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题号猜押11 中考数学22题解直角三角形应用（解答题）
考点1 仰角俯角问题
1．（2026·湖北·模拟预测）如图，为测量塔的高度，某校数学实践小组在点处架设测角仪，在点测得塔顶的仰角为，接着朝塔方向前进米到达处（点，，在同一条直线上），在点测得塔顶的仰角为．已知测角仪的高度米，求塔的高度．（，结果保留整数）
2．（2026·安徽六安·二模）2025年11月6日，世界首座公铁两用双层斜拉—悬索协作体系大桥铜陵长江三桥正式通车．某数学活动小组测量主桥塔顶到江面的距离，测量方案如下：
实物图
测量工具 卷尺、测角仪……
测量示意图
测量方案及数据 在江边一点处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进到达点，点处有一高为4m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为（点，，在同一水平直线上，且，均垂直于）
参考数据 ，，
请根据上表计算出主桥塔顶到江面的距离（即的长）（结果精确到）．
3．（2026·天津宁河·二模）综合实践活动中，要用无人机和测角仪测量天津西站小洋楼（如图①）的高度．
某学习小组设计了一个方案：如图②，点B，E，C依次在同一条水平直线上，，．无人机在E处垂直起飞至H点，测得楼顶A的仰角是，一位同学在离E点的C处，在D处用测角仪测得无人机H处的仰角为，测得小洋楼顶部A的仰角为，测角仪．综合数据：，．
(1)计算无人机从地面起飞到H点的高度（结果取整数）
(2)计算天津西站小洋楼的高度（结果取整数）．
4．（2026·山东济宁·二模）【活动背景】某兴趣小组要测量公园里一个凉亭（如图①）的高度，经实地查看，同学们发现凉亭位于一个人工湖上，周围仅一条曲折的两侧带有栏杆的步道，设计了如下方案．
【测量工具】测角仪、皮尺．
【图纸设计】如图②，为凉亭，及为测角仪的支架，点C和处为测角仪的位置．
【方案设计】
要求一名同学在步道上正对凉亭站立，利用测角仪测得凉亭顶端的仰角，将测角仪向凉亭移动一段距离，再次测得凉亭顶端的仰角．
【方案评价】
测角仪在本方案中发挥了重要作用，其规范使用会使得结果更加精确．
【规范建议】
组员：测角仪的支架的高度要适当，避开两侧栏杆的影响．
组长：测角仪的支架的高度移动前后要确保高度相同．
教师：移动测角仪时要保证前后位置与凉亭顶端所在的直线在同一平面内．
【方案实施】
测量数据：测角仪的支架高度米，凉亭顶端的仰角分别为，，测量点D，之间的距离米，，，，，所有点在同平面内．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求凉亭的高度；（保留一位小数，参考数据：，，，，，）
【方案反思】
(2)在小组讨论决定测量方案时，某组员提出了“利用物体在阳光下的影子测量凉亭的高度”的方案没有被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
5．（2026·安徽阜阳·二模）某兴趣小组在数学活动课中测量古塔的高度．如图，是小山坡，测得，坡角为，．是测角仪，．已知，从点测得点的仰角为．求古塔的高度．（参考数据：，，）
考点2 方位角问题
6．（2026·湖南长沙·二模）“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，）
(1)求BC段的长度（结果保留整数）；
(2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由．
7．（2026·安徽合肥·二模）如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，）
8．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，一货船从A处前往北偏东方向相距的B处．在A处北偏东方向，B处北偏西方向有一个小岛P，小岛周围有暗礁．请回答下列问题：
(1) ， ；
(2)如果货船沿着原来的方向行驶，是否有触礁的危险？（参考数据：，）
9．（2026·重庆沙坪坝·一模）科技赋能环保，智慧守护自然，嘉陵江重庆段的某一水域采用智能船进行水质监测．如图，，，，在同一平面内，，是智能船的水质监测基站．位于的正东方向，位于的正北方向20米处，位于的北偏东方向20米处，且位于的北偏西方向上．（参考数据：，）
(1)求，之间的距离；（结果保留小数点后一位）
(2)甲，乙两船同时分别从，出发沿，方向进行水质监测，甲，乙两船的速度之比是．当两船相距20米时，甲船检测到疑似被污染的水样，准备立即返回基站，求此时甲船距离基站有多远？（结果保留小数点后一位）
10．（2026·湖南益阳·二模）某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示．
(1)求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离；
(2)上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：）
考点3 坡度坡比问题
11．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下：
（i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12；
（ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为；
（iii）和车库地面均与水平方向平行．
已知坡度，试根据上述信息解决以下问题：
(1)求主坡道的铅直高度；
(2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离）
①求车库高度；
②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由．
参考数据：当时，，．
12．（2026·陕西咸阳·三模）渭河是黄河第一大支流．小铃和晓华想测量某段渭河边一棵柳树到斜坡坡脚的距离，出于安全考虑，柳树边不能直接到达，如图，小铃站在坡脚C处，晓华在坡上的点E处，调整自己眼睛的高度，当眼睛在D处时，恰好看到小铃的头顶B和柳树的树根A重合．延长交的延长线于点F，测得小铃的身高米，晓华的眼睛到坡面的竖直高度米，斜坡的坡角，小铃与晓华之间的水平距离米，，，所有点均在同一平面内，请你求出柳树到斜坡坡脚的距离．（参考数据：，，）
13．（2026·安徽阜阳·二模）如图，某市畅通二环一座人行天桥的引桥的截面图，其中桥面为，引桥的水平宽度，，，，，的坡比为，求引桥高的长度．（参考数据，，）
14．（2026·湖南娄底·模拟预测）紫鹊界梯田（如图1）位于娄底市新化县，是苗瑶先民在山脊上用2000年时间雕刻出的8万亩壮丽画卷．如图2，梯田所在山坡的坡度为，山底有一条小路，几位同学在老师的指导下使用无人机在距离地面（小路所在平面）高度为的点D处，分别测得小路两端A、C的俯角为和，测得山顶B的仰角为．（结果保留整数，取，，，，）
(1)求小路的长度；
(2)求梯田坡面的长度．
15．（2026·陕西西安·模拟预测）海岛勘测中，勘测员从点出发，沿坡度为的山坡走了米到达坡顶的观测站，助理从点出发沿正东方向前进米到达点观测．灯塔建在与、同一水平线上的点，灯塔顶端为点．勘测员在处看灯塔顶端的仰角为，助理在处测得点的仰角为（点、、、、在同一平面内）．灯塔的设计高度要求为米，请你帮他们计算一下灯塔的高度（图中）是否符合设计要求．（参考数据：，）
考点4 实物构造问题
16．（2026·山东济南·二模）如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，．
(1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）；
(2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
17．（2026·山东临沂·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：于点于点于点，若分米，．
(1)求的长；
(2)“碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时，于点，求点上升的高度．（结果保留一位小数．）【参考数据：，，，，，】
18．（2026·山西·三模）项目式学习
项目背景：为提升教室多媒体教学的展示效果，学校需对各班投影仪的安装高度进行标准化调试．综合实践小组同学利用所学的知识测量投影仪投屏最高点到地面的距离，并形成了如下报告．
项目主题 测量投影仪投屏最高点到地面的距离
项目内容 利用锐角三角函数解直角三角形的有关知识测量与计算
测量过程 图1是综合实践小组同学用落地投影仪投屏的实物图． 图2是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，支撑杆距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角（说明：点C，F，B在同一水平直线上，所有点均在同一竖直平面内）
交流展示 ……
请根据上述数据，求投影仪投屏最高点到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，）
19．（2026·山东济南·一模）如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，．
(1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度；
(2)求的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
20．（2026·广东茂名·一模）【阅读材料】
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值．
时刻/时 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25
【问题解决】
(1)当时．
①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值．
②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离．
(2)如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？
1．（2026·山东临沂·二模）【实验主题】大型滑梯滑道长度检测
【实验背景】某游乐场计划为大型滑梯更换耐磨防滑垫，由于滑梯落差很大（超过米），且滑道表面有弧度，工程人员无法直接使用软尺贴合测量，为此，项目组设计了一个“高度——角度辅助测量法”，利用三角函数间接计算滑道长度．
【实验原理】如图①，将滑梯的滑道简化为直角三角形的斜边，已知滑梯平台的垂直高度（固定值），滑道与水平地面的夹角．在中，利用正弦函数关系，可由和推算出滑道长度（即斜边的长）．
【实验数据与任务】已知该系列滑梯平台的垂直高度米．
(1)【模型建立】设滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角，请用含，的代数式表示；
(2)【数据检测】工程师对两个不同坡度的滑梯进行了测量，数据如下表：
滑梯编号 坡角 标准滑道长度（米）
滑梯
滑梯
请通过计算判断：哪个滑梯的滑道长度不符合标准？（参考数据：）
(3)【误差探究】工程师在现场测量时发现，滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道（如图②），若工程师在计算时，未考虑缓冲坡道的影响，仍错误地将滑梯主体的垂直高度按代入进行计算．
请分析：①由于缓冲坡道占据了一定高度，滑梯主体的实际垂直高度____________；（填“”“”或“”）
②这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度____________．（填“偏大”或“偏小”）
2．（2026·四川成都·一模）如图1是一款教学设备的实物图，如图2是该款设备放置在水平桌面上的平面示意图，该教学设备是由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在处的摄像头组成．已知支撑臂与底座的夹角，底座高为，连杆，水平桌面，连杆与悬臂的夹角，求点到水平桌面的距离．（结果精确到，参考数据：
3．（2026·河南驻马店·一模）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构．小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚处测得信号钢支架顶端的仰角为，沿着斜坡从点走到点处测得信号钢支架顶端的仰角为，已知的坡度为，学习小组画出如图所示的示意图，于点，于点，米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据作答（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，第（1）问结果保留整数，第（）问结果保留小数点后一位，参考数据：，，）
(1)求出山的高度；
(2)求出信号钢支架的高度．
4．（25-26九年级下·河南新乡·期中）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，米，．（点，，，在同一竖直平面内）．
(1)求平台的高度；
(2)求建筑物的高度的长（精确到）．（参考数据，）
5．（2026·重庆·模拟预测）如图，四边形是某小区步道，点A，B，C，D在同一平面内，点B在点A的南偏东方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西方向，且A、C两地相距300米．（参考数据： ， ， ）
(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；
(2)小昆从点B出发沿步行到终点A，同时小萱从点A出发，沿步行到终点D，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数）．
6．（2026·天津红桥·一模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，．
7．（2026·河南周口·一模）我国古代数学名著《九章算术》中有记载“仰高测距”问题，传承中华数学文化．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树的 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为，然后向古树底端 C 步行米到达点 B 处，测得古树顶端 D 的仰角为，且点A，B，C在同一直线上．求古树的高度．（已知：，，结果保留整数）
8．（2026·河南·二模）如图，左、右并排有两棵大树，左低右高且底部相距为米．小华眼睛距水平地面米．当她走到处时，眼睛在处，发现此时刚好能看到低树的顶端，此时．当她到达处时，眼睛在处，刚好看不到高树的树顶，即、、在同一直线上，且，此时小华距离低树米，点、、、在同一条水平直线上，图中字母均在同一平面内，请你求出两棵树的高度，并求出小华从处至少前进多少米时，就看不到右边高树的顶端了.（，，，结果保留一位小数）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)题号猜押11 中考数学22题解直角三角形应用（解答题）
考点1 仰角俯角问题
1．（2026·湖北·模拟预测）如图，为测量塔的高度，某校数学实践小组在点处架设测角仪，在点测得塔顶的仰角为，接着朝塔方向前进米到达处（点，，在同一条直线上），在点测得塔顶的仰角为．已知测角仪的高度米，求塔的高度．（，结果保留整数）
【答案】塔的高度约为米
【分析】延长交于点，利用三角函数关系列出方程，求解即可．
【详解】解：延长交于点，如图，设米，
由题意可得，，，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴塔的高度约为米．
2．（2026·安徽六安·二模）2025年11月6日，世界首座公铁两用双层斜拉—悬索协作体系大桥铜陵长江三桥正式通车．某数学活动小组测量主桥塔顶到江面的距离，测量方案如下：
实物图
测量工具 卷尺、测角仪……
测量示意图
测量方案及数据 在江边一点处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进到达点，点处有一高为4m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为（点，，在同一水平直线上，且，均垂直于）
参考数据 ，，
请根据上表计算出主桥塔顶到江面的距离（即的长）（结果精确到）．
【答案】主桥塔顶到江面的距离为
【分析】作于点，设，，可得，解即可．
【详解】解：如图，作于点，
∵，，，，
设，则，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，得，
解得．
∴主桥塔顶到江面的距离为．
3．（2026·天津宁河·二模）综合实践活动中，要用无人机和测角仪测量天津西站小洋楼（如图①）的高度．
某学习小组设计了一个方案：如图②，点B，E，C依次在同一条水平直线上，，．无人机在E处垂直起飞至H点，测得楼顶A的仰角是，一位同学在离E点的C处，在D处用测角仪测得无人机H处的仰角为，测得小洋楼顶部A的仰角为，测角仪．综合数据：，．
(1)计算无人机从地面起飞到H点的高度（结果取整数）
(2)计算天津西站小洋楼的高度（结果取整数）．
【答案】(1)无人机从地面起飞到H点的高度约为6米
(2)28米
【分析】（1）过D点作于点G，交线段于点M，则， ，在中，可得到米，即可；
（2）过H点作于点F，则，， 在中，可得，从而得到．在中， 利用，可得，即可求解．
【详解】（1）解：过D点作于点G，交线段于点M，则， ．
在中，米，，
∴，
∴（米），
∵米，
∴（米）．
答：无人机从地面起飞到H点的高度约为6米；
（2）解：过H点作于点F，则，，
在中，，
∴，
∴．
在中，，
，
即，
解得（米）．
∴（米）．
答：天津西站小洋楼的高度约为28米．
4．（2026·山东济宁·二模）【活动背景】某兴趣小组要测量公园里一个凉亭（如图①）的高度，经实地查看，同学们发现凉亭位于一个人工湖上，周围仅一条曲折的两侧带有栏杆的步道，设计了如下方案．
【测量工具】测角仪、皮尺．
【图纸设计】如图②，为凉亭，及为测角仪的支架，点C和处为测角仪的位置．
【方案设计】
要求一名同学在步道上正对凉亭站立，利用测角仪测得凉亭顶端的仰角，将测角仪向凉亭移动一段距离，再次测得凉亭顶端的仰角．
【方案评价】
测角仪在本方案中发挥了重要作用，其规范使用会使得结果更加精确．
【规范建议】
组员：测角仪的支架的高度要适当，避开两侧栏杆的影响．
组长：测角仪的支架的高度移动前后要确保高度相同．
教师：移动测角仪时要保证前后位置与凉亭顶端所在的直线在同一平面内．
【方案实施】
测量数据：测角仪的支架高度米，凉亭顶端的仰角分别为，，测量点D，之间的距离米，，，，，所有点在同平面内．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求凉亭的高度；（保留一位小数，参考数据：，，，，，）
【方案反思】
(2)在小组讨论决定测量方案时，某组员提出了“利用物体在阳光下的影子测量凉亭的高度”的方案没有被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先得到四边形，是矩形，然后先解，再解即可；
（2）由于凉亭位于人工湖上，其影子可能在水面上，无法准确测量影子的长度．
【详解】（1）解：∵，，
∴四边形是矩形，
∴
∵
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是矩形
∴，
∵，
∴
设，则，
∵
∴
解得
∴
答：凉亭的高度为．
（2）解：因为凉亭位于人工湖上，其影子可能在水面上，无法准确测量影子的长度．
5．（2026·安徽阜阳·二模）某兴趣小组在数学活动课中测量古塔的高度．如图，是小山坡，测得，坡角为，．是测角仪，．已知，从点测得点的仰角为．求古塔的高度．（参考数据：，，）
【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点，根据题意，得，，四边形是矩形，四边形是矩形，解得出，进而求得的长，根据即可求解．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点，如图，
根据题意，得，，四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，，
，，
（），（）．
（），
，，
（），
答：古塔的高度约为 ．
考点2 方位角问题
6．（2026·湖南长沙·二模）“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，）
(1)求BC段的长度（结果保留整数）；
(2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由．
【答案】(1)BC段的长度约为140米
(2)小汽车在BC段行驶时没有超速，理由见解析
【分析】（1）分别在和中求出求和，即可求出BC段的长度；
（2）根据时间和BC段的长度计算出车速，与限速比较即可．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴（米），
答：段的长度约为140米；
（2）解：小汽车没有超速，理由如下：
小汽车行驶的速度（米/秒），
∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时，
∴小汽车在段行驶时没有超速．
7．（2026·安徽合肥·二模）如图，快递小哥从地出发前往正东方向距离的快餐店地取外卖，送到的正南方向某小区地，送完餐后，在处又接到一单，到北偏西方向的火锅店处取餐，位于的南偏东方向，求快递小哥这个过程中总共走了多少米．（结果保留整数，参考数据：，，，，，）
【答案】快递小哥这个过程中总共走了
【分析】过点作于点，过点作于点．在中求出，．在中求出，进而可求出快递小哥这个过程中总共走了多少米．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点．
由图可知，四边形是矩形，
，．
根据题意，，，
，
．
，
，
，
，
．
答：快递小哥这个过程中总共走了．
8．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，一货船从A处前往北偏东方向相距的B处．在A处北偏东方向，B处北偏西方向有一个小岛P，小岛周围有暗礁．请回答下列问题：
(1) ， ；
(2)如果货船沿着原来的方向行驶，是否有触礁的危险？（参考数据：，）
【答案】(1)，
(2)没有触礁的危险
【分析】（1）如图（见解析），先根据题意可得，，，，再根据平行线的性质和角的和差求解即可；
（2）过点作于点，解直角三角形求出的长，再与进行大小比较即可．
【详解】（1）解：如图，由题意得：，，，，
∴，，
∴．
（2）解：如图，过点作于点，
设，
由题意和（1）得：，，，
∴在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
即在点与上所有点的连线得到的线段中，长度最小的是，
∴如果货船沿着原来的方向行驶，没有触礁的危险．
9．（2026·重庆沙坪坝·一模）科技赋能环保，智慧守护自然，嘉陵江重庆段的某一水域采用智能船进行水质监测．如图，，，，在同一平面内，，是智能船的水质监测基站．位于的正东方向，位于的正北方向20米处，位于的北偏东方向20米处，且位于的北偏西方向上．（参考数据：，）
(1)求，之间的距离；（结果保留小数点后一位）
(2)甲，乙两船同时分别从，出发沿，方向进行水质监测，甲，乙两船的速度之比是．当两船相距20米时，甲船检测到疑似被污染的水样，准备立即返回基站，求此时甲船距离基站有多远？（结果保留小数点后一位）
【答案】(1)34.6米
(2)11.5米
【分析】（1）过点作交的延长线于点，在中，分别求出米，米．可得米，在中，由勾股定理可得米；
（2）如图，甲、乙两船分别在，处时，连接，当时，过点作于点．根据米可得，得出可判断是等边三角形，得到米；设，则，，，在中求出，．得出．在中根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作交的延长线于点，
则，
在中，，米，
（米），（米），
米，
（米），
在中，（米），
答：之间的距离约为34.6米．
（2）解：如图，甲、乙两船分别在，处时，连接，当时，过点作于点．
，
，
，
．
，
又，
∴，
是等边三角形，
米，
设，则，，，
在中，，，
．
在中，，
．
解这个方程，得， （不合题意，舍去）．
答：此时甲船距离基站约为11.5米．
10．（2026·湖南益阳·二模）某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示．
(1)求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离；
(2)上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：）
【答案】(1)
(2)能在上午11:20前到达
【分析】(1) 过点作于点，利用及方向角求出的长，即为最短距离．
(2) 在中，利用和求出的长，再计算骑行所需时间与
20分钟比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
监测员从处沿正南方向骑行到处，
为正南方向，为东西方向，
从到沿北偏西方向，，
，
在中，，
，
他与湿地监测站之间的最短距离为．
（2）解：在中，，，
点位于的南偏西方向，
，
，
骑行速度为，
所需时间，
分钟，
从骑行回需要11.25分钟，
出发，经过11.25分钟后为11:11:15，
能在上午11:20前到达．
考点3 坡度坡比问题
11．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下：
（i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12；
（ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为；
（iii）和车库地面均与水平方向平行．
已知坡度，试根据上述信息解决以下问题：
(1)求主坡道的铅直高度；
(2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离）
①求车库高度；
②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由．
参考数据：当时，，．
【答案】(1)
(2)①；②该坡道的最小净高符合设计规范，理由见解析
【分析】（1）根据坡度定义求解即可；
（2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可；
②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可．
【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为，
∴在中，，
∴，
答：主坡道的铅直高度为；
（2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的，
∴在中，，
解得，
在中，
解得：，
，
答：车库高度为；
②该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下：
如图，过E作于P，交于M，过M作于S，
则，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∵，
∴该坡道的最小净高符合设计规范．
12．（2026·陕西咸阳·三模）渭河是黄河第一大支流．小铃和晓华想测量某段渭河边一棵柳树到斜坡坡脚的距离，出于安全考虑，柳树边不能直接到达，如图，小铃站在坡脚C处，晓华在坡上的点E处，调整自己眼睛的高度，当眼睛在D处时，恰好看到小铃的头顶B和柳树的树根A重合．延长交的延长线于点F，测得小铃的身高米，晓华的眼睛到坡面的竖直高度米，斜坡的坡角，小铃与晓华之间的水平距离米，，，所有点均在同一平面内，请你求出柳树到斜坡坡脚的距离．（参考数据：，，）
【答案】米．
【分析】先利用解直角三角形和线段的和差求得，再证明，最后利用相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：∵，米，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，解得：米．
柳树到斜坡坡脚的距离为米．
13．（2026·安徽阜阳·二模）如图，某市畅通二环一座人行天桥的引桥的截面图，其中桥面为，引桥的水平宽度，，，，，的坡比为，求引桥高的长度．（参考数据，，）
【答案】引桥高的长度为
【分析】如图，解求出、，进而求出，根据坡比求出，然后根据即可求解．
【详解】解：作，，垂足分别为F，G，延长交于点H，则，
在中，，
．
，
，
的坡比为，
，
．
答：引桥高的长度为．
14．（2026·湖南娄底·模拟预测）紫鹊界梯田（如图1）位于娄底市新化县，是苗瑶先民在山脊上用2000年时间雕刻出的8万亩壮丽画卷．如图2，梯田所在山坡的坡度为，山底有一条小路，几位同学在老师的指导下使用无人机在距离地面（小路所在平面）高度为的点D处，分别测得小路两端A、C的俯角为和，测得山顶B的仰角为．（结果保留整数，取，，，，）
(1)求小路的长度；
(2)求梯田坡面的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点D作，由题意得：，然后根据三角函数可进行求解；
（2）过点B作，延长交于点M，由题意得：，然后可得，设，则，，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】（1）解：过点D作，如图，
由题意得：，
∴，
在中，，
在中，，
∴；
答：小路的长度为．
（2）解：过点B作，延长交于点M，如图，
由题意得：，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，设，则，
，
在中，，即，
解得：，
∴．
15．（2026·陕西西安·模拟预测）海岛勘测中，勘测员从点出发，沿坡度为的山坡走了米到达坡顶的观测站，助理从点出发沿正东方向前进米到达点观测．灯塔建在与、同一水平线上的点，灯塔顶端为点．勘测员在处看灯塔顶端的仰角为，助理在处测得点的仰角为（点、、、、在同一平面内）．灯塔的设计高度要求为米，请你帮他们计算一下灯塔的高度（图中）是否符合设计要求．（参考数据：，）
【答案】符合设计要求
【分析】过点作于，于，由得米，米，由四边形是矩形得，米，由是等腰直角三角形，得，得到 ，设 米，则米，解得米，米，再根据 列出方程求出的值即可判断求解．
【详解】解：如图，过点作于，于，则，
由题意得，，，米，米，
在中，∵坡度为，
∴，
设米，则米，
∵，
∴，
解得，
∴米，米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，米，
在中，∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴ ，
设 米，则米，
在中，∵，
∴米，
∴米，
∵，
∴，
解得，
∴米，
∵，，，
∴灯塔的高度符合设计要求．
考点4 实物构造问题
16．（2026·山东济南·二模）如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，．
(1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）；
(2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，）
【答案】(1)遮蔽宽度为；
(2)点下降的高度约为．
【分析】（1）由对称性可知，，根据正切的定义求出，即可得出答案；
（2）过作于点，证明四边形是矩形，得出，分别求出，时，对应的值，然后相减即可求解．
【详解】（1）解：由对称性可知，，
在中，，
，
∵，
，
．
答：遮蔽宽度为；
（2）解：如图，过点作于点．
，，，
，
∴四边形是矩形，
，
在中，，
当时，；
当时，，
．
答：点下降的高度约为．
17．（2026·山东临沂·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：于点于点于点，若分米，．
(1)求的长；
(2)“碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时，于点，求点上升的高度．（结果保留一位小数．）【参考数据：，，，，，】
【答案】(1)的长约为5.4分米
(2)点上升的高度为4.5分米
【分析】（1）在中，解直角三角形即可求解；
（2）作，垂足为，在和中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
，即，
，
，
，分米，
在中，（分米），
答：的长约为5.4分米；
（2）解：作，垂足为，
由题意得，点上升的高度为的长，
此时，，，
，
分米，
在中，（分米）．
在中，（分米）
答：点上升的高度为4.5分米．
18．（2026·山西·三模）项目式学习
项目背景：为提升教室多媒体教学的展示效果，学校需对各班投影仪的安装高度进行标准化调试．综合实践小组同学利用所学的知识测量投影仪投屏最高点到地面的距离，并形成了如下报告．
项目主题 测量投影仪投屏最高点到地面的距离
项目内容 利用锐角三角函数解直角三角形的有关知识测量与计算
测量过程 图1是综合实践小组同学用落地投影仪投屏的实物图． 图2是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，支撑杆距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角（说明：点C，F，B在同一水平直线上，所有点均在同一竖直平面内）
交流展示 ……
请根据上述数据，求投影仪投屏最高点到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】投影仪投屏最高点到地面的距离约为．
【分析】分别过点D，E作，垂足分别为N，M．由题可得，四边形和四边形均为矩形．在中，，解直角三角形求出，，在中，解直角三角形求出，即可解答．
【详解】分别过点D，E作，垂足分别为N，M．
由题可得，四边形和四边形均为矩形．
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，．
∴．
∴．
答：投影仪投屏最高点到地面的距离约为．
19．（2026·山东济南·一模）如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，．
(1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度；
(2)求的长．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)A点上升的高度
(2)的长为
【分析】（1）过点A作于G，作于N，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
（2）证明四边形为矩形，得，．解求出，，解，得，由可得结论．
【详解】（1）解：过点A作于G，作于N，
在中，，，
由题意得，．
答：A点上升的高度．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
答：的长为．
20．（2026·广东茂名·一模）【阅读材料】
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米．
素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值．
时刻/时 12 13 14 15
角的正切值 5 2.5 1.25
【问题解决】
(1)当时．
①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值．
②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离．
(2)如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？
【答案】(1)①1；②0.9米
(2)绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米
【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可；
（2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形即可得解．
【详解】（1）解：①如图，过点作于点，
由题意，得，
四边形是矩形.
又，
四边形是正方形，
，
，
②如图，过点作于点，
，.
在中，，
即，解得，
；
（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，
则，
，
，
由表格可知，在12时-14时，
夹角的正切值逐渐减小，即逐渐减小，
14时点最靠近墙角，
在中，，
，解得，
，
则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米．
1．（2026·山东临沂·二模）【实验主题】大型滑梯滑道长度检测
【实验背景】某游乐场计划为大型滑梯更换耐磨防滑垫，由于滑梯落差很大（超过米），且滑道表面有弧度，工程人员无法直接使用软尺贴合测量，为此，项目组设计了一个“高度——角度辅助测量法”，利用三角函数间接计算滑道长度．
【实验原理】如图①，将滑梯的滑道简化为直角三角形的斜边，已知滑梯平台的垂直高度（固定值），滑道与水平地面的夹角．在中，利用正弦函数关系，可由和推算出滑道长度（即斜边的长）．
【实验数据与任务】已知该系列滑梯平台的垂直高度米．
(1)【模型建立】设滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角，请用含，的代数式表示；
(2)【数据检测】工程师对两个不同坡度的滑梯进行了测量，数据如下表：
滑梯编号 坡角 标准滑道长度（米）
滑梯
滑梯
请通过计算判断：哪个滑梯的滑道长度不符合标准？（参考数据：）
(3)【误差探究】工程师在现场测量时发现，滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道（如图②），若工程师在计算时，未考虑缓冲坡道的影响，仍错误地将滑梯主体的垂直高度按代入进行计算．
请分析：①由于缓冲坡道占据了一定高度，滑梯主体的实际垂直高度____________；（填“”“”或“”）
②这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度____________．（填“偏大”或“偏小”）
【答案】(1)
(2)滑梯的滑道不符合标准
(3)①，②偏大
【分析】（1）根据正弦的定义可得；
（2）分别求出两个滑梯的垂直高度，把计算出来的结果与垂直高度米比较，可得滑梯不符合标准；
（3）①滑梯底部并非直接着地，而是与水平地面有一个倾斜的缓冲坡道，所以滑梯主体的实际垂直高度；
②根据可知，，所以计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度偏大．
【详解】（1）解：滑道长度（米），滑梯平台的垂直高度（米），坡角，
，
；
（2）解：滑梯：，，
米，
故滑梯的滑道长度符合标准；
滑梯：，，
米，
故滑梯的滑道不符合标准；
（3）①解：缓冲坡道占据了一定高度，
滑梯主体的实际垂直高度；
②，
，
这样计算出的滑道长度会比滑梯主体的真实长度偏大．
2．（2026·四川成都·一模）如图1是一款教学设备的实物图，如图2是该款设备放置在水平桌面上的平面示意图，该教学设备是由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在处的摄像头组成．已知支撑臂与底座的夹角，底座高为，连杆，水平桌面，连杆与悬臂的夹角，求点到水平桌面的距离．（结果精确到，参考数据：
【答案】
【分析】过点作于点，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形，故，根据三角函数分别求出和，代入求解即可得出结果．
【详解】解：如解图，过点作于点，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形，
．
，
．
在中，，即．
，
．
，
．
在中，，即，
，
，
．
答：点到水平桌面的距离约为．
3．（2026·河南驻马店·一模）山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构．小明及其学习小组想知道山上信号钢支架的高度，在山脚处测得信号钢支架顶端的仰角为，沿着斜坡从点走到点处测得信号钢支架顶端的仰角为，已知的坡度为，学习小组画出如图所示的示意图，于点，于点，米，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据作答（在测量的过程中，测量者和工具的高度忽略不计，第（1）问结果保留整数，第（）问结果保留小数点后一位，参考数据：，，）
(1)求出山的高度；
(2)求出信号钢支架的高度．
【答案】(1)山的高度为米；
(2)信号钢支架的高度约为米．
【分析】（）过点作于点，由于点，于点，则四边形为矩形，然后通过坡度定义即可求解；
（）设米，在中，，，则，即，则，在中，，则，然后列出方程即可．
【详解】（1）解：过点作于点，由于点，于点，如图所示：
则四边形为矩形，
∴，，
∵斜坡的坡度为，且米，
∴，
米，
答：山的高度为米；
（2）解：设米，
在中，，，
则，即，
∵，
∴，
在中，，则，
∴，
解得，
答：信号钢支架的高度约为米．
4．（25-26九年级下·河南新乡·期中）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度，米，．（点，，，在同一竖直平面内）．
(1)求平台的高度；
(2)求建筑物的高度的长（精确到）．（参考数据，）
【答案】(1)平台的高度为米；
(2)建筑物的高度（即的长）约为米．
【分析】（1）过点作于点，，由斜坡的坡度，得出，再由勾股定理计算即可得出结果；
（2）延长交于点，证明四边形为矩形，得出米，，设米，则米，解直角三角形得出米，从而得出米，由（1）可得米，再结合，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，，
∵斜坡的坡度，
∴，
∴，
∵，米，
∴米，
答：平台的高度为米；
（2）解：延长交于点F，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，，
设米，则米，
∵在中，，
∴米，
∵在中，，
∴（米），
∴米，
由（1）有（米），
∵，
∴，
解得，
∴（米），
答：建筑物的高度（即的长）约为米．
5．（2026·重庆·模拟预测）如图，四边形是某小区步道，点A，B，C，D在同一平面内，点B在点A的南偏东方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西方向，且A、C两地相距300米．（参考数据： ， ， ）
(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；
(2)小昆从点B出发沿步行到终点A，同时小萱从点A出发，沿步行到终点D，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数）．
【答案】(1)米
(2)当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米
【分析】（1）过点作于点，解直角三角形即可求得，；
（2）设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点，分别求得，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
依题意，（米），
∴（米），
∴（米）；
（2）解：如图，设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点，
∴米，
∵小昆与小萱步行的速度之比为，
∴，
设米，则米，米，
在中，，
∴米，米，
∴米，
在中，，
∴，
整理得，，
解得：（不是第一次相距100米，舍去），
∴（米），
答：当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米．
6．（2026·天津红桥·一模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，．
【答案】
【分析】作辅助线构造直角三角形，过点B作于点H，由题意可推出，，在中，可利用正切函数表示出的长度；在中，可利用正弦函数表示出的长度．因为，所以可列出关系式，求解得到的值．在中，可利用正弦函数求出的长度．
【详解】解：如图，过B作，垂足为H．
根据题意，，，，
在中，，
，
在中，，，
，
，
，
，
．
答：池塘两端的距离约为．
7．（2026·河南周口·一模）我国古代数学名著《九章算术》中有记载“仰高测距”问题，传承中华数学文化．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树的 A 点处测得古树顶端 D 的仰角为，然后向古树底端 C 步行米到达点 B 处，测得古树顶端 D 的仰角为，且点A，B，C在同一直线上．求古树的高度．（已知：，，结果保留整数）
【答案】古树的高度为米
【分析】设米，根据题意可得米，米，再根据的正切值，列方程，求解即可．
【详解】解：由题意可知，米，，，，
则是等腰直角三角形，因此，
设米，则米，米，
在中：，即，
则，解得，
答：古树的高度约为米．
8．（2026·河南·二模）如图，左、右并排有两棵大树，左低右高且底部相距为米．小华眼睛距水平地面米．当她走到处时，眼睛在处，发现此时刚好能看到低树的顶端，此时．当她到达处时，眼睛在处，刚好看不到高树的树顶，即、、在同一直线上，且，此时小华距离低树米，点、、、在同一条水平直线上，图中字母均在同一平面内，请你求出两棵树的高度，并求出小华从处至少前进多少米时，就看不到右边高树的顶端了.（，，，结果保留一位小数）
【答案】低树高度约为米，高树高度约为米，小华至少前进米时，就看不到高树的顶端了
【分析】先由、均垂直于地面直线得出，得到，再结合得出为等腰直角三角形，求出米，将和米代入相似比求出米，分别加上小华眼睛距地面的米得到低树高米、高树高米，接着在中利用求出米，最后用减去得到米，即小华从处至少前进米就看不到高树顶端了．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
即，
解得，
在Rt中，，
∴，
即，
解得，
此时（米），
，．
答：低树高度约为米，高树高度约为米，小华至少前进米时，就看不到高树的顶端了．
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