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2026年中考数学临考冲刺卷
数 学·参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B D B C C D C D C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11.≥ 2 12. 13.9 14. 5.8 15. 16. /0.5
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）
【详解】（1）解：原式；（4分）
（2）解：，
解不等式，得；（1分）
解不等式，得；（2分）
不等式组的解集为．（4分）
18．（8分）
【详解】（1）解：（1）如图，为所作．（3分）
（2）解：∵，
在中，根据勾股定理得，（5分）
∴，（6分）
在中，根据勾股定理得．（8分）
19．（8分）
【详解】（1）解：由题意可知，共有四种等可能的情况，则抽到B．经典诵读的概率是；（2分）
（2）解：列表如下： （5分）
小艺小文 A
A
由表可知，共有16种等可能的结果，其中小文和小艺抽到同一个兴趣小组的情况共有4种，
∴小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率为．（8分）
20．（8分）
【详解】（1）解：在一次函数的图象上，
，即
在反比例函数的图象上
，解得，
反比例函数的表达式为；（4分）
（2）解：在反比例函数的图象上
∴，
解得，即
轴
点的横坐标与点的横坐标相等，
将代入，得，即
．（8分）
21．（10分）
【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元；（4分）
（2）解：①由题意可知，购买B奖品为个，
则，
即关于的函数关系式为 ；（7分）
②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，
，
∵，，
∴在内，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，此时，
答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少．（10分）
22．（10分）
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．（4分）
（2）解：过点D作于点G，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的面积为：．（10分）
23．（10分）
【详解】（1）解：∵点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且，
∴，
将、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；（3分）
（2）解：，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，y最小为，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围为：；（7分）
（3）证明：联立
则
整理得，，
∴，
∴直线与抛物线一定有两个交点；
（4）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
设，，，，
∴，，
∴，
令，
解得或，
∴，
设直线解析式为，将、代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
∵连接，交对称轴于点M，
∴联立，
即，
解得，
同理直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得，
∴，
整理得，
∴．（10分）
24．（10分）
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即为直角三角形，
∵，
∴为等腰三角形，
∴是的“奇妙分割线”；（3分）
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴，为直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是的“奇妙分割线”；（6分）
（3）解：由翻折可知，，，，
∴是等腰三角形，
又∵是的“奇妙分割线”，
∴为直角三角形；
①当时，，
∵
∴，
∴，
如图，过点A作交的延长线于F，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；（8分）
②当时，
如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
由①可知，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，即，
解得，
∴；
③当时，不存在满足题意的图形，舍去；
综上，的长为1或．（10分）
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数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1.在实数，0，，3中，最小的数是（ ）
A．0 B． C．3 D．
2.计算，正确的结果是（ ）
A．12 B． C．7 D．
3.下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5.下列调查最适合采用抽样调查的是（ ）
A．调查一个班学生的视力情况
B．校对一本书的错别字
C．调查2026年春节联欢晚会的收视率
D．神舟二十三号飞船发射前检查各零件是否正常
6.在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（ ）
A．6 B．8 C．7 D．9
7.如图，有一张三角形卡纸，点、分别是、的中点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（ ）
A． B． C． D．
9.如图所示为二次函数的图像，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10.如图，在中，，，，是边上一点（不与点A，B重合），作于点，于点．若是的中点，则的最小值是（ ）
A．5 B．12 C． D．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________。
12.小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”“千问”“元宝”。若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是______。
13．已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______。
14.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）。
15.如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为______。
16.平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P．
（1）抛物线的解析式为______；
（2）点在二次函数图像上且是在下方的一动点，______时，的值最小。
解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（8分）按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18.（8分）如图，在中，已知．
（1）尺规作图：作的高，垂足为（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）。
（2）在（1）的条件下，若，求的长。
19.（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校设立了四个兴趣小组，分别是：A．民族舞蹈；B．经典诵读；C．民族乐器；D．地方戏曲，每名学生限报一个。该校的小文和小艺对四个兴趣小组都很感兴趣，一时不知如何选择，打算用抽卡片的方式来确定，他们收集了这四个兴趣小组的宣传画，制作了如图所示四张除正面内容不同外其余均相同的不透明卡片，将卡片背面朝上洗匀后放在桌上。小文先从这四张卡片中随机抽取一张，记下卡片上的内容后放回、洗匀，小艺再从这四张卡片中随机抽取一张。他们分别以各自所抽取卡片上的内容来确定所报小组。
（1）小文抽到B．经典诵读的概率是______；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率。
20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图像交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点是反比例函数图像上的点，过点作轴，交一次函数的图像于点，求线段的长。
21.（10分）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品。若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元。
（1）A、B两奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元。
①求W关于的函数关系式；
②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？
22.（10分）如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
(2）连接，若，，求的面积。
23.（10分）如图1，抛物线与x轴交于A、B（点A在B的左边）两点，点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，求y的取值范围；
（3）请证明：直线与抛物线一定有两个交点；
（4）如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G，点P是在对称轴右侧且位于第四象限的抛物线上的一点，连接，交对称轴于点M，连接并延长，交对称轴于点N，试求的值。
24.（10分）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”。
（1）【理解定义】
如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”。
（2）【运用定义】
如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”。
（3）【拓展提升】
如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长。21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．在实数，0，，3中，最小的数是（ ）
A．0 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】利用实数大小比较的基本规则即可求解．
【详解】解：∵ 负数小于0，0小于正数，在给出的数，，，中，
是唯一的负数．
∴ ．
∴ 最小的数是．
2．计算，正确的结果是（ ）
A．12 B． C．7 D．
【答案】B
【详解】解：有理数乘法中，异号两数相乘得负，再把绝对值相乘，
．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，故此选项错误；
B、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，故此选项错误；
C、根据积的乘方，各因式分别乘方再相乘，，故此选项错误；
D、根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故此选项正确．
4．以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：对于选项A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
对于选项B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
对于选项C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
5．下列调查最适合采用抽样调查的是（ ）
A．调查一个班学生的视力情况
B．校对一本书籍的错别字
C．调查2026年春节联欢晚会的收视率
D．神舟二十三号飞船发射前检查各零件是否正常
【答案】C
【分析】根据两种调查方式的适用场景判断，调查范围小、要求精确度高、需要全面结果的适合普查，调查范围广、工作量大、无法全面调查的适合抽样调查．
【详解】解：A、调查一个班学生的视力，调查范围小，容易完成全面调查，适合普查，不符合要求；
B、校对书籍错别字，需要保证内容准确，必须全面检查，适合普查，不符合要求；
C、调查2026年春节联欢晚会的收视率，调查范围广，涉及人数极多，无法完成全面调查，最适合采用抽样调查，符合要求；
D、飞船零件检查关系到发射安全，精确度要求极高，必须逐个检查，适合普查，不符合要求．
6．在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（ ）
A．6 B．8 C．7 D．9
【答案】C
【分析】本题考查中位数的概念，将数据按从小到大排序后，根据数据个数的奇偶性确定中间位置的数，得到中位数．
【详解】解：将这组数据从小到大排列得：
6，7，7，7，8，9，9
则该组数据的中位数为．
7．如图，有一张三角形卡纸，点、分别是、的中点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理得出，利用平行线的性质得出，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴ 是的中位线，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴ ．
8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需找准两种出钱方案对应的等量关系，分别列出方程后联立即可得到正确方程组.
【详解】解：设人数为人，物价为元，
∵每人出8元时，总钱数比物价多3元，
∴；
∵每人出7元时，总钱数比物价少4元，
∴；
联立可得方程组，
故选：C.
9．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图象可得二次函数的图象与轴有两个交点，可得；二次函数的图象与轴交在负半轴，可得；当时，，对比图象可得；由对称轴可得，当时，，根据图象即可判断．
【详解】解：根据图象可得二次函数的图象与轴有两个交点，
，即，故A正确；
二次函数的图象与轴交在负半轴，
可得，故B正确；
当时，，
对称轴为直线，
当时和当时，函数值相等，
根据图象当时，，
，故C正确；
，
，
当时，，
根据图象当时，，
，故D错误．
10．如图，在中，，，，是边上一点（不与点A，B重合），作于点，于点．若是的中点，则的最小值是（ ）
A．5 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】连接，易证明四边形是矩形，进而得到，，接着利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，从而推出，当时，取得最小值，即取得最小值，在中，由勾股定理求出长，再利用“等面积法”求出长，进而求出的最小值．
【详解】解：连接，
、，
，
，
四边形是矩形，
∴，，
又∵是的中点，
∴，
，
当时，取得最小值，即取得最小值，
在中，由勾股定理得：，
，
，
解得，
，
即的最小值为．
填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴．
12．小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是______．
【答案】
【详解】解：∵小明从3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”中随机选择1款查阅资料，
∴小明恰好选择“千问”的概率是．
13．已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______．
【答案】9
【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：根据根与系数的关系可得：，，
∴
．
14．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）．
【答案】
【分析】先得出时，安全攀上墙的高度最高，再利用角的正弦函数求解即可．
【详解】解：∵要使用这个梯子安全攀上墙的高度最高，
∴应尽可能大，
∵，
∴当时，安全攀上墙的高度最高，
∵梯子长，
∴使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是．
15．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】先证明，进而求出的长，勾股定理求出的长，利用斜边上的中线求出的长即可．
【详解】解：∵矩形，，，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵点F为的中点，且，
∴．
16．平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P．
（1）抛物线的解析式为______；
（2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，______时，的值最小．
【答案】 /0.5
【分析】由直线求出与坐标轴交点、，代入抛物线求出解析式．由抛物线解析式算出对称轴，再求出直线与对称轴的交点．设抛物线上点，用两点间距离公式表示，并代入化简．通过换元将转化为二次函数，利用二次函数最值求出最小值对应的，代入求出，并检验点在下方，符合题意．
【详解】解：∵直线交轴于，交轴于：
∴令，得，令，得，
所以，
抛物线过A、B：
解得：
∴抛物线解析式为：
∴抛物线对称轴：
∵点是直线与对称轴的交点，
∴，
∴
设在抛物线上，则
∴
代入：
令，则，
∴
令，则
，
将转化为关于u的二次函数，利用二次函数性质求最值，
，
∴开口向上，最小值在，
即，也就是．
，
当时，M点纵坐标小于直线上对应点的纵坐标，满足点M在直线下方的条件，符合题意．
故．
解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）按要求完成下列各题：
(1)计算：；
(2)解不等式组：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用绝对值、算术平方根和零指数幂进行计算即可；
（2）求出每个不等式的解集取公共部分即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：，
解不等式，得；
解不等式，得；
不等式组的解集为．
18．（8分）如图，在中，已知．
(1)尺规作图：作的高，垂足为（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点向直线作垂线即可；
（2）先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长．
【详解】（1）解：（1）如图，为所作．
（2）解：∵，
在中，根据勾股定理得，
∴，
在中，根据勾股定理得．
19．（8分）为弘扬中华民族优秀传统文化，某校设立了四个兴趣小组，分别是：A．民族舞蹈；B．经典诵读；C．民族乐器；D．地方戏曲，每名学生限报一个．该校的小文和小艺对四个兴趣小组都很感兴趣，一时不知如何选择，打算用抽卡片的方式来确定，他们收集了这四个兴趣小组的宣传画，制作了如图所示四张除正面内容不同外其余均相同的不透明卡片，将卡片背面朝上洗匀后放在桌上．小文先从这四张卡片中随机抽取一张，记下卡片上的内容后放回、洗匀，小艺再从这四张卡片中随机抽取一张．他们分别以各自所抽取卡片上的内容来确定所报小组．
(1)小文抽到B．经典诵读的概率是______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用概率公式直接求解即可；
（2）根据题意列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，共有四种等可能的情况，则抽到B．经典诵读的概率是；
（2）解：列表如下：
小艺小文 A
A
由表可知，共有16种等可能的结果，其中小文和小艺抽到同一个兴趣小组的情况共有4种，
∴小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率为．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入求出，然后代入求解即可；
（2）将代入求出，然后求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：在一次函数的图象上，
，即
在反比例函数的图象上
，解得，
反比例函数的表达式为；
（2）解：在反比例函数的图象上
∴，
解得，即
轴
点的横坐标与点的横坐标相等，
将代入，得，即
．
21．（10分）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元．
(1)A、B两奖品的单价各是多少元？
(2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元．
①求W关于的函数关系式；
②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？
【答案】(1)A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元
(2)① ；②该学校购进A奖品90个，B奖品210个时总费用最少
【分析】（1）设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得；
（2）①先求出购买B奖品为个，再根据（1）的结果即可得；
②利用一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元；
（2）解：①由题意可知，购买B奖品为个，
则，
即关于的函数关系式为 ；
②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，
，
∵，，
∴在内，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，此时，
答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少．
22．（10分）如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明即可得证；
（2）过点D作于点G，根据勾股定理，三角函数的应用，结合的面积为：求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）解：过点D作于点G，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的面积为：．
23．（10分）如图1，抛物线与x轴交于A、B（点A在B的左边）两点，点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，求y的取值范围；
(3)请证明：直线与抛物线一定有两个交点；
(4)如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G，点P是在对称轴右侧且位于第四象限的抛物线上的一点，连接，交对称轴于点M，连接并延长，交对称轴于点N，试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）先求出，再将、代入列方程计算即可；
（2），则抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y最小为，当时，，当时，，结合函数图象可得当时，y的取值范围；
（3）联立，整理得，则，即可得到直线与抛物线一定有两个交点；
（4）先求出，，设，，，，则，求出直线解析式为，与抛物线联立解得，同理求出直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得， 即可得到，则，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且，
∴，
将、代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，y最小为，
当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围为：；
（3）证明：联立
则
整理得，，
∴，
∴直线与抛物线一定有两个交点；
（4）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
设，，，，
∴，，
∴，
令，
解得或，
∴，
设直线解析式为，将、代入得，
，
解得，
∴直线解析式为，
∵连接，交对称轴于点M，
∴联立，
即，
解得，
同理直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得，
∴，
整理得，
∴．
24．（10分）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”．
(1)【理解定义】
如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”．
(2)【运用定义】
如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”．
(3)【拓展提升】
如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)1或
【分析】（1）根据“奇妙分割线”的定义即可判断；
（2）根据平行四边形的性质得到，，，，则，，得到为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理求出和的长，进而推出是等腰三角形，即可证明；
（3）由翻折可知，，，，则是等腰三角形，根据是的“奇妙分割线”，可知为直角三角形，再分3种情况讨论求解线段的长即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即为直角三角形，
∵，
∴为等腰三角形，
∴是的“奇妙分割线”；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，，
∴，为直角三角形，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是的“奇妙分割线”；
（3）解：由翻折可知，，，，
∴是等腰三角形，
又∵是的“奇妙分割线”，
∴为直角三角形；
①当时，，
∵
∴，
∴，
如图，过点A作交的延长线于F，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，
如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
由①可知，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，即，
解得，
∴；
③当时，不存在满足题意的图形，舍去；
综上，的长为1或．
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