产品的进价分别是多少元？
(2)该电商计划购进A、B两种产品共100件，且A产品的数量不超过B产品数量的3倍，总费用不超过4200元，该电商共有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，若每件A产品售价40元，每件B产品售价100元．哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)每件A产品的进价为30元，每件B产品的进价为70元
(2)进货方案共有6种
(3)当购进A产品70件、B产品30件时，获利最大，最大利润为1600元
【分析】（1）设每件A产品的进价为x元，每件B产品的进价为y元，根据题意列出方程组，解方程组可得结果；
（2）设该平台计划购进A产品m件，B产品件，根据题意列出不等式组，解不等组，结合是整数，进行解答即可；
（3）设利润为元，根据题意，表示出总利润与的关系，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每件A产品的进价为x元，每件B产品的进价为y元，
根据题意得：，
解得，
答：每件A产品的进价为30元，每件B产品的进价为70元；
（2）解：设该平台计划购进购进A产品m件，B产品件，
根据题意得：
解得：，
为整数，
可以取70，71，72，73，74，75，共6种取值，
即该商场共有6种进货方案；
（3）解：设利润为元，根据题意得：
，
，
随的增大而减小，
当m取最小值时，为最大值，
由（2）可知，m的最小值为70，此时件，
最大利润为元，
答：当购进A产品70件、B产品30件时，获利最大，最大利润为1600元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，涉及到解不等式，一次函数的性质的应用，正确理解题意是解题的关键．
17．（2026·河南新乡·模拟预测）某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共100套进行销售，已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套．
(1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元；
(2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元
(2)
购进乒乓球拍34套、羽毛球拍66套时获利最大，最大利润为2990元
【分析】（1）设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元，根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元．再建立方程组解题即可；
（2）设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套，根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，求解的范围，再建立一次函数求解即可．
【详解】（1）解：设每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元．
根据题意，得，
解得，
答：每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元．
（2）解：设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍套．
根据题意，得且
解得：，
设获利W元，则，
∵，
∴W随m的增大而减小，
∵且m为非负整数，
∴当时W值最大，最大利润为（元），
（套）．
答：购进乒乓球拍34套、羽毛球拍66套才能使这批体育用品全部售完时获利最大，最大利润为元．
18．（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元．
(1)求A、B两种笔记本的单价；
(2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用．
【答案】(1)A种单价6元，B种单价5元
(2)，最少费用为525元
【分析】（1）设A种笔记本单价为x元，B种为y元，根据购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元，列出方程组进行求解即可；
（2）根据A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的列出不等式求出的取值范围，根据总费用等于购买两种笔记本的费用之和，列出函数关系式，进行求解即可．
【详解】（1）解：设A种笔记本单价为x元，B种为y元．
由题意，得，
解得；
答：A种单价6元，B种单价5元．
（2）解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本，
由题意，解得
，
∴W随m增大而增大，
故当时，W最小，为525元．
答：函数关系式为，最少费用为525元．
19．（2026·安徽合肥·模拟预测）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息：
冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单型冰箱贴（个）型冰箱贴（个）总费用（元）记录单记录单
文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元．
根据以上信息，完成下列3个任务：
(1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元．
(2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案．
(3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润．
【答案】(1)型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元．
(2)共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个．
(3)最大利润的购进方案为购进型个，型个，最大利润为元．
【分析】（1）根据表格中的总费用信息，列二元一次方程组求解、两种冰箱贴的购进单价．
（2）设购进型冰箱贴个，根据总费用限制和数量要求列一元一次不等式，求出符合条件的正整数解，得到所有购货方案．
（3）根据利润关系列出总利润关于的一次函数，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案．
【详解】（1）解：设型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元，
，
解得，
∴型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元．
（2）解：设购进型冰箱贴个，则购进型冰箱贴个，
，
解不等式组得，
∵为正整数，
∴，，．
当时，；
当时，；
当时，．
∴共有种购货方案：方案一：购进型个，型个；
方案二：购进型个，型个；
方案三：购进型个，型个．
答：共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个．
（3）解：设总利润为元，
单个型冰箱贴利润：元，单个型冰箱贴利润：元，
，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
，
此时对应方案为购进型个，型个．
20．（2026·广西贵港·模拟预测）端午节到来之际，小红家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进300个粽子和100个咸鸭蛋共需1000元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
(1)求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？
(2)若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小红父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1400元，求至少购进多少个粽子？
【答案】(1)每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元
(2)至少购进400个粽子
【分析】（1）设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，根据“购进300个粽子和100个咸鸭蛋共需1000元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元”列出方程组求解即可；
（2）设购进a个粽子，根据“全部售完后利润不低于1400元”列出不等式并解答．
【详解】（1）解：设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，根据题意，得，
解得
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
（2）解：设购进个粽子，根据题意，得
，
解得．
因为是整数，
所以最小值取400．
答：至少购进400个粽子．
考点5 分式方程+一次函数
21．（2026·河南郑州·模拟预测）牡丹花茶是以牡丹花为原料制成的花草茶，饮用历史可追溯至隋唐时期，是洛阳特色名优花茶．某茶叶店经营的牡丹花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒．
(1)分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格．
(2)该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费．
【答案】(1)全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元
(2)本次采购的最少花费为6700元
【分析】（1）设每盒花瓣茶的价格为x元，则每盒全花茶的价格为元，根据用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒列出分式方程求解即可.
（2）设购进全花茶m盒，总采购花费为w元，则购进花瓣茶盒．先根据且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，根据一次函数的图象和性质即可求出本次采购的最少花费．
【详解】（1）解：设每盒花瓣茶的价格为x元，则每盒全花茶的价格为元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
则，
答：每盒花瓣茶的价格为50元，则每盒全花茶的价格为100元．
（2）解：设购进全花茶m盒，总采购花费为w元，则购进花瓣茶盒．
根据题意∶，
解得，
因为m为正整数，所以m的最小值为34，
总花费，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，最小值为，
答：本次采购的最少花费为6700元．
22．（2025-2026·四川·模拟预测）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水．
(1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水；
(2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？
A B
进价（元） 1200 2000
售价（元） 1400 2300
【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升
(2)该专卖店的最大利润为7800元
【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解；
（2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解．
【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水，
由题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升．
（2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台，
由题意得，，
解得，
设利润为，
由题意得，
∵，
∴随m增大而减小，
当时，取最大值为元，
答：该专卖店的最大利润为7800元．
23．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元．
(1)求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用．
【答案】(1)购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元．
(2)购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元．
【分析】 （1）设甲种路灯单价x元，乙种路灯单价元，根据题意列分式方程求解即可，注意检验．
（2）设购买甲种路灯m盏，则乙种盏，得到，求出m的取值范围，设购买总费用为w元．根据题意得，根据w随m的增大而减小，求出w取最小值即可．
【详解】（1）解：设购买1盏甲种路灯是x元，则购买1盏乙种路灯是元．
根据题意得，
解得．
检验：当时，，
是此方程的解，且符合题意．
．
答：购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是60元、80元．
（2）解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯盏．
根据题意得，
解得．
设购买总费用为w元．
根据题意得，
，
∴w随m的增大而减小，
时，．
答：购买甲种路灯10盏时，购买总费用最小，最小的购买总费用为3000元．
24．（2026·重庆渝北·模拟预测）渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的．
(1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？
(2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式．
(3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？
【答案】(1)甲队每天修路200米，乙队每天修路160米
(2)
(3)两队至少需要合作5天
【分析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用及一元一次不等式的应用；
（1）设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，根据题意列分式方程，求解并检验即可；
（2）根据题意求解即可；
（3）设两队需要合作t天，根据题意列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设乙队每天修围墙x米，则甲队每天修围墙米，由题意得
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（米），
答：甲队每天修路200米，乙队每天修路160米；
（2）解：由题意得：；
（3）解：设两队需要合作t天，由题意得
解得，
答：两队至少需要合作5天．
25．（2026·山东菏泽·模拟预测）今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销．根据预测，每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元，节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)该商场节前每千克枣粽的进价是10元
(2)该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元
【分析】（1）根据节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相等这一等量关系，列出分式方程求解即可；
（2）根据总费用不超过4800元列出不等式得到节前购进数量的取值范围，再列出利润关于购进数量的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出最大利润．
【详解】（1）解：设该商场节后每千克枣粽的进价是元，则节前每千克枣粽的进价是元，
由题意得： 解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则节前进价为 （元），
答：该商场节前每千克枣粽的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进千克枣粽，则节后购进千克枣粽，
由题意得：
解得，
设总利润为元，
由题意得：
，
随着的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为 （元），
答：该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元．
考点6 一元二次方程应用
26．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元．
(2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示．
(3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？
【答案】(1)；
(2)
(3)销售单价应为元
【分析】（1）根据题意进行计算即可；
（2）根据题意列出关系式即可；
（3）将代入（2）中的关系式，解方程求出的值，并根据题意进行取舍．
【详解】（1）解：根据题意，当销售单价定为每千克55元，月销售量为（千克），
月利润为（元）；
（2）解：根据题意可得，；
（3）解：将代入，得，
，
整理，得，
解得，，
当时，月销售量为（千克）；
当时，月销售量为（千克）；
∵，
又∵需要尽快减少库存，
∴．
答：销售单价应为元．
27．（2026·安徽合肥·一模）根据以下素材，探索完成任务．
背景 徽州木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色．
素材 某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕的售价上涨元/件．
问题解决
(1)该木雕月销售量为________件；（用含的代数式表示）
(2)该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕的售价需上涨多少元/件？
【答案】(1)
(2)该木雕的售价上涨10元/件
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）根据题意列出方程求解，然后根据题意得出结果即可．
【详解】（1）解：月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，
该木雕月销售量为件；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该木雕的售价上涨10元/件．
28．（2026·辽宁大连·一模）2026年某市开展数码产品购新消费补贴活动．补贴范围：个人消费者购买不超过6000元的全新指定品类数码商品，按照商品销售价格的进行一次性立减补贴，最高补贴500元．
(1)受购新消费补贴活动影响，指定数码产品供销两旺．某数码经销商一月份的销售额为80万元，三月份的销售额为96.8万元，求该经销商销售额的月平均增长率；
(2)一位消费者在购买手机时，获得了500元的补贴，则这部手机的价格最低为多少元（结果保留整数）？
【答案】(1)该经销商销售额的月平均增长率为
(2)元
【分析】（1）结合一元二次方程的增长率公式进行列方程求解即可．
（2）理解题意，设这部手机的价格为x元，再列出不等式，解不等式，结果保留整数，即可作答．
【详解】（1）解：设该经销商销售额的月平均增长率为，
依题意，得
解得（舍去）
答：该经销商销售额的月平均增长率为．
（2）解：设这部手机的价格为x元，
依题意得，
解得，
∵结果保留整数，
即结果向上取整至元，
∴这部手机的价格最低为元．
29．（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个．
(1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？
(2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率；
(3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单．
【答案】(1)爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个
(2)这个增长率为
(3)还需3天就可交货完成此订单
【分析】（1）设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个，根据爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个，列出方程，解方程即可；
（2）设小明每周的增长率为m，根据经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个，列出方程，解方程即可；
（3）设还需n天就可交货完成此订单，根据需要完成3600个陶艺碗的订单，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个，
根据题意得：，
解得：，
∴（个）．
答：爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个．
（2）解：设小明每周的增长率为m，根据题意得：
，
解得，（舍去）．
答：这个增长率为；
（3）解：设还需n天就可交货完成此订单，因爸爸每天制作100个，小明每天制作72个，则：
，
解得：，
答：还需3天就可交货完成此订单．
30．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学．
【答案】4名
【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可．
【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，
根据题意，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学．
1．（2026·内蒙古锡林郭勒·一模）2025年某车商推出了A型和B型家用电车，已知一辆A型家用电车比一辆B型家用电车单价贵7万元，若购买2辆A型家用电车和3辆B型家用电车共需139万元．
(1)求A型家用电车和B型家用电车单价分别是多少万元？
(2)为扩大市场占有率，车商决定对A型家用电车降价万元，对B型家用电车降价的金额是对A型家用电车降价金额的一半，为保证A型家用电车在消费者心目中的高端定位，A型家用电车单价不得低于B型家用电车单价的倍，求的最大值．
【答案】(1)A型家用电车单价为32万元，则B型家用电车的单价为25万元
(2)5
【分析】（1）设A型家用电车单价为x万元，则B型家用电车的单价为万元，由“购买2辆A型家用电车和3辆B型家用电车共需139万元”建立一元一次方程求解即可；
（2）由“A型家用电车单价不得低于B型家用电车单价的倍”建立一元一次不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A型家用电车单价为x万元，则B型家用电车的单价为万元，根据题意得：
，
解得：，
则（万元），
答：A型家用电车单价为32万元，则B型家用电车的单价为25万元；
（2）解：由题意得，，
解得：，
∴的最大值为5．
2．（2026·北京石景山·一模）随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量．
【答案】0.9万件
【分析】设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果．
【详解】解：设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件，
由题意可得：，
解得：，
∴A机器人分拣的包裹总量为0.9万件．
3．（2026·重庆南岸·模拟预测）上周蔬菜经营户用90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，黄瓜的批发价为2.4元/千克，茄子的批发价为2元/千克．
(1)他上周购买黄瓜、茄子各多少千克？
(2)本周黄瓜和茄子的批发价受各方因素影响发生了变化，茄子的批发价比黄瓜的批发价高0.5元/千克，该蔬菜经营户决定再次购买黄瓜和茄子，这次他用160元购进黄瓜，用120元购进茄子，发现购买的黄瓜、茄子的质量之比为，求本周购买黄瓜多少千克？
【答案】(1)
购买黄瓜25千克，茄子15千克
(2)
本周购买黄瓜80千克
【分析】（1）设上周购买的黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意列出二元一次方程组，求出解；
（2）设本周购买黄瓜的质量为千克，则茄子的质量为千克，根据题意列出分式方程，求出解，再检验得出答案．
【详解】（1）解：设上周购买的黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意，得
，
解得，
所以上周购买的黄瓜25千克，茄子15千克；
（2）解：设本周购买黄瓜的质量为千克，则茄子的质量为千克，根据题意，得，
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
所以本周购买黄瓜为80千克．
4．（2026·云南·一模）根据以下素材，探究完成任务1和任务2．
主题：方案选择与最低费用
6月5日是第54个“世界环境日”，某社区为提高垃圾分类意识，打造清洁优美社区，决定购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶．
素材1 已知购买2个甲型号的新型垃圾桶和购买3个乙型号的新型垃圾桶共420元．
素材2 已知购买3个甲型号的新型垃圾桶和购买5个乙型号的新型垃圾桶共680元．
素材3 据统计，该社区需购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶共100个，乙型号的新型垃圾桶的数量不少于甲型号的新型垃圾桶数量的一半．
问题解决
(1)任务1：求甲、乙两种型号的新型垃圾桶的单价．
(2)任务2：如何设计购买方案更省钱？最低购买费用是多少元？
【答案】(1)甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元
(2)购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用为7360元
【分析】（1）利用二元一次方程组求解单价，根据两个购买总费用的条件列出方程组，解方程组即可得到结果；
（2）利用一次函数性质解决方案最值问题，先根据乙数量的限制条件得到甲数量的取值范围，再列出总费用的一次函数解析式，根据一次函数的增减性得到最小值及对应方案．
【详解】（1）解：设甲型号新型垃圾桶单价为元，乙型号新型垃圾桶单价为元．
根据题意可得
解得
答：甲型号新型垃圾桶单价为60元，乙型号新型垃圾桶单价为100元．
（2）解：设购买甲型号垃圾桶个，总购买费用为元，则购买乙型号垃圾桶个．
由题意得
解不等式得
因为是非负整数，
所以的最大取值为66．
总费用
因为，
所以随的增大而减小．
当时，最小，
此时，（元）
答：购买甲型号66个，乙型号34个更省钱，最低购买费用是7360元．
5．（2026·辽宁铁岭·三模）某班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．若买5盒A款盲盒、15盒B款盲盒，共需130元；若买10盒A款盲盒、10盒B款盲盒，共需140元．
(1)求A，B款两种盲盒的单价；
(2)若班级刚好用100元购进A、B两种款式的盲盒，有几种购进方案？
【答案】(1)A款盲盒的单价为8元，B款盲盒的单价为6元
(2)共有4种购进方案
【分析】（1）设A款盲盒每盒为元，B款每盒为元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可；
（2）设购进A款盲盒盒，B款盲盒盒，根据题意得到二元一次方程，据此求解即可．
【详解】（1）解：设A款盲盒每盒为元，B款每盒为元，
答：A款盲盒的单价为8元，B款盲盒的单价为6元；
（2）解：设购进A款盲盒盒，B款盲盒盒，
，
，
为正整数，
或或或，
答：共有4种购进方案．
6．（2026·安徽池州·二模）某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数）
【答案】
【分析】设原价为a，两次降价的百分比为x，则“双十一”之前价格为，“双十一”期间售价为，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设原价为a，两次降价的百分比为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：两次降价的百分比约为．
7．（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率．
【答案】
【分析】由平均增长率问题列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为，
根据题意得，
解得，（负值，舍去），
∴该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为，
答：该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为．
8．（2026·辽宁·一模）2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题．随着“哪吒”IP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？
【答案】这种钥匙扣的售价应定为30元/个或25元/个
【分析】通过设钥匙扣的售价应定为x元/个，建立利润与销售量的一元二次方程，求解符合条件的售价．
【详解】解：设这种钥匙扣的售价应定为x元/个，
根据题意，得：，
解得：，，
∴这种钥匙扣的售价应定为 30元/个或25元/个．
9．（2026·山西晋中·一模）某科技公司研发了甲、乙两款智能体，用于处理企业日常办公任务．在企业每份日常办公任务难度相同的前提下，对两款智能体进行了测试，发现智能体甲平均每小时能完成的日常办公任务数比智能体乙多10份，智能体甲完成600份日常办公任务所用时间是智能体乙完成500份日常办公任务所用时间的．求智能体乙平均每小时能完成多少份日常办公任务？
【答案】20份
【分析】设智能体乙平均每小时能完成份日常办公任务，然后根据题意列分式方程求解即可．
【详解】解：设智能体乙平均每小时能完成份日常办公任务．
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解．
答：智能体乙平均每小时能完成20份日常办公任务．
10．（2026·云南·一模）学校文印室采购数量相同的甲、乙两种复印纸，其中采购甲花费元，采购乙花费元．已知甲的单价比乙的单价多元，问甲的单价为多少元？
【答案】
甲的单价为元．
【分析】设甲的单价为元，则乙的单价为元，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设甲的单价为元，则乙的单价为元，
根据题意可得，
解得，
经检验，是的解，
∴甲的单价为元．
11．（2026·黑龙江大庆·一模）大庆高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放，已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道每小时通过车辆数的2.5倍，当通过600辆车时，通道比人工收费通道少用，分别求人工收费通道和通道每小时通过车辆的数量．
【答案】人工收费通道每小时通过120辆车，则ETC通道每小时通过300辆车
【分析】设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车，
根据题意得：
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车．
12．（2026·陕西·一模）2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”．某校计划开展趣味数学活动，数学老师欲购买汉诺塔作为活动道具，已知文具店里汉诺塔售价为15元套，文具店的优惠方案如下：一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折．设数学老师购买套汉诺塔，购买费用为元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买多少套汉诺塔？
【答案】(1)
(2)能购买15套汉诺塔
【分析】（1）根据“一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折”进行求解即可；
（2）先判断购买的数量是否大于10套，进而求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，当时，费用为，
当时，费用为．
与之间的函数关系式为；
（2）解：，
数学老师的购买数量大于10套．
令，
解得，
答：若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买15套汉诺塔．
13．（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表：
销售价格x（元/升） 4 5 10
市场需求量n（升） 120 110 60
经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升．
(1)求n与x的函数关系式；
(2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
(3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)①315（元）；②400（元）
(3)原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）①先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量可以卖完，再根据“总利润单升利润自制产量”，即可求解；②先通过计算确定每天自制产量和市场需求量，可得自制产量没有卖完，再根据“总利润单升利润市场需求量未卖出的成本”，即可求解；
（3）设奶茶小店每天获得的利润为w元，根据m和n的大小分类讨论，分别列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质和x的取值范围，分别求出w的最大值，最后进行比较即可求解．
【详解】（1）解：设n与x的函数关系式为，
由题意得，，解得，
∴；
（2）解：①当时，，，
∵，∴基底原液可全部卖完，
奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）；
②当时，，，
∵，∴基底原液无法卖完．
奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）．
（3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元，
①当每天的产量不大于市场需求量时，即，
即，解得，∴；
则，
∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，（元）；
②当每天的产量大于市场需求量时，即，
即，解得，∴；
则
，
∵，对称轴为直线，
∴当时，（元），
∵
∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元．
14．（2026·辽宁盘锦·一模）某水果店购进苹果和香蕉两种水果共100千克，其中苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元．已知总进价不超过380元．设购进苹果x千克．
(1)根据题意列出不等式，并求出x的取值范围；
(2)若苹果售价为6元千克，香蕉售价为4元千克，且全部售出，求总利润y（元）与x的函数关系式，并求当x为何值时总利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)不等式为，的取值范围是
(2)函数关系式为，当时总利润最大，最大利润为180元
【分析】（1）用表示出购进香蕉的质量，根据“总进价不超过380元”列出不等式，结合的实际范围求解得到的取值范围；
（2）先计算出每千克苹果和香蕉的利润，再结合质量得到总利润与的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出最大利润．
【详解】（1）解：设购进苹果千克，则购进香蕉千克，
∵苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元，总进价不超过380元，
∴
解得，
∵，
∴的取值范围是；
（2）解：由题意得，苹果每千克利润为（元），香蕉每千克利润为（元），
∴总利润为，
一次项系数，
随的增大而增大．
，
当时，取得最大值．
将代入函数得：（元），
答：当为80时总利润最大，最大利润是180元．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)题号猜押10 中考数学21题方程与不等式应用题（解答题）
考点1 一元一次方程应用
1．（2026·北京朝阳·一模）某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价．
2．（2026·安徽池州·二模）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在粤港澳三地举行．在全运会期间，某特许商店购进吉祥物“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶一共80个，其中一个“喜洋洋”玩偶进价40元，一个“乐融融”玩偶进价42元，总共花费3264元．
(1)求购进“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶各多少个；
(2)“喜洋洋”“乐融融”两种玩偶标价分别为48元/个、52元/个，销售过程中，“喜洋洋”玩偶全部按标价售完，“乐融融”玩偶售出一部分后进行促销，剩余的八五折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是665元，求“乐融融”玩偶打折前卖出多少个．
3．（2026·北京丰台·一模）用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高．
4．（2026·陕西西安·模拟预测）某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？
5．（2026·北京顺义·一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高．
考点2 二元一次方程组+不等式
6．（2026·江西吉安·模拟预测）为了响应《关于全面推进健康学校建设的指导意见》号召，某校决定在每天下午组织学生“校园跑”，并购买跑鞋给优秀完成任务的学生作为奖励，该校购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元．
(1)求A，B两种品牌跑鞋的单价各是多少元？
(2)根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的跑鞋共20双，正逢鞋店的“优惠促销”活动，A种品牌的跑鞋单价优惠3元，B种品牌的跑鞋单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双，为了节约资金，学校应制定怎样的购买方案？
7．（2026·重庆合川·模拟预测）为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元．
(1)求A，B两类物品的单价；
(2)学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？
8．（2026·湖北鄂州·模拟预测）2026年春节期间，鄂州吴都·乔街举办以非遗文化展示为核心亮点的活动，集中呈现雕花剪纸、武昌鱼圆制作技艺、龙灯巡游、采莲船、火壶表演等本地特色非遗项目，搭配打铁花这类视觉震撼的传统技艺，让游客沉浸式感受传统文化的独特魅力．为烘托活动氛围，决定创作A、B两类非遗主题绘染布画悬挂在景区．创作一张雕花主题A类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.6元；创作一张武昌鱼主题B类绘染布画需要丝绸画布，染料，共花费3.8元．
(1)请问丝绸画布单价是多少元？染料单价是多少元？
(2)经核算，A、B两类绘染布画共需创作400幅，且A类绘染布画数量不足240幅，创作两类绘染布画所需丝绸画布不超过．
①如果创作A类绘染布画m幅，求m的取值范围，
②所需丝绸画布、染料有超市和网购两种购买方式可供选择，且它们均有优惠促销活动：
Ⅰ．超市：用295元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买超市内任何商品，一律按商品价格的7折出售（已知乔街在此之前不是该超市的会员）；
Ⅱ．网购：购买网店内任何商品，一律按商品价格的9折出售（无其他费用）．
请直接写出超市和网购两种购买方式所需费用相等时，m的值是_____张．
9．（2026·江西抚州·模拟预测）为丰富校园社团文化生活，提升物理社团实践探究能力，某校为社团活动与实验室建设升级采购器材，计划购进甲、乙两种型号的滑动变阻器．已知购买甲种20个、乙种30个共需2000元，且乙种滑动变阻器的单价比甲种贵10元．
(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价各是多少元；
(2)该校物理社团计划再次采购这两种滑动变阻器共100个，若总费用不超过4200元，此次至少需购买多少个甲种滑动变阻器？
10．（2026·青海·模拟预测）某汽车销售公司计划购进，两种型号的新能源汽车，1辆型汽车和1辆型汽车总进价万元；2辆型汽车和3辆型汽车总进价127万元，
(1)求每辆型汽车和型汽车的进价分别为多少万元？
(2)现公司购进，两种型号新能源汽车共20辆，每辆型汽车售价为万元，每辆型汽车售价为万元，为保证将这20辆车全部售出后所得利润不低于25万元，那么这个公司最多能购进型汽车多少辆？
考点3 分式方程+不等式
11．（2026·湖北省直辖县级行政单位·模拟预测）某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同．
(1)求每件种材料和种材料各多少元？
(2)张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件．
①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围；
②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值．
12．（2026·江苏淮安·模拟预测）江苏城市足球联赛（苏超）中，淮安队需要采购两种训练用球：A型训练球和B型训练球．已知买一个A型训练球比买一个B型训练球便宜20元．用360元全部购买A型球的数量，与用480元全部购买B型球的数量相同．
(1)求A型、B型训练球每个各多少元？
(2)淮安队计划购买A、B两种训练球共20个，其中A型球不多于11个，且总费用不超过1430元．问共有几种购买方案？哪种方案总费用最低？并求出最低费用．
13．（2026·四川成都·二模）2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点．已知一台小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时．
(1)求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？
(2)某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要多少台小番茄采摘机器人？
14．（2026·广东深圳·模拟预测）项目式学习问题：迎接APEC的智能机器人采购与工程规划背景：2026年亚太经合组织（APEC）非正式高官会在深圳举行，某街道办拟购买智能机器人沿街巡逻．现有A、B两款巡逻机器人，需解决机器人单价、巡逻工程规定日期及采购方案等问题．
素材一 A款机器人单价比B款贵万元．若用元单独采购A款，采购数量会比仅采购B款少台．
素材二 有一项巡逻工程，A机器人单独巡逻恰能在规定日期内完成，B机器人单独巡逻则需超出规定日期天．若两机器人合作天，余下工作由B机器人单独完成，可提前天完工．
素材三 已知A款机器人每日巡逻路程为千米，每台单价万元；B款机器人每日巡逻路程为千米，每台单价万元．街道办拟购买两种机器人共台，要求每日巡逻总路程不低于千米，且总费用不超过万元．
任务一：机器人单价计算
(1)设B款机器人每台的单价为万元，则A款机器人每台的单价为万元，请根据素材一列出分式方程，不用求解．
任务二：巡逻工程规定日期
(2)根据素材二，求该项工程规定日期多少天？
任务三：机器人采购方案
(3)根据素材三，问有多少种购买方案，款机器人各购买多少台？
15．（2026·重庆·模拟预测）五一小长假即将来临，某商场为迎接即将到来的销售旺季，准备购进甲、乙两种商品进行销售． 若每个乙商品的进价比每个甲商品的进价贵10元，且用900元购进甲商品的数量是用500元购进乙商品的数量的2倍．
(1)求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
(2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还多5个，且乙商品的数量不超过30个，甲商品的售价定为每个130元，乙商品的售价定为每个150元． 若购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过5000元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种进货方案？
考点4 二元一次方程组+一次函数
16．（2026·辽宁朝阳·一模）某电商计划购进A、B两种农产品，已知购进2件A产品和3件B产品共需270元，购进3件A产品和2件B产品共需230元．
(1)求每件A、B产品的进价分别是多少元？
(2)该电商计划购进A、B两种产品共100件，且A产品的数量不超过B产品数量的3倍，总费用不超过4200元，该电商共有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，若每件A产品售价40元，每件B产品售价100元．哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
17．（2026·河南新乡·模拟预测）某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共100套进行销售，已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进3套乒乓球拍和2套羽毛球拍需花费180元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套．
(1)分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元；
(2)商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？最大利润是多少？
18．（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元．
(1)求A、B两种笔记本的单价；
(2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用．
19．（2026·安徽合肥·模拟预测）春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息：
冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单型冰箱贴（个）型冰箱贴（个）总费用（元）记录单记录单
文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元．
根据以上信息，完成下列3个任务：
(1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元．
(2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案．
(3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润．
20．（2026·广西贵港·模拟预测）端午节到来之际，小红家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进300个粽子和100个咸鸭蛋共需1000元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．
(1)求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？
(2)若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小红父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1400元，求至少购进多少个粽子？
考点5 分式方程+一次函数
21．（2026·河南郑州·模拟预测）牡丹花茶是以牡丹花为原料制成的花草茶，饮用历史可追溯至隋唐时期，是洛阳特色名优花茶．某茶叶店经营的牡丹花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒．
(1)分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格．
(2)该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费．
22．（四川嘉祥教育集团2025-2026学年八年级下学期·模拟预测）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水．
(1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水；
(2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？
A B
进价（元） 1200 2000
售价（元） 1400 2300
23．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知用2400元购买甲种路灯的数量与用3200元购买乙种路灯的数量相等，且购买1盏乙种路灯比购买1盏甲种路灯多花20元．
(1)求购买1盏甲种路灯和1盏乙种路灯各是多少元；
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且购买甲种路灯的数量不超过购买乙种路灯数量的，求购买多少盏甲种路灯时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用．
24．（2026·重庆渝北·模拟预测）渝北中学提档升级工程中要维修一段4800米长的围墙，有甲、乙两个工程队可供选择，甲、乙的工作效率始终保持不变．已知甲队每天比乙队多修40米，甲队单独修完这条路所用天数是乙队的．
(1)求甲、乙两队每天各修围墙多少米？
(2)若施工时发现，需要维修的围墙总长度为米．先由甲队单独施工6天，再由两队合作施工天完成任务，请直接列出与的函数解析式．
(3)若需要维修的围墙总长度为4800米，施工方决定先由两队合作施工若干天，再由甲队单独施工完成，要求总工期不超过20天．求两队至少需要合作多少天？
25．（2026·山东菏泽·模拟预测）今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销．根据预测，每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元，节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？
考点6 一元二次方程应用
26．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元．
(2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示．
(3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？
27．（2026·安徽合肥·一模）根据以下素材，探索完成任务．
背景 徽州木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色．
素材 某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕的售价上涨元/件．
问题解决
(1)该木雕月销售量为________件；（用含的代数式表示）
(2)该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕的售价需上涨多少元/件？
28．（2026·辽宁大连·一模）2026年某市开展数码产品购新消费补贴活动．补贴范围：个人消费者购买不超过6000元的全新指定品类数码商品，按照商品销售价格的进行一次性立减补贴，最高补贴500元．
(1)受购新消费补贴活动影响，指定数码产品供销两旺．某数码经销商一月份的销售额为80万元，三月份的销售额为96.8万元，求该经销商销售额的月平均增长率；
(2)一位消费者在购买手机时，获得了500元的补贴，则这部手机的价格最低为多少元（结果保留整数）？
29．（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个．
(1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？
(2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率；
(3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单．
30．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学．
1．（2026·内蒙古锡林郭勒·一模）2025年某车商推出了A型和B型家用电车，已知一辆A型家用电车比一辆B型家用电车单价贵7万元，若购买2辆A型家用电车和3辆B型家用电车共需139万元．
(1)求A型家用电车和B型家用电车单价分别是多少万元？
(2)为扩大市场占有率，车商决定对A型家用电车降价万元，对B型家用电车降价的金额是对A型家用电车降价金额的一半，为保证A型家用电车在消费者心目中的高端定位，A型家用电车单价不得低于B型家用电车单价的倍，求的最大值．
2．（2026·北京石景山·一模）随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量．
3．（2026·重庆南岸·模拟预测）上周蔬菜经营户用90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，黄瓜的批发价为2.4元/千克，茄子的批发价为2元/千克．
(1)他上周购买黄瓜、茄子各多少千克？
(2)本周黄瓜和茄子的批发价受各方因素影响发生了变化，茄子的批发价比黄瓜的批发价高0.5元/千克，该蔬菜经营户决定再次购买黄瓜和茄子，这次他用160元购进黄瓜，用120元购进茄子，发现购买的黄瓜、茄子的质量之比为，求本周购买黄瓜多少千克？
4．（2026·云南·一模）根据以下素材，探究完成任务1和任务2．
主题：方案选择与最低费用
6月5日是第54个“世界环境日”，某社区为提高垃圾分类意识，打造清洁优美社区，决定购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶．
素材1 已知购买2个甲型号的新型垃圾桶和购买3个乙型号的新型垃圾桶共420元．
素材2 已知购买3个甲型号的新型垃圾桶和购买5个乙型号的新型垃圾桶共680元．
素材3 据统计，该社区需购买甲、乙两种型号的新型垃圾桶共100个，乙型号的新型垃圾桶的数量不少于甲型号的新型垃圾桶数量的一半．
问题解决
(1)任务1：求甲、乙两种型号的新型垃圾桶的单价．
(2)任务2：如何设计购买方案更省钱？最低购买费用是多少元？
5．（2026·辽宁铁岭·三模）某班级开展知识竞赛，需要购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．若买5盒A款盲盒、15盒B款盲盒，共需130元；若买10盒A款盲盒、10盒B款盲盒，共需140元．
(1)求A，B款两种盲盒的单价；
(2)若班级刚好用100元购进A、B两种款式的盲盒，有几种购进方案？
6．（2026·安徽池州·二模）某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数）
7．（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省大力推进智能制造，以合肥、芜湖为核心的机器人产业集群快速发展，已成为全国重要的机器人产业高地．某科技公司2023年机器人项目营业收入为4800万元，经过连续两年的增长，2025年机器人项目营业收入达到8112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人项目营业收入的年平均增长率．
8．（2026·辽宁·一模）2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题．随着“哪吒”IP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？
9．（2026·山西晋中·一模）某科技公司研发了甲、乙两款智能体，用于处理企业日常办公任务．在企业每份日常办公任务难度相同的前提下，对两款智能体进行了测试，发现智能体甲平均每小时能完成的日常办公任务数比智能体乙多10份，智能体甲完成600份日常办公任务所用时间是智能体乙完成500份日常办公任务所用时间的．求智能体乙平均每小时能完成多少份日常办公任务？
10．（2026·云南·一模）学校文印室采购数量相同的甲、乙两种复印纸，其中采购甲花费元，采购乙花费元．已知甲的单价比乙的单价多元，问甲的单价为多少元？
11．（2026·黑龙江大庆·一模）大庆高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放，已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道每小时通过车辆数的2.5倍，当通过600辆车时，通道比人工收费通道少用，分别求人工收费通道和通道每小时通过车辆的数量．
12．（2026·陕西·一模）2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”．某校计划开展趣味数学活动，数学老师欲购买汉诺塔作为活动道具，已知文具店里汉诺塔售价为15元套，文具店的优惠方案如下：一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折．设数学老师购买套汉诺塔，购买费用为元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买多少套汉诺塔？
13．（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表：
销售价格x（元/升） 4 5 10
市场需求量n（升） 120 110 60
经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升．
(1)求n与x的函数关系式；
(2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润；
(3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？
14．（2026·辽宁盘锦·一模）某水果店购进苹果和香蕉两种水果共100千克，其中苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元．已知总进价不超过380元．设购进苹果x千克．
(1)根据题意列出不等式，并求出x的取值范围；
(2)若苹果售价为6元千克，香蕉售价为4元千克，且全部售出，求总利润y（元）与x的函数关系式，并求当x为何值时总利润最大？最大利润是多少？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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