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题号猜题03 中考数学6，8，13题 图形的性质（选填题）
考点1三角形三边关系
1．（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
2．（2026·河北廊坊·一模）将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2026·山东济宁·一模）以下列各数为边长，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，5，2 C．3，4，8 D．1，10，10
5．（2026·河南·一模）已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．
考点2三角形中线、高线与角平分线
6．（2026·山东德州·一模）如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·河北邯郸·一模）如图，在Rt中，，将沿某一个方向平移2个单位长度，记扫过的面积为．关于结论①，②，下列判断正确的是（ ）
结论①：点到BC的距离为；
结论②：的最大值为
A．只有①对 B．只有②对 C．①，②都对 D．①，②都不对
8．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
9．（2026·陕西榆林·二模）如图，是等边的中线，于点．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2026·山东德州·一模）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
考点3平行线与三角形角度计算
11．（2026·安徽淮南·一模）一个直角三角板如图摆放，其中，，与交于点E，与交于点D，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，是内部的一条射线，已知，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．（2026·重庆·一模）如图，，若，，则的度数为_____．
14．（2026·江西赣州·一模）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，若，则______．
15．（2026·湖南衡阳·一模）如图，中，点在上，，，则图中标示的的值是______．
考点4三角形折叠与角度求解
16．（2026·上海普陀·一模）如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______．
17．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为________．
18．（2026·广东东莞·三模）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则__________．
19．（2026·山东青岛·二模）如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为______．
20．（2026·广东深圳·一模）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为___________
考点5正多边形角度计算
21．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
22．（2026·云南文山·一模）文笔塔，这座矗立于文山市东山之巅的地标性古塔，不仅是一处风景名胜，更是文山千年文脉与城市精神的象征．文笔塔属于七层八角形楼阁式塔，每层均为正八边形．该正八边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
23．（2026·福建漳州·一模）四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____．
24．（2026·广东东莞·一模）如图，在正六边形中，的大小为__________．
25．（2026·陕西西安·一模）边长相等的正五边形和正六边形按如图方式拼接在一起，则的度数为_______．
考点6尺规作图
26．（2026·广西防城港·一模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．17
27．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．5
28．（2026·辽宁大连·一模）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（ ）
A．0 B．2 C． D．5
29．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点D，连接，．根据以上作图，若，，，则点D到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
30．（2026·湖南永州·一模）如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，可得______．
考点7等腰三角形
31．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴上，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
32．（2026·河南周口·一模）如图，在直角三角形纸片中，，，，是斜边的中点．把纸片沿直线折叠，点落在点处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
33．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点为等边三角形外一点，连接、且，过点作分别交、于点、，若，，则的长为_______；的长为 _________．
34．（2026·安徽阜阳·二模）如图，点为中边上一点，以点为圆心、长为半径，作恰与边相切于点，若，则___________．
35．（2026·上海崇明·二模）如图，已知在正六边形中，，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点，则的长为__________．
考点8三角形中位线
36．（2026·山东枣庄·一模）如图，是的中位线，O是上一点，且满足．则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
37．（2026·广东广州·一模）如图，，，分别为边，，的中点，连接，，，若的面积为8，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
38．（2026·河南周口·一模）如图，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
39．（2026·海南·一模）如图，在矩形中，．点在上且．点在上且，点为边上的一个动点，为的中点，则的长为_________，的最小值为_________．
40．（2026·江苏扬州·一模）如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______．
考点9平行四边形
41．（2026·河南信阳·一模）如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
42．（2026·广东广州·一模）如图，的对角线，交于点，，，，分别为线段，上两点，连接，，，，．下列说法中：①为的角平分线；②；③；④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
43．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，，D是上一点，过点D作交于点E，交于点F．若，，则四边形的面积为______．
44．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，，，分别为线段，上的点，且满足，则的最小值为______．
45．（2026·四川内江·一模）如图，的对角线与相交于点，，，，则的长为___________．
考点10圆周角定理与圆心角
46．（2026·云南昭通·一模）如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）
A． B． C． D．
47．（2026·广东汕尾·一模）如图，点A、B、C在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
48．（2026·湖南岳阳·一模）如图，是的两条弦，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
49．（2026·全国·一模）如图，四边形为的内接四边形，已知，则度数为___________．
50．（2026·广东·一模）如图，，是的两条半径，点在上，若，则度数为_________
考点11弧长与扇形面积
51．（2026·浙江宁波·一模）如图，扇形是某标志的外轮廓图，已知扇形半径，，则扇形的弧长为________．（结果保留）
52．（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）．
A． B． C． D．
53．（2026·云南保山·一模）若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
54．（2026·广东深圳·三模）如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品被传送______．（结果保留）
55．（2026·上海宝山·一模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是，则该圆锥的底面圆的半径是_________．
考点12特殊四边形性质与命题判断
56．（2026·江苏无锡·一模）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．内角和为
C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分
57．（2026·重庆铜梁·一模）下列说法中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
58．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下列命题是真命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直且相等
B．矩形的对角线互相垂直且平分
C．正方形的对角线互相垂直且平分
D．平行四边形的对角线互相平分且相等
59．（2026·云南昆明·一模）下列说法错误的是（ ）
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
60．（2026·广东广州·一模）下列命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形中相邻两角互补 B．矩形对角线相等且互相平分
C．菱形的面积等于对角线长的乘积 D．正方形是中心对称图形
1．（2026·陕西渭南·一模）如图，是矩形的对角线，线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．5.5
3．（2026·陕西渭南·一模）如图，直线，与交于点F，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·河南周口·一模）如图，为正八边形的外接圆，，为正八边形的边，P为优弧上一点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·河南周口·一模）河南是粮食生产大省，其小麦产量约占全国总产量的四分之一，素有“中原粮仓”之称．将“中原粮仓河南”六个汉字分别写在正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．河 B．南 C．原 D．仓
6．（2026·山东聊城·一模）如图，在正方形中，，点是上一点，且，过点作，使，分别交、、于点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．点为上任意一点，则的最小值为
C．
D．
7．（2026·山东淄博·一模）如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·山东淄博·一模）如图，以为直径的半圆O与的两边，相交于点D，E．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°．
10．（2026·河南周口·一模）如图，经过菱形的顶点，且分别与边相切于点．若，则阴影部分的面积为__________．
11．（2026·山东淄博·一模）如图，在中，斜边的长为35，正方形内接于，且边长为12，则直角边__________．
12．（2026·天津滨海新区·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边的中点．
（1）线段的长为______；
（2）点在边上，，为的中点，为上一点，若，则线段的长为______．
13．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________．
14．（2026·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，，点为对角线上的动点（不与端点重合），过点作于点，作于点，若，则菱形的周长为________．
15．（2026·陕西榆林·二模）如图，四边形内接于，若，则的度数为________．
16．（2026·陕西榆林·二模）八角亭属于中国传统建筑中的亭类建筑，常见于皇家园林、寺庙及私家院落，其平面呈正八边形，如图①所示为八角亭，图②所示的正八边形是亭基的平面示意图，则该正八边形的内角的度数为________．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)题号猜题03 中考数学6，8，13题 图形的性质（选填题）
考点1轴对称与中心对称图形
1．（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
【答案】C
【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长．
【详解】解：分两种情况讨论：
情况1：当为腰长时，三角形三边长为，
∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，
∴此情况舍去；
情况2：当为腰长时，三角形三边长为，
∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形.
∴三角形的周长为．
2．（2026·河北廊坊·一模）将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3，利用三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3，
由三角形的三边关系，得，解得，
观察四个选项可知，m的值不可能为6．
3．（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中线的取值范围，即可选出正确答案．
【详解】解：延长至点，使，连接
∵是的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴
∵，
在中，由三角形三边关系得，
代入，得：
，
即，
∴．
只有选项A的在该范围内．
4．（2026·山东济宁·一模）以下列各数为边长，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，5，2 C．3，4，8 D．1，10，10
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边的和是否大于最大边，即可判断能否构成三角形．
【详解】：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
：最大边为，，满足两边之和大于第三边，能构成三角形．
5．（2026·河南·一模）已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系筛选出符合条件的第三边，最后计算周长得到结果．
【详解】解：解方程，
因式分解得，
解得或，
∵三角形两边长为4和8，
根据三角形三边关系，得第三边满足，
即，
∴不符合三边关系，舍去；
符合要求，
∴三角形的周长为．
6．（2026·山东德州·一模）如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式求得，然后根据三角形中线的性质得到即可．
【详解】解：，，
，
是边上的中线，
．
7．（2026·河北邯郸·一模）如图，在Rt中，，将沿某一个方向平移2个单位长度，记扫过的面积为．关于结论①，②，下列判断正确的是（ ）
结论①：点到BC的距离为；
结论②：的最大值为
A．只有①对 B．只有②对 C．①，②都对 D．①，②都不对
【答案】B
【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，以及平移的性质，分析判断即可．
【详解】解：设点到线段的距离为，则
，
∴，
∴结论①不正确；
在三角形ABC中，，，，，
∴，，
∴如图，当沿垂直于的方向平移2个单位时，扫过的面积最大，
此时，，
∴结论②正确．
综上，只有②对．
8．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】B
【分析】过点作交于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】解：过点作交于点，
平分交于D，
，，，
，
．
9．（2026·陕西榆林·二模）如图，是等边的中线，于点．若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解直角三角形，求出的长，进而求出的长，利用三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形的中线平分面积进行求解即可.
【详解】解：∵是等边的中线，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积.
10．（2026·山东德州·一模）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段．
【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线，
∴不能推出，该选项错误；
对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确；
对于选项C，∵是的中线，
∴为的中点，即，该选项正确；
对于选项D，∵是的高，
∴，即，该选项正确．
故选：A．
11．（2026·安徽淮南·一模）一个直角三角板如图摆放，其中，，与交于点E，与交于点D，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用直角三角形的性质得出，根据外角求出，最后利用平行线的性质进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
12．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，是内部的一条射线，已知，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质解题即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴
．
13．（2026·重庆·一模）如图，，若，，则的度数为_____．
【答案】
【分析】根据平角的定义求，再根据平行线的性质得，最后根据 三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
14．（2026·江西赣州·一模）如图，是的中位线，的角平分线交于点F，若，则______．
【答案】
【分析】根据三角形的中位线定理和平行线的性质以及角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可.
【详解】解：∵是的中位线，
∴，
∴，
∵的角平分线交于点F，
∴，
∴.
15．（2026·湖南衡阳·一模）如图，中，点在上，，，则图中标示的的值是______．
【答案】80
【详解】解：在中，，，
∴，
在中，∴，
∴．
16．（2026·上海普陀·一模）如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______．
【答案】/10度
【分析】本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键．
先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解．
【详解】解：，
，
，
.
故答案为：.
17．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为________．
【答案】或
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．
分类讨论，当时和当时，分别利用翻折的性质即可求解．
【详解】解：当时，则，
根据翻折的性质得，；
当时，，
，
根据翻折的性质得，；
故答案为：或．
18．（2026·广东东莞·三模）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若，则__________．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质．由三角形的内角和定理可求解，折叠可知： ，进而得出，再根据邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
由折叠可知：，
当时，则
∴
故答案为：．
19．（2026·山东青岛·二模）如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为______．
【答案】/74度
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠性质可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
20．（2026·广东深圳·一模）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图5将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点，若且，则的度数为___________
【答案】/度
【分析】本题考查了轴对称的性质以及平行线的性质，正确求出的度数是解答本题的关键．
由折叠的性质可得，再根据平行线的性质可得，根据三角形的内角和定理用含有的代数式表示出的度数，再根据三角形的外角性质可得的度数，进而得出的度数．
【详解】解：将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
21．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，六边形和五边形都是正多边形，连接交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出正六边形、正五边形的内角，由对称性得到，再由四边形内角和为即可求解．
【详解】解：正六边形的内角为，
正五边形的内角为，
在正六边形中，由对称性可知,
，
在四边形中，，
即，
解得．
22．（2026·云南文山·一模）文笔塔，这座矗立于文山市东山之巅的地标性古塔，不仅是一处风景名胜，更是文山千年文脉与城市精神的象征．文笔塔属于七层八角形楼阁式塔，每层均为正八边形．该正八边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正n边形的内角和为，据此求解即可．
【详解】解：，
∴该正八边形的内角和为．
23．（2026·福建漳州·一模）四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____．
【答案】
【分析】根据正方形的性质可得和，根据正六边形的性质可得其内角为，即，最后利用四边形的内角和为即可求的度数．
【详解】解：设与交于点，
∵四边形是正方形,
∴，,
∵以为边作一个正六边形，
∴正六边形的内角为，
∴．
在四边形中，由四边形内角和定理得：，
即，
∴．
24．（2026·广东东莞·一模）如图，在正六边形中，的大小为__________．
【答案】
【分析】根据正六边形的性质得到每个内角都为，且是等腰三角形，从而求得底角即可．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，，
∴．
25．（2026·陕西西安·一模）边长相等的正五边形和正六边形按如图方式拼接在一起，则的度数为_______．
【答案】
【分析】求出正六边形和正五边形的一个内角的度数，则可根据周角的定义求出的度数，根据题意可得，据此根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵正五边形的一个内角的度数为，
正六边形的一个内角的度数为，
∴，
由题意得，，
∴．
26．（2026·广西防城港·一模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．17
【答案】D
【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再根据三角形的周长公式求解即可得．
【详解】解：由题意可知，垂直平分，
，
的周长为10，
，
，即，
，
则的周长为．
27．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】D
【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，过点作于，利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理求出的长，最后通过面积法建立方程求解的长，进而求出．
【详解】解：由作图步骤可知，平分 ，过点作于
，平分，
在中，，
， 即
∴
∴
∴
28．（2026·辽宁大连·一模）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（ ）
A．0 B．2 C． D．5
【答案】B
【分析】过点G作于点H，证明，可求，当点P与点H重合时，取最小值，即可求得此时的长．
【详解】解：如图，过点G作于点H，则，
，
，
由作图可知，平分，
，
，
，
，
，
当点P与点H重合时，取最小值，此时．
29．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，按如下步骤作图：在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点D，连接，．根据以上作图，若，，，则点D到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据作图步骤可知平分，垂直平分，从而得出，点到、的距离相等．过点作于，交的延长线于，通过证明和，利用线段的和差关系求出的长，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点作于，交的延长线于，
由作图步骤①可知，平分，
，，
，，
在和中，
，
，
，
由作图步骤可知，垂直平分，点在上，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
在中，，
即点到直线的距离为．
30．（2026·湖南永州·一模）如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，可得______．
【答案】
【分析】根据矩形的性质得出，利用平行线的性质求出的度数，由作图痕迹可知是的平分线，是线段的垂直平分线，进而求出和的度数，最后利用直角三角形两锐角互余及对顶角相等即可求解．
【详解】解：如图，
四边形是矩形
由作图痕迹可知，平分，垂直平分线段
，
31．（2026·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴上，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作轴于点，先根据等边三角形的性质结合旋转的性质可得到，，结合含角直角三角形的性质和勾股定理即可求出点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
是等边三角形，，
，，
绕点逆时针旋转得到，
，，
，
， ，
点的坐标为．
32．（2026·河南周口·一模）如图，在直角三角形纸片中，，，，是斜边的中点．把纸片沿直线折叠，点落在点处，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由勾股定理和直角三角形的性质可得，由折叠可知，，所以，即是等腰三角形，过点作于点，过点作于点，通过等面积求出，在中，，再得出，则，再代入即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
由折叠可知：，，
∴，即是等腰三角形，
过点作于点，过点作于点，如图，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵点在直线的同侧，
∴，
∵，
∴，
∴．
33．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点为等边三角形外一点，连接、且，过点作分别交、于点、，若，，则的长为_______；的长为 _________．
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质和平行线的性质证明是等边三角形，从而求得的长；过点作交于点，证明 ，进而证得四边形是菱形，利用及已知比例关系列方程求解的长．
【详解】解： 是等边三角形，
，，
，
，
在中，，，
是等边三角形，
；
如图，过点作交于点，
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
，
，
，，
平行四边形是菱形，
，
，
设，则，
，
，解得，
．
34．（2026·安徽阜阳·二模）如图，点为中边上一点，以点为圆心、长为半径，作恰与边相切于点，若，则___________．
【答案】/度
【分析】根据可得，再根据切线的性质可得，利用三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：，
，
，
恰与边相切于点，
，
．
35．（2026·上海崇明·二模）如图，已知在正六边形中，，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点，则的长为__________．
【答案】
【分析】延长 、交于点 ，在正六边形 中，，证明是等边三角形，得出，根据点是 中点，得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：延长 、交于点 ，
在正六边形 中，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵点是 中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
36．（2026·山东枣庄·一模）如图，是的中位线，O是上一点，且满足．则的面积与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】假设，根据三角形中位线的性质表示出相关三角形的面积，求出比值即可．
【详解】解：假设，
∵，
∴，
∴，
∵是的中位线，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
37．（2026·广东广州·一模）如图，，，分别为边，，的中点，连接，，，若的面积为8，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：∵点D、E分别是各边的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积为8，
∴，
同理，，，
∴的面积．
38．（2026·河南周口·一模）如图，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形中位线的性质进行求解．
【详解】解：∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴．
39．（2026·海南·一模）如图，在矩形中，．点在上且．点在上且，点为边上的一个动点，为的中点，则的长为_________，的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据矩形的性质和线段和差关系，先求出的长度；再结合三角形中位线定理，将转化为与相关的形式，利用轴对称的性质，找到点关于的对称点，将的最小值转化为线段的长度，最后结合勾股定理求出，进而得到的最小值．
【详解】解：，，，
，，
如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接，
则，
，
是中点，
是中点，
，
，
此时的值最小，
，
，
在中，，
的最小值为．
40．（2026·江苏扬州·一模）如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______．
【答案】12
【分析】根据平行四边形的性质和周长得出相等的边，求出，利用勾股定理求出，证明是的中位线，得出，最后可求出三角形的周长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为32，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴，
∵点E是的中点，点是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴的周长为．
41．（2026·河南信阳·一模）如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，结合菱形的判定定理，对各选项进行分析即可．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
选项B由已知可得，不需要添加，
∵，
∴，即，
选项A由已知可得，不需要添加，
∴四边形是平行四边形，
添加选项C，无法证得四边形为菱形，
∵四边形为平行四边形，
∴
∴．
若添加选项D，
∵，
∴．
∴，
∴四边形为菱形，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
42．（2026·广东广州·一模）如图，的对角线，交于点，，，，分别为线段，上两点，连接，，，，．下列说法中：①为的角平分线；②；③；④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质可得，且．再结合线段的和差可知、；①易得，
如图：过B作交延长线于G，利用平行线等分线段定理以及平行线的性质可得，，进而得到，即，从而得到，即可判断①；②利用等腰三角形三线合一的性质可得，再结合可得，即可判断②；③如图：连接，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可判断③；由、，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可判断④．
【详解】解：∵的对角线，交于点，，
∴，且．
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，，
∴，
①∵，，，，
∴，
如图：过B作交延长线于G，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，即为的角平分线，故①正确；
②∵，
∴是等腰三角形，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，即②正确；
③ 如图：连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，即③正确；
④∵在中，，
∴，即④错误．
综上，正确结论有①、②、③，共3个，即选项 C符合题意．
43．（2026·江苏南京·一模）如图，在中，，D是上一点，过点D作交于点E，交于点F．若，，则四边形的面积为______．
【答案】
【分析】利用和相似可得，再利用等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，
，，
，，四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
在中，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
解得，
，
∵，
∴．
44．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，，，分别为线段，上的点，且满足，则的最小值为______．
【答案】
【分析】在上截取，过作，交延长线于点，则，由平行四边形的性质可得，所以，，则，则有，然后证明，则，所以，当三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，再通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，过作，交延长线于点，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，如图，
∴，
∴的最小值为．
45．（2026·四川内江·一模）如图，的对角线与相交于点，，，，则的长为___________．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可知，，再利用勾股定理求出的长度．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
．
46．（2026·云南昭通·一模）如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴．
47．（2026·广东汕尾·一模）如图，点A、B、C在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：∵点A、B、C在上，且，
∴．
48．（2026·湖南岳阳·一模）如图，是的两条弦，连接．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴．
49．（2026·全国·一模）如图，四边形为的内接四边形，已知，则度数为___________．
【答案】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，先求出，再由圆周角定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
50．（2026·广东·一模）如图，，是的两条半径，点在上，若，则度数为_________
【答案】/60度
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．根据同圆中，同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半直接求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
51．（2026·浙江宁波·一模）如图，扇形是某标志的外轮廓图，已知扇形半径，，则扇形的弧长为________．（结果保留）
【答案】
【分析】根据弧长公式求解即可．
【详解】解：根据题意，扇形的弧长为．
52．（2026·江苏无锡·一模）一个扇形的半径是，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查扇形弧长公式的应用，已知扇形半径和弧长，利用弧长公式即可求解圆心角度数．
【详解】解：设此扇形的圆心角为，
∵扇形半径，弧长，
∴，
解得，
∴此扇形的圆心角为．
53．（2026·云南保山·一模）若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，掌握圆锥侧面积公式，其中为底面半径，为圆锥母线长，即可直接计算求解．
【详解】解：∵圆锥底面半径，母线长，
∴．
54．（2026·广东深圳·三模）如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和物品之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品被传送______．（结果保留）
【答案】
【分析】本题考查弧长的计算，根据题意可知传送带上的物品平移的距离是圆心角为的扇形的弧长．掌握弧长公式是解题的关键．
【详解】解：根据弧长公式可知，
传送带上的物品被传送的距离为∶．
故答案为：．
55．（2026·上海宝山·一模）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是，则该圆锥的底面圆的半径是_________．
【答案】1
【分析】本题考查了弧长公式，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键．设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出结果．
【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面周长为，则：
扇形的弧长为，
∵圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
∴，
∴，
故答案为：1．
56．（2026·江苏无锡·一模）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．内角和为
C．两组对边分别平行 D．对角线互相平分
【答案】A
【分析】根据矩形和菱形的性质，逐项分析求解，即可解题．
【详解】解：矩形的对角线相等，两组对边分别平行，对角线互相平分，内角和为
菱形的四条边都相等，两组对边分别平行，对角线互相平分，内角和为
则矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等；
故选：A．
57．（2026·重庆铜梁·一模）下列说法中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】本题考查特殊四边形的性质和判定，根据矩形的性质，正方形，菱形和平行四边形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意；
B、正方形的对角线互相垂直平分，原说法正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
58．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下列命题是真命题的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直且相等
B．矩形的对角线互相垂直且平分
C．正方形的对角线互相垂直且平分
D．平行四边形的对角线互相平分且相等
【答案】C
【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质，根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的对角线性质逐一判断各选项的正确性．
【详解】解：A． 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，当且仅当为正方形时对角线相等，原命题是假命题，不符合题意．
B． 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当为正方形时成立，原命题是假命题，不符合题意．
C． 正方形的对角线互相垂直且平分，原命题是真命题，符合题意．
D． 平行四边形的对角线互相平分，但相等仅当为矩形或正方形时成立，原命题是假命题，不符合题意．
故选：C．
59．（2026·云南昆明·一模）下列说法错误的是（ ）
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】B
【分析】本题考查了正方形，平行四边形，矩形，菱形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据正方形，平行四边形，矩形，菱形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故错误，符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，故正确，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故正确，不符合题意；
故选：B．
60．（2026·广东广州·一模）下列命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形中相邻两角互补 B．矩形对角线相等且互相平分
C．菱形的面积等于对角线长的乘积 D．正方形是中心对称图形
【答案】C
【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行四边形，菱形，矩形和正方形的性质，中心对称图形的识别，根据平行四边形，菱形，矩形和正方形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、平行四边形中相邻两角互补，原命题是真命题，不符合题意；
B、矩形对角线相等且互相平分，原命题是真命题，不符合题意；
C、菱形的面积等于对角线长的乘积的一半，原命题是假命题，符合题意；
D、正方形是中心对称图形，原命题是真命题，不符合题意；
故选：C．
1．（2026·陕西渭南·一模）如图，是矩形的对角线，线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若，，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据垂直平分线的性质，可得，设，可以把用的代数式表示出来，再利用勾股定理列方程，求出即可求解本题．
【详解】解： 垂直平分，
，
设，
在矩形中，，，
，
，
解得：，
．
2．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为15，则的面积为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．5.5
【答案】B
【详解】解：过点作于点，于点，
平分，，，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
．
3．（2026·陕西渭南·一模）如图，直线，与交于点F，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可；
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的一个外角，，
∴．
4．（2026·河南周口·一模）如图，为正八边形的外接圆，，为正八边形的边，P为优弧上一点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正多边形的性质得，由圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接、，
为正八边形的外接圆，
，
．
5．（2026·河南周口·一模）河南是粮食生产大省，其小麦产量约占全国总产量的四分之一，素有“中原粮仓”之称．将“中原粮仓河南”六个汉字分别写在正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“中”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．河 B．南 C．原 D．仓
【答案】A
【详解】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“中”的对面是“河”．
6．（2026·山东聊城·一模）如图，在正方形中，，点是上一点，且，过点作，使，分别交、、于点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．点为上任意一点，则的最小值为
C．
D．
【答案】D
【分析】由为直角三角形，可得，故A不符合题意；证明，可得，再证明，可得，故D符合题意；证明，可得，求解，证明是的垂直平分线，如图，连接交于，连接，可得的最小值为，故B不符合题意；求解，可得，故C不符合题意．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
∴，故A不符合题意；
∵四边形为正方形，，
，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故D符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵点是上一点，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
如图，连接交于，连接，
∴，
∴，
∴的最小值为，故B不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，故C不符合题意．
7．（2026·山东淄博·一模）如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，证明，，得出，，证明，得出，证明，说明B、C、G、D四点共圆，求出外接圆的直径为2，即可得出答案．
【详解】解：延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B、C、G、D四点共圆，
∵为等边三角形，，，
∴，，
∴，
∴外接圆的直径为2，
∴B、C、G、D四点所在圆的直径为2，
∴的最大值为2，
∵E是延长线上一点，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
8．（2026·山东淄博·一模）如图，以为直径的半圆O与的两边，相交于点D，E．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据在同圆和等圆中，等弦所对的弧相等，等弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，推得，根据等边对等角可得，结合题意求得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解．
【详解】解：连接，如图：
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
二、填空题
9．（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°．
【答案】
80
【详解】解：，
.
，
．
10．（2026·河南周口·一模）如图，经过菱形的顶点，且分别与边相切于点．若，则阴影部分的面积为__________．
【答案】
【分析】连接，利用菱形的性质求出相关角的度数，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用割补法求面积．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
由切线长定理可得，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
11．（2026·山东淄博·一模）如图，在中，斜边的长为35，正方形内接于，且边长为12，则直角边__________．
【答案】
49
【分析】设 ，，根据勾股定理得到的值，利用相似三角形对应边成比例得到与的关系，结合完全平方公式构建关于的一元二次方程求解．
【详解】设，.，
在中，由勾股定理得，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
由完全平方公式得，代入得，
设，则，
解得，，
∵，，
∴，舍去，
∴．
12．（2026·天津滨海新区·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边的中点．
（1）线段的长为______；
（2）点在边上，，为的中点，为上一点，若，则线段的长为______．
【答案】
【分析】（）通过矩形性质和勾股定理即可求解；
（）取中点，连接，则有为中位线，得，，由四边形是矩形，可得，通过，，则有，，得到，，，则，所以，再求出，通过等角对等边，最后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：（）∵四边形是矩形，
∴，，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴线段的长为；
（）如图，取中点，连接，
∵为的中点，
∴为中位线，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长为．
13．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________．
【答案】/
【分析】连接交于点，延长交于点，证明和以及，分别求得，，，据此计算即可求解．
【详解】解：连接交于点，延长交于点，如图，
∵矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．（2026·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，，点为对角线上的动点（不与端点重合），过点作于点，作于点，若，则菱形的周长为________．
【答案】
【分析】连接，作于点，根据菱形的性质，推出为等腰直角三角形，等积法得到，进而求出的长，即可得出结果.
【详解】解：连接，作于点，
∵菱形，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长为.
15．（2026·陕西榆林·二模）如图，四边形内接于，若，则的度数为________．
【答案】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得．
【详解】解：∵四边形内接于， ，
∴．
16．（2026·陕西榆林·二模）八角亭属于中国传统建筑中的亭类建筑，常见于皇家园林、寺庙及私家院落，其平面呈正八边形，如图①所示为八角亭，图②所示的正八边形是亭基的平面示意图，则该正八边形的内角的度数为________．
【答案】
【分析】边形的内角和．
【详解】解：该正八边形内角和，
故．
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