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题号猜押12 中考数学23题几何综合题（解答题）
考点1 四边形综合压轴题题
1．（2026·江苏泰州·一模）结合图形，解决问题
(1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：．
【深度探究】
(2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点．
①如图2，若，，，求的值；
②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案．
（2）①利用矩形的性质过点分别作的平行线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
②借鉴第（2）①问的方法，过点作的平行线，构造相似三角形求解．
【详解】（1）证明：如图，作，，
是的角平分线，
，
，
四边形为矩形，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）①解：如图所示,过点分别作的垂线，交于点，交于点，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，，
，
，
，
又，
，
，
②解: 如图，作，作，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了利用已知条件作辅助线，构造全等或相似三角形，解题关键是找到破题点，作辅助线，再利用全等或相似求解．
2．（2026·安徽马鞍山·二模）点A，点B是两个距离为的小区．现有甲，乙，丙，丁四个人以相同的速度沿着不同的路线从A走到B．
(1)如图1，甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是____．如图2，图①、图②、图③是三个大小相同的等边三角形，乙同学沿着的折线路线行走，则乙同学运动的路线长为______．
(2)如图3，图①、图②、图③、…、图是n个等边三角形，丙同学沿着的折线路线行走；如图4，图①、图②、图③…、图是m个半圆，丁同学沿着的曲线路线行走，则丙同学与丁同学谁先到达点B．请通过计算说明理由．（）
(3)如图5，为提升公共健康和改善生态环境．政府决定在A，B两个小区附近的空地修建公园（长方形），并在图①、图②、图③、图④四块空地上栽种植物．已知图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大，请求图④的面积．
【答案】(1)两点之间，线段最短；600
(2)丁同学先到达点B，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”即可解答；根据等边三角形的性质即可求出乙同学运动的路线长；
（2）分别求出丙同学和丁同学行走的路程，再比较二者的大小即可得出结论；
（3）根据长方形与三角形之间的面积关系得到，再结合“图③的面积比图④的面积大”列出方程，求出即可求解．
【详解】（1）解：甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是“两点之间，线段最短”；
三个等边三角形的底边长度之和刚好等于的长度，
等边三角形的三条边长度相等，乙走的折线每一段都等于对应等边三角形的边长，
所以总长度是长度，即，
所以乙同学运动的路线长为．
（2）解：丁同学先到达点B，理由如下：
计算丙同学的路程：n个等边三角形的底边长度之和为，
丙同学走的折线总长度为，
计算丁同学的路程：m个半圆的直径长度之和为，
丁同学走的曲线总长度为，
∵，且丙同学和丁同学的速度相同，
∴丁同学先到达点B．
（3）解：如图5，
∵长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大，
∴，
∴，
即图④的面积为．
3．（2026·安徽六安·二模）如图，点，是正方形边，的中点，与相交于点、连接，作交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质得到，，进而得到，证明，即可得到；
（2）证明，根据得到，进而得到，进而得到，根据得到，可证；
（3）延长交的延长线于点，证明，进而得到，证明，得到，进而得到，根据平行线分线段成比例得到，进而得到，则，，证明，则．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，，
点，是，的中点，
，
，
，
；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
，
，
，
由得，，
又，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长交的延长线于点．
∵，
∴，
∴，
即，
∴
，，，
，
，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
．
4．（2026·湖北·一模）如图1，在矩形中，，，为对角线，将绕点逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）．
(1)在图1中，连接，，求证：；
(2)如图2，当点落在的延长线上时，延长交于点，求的长；
(3)如图3，当点落在矩形的对角线上时，延长交于点．
①求证：平分；
②直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）由旋转得，，，所以可证，即可求证；
（2）过点作，垂足为，先证明四边形是矩形，再证明，即可求解；
（3）①延长交于点，连接，，设交于点，先证明，，由外角的性质得出，再由三角形内角和定理得出，即可求证；
②先证明垂直平分，再证明，求出的值，接着证明，求出的值，再证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴由勾股定理得．
由旋转可得：，，，
∵，
，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图1，过点作，垂足为，则，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
则，
∴四边形是矩形，
∴，
由旋转得：，，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：①如图2，延长交于点，连接，，设交于点，交于点，
由旋转得，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
即，∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
②答案：．
解：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，．
∵，，，
∴，
∴，，
∴为的中点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴,
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键熟练掌握基本图形和基本推理．
5．（2026·安徽马鞍山·二模）如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的值；
(3)如图2，在（2）的条件下，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证四边形与四边形关于对称，得到,,又因为,所以，结合，即可证明；
（2）过点F作于点H，根据垂直平分，易得，再根据，有，得到，证明，根据对应边成比例，求出结果；
（3）过点N作的垂线，垂足为I，设，在中求出，再利用，得出；由，得到，由，求出，在，根据勾股定理，即可求出．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
垂直平分，
关于对称，
关于对称，
四边形与四边形关于对称，
，
，
，
，
．
（2）解：过点F作于点H，如下图：
易证四边形为矩形，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：过点N作的垂线，垂足为I，如下图：
设，则，
垂直平分
，
在中，
即．
，
，
．
，
∴，
∴，
，
与关于对称，
，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，．
考点2圆综合压轴题
6．（2026·四川绵阳·二模）如图，是的直径，是的切线，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的半径
(3)连接，在（2）的条件下，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）连接，证明，利用等腰三角形和外角性质得到．
（2）连接交于点，根据第一问证明结果得到，进而得到是中位线从而求出，分别在中，根据勾股定理列出关系式来求解．
（3）过点作交延长线于点，再分别证明，，即可根据相似比求出对应线段，最后在中求出．
【详解】（1）如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图，连接交于点，
为直径，
，
，
，
，
为半径，
，
又，
是的中位线，
，
设的半径为，
在中，，
，
，
即，
解得：或（舍去），
的半径为3．
（3）如图，过点作交延长线于点，
，，
，
又
，
又，
，
，
又，
，
，
∴，
，
，
在中，，
即．
7．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，已知，正方形内接于以对角线为直径的．点E在劣弧上，连接并延长至点F，使得，连接，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：是的切线；
(3)探究，发现与证明：是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)存在，当，时，成立，理由见解析．
【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关性质和切线的判定，正方形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，理解题意，构造出合适的辅助线．
（1）根据正方形的性质可得，，再根据同弧所对的圆周角相等，即可求解；
（2）根据直径所对的圆周角为可得，，根据等量代换可得，，即可求证；
（3）作，可以得到为等腰直角三角形，，再将进行平方，通过等量代换可得，同理可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵正方形内接于以为直径的，
∴，，
由题意可得，点都在上，，
∴；
（2）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵为半径，
∴是的切线；
（3）解：存在，当，时，成立，理由如下：
作，
由题意可得，，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
作，连接，如下图：
同理可证，为等腰直角三角形，，
得到，，
，
由题意可得，，，，
∴，
∴．
8．（2026·河北保定·二模）如图，在平行四边形中，，，点P在边上（不与点B，C重合），连接，是的外接圆．
(1)若．
①当时，的度数为______；
②当P是的中点时，求的长；
(2)若，当与边或边所在直线相切时，求的长．
【答案】(1)①；②
(2)当与边所在直线相切时，的长为，当与边所在直线相切时，的长为
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，
①由垂直关系得到，利用三角形内角和计算即可；
②根据已知的线段长，推出，从而得到是等边三角形，根据这个条件，求出此时的半径，和所对圆周角是求解即可；
（2）分情况讨论，利用，过点A作的垂线，通过三角函数值设参，利用图中的平行线找到相等角，从而得到相似三角形，最后用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：①在平行四边形中，，
∴，
当时，，
∴；
②∵P是的中点，
∴，
又由（1），得，
∴是等边三角形，
∴，
如解图①，连接，，过点O作于点E，
∵，，
∴，，
∴，
∴的长为；
（2）解：分两种情况，
第一种：当与边所在直线相切时，A是切点，如解图②，连接并延长，交于点M，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由垂径定理，可知，
∵，
∴，
设，则，
由，得，
∴，，
∴；
第二种：当与所在直线相切时，如解图③，设切点为Q，连接并延长，交于点N，过点A作于点H，连接，，
同第一种情况，可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理，得，即，
解得，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
综上，当与边所在直线相切时，的长为，当与边所在直线相切时，的长为．
9．（2026·河北保定·一模）如图1，在菱形中，，，对角线与相交于点，为线段上一点，过点作，交边于点N，以点为圆心，的长为半径画弧，与点下方的线段交于点（可与点B重合），与边交于点连接．
(1)求的度数；
(2)如图2，当点与点重合时，连接，求的长；
(3)求扇形的面积最大值及此时点C与点之间的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)，点与点之间的距离为
【分析】--（1）由菱形性质可知平分，故点M到AD的距离等于点M到CD的距离．结合即可得出，由此求出即可求解；
（2）根据（1）可求，进而可得，再解三角形求出，
（3）在中，，由此得出当最大时，最大，即扇形MPQ的面积最大，当点P与点B重合时，最大，即扇形的面积最大由此解题．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴平分．
∵点在上，
∴点到的距离等于点M到的距离．
∵，
∴点到的距离等于的长．
∵，
∴为点到的距离，
∴．
∵，∴．
在菱形中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：设，
由（1）得，
∴扇形的面积为．
∵，∴当r最大时，扇形的面积最大．
∵在中，，
∴当最大时，最大，即扇形的面积最大，
∴如解图②，当点与点重合时，最大，即扇形的面积最大．
∵，
∴．
∵，∴，解得，
∴，．
在中，，
∴此时点与点重合，，
∴扇形面积的最大值为，
此时点与点之间的距离为．
【点睛】性质转化：第（1）问的关键在于将“菱形对角线平分角”转化为“点到两边距离相等”，从而证明垂直关系，这是解决此类几何证明题的常用突破口．
2．三角函数法：第（2）问直接利用菱形的特殊角度（， ）及三角函数值（ ）进行计算，比纯几何法更为简洁高效．
3．函数与方程思想：第（3）问是典型的最值问题，核心策略是“以静制动”．将动态的扇形面积转化为半径 的函数，再将 与线段 建立关系，最后利用几何位置的极限状态（ 与 重合）建立方程求解，体现了数形结合与方程思想的完美结合．
10．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，，以为直径的过线段的中点，连接，过点作于点．若点是上与点位于异侧的一个动点（），连接，，过点作交于点，，交于点．
(1)的长度是___________；
(2)求证：直线是的切线；
(3)请探究在点的运动过程中，的值是否改变？若不变，请求出此值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)见解析
(3)不变，16
【分析】（1）由圆周角定理可得，即，再结合题意得出是的垂直平分线，由垂直平分线的性质即可得出结果；
（2）连接，证明是的中位线，得出，从而可得，即可得证；
（3）过点作于点，过点作于点，则，证明，得出，再证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，最后证明得出，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，即，
又∵是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴的长度是4；
（2）证明：连接，如图：
，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线
，
，即，
是的半径，且，
直线是的切线．
（3）解：的值是定值16．理由如下：
如图：过点作于点，过点作于点，
则，
是的直径，
又，
，
，即，
同理可得，
，即，
，，
四边形是平行四边形，，
，
在和中，
，
，
，
又，且，
．
【点睛】直径所对的圆周角是直角；相似三角形的对应边成比例
考点3 几何动点问题压轴题
11．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接．动点P满足，交x轴于点C．
(1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是，的长为 ；
(2)当动点P在线段的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求的值；
(3)当动点P在直线上时，点D是直线与直线的交点，点E是直线与y轴的交点．若，，求的值．
【答案】(1)4
(2)的值为
(3)的值为或
【分析】本题考查了直线与几何综合，涉及正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键；
（1）易得点P的坐标是，即可得到的长．
（2）过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N．先利用题中条件证明四边形为正方形，
可得，再证明，得到，再求的值．
（3）可分点P在线段的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论．过点P作轴，垂足为M，
作轴，垂足为N，通过证明，推出，设，
只需用含x的代数式表示出、的长，即可求出的值．
【详解】（1）点P与点B重合，点B的坐标是，
点P的坐标是．
又平行于轴，
的长为4．
故答案为：4．
（2），理由如下：
过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N．
点A的纵坐标与点B的横坐标相等，
．
，
．
又，
．
轴，轴，
，
，
四边形为矩形，
又，
，
四边形为正方形，
，，
，
又，
在和中，
，
，
．
的值为．
（3）①若点P在线段的延长线上，过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，
与直线的交点为F，如图2所示．
，，
，
，
，，，
，
，，
轴，
，
，，
M，F分别为，的中点，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
；
②若点P在线段的反向延长线上，过点P作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，
与直线的交点为F，如图3所示．
设，同理可得：，，，
，
，
综上所述，的值为或．
12．（2026·吉林·一模）在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下：
(1)【观察发现】
如图1，在等边中，，，E，F分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法．
∵在等边中，，，
∴点为边上的中点，．
∴．
过点作，使，连接，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
连接，，当三点共线时，的最小值等于线段的长．
连接，
证明过程缺失
∴四边形是矩形．
∴．
【问题解决】①如图1请你补全缺失的证明四边形为矩形的过程；
②结合上述探究过程可知的最小值为 ．
(2)【类比应用】
如图2，已知正方形的边长为12，O为对角线的交点，M，N分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值．
(3)【拓展延伸】
如图3，矩形中，，，是的中点，F，G分别是和上的动点，且总有，则的最小值为 ．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3)
【分析】（1）①先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证；
②求出即可；
（2）过点作，使，连接，，先得出，则当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长，再利用勾股定理求解即可；
（3）延长到点，使，连接，，先证明，可得，则当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：①∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
②由上已证：四边形是矩形，
∴，
∴的最小值为，
又∵，
∴的最小值为．
（2）解：如图，过点作，使，连接，，
∵正方形的边长为12，
∴，，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长，
如图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴的最小值为．
（3）解：如图，延长到点，使，连接，．
∵矩形中，，是的中点，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，的最小值等于线段的长，即的最小值等于线段的长，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴的最小值为．
【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形．
13．（2026·海南海口·一模）综合应用
【问题发现】
(1)如图，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：；
【类比探究】
(2)如图，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，且，连接，求的值；
【拓展延伸】
(3)如图，在（）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接．若，则当是直角三角形时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或
【分析】（）利用正方形和余角性质可证，，，进而即可求证；
（）同理（）可证，再利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义解答即可求解；
（）由（）可得，得 ，由直角三角形的性质得，即得，得到，得，即得到，再分在线段上和线段的延长线上两种情况，利用勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴， ，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∵ ，，
∴， ，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，为的中点，
∴，，
∴，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
当在线段上时，，
∵，
∴，
∴，
解得或(不合题意，舍去)；
当在线段的延长线上时，如图，
则，
∵，
∴，
∴，
解得(不合题意，舍去)或；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
14．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处．
(1)如图1，已知折痕与边交于点，连接．若与的面积比为，求边的长．
(2)如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连接．动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．试问当动点在移动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段的长度．
【答案】(1)10
(2)当点M、N在移动过程中，线段的长度不变，长度为
【分析】（1）由折叠的性质可得，，证明得到，，则可求出；设，则，．由勾股定理得，解方程即可得到的长，根据即可得到答案；
（2）作，交于点Q，证明，再证得，得到，，由（1）中结论求得的长就可以求出的长．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，；
∵与的面积比为，
∴，
∴，
∴；
设，则，．
在中，由勾股定理得，
∴．
解得．
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：线段的长度不变．
过点M作，交于点Q，如图2．
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴
∴，
∴．
∴．
由（1）中的结论可得：，，．
∴．
∴．
∴当点M、N在移动过程中，线段的长度不变，长度为．
15．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究
(1)【问题发现】
如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程．
(2)【类比探究】
如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程．
(3)【拓展延伸】
如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)，见解析
(2)，见解析
(3)的长为或
【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得；
（2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得；
（3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可．
【详解】（1）解：
证明如下：
将绕点顺时针旋转90°到处，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
（2），
理由如下：
四边形是矩形，
，
，
，
同理在中，，
，
，
，
，
即，
，
，即
（3）的长为或
解：方法一
在中，，，
，
当点在线段上时，
，
在中，，
过点作，
在中，，，
，，
在中，，
，
；
当点在线段的延长线上时：
，
在中，，
过点作，
同理，在中，，，
在中，，
．
综上所述，的长为或．
方法二：
在中，，，
，
连接并延长交于点，连接，
在中，为直径
，，且，
又，
，，
由（2）得，
设，则，，
，，
，
或，
或．
考点4 几何折叠问题压轴题
16．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．
(1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
(2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
(3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析；
(3)改变；的周长的最小值为；
【分析】（1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到；
（2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可；
（3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到．
【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可，
∵，，
∴，
∵，分别是，的角平分线，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可．
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
，
∴点G是的中点，
∴点G在边、的垂直平分线上；
（3）解：如图，作的角平分线交于E，连接，
∵是折痕，
∴且垂直平分，
∴，
∵为定值即，
∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长，
故的最小值为，
此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图：
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
17．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动．
【动手操作】
步骤如下：
第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F．
第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M．
(1)求证：．
【初步感知】
A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上．
(2)求的长．
【应用创新】
(3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到，再证明即可；
（2）证明，则，再对运用勾股定理求解即可；
（3）当时，可得四边形是矩形，则，然后可得 为等腰直角三角形，则；当时，连接，过点作于点，先得到三点共线，求出，则，再证明，设，则，根据相似三角形的性质求解，最后由勾股定理求解得到．
【详解】（1）证明：连接，如图②：
由第一次折叠可得，，
∵四边形是矩形，
∴
由第二次折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图③：
由②得，，
∴
∵矩形，
∴，，
∴
由折叠可得，
∵
∴
∴，
由（1）得，
∴
∴
∴，
由折叠可得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当时，
∴
∵矩形，
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠可得，平分
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
当时，连接，过点作于点，
则，
∵折叠，
∴，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴，
同上可证明四边形为矩形，
∴，
∴，
由折叠可得，，
由（1）得，
∴，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∵，
又∵
∴
∵，
∴
∴
∴，
设，则
∴，
解得
∴，
综上：当为直角三角形时，则的长为或．
18．（2026·河北沧州·二模）综合与实践
【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题．
【发现】现有一张长为2．宽为1.8的矩形纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； ．．．．．．
[探究]
(1)通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为（填“”或“”）；
(2)在图2中，结合淇淇的方法，
①用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法），并说明与哪个是较长边；
②若连接、，直接写出四边形的形状（不说理由）；
[拓展]在四边形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该四边形纸片．
(3)如图3，将四边形纸片沿对角线折叠，请判断点的对应点能否落在边上，说明理由；
(4)如图4，将四边形纸片折叠，使折叠后点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与边、分别交于、两点．当时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)①见解析，是较长边；②菱形
(3)点的对应点能落在边上，理由见解析
(4)或
【分析】（1）由图易知，进而可得；
（2）①利用尺规作图，作的垂直平分线即可；②根据题意可得，，再证，进而得到即可得到四边形为菱形；
（3）过点作，证得即可求解；
（4）分两种情况：当在左侧时，设与相交于点，，再证，得到，解出，再根据即可求解；当在右侧时，延长相交于点，设与相交于点，，可证，则，即，解出即可．
【详解】（1）解：由翻折可知，又，
；
（2）解：①折痕如图所示：
连接，由折叠的性质可得，
，即，
在中，，
，
是较长边；
②设与相交于点，
同理由折叠的性质可知，且，
又，
，
，
，
，
四边形为菱形；
（3）解：点的对应点能落在边上．
理由：过点作，
可得四边形为矩形，
，
，
在中，
，
，
，
又，
，
，
点的对应点能落在边上；
（4）解：当在左侧时，设与相交于点，
由翻折可知，，，不妨设，
，解得：，
，
又，
，
，即，解得，
，解得，
；
当在右侧时，延长相交于点，设与相交于点，
由翻折可知，
设，则，
，解得:，
，
又，，
，
，即，解得:，
；
综上，的长为或．
19．（2026·河南·二模）有下面一道题：
你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？
(1)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由；
(2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题：
①当___________时，；
②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①；②
【分析】（1）由折叠可知，由平行的性质可得，即，进而得到即可证明；
（2）①同理可证为菱形，再证，，进而得到；
②延长交于，当时，可证与重合，进而得到，则四边形是矩形．
【详解】（1）解：是，理由如下，
由折叠的性质可知，，
分别是的中点，
是的中位线，
，
，
,
，
，
四边形为菱形；
（2）①当时，，
同理可证四边形为菱形，
，
由折叠可知，，
，
又，则，即，
，
，
（同旁内角互补，两直线平行）；
②的边满足条件时，四边形是矩形，
延长交于，
由①知时，，
，
，
，
，则，
又，
，
又，
与重合，
由折叠可知，
又，
，又，
则四边形是矩形．
20．（2026·湖北黄冈·二模）解决下列问题
【问题初探】
(1)如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为延长线上一点，且，延长交于于点H．求证：，．
【类比迁移】
(2)如图2，在矩形中，，，点E是边的中点，F为延长线上一点，，垂足为H，求的长．
【拓展提升】
(3)如图3，在矩形中，，，点E是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点F．当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质得到，再证明，进而得到，利用三角形内角和定理求出，即；
（2）根据矩形和垂线的性质证明，进而得到，据此求解即可；
（3）延长交于点H，利用勾股定理求出长，由折叠的性质证明，则，据此求出长，根据求出长，最后利用求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
、，
在和中，
，
，
、，
，
，
即；
（2）解：四边形是矩形，
、
，
，
，
，
，
，
点E是边的中点，
，
，
；
（3）解：延长交于点H，
四边形是矩形，
、、，
，
、，
在中，由勾股定理得：，
沿折叠得到，
、，即，
，
，
，
、，
即，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键．
1．（2026·黑龙江牡丹江·一模）已知四边形中，，且，连接．
(1)如图①，当时，求证：；
(2)当时，如图②；时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)图②：；图③：
【分析】（1）过点A作交延长线于点E，根据余角的性质求出，证明，则、，进而得到是等腰直角三角形，在中，，从而得出结论；
（2）当时，延长至点G，使，连接，同（1）可证明，进而求出是等边三角形，从而得出结论；当时，则是等腰三角形，过点A作于点M，则、，在中，，从而得出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点A作交延长线于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
、，
，
在中，，
，
即；
（2）解：如图②，当时，延长至点G，使，连接，
由（1）知，，
，
，
在和中，
，
，
、，
，
，
是等边三角形，
，
，
即；
如图③，当时，延长至点G，使，连接，
同理可证，
、，
，
，
过点A作于点M，
、，
在中，，
，
，
即．
2．（2026·山东临沂·模拟预测）综合与实践
【情境】
图①的正方形的边长为2，通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余）
【操作】
如图③，嘉嘉将正方形沿虚线对折，再沿裁剪后按照图④所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
(1)求线段的长；
(2)求点到直线的距离；
【探究】
淇淇说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形，其中．
(3)请你按照淇淇的说法设计一种方案：在备用图中用尺规作图在正方形的边上找一点，作出裁剪线的位置，并直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析，或
【分析】（1）根据折叠的性质，得，进而得，得，设，在中，利用勾股定理进行求解即可；
（2）过点作交的延长线于点，证明，进行求解即可；
（3）取的中点，在或上确定中点的位置，进行裁剪即可．
【详解】（1）解：由题意，
∴，
∴，
设，则，，
由题知，
在中，
由勾股定理得，即，
解得，
∴；
（2）解：过点作交的延长线于点，
∴，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
∴，即点到直线的距离为；
（3）解：符合题意的有、，
作图步骤：①作的垂直平分线交于点；
②以点为圆心、为半径画弧交于，或以点为圆心、为半径画弧交于；
沿剪裁，如下图，
由上图可知；
沿剪裁，如下图，
，此时，
综上，的长为或．
3．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）．
(1)当时，的长是__________；
(2)探究与存在怎样的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，，是边上两点，，，求的长．
【答案】(1)
(2)；理由见详解
(3)
【分析】（1）取正方形边的中点F，连接，由正方形的性质得出，，再根据三角形中位线的判定和性质得出，，最后根据勾股定理求解即可．
（2）同（1）取正方形边的中点F，连接，则，，，设，则，利用勾股定理得出，再求出，即可求解．
（3）将绕点O顺时针旋转得到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，设，则，，由勾股定理求出y的值，再结合（2）的结论即可求出．
【详解】（1）解：取正方形边的中点F，连接，
∵是正方形，
∴，，
∵O为与的中点，为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
．
（2）解：；理由如下：
同（1）取正方形边的中点F，连接，
则，，，
设，则，
在中，，
∵，
∴．
（3）解：如图，将绕点O顺时针旋转得到，连接，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴，．
由（2）知，
∴，
∴．
4．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分．
(1)类似地，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程：
证明：如图2，在矩形中，，
由折叠可知，，，
，________
，_________，
，即．
(2)如图3．先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论．
(3)如图4，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请直接写出的长．
【答案】(1)，，，；
(2)点是边的“三等分点”，证明见解析；
(3)或
【分析】（）根据题意补全证明过程即可；
（2）由可得，进而由得，即得，即可求证；
（3）分和两种情况，利用勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）证明：如图，在矩形中，，
由折叠可知，，，
，
，
，
，
，
即．
（2）解：点是边的“三等分点”．
理由：在矩形中，，，
由折叠可得，，，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点是边的“三等分点”；
（3）解：如图，当时，
由题意知，，，，，
设，，则，，
在，，
∴，
在和中，，
∴，
由①②联立得，，
解得，
∴，
∴（不符合题意的根舍去）；
如图，当时，
同理可得，，
解得，
∴，
∴（不符合题意的根舍去）；
综上，的长为或．
5．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）．
(1)如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米，求半径．
(2)如图3，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，且的半径为5，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到0.1，）
【答案】(1)半径为5米；
(2)弦的长为米．
【分析】（1）连接交于点H，证明，得到米，，，设半径为r米，则，在中，由勾股定理，得，代入求解即可．
（2）连接，证明为的垂直平分线，为的垂直平分线，推导出是等边三角形，得到，再根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：连接交于点H，如图
∵是弧的中点，点O为圆心，
∴，
∴米，米，，
设半径为r米，则．
在中，由勾股定理，得
，
即，
解得．
答：半径为5米；
（2）解：连接，如图
由题意知半径米，
∵是弧的中点，点O为圆心，
∴，
∴，，为的垂直平分线，
∴，
∵，点O为圆心，
∴，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
∴（米）．
答：弦的长为米．
6．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，点在的边上，以为半径的与相交于点，与相交于点为的直径，与相交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为3，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长是
【分析】（1）连接，由圆周角定理得，由得，由得，可得，得，故可得是的切线；
（2）分别求出，，，由证明可得即从而可求出．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
．
，
，
，
于点，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：
∴，
∵的半径为3，
∴，
由（1）知，，
，
，
，
，
即
，
的长是．
7．（2026·河南周口·一模）问题情境：如图，在中，，D为射线上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，且连接．
初步探究：
(1)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由；
(2)深入探究：如图②，当点D在的延长线上时，将绕点D逆时针旋转α得到，且连接，猜想四边形的形状，并说明理由；
(3)连接，在旋转过程中，若请直接写出线段的长．
【答案】(1)，见解析
(2)四边形为平行四边形，见解析
(3)线段的长为或
【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，即可证明；
（2）根据得到，进而得到，根据等边对等角得到，证明，由旋转的性质得到，进而得到，即可得到四边形为平行四边形；
（3）过点A作于点M，根据等腰三角形三线合一得到，根据勾股定理求出，分当点D在的延长线上时，当点D在线段上时两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
由旋转的性质，得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：四边形为平行四边形，
同理得：，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质，得，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形
（3）解：如图，过点A作于点M．
则
．
①当点D在的延长线上时，此时
又
，
解得
②如图，当点D在线段上时，此时
同理①得
即
解得
综上所述，线段的长为或．
8．（2026·山东淄博·一模）完成以下问题
(1)【问题发现】如图1，是正方形的边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点G．若，则线段的长是______；
(2)【类比应用】如图2，是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点．若，，求线段的长；
(3)【拓展探究】如图3，在四边形中，，且，，是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线交射线于点．当时，请直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）本题主要考查正方形，旋转的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质，通过，可得出长度，再得出长度．
（2）本题主要考查菱形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长和相交于，通过两次相似（，）即可得出长度．
（3）本题需分两种情况讨论：①在延长线上；②在线段上．通过作辅助线及锐角三角函数计算得出的长度．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
，
，
,
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：四边形是菱形，，
，，，
，．
线段绕点逆时针旋转得到线段
，，
，
，
在和中，
，，
，，共线．
延长和相交于，如图：
，
，
．
，
，，
，，
，．
，
，
，
．
（3），，
四边形是等腰梯形，
，
，，
绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
．
① 当在延长线上时，如图：
作，
，，
，，．
作，
在和中
，
，
② 当在线段上时，如图：
作于点
，，
，，，
，
，
．
综上所述，线段的长为或．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)题号猜押12 中考数学23题几何综合题（解答题）
考点1 四边形综合压轴题题
1．（2026·江苏泰州·一模）结合图形，解决问题
(1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：．
【深度探究】
(2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点．
①如图2，若，，，求的值；
②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）．
2．（2026·安徽马鞍山·二模）点A，点B是两个距离为的小区．现有甲，乙，丙，丁四个人以相同的速度沿着不同的路线从A走到B．
(1)如图1，甲同学沿着线段行走，结果最先到达点B，其中的数学原理是____．如图2，图①、图②、图③是三个大小相同的等边三角形，乙同学沿着的折线路线行走，则乙同学运动的路线长为______．
(2)如图3，图①、图②、图③、…、图是n个等边三角形，丙同学沿着的折线路线行走；如图4，图①、图②、图③…、图是m个半圆，丁同学沿着的曲线路线行走，则丙同学与丁同学谁先到达点B．请通过计算说明理由．（）
(3)如图5，为提升公共健康和改善生态环境．政府决定在A，B两个小区附近的空地修建公园（长方形），并在图①、图②、图③、图④四块空地上栽种植物．已知图①的面积为，图②的面积为，图③的面积比图④的面积大，请求图④的面积．
3．（2026·安徽六安·二模）如图，点，是正方形边，的中点，与相交于点、连接，作交于点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求的值．
4．（2026·湖北·一模）如图1，在矩形中，，，为对角线，将绕点逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）．
(1)在图1中，连接，，求证：；
(2)如图2，当点落在的延长线上时，延长交于点，求的长；
(3)如图3，当点落在矩形的对角线上时，延长交于点．
①求证：平分；
②直接写出的值．
5．（2026·安徽马鞍山·二模）如图1，在矩形中，点M在上，连接，垂直平分分别交，于点E，F，点A与点N关于对称，连接交于点G，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的值；
(3)如图2，在（2）的条件下，，求的值．
考点2圆综合压轴题
6．（2026·四川绵阳·二模）如图，是的直径，是的切线，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的半径
(3)连接，在（2）的条件下，求的值．
7．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，已知，正方形内接于以对角线为直径的．点E在劣弧上，连接并延长至点F，使得，连接，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：是的切线；
(3)探究，发现与证明：是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．
8．（2026·河北保定·二模）如图，在平行四边形中，，，点P在边上（不与点B，C重合），连接，是的外接圆．
(1)若．
①当时，的度数为______；
②当P是的中点时，求的长；
(2)若，当与边或边所在直线相切时，求的长．
9．（2026·河北保定·一模）如图1，在菱形中，，，对角线与相交于点，为线段上一点，过点作，交边于点N，以点为圆心，的长为半径画弧，与点下方的线段交于点（可与点B重合），与边交于点连接．
(1)求的度数；
(2)如图2，当点与点重合时，连接，求的长；
(3)求扇形的面积最大值及此时点C与点之间的距离．
10．（2026·云南昆明·一模）如图，在中，，以为直径的过线段的中点，连接，过点作于点．若点是上与点位于异侧的一个动点（），连接，，过点作交于点，，交于点．
(1)的长度是___________；
(2)求证：直线是的切线；
(3)请探究在点的运动过程中，的值是否改变？若不变，请求出此值；若改变，请说明理由．
考点3 几何动点问题压轴题
11．（2022·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连接．动点P满足，交x轴于点C．
(1)当动点P与点B重合时，若点B的坐标是，的长为 ；
(2)当动点P在线段的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求的值；
(3)当动点P在直线上时，点D是直线与直线的交点，点E是直线与y轴的交点．若，，求的值．
12．（2026·吉林·一模）在数学探究课上，老师鼓励同学们积极思考，通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，小郑同学大胆的说出了自己的想法，得到了老师的好评，其过程如下：
(1)【观察发现】
如图1，在等边中，，，E，F分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法．
∵在等边中，，，
∴点为边上的中点，．
∴．
过点作，使，连接，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
连接，，当三点共线时，的最小值等于线段的长．
连接，
证明过程缺失
∴四边形是矩形．
∴．
【问题解决】①如图1请你补全缺失的证明四边形为矩形的过程；
②结合上述探究过程可知的最小值为 ．
(2)【类比应用】
如图2，已知正方形的边长为12，O为对角线的交点，M，N分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值．
(3)【拓展延伸】
如图3，矩形中，，，是的中点，F，G分别是和上的动点，且总有，则的最小值为 ．
13．（2026·海南海口·一模）综合应用
【问题发现】
(1)如图，在正方形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，连接，求证：；
【类比探究】
(2)如图，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，且，连接，求的值；
【拓展延伸】
如图，在（）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接．若，则当是直角三角形时，求的长．
14．（2022·山东枣庄·模拟预测）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处．
(1)如图1，已知折痕与边交于点，连接．若与的面积比为，求边的长．
(2)如图2，在（1）的条件下，擦去折痕、线段，连接．动点在线段上（点与点不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．试问当动点在移动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段的长度．
15．（2026·湖南湘潭·一模）综合探究
(1)【问题发现】
如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程．
(2)【类比探究】
如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程．
(3)【拓展延伸】
如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长．
考点4 几何折叠问题压轴题
16．（2026·江苏南京·模拟预测）折叠正方形纸片．
通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上．
(1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________；
(2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由；
(3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长．
17．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动．
【动手操作】
步骤如下：
第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F．
第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M．
(1)求证：．
【初步感知】
A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上．
(2)求的长．
【应用创新】
(3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________．
18．（2026·河北沧州·二模）综合与实践
【情境】实际生活中，利用折叠的性质可以解决很多问题．
【发现】现有一张长为2．宽为1.8的矩形纸片．由于该矩形纸片的长与宽的长度很接近．为了确定与哪个是较长边，嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图1，嘉嘉的方法： ①将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在边所在的直线上； ②最终发现点在线段上． 如图2，淇淇的方法： ①将矩形纸片的顶点与通过折叠重合，设折痕与矩形的边分别交于，两点，并且满足点在点的上方； ．．．．．．
[探究]
(1)通过嘉嘉的方法可以判断，较长边为（填“”或“”）；
(2)在图2中，结合淇淇的方法，
①用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法），并说明与哪个是较长边；
②若连接、，直接写出四边形的形状（不说理由）；
[拓展]在四边形纸片中，，，，，．按如下要求折叠该四边形纸片．
(3)如图3，将四边形纸片沿对角线折叠，请判断点的对应点能否落在边上，说明理由；
(4)如图4，将四边形纸片折叠，使折叠后点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与边、分别交于、两点．当时，直接写出的长．
19．（2026·河南·二模）有下面一道题：
你能用一张锐角三角形纸片（如图1）折叠出一个菱形，使是菱形的一个内角吗？
(1)小明的做法是：如图2，分别对折三角形的边，找到它们的中点，沿折叠，得到折痕后展开．沿过点的直线折叠使点落在点处，且在直线上，折痕与交于点．请判断小明所做的四边形是否是菱形，并说明理由；
(2)小亮对这道题进行了深入的研究：如图3，在上取一点，沿过的直线折叠，使落在点处，且，折痕与交于点；沿过的直线折叠，使点的对应点落在射线上，连接，折痕与交于点．请研究图形并回答以下问题：
①当___________时，；
②在①的情况下，的边满足条件___________时，四边形是矩形．
20．（2026·湖北黄冈·二模）解决下列问题
【问题初探】
(1)如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为延长线上一点，且，延长交于于点H．求证：，．
【类比迁移】
(2)如图2，在矩形中，，，点E是边的中点，F为延长线上一点，，垂足为H，求的长．
【拓展提升】
(3)如图3，在矩形中，，，点E是边上一点，将沿折叠得到，延长和相交于点F．当时，求的长．
1．（2026·黑龙江牡丹江·一模）已知四边形中，，且，连接．
(1)如图①，当时，求证：；
(2)当时，如图②；时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系．
2．（2026·山东临沂·模拟预测）综合与实践
【情境】
图①的正方形的边长为2，通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余）
【操作】
如图③，嘉嘉将正方形沿虚线对折，再沿裁剪后按照图④所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
(1)求线段的长；
(2)求点到直线的距离；
【探究】
淇淇说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形，其中．
(3)请你按照淇淇的说法设计一种方案：在备用图中用尺规作图在正方形的边上找一点，作出裁剪线的位置，并直接写出的长．
3．（2026·湖北·模拟预测）如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）．
(1)当时，的长是__________；
(2)探究与存在怎样的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，，是边上两点，，，求的长．
4．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分．
(1)类似地，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图2，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程：
证明：如图2，在矩形中，，
由折叠可知，，，
，________
，_________，
，即．
(2)如图3．先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论．
(3)如图4，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请直接写出的长．
5．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）．
(1)如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米，求半径．
(2)如图3，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，且的半径为5，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到0.1，）
6．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在中，，点在的边上，以为半径的与相交于点，与相交于点为的直径，与相交于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为3，求的长．
7．（2026·河南周口·一模）问题情境：如图，在中，，D为射线上一点，连接，将绕点A顺时针旋转得到，且连接．
初步探究：
(1)如图①，猜想与的数量关系，并说明理由；
(2)深入探究：如图②，当点D在的延长线上时，将绕点D逆时针旋转α得到，且连接，猜想四边形的形状，并说明理由；
(3)连接，在旋转过程中，若请直接写出线段的长．
8．（2026·山东淄博·一模）完成以下问题
(1)【问题发现】如图1，是正方形的边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点G．若，则线段的长是______；
(2)【类比应用】如图2，是菱形的对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，交于点．若，，求线段的长；
(3)【拓展探究】如图3，在四边形中，，且，，是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线交射线于点．当时，请直接写出线段的长．
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