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专题12 全等模型之手拉手模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型拓展 4
模型运用 5
模型1.全等模型--手拉手模型 5
15
“手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了 问题驱动 （压轴题）→ 方法整合 （旋转构造）→ 概念普及 （拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为： 两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。 后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。
解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。
（山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：．
1）双等边三角形型
条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
4）双正方形形型
条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，
过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
模型1.全等模型--手拉手模型
例1（2026八年级下·重庆·开学考试）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（ ）个

A．4 B．5 C．6 D．7
例2（2026八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（ ）
A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④
例3（2026·江苏·七年级专题练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
例4（七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，．
(1)如果，．
①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________；
②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(2)如图3，如果，，点D在线段上运动．
探究：当多少度时，？请说明理由．
例5（2026七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：

(1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________；
(2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数．
例6（2026七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________；
【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由；
【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________．
【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数．
例7（2026山东潍坊·八年级统考期末）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．
(1)[问题解决]如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE．求证：BE＋BD＝AB．
(2)[迁移运用]如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．求证：BE＋BD＝BF．
(3)[类比探究]如图3，点F是AB边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．试探究线段BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理由．
例8（2026·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等）
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD= ；
③如图2，∠BOD= ；④如图3，∠BOD= ．
1．（2026八年级上·河南信阳·阶段练习）已知：如图，在△与△中，°，，、、三点在同一直线上，连接、．以下四个结论：①，②，③，④△≌△，其中正确的个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2026七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　）
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2026八年级下·宁夏银川·期中）如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接．若，，则下列结论①；②的周长是9；③是等边三角形；④，正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②③④
4．（2026七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则 ．
5．（2026七年级下·山东泰安·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是 ．
6．（2025七年级下·成都 ·专题练习）如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和．
7．（2026七年级下·辽宁·期中）如图，在与中，，连接，二者相交于．判断与的关系，并说明理由．
8．（2026七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．(1)求证：；(2)求的度数．
9．（2026七年级下·重庆·期末）如图，在中，点D为上一点，连接，且，点C为外一点，连接，，，．(1)求证：(2)若，，求的度数．
10．（2026八年级下·甘肃甘南·期中）如图，在正方形和正方形中，连接、交于点，连接．求证：(1)；(2)平分．
11．（2026七年级下·黑龙江绥化·期末）如图所示，，是等腰的斜边上的两个动点，,且．(1)求证：；(2)求证；．
12.（2026·广东·八年级统考期中）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
(1)求证：；(2)求证：平分；
(3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．
13．（2026七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，点是边上一点（不与、重合），连接，以为一边在右侧作，使，，连接．
(1)试判断与的数量关系，并说明理由；(2)①若，求的度数．
②若，请直接写出与之间的数量关系__________．
(3)若平分，且，求的长．
14．（2026七年级下·陕西渭南·期末）【思路梳理】（1）如图1，在中，，点E在上，连接，以为边作等腰三角形，连接，，且．则和全等吗？为什么？
【问题解决】（2）如图2，某景区内有一处大道，大道两侧均为花卉种植区，区域为月季种植区，且，区域为牡丹种植区，区域为菊花种植区，，均为观赏小道，点A在线段上，点E在线段上，，为等腰直角三角形，，，点F恰好在的延长线上，求之间的数量关系，请说明理由．
15．（2026八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
(1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________．
(2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________．
(3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
16．（2026七年级下·河南平顶山·期中）在中，，点是边上一点不与、重合，连接，以为一边在右侧作，使，，连接．
(1)如图，若．①与全等吗？请说明理由；②求的度数．(2)如图，若，则的度数为 ；(3)如图，若，，请直接写出与之间的数量关系．
17.（2026山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．
(1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由．
(2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线）
(3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）．
(4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由．
18.（2026七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接．
(1)如图1，求证：．(2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：．
(3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题12 全等模型之手拉手模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型拓展 4
模型运用 5
模型1.全等模型--手拉手模型 5
15
“手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了 问题驱动 （压轴题）→ 方法整合 （旋转构造）→ 概念普及 （拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为： 两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。 后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。
解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。
（山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．
(1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．
①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：．
【答案】(1)见解析(2)①；②见解析
【详解】（1）证明：在和中，，，，
，，．是斜边的中点，
，，，．，
，．；
（2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，，
，，，，，
，，．
，．在和中，，，，
，．是中点，是中点，是中位线，
．，，．
，．故答案为：；
②证明： ∵，，，．
1）双等边三角形型
条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型
条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。
证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°，
过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
3）双等腰三角形型
条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。
证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，
又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。
4）双正方形形型
条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°，
过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS）
∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。
模型1.全等模型--手拉手模型
例1（2026八年级下·重庆·开学考试）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下结论：①；②PQAE；③；④；⑤为等边三角形；⑥平分．上述结论正确的有（ ）个

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】解：①等边和等边，
，，，，
在和中，，，；故①正确；
③（已证），，
（已证），，，
在与中，，，；故③正确；
②，，是等边三角形，
，，∴；故②正确；
④，，
等边，，∴，，
．故④正确；
，，又，是等边三角形，故⑤正确；
⑥如图，过点作于，于，
，，，平分，，，
∵，∴，∴，∴，
当平分，∴，∵，，
∴，∴，互相矛盾，⑥错误，故选：B．
例2（2026八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，分别以的边为腰向外作等腰直角、等腰直角，连接相交于点O，连接，①，②，③，④平分，⑤平分，则以上结论正确的有（ ）
A．①③⑤ B．②③④ C．③④⑤ D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴，
又∵，∴，
即，∴，∴，①正确；
∵，∴，又∵，
∴，∴，即，③正确；
过点A分别作，垂足为点P,Q．
∵，∴，∴，∴，
∴点A在的平分线上，即平分，④正确．故选：D．
例3（2026·江苏·七年级专题练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图1的结论成立；(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)60°(3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析
【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB=∠AEC，
令AD与CE交于点G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°；
（3）∠A+∠BCD=180°．理由：如图3，延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠ABC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．
例4（七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，．
(1)如果，．
①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________；
②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(2)如图3，如果，，点D在线段上运动．
探究：当多少度时，？请说明理由．
【答案】(1)①，；②仍然成立，理由见解析(2)当时，，理由见解析
【详解】（1）解：①与位置关系是，数量关系是．
理由：，，．
又，，，且．
，，即．故答案为：，；
②都成立，，
在与中，，
，，，即．
（2）解：当时，．
理由：过点A作交的延长线于点G，则，
∵，∴，∴∴，
在与中，，∴，
∴，∴，即．
例5（2026七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：

(1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________；
(2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数．
【答案】(1)，(2)且，理由见解析(3)，
【详解】（1）解：∵，∴．∴，
在和中，，∴，∴，
∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是．故答案为：，；
（2）且；
理由如下：∵，∴．∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，即，
∴，∴，综上所述：且．
（3）和都为等边三角形，，，，
，即，
在和中，，；，，
∴，
∴．
例6（2026七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________；
【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由；
【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________．
【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数．
【答案】（1），，（2），，理由见解析（3）（4）．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，，
又，∴；故答案为：，，；
（2）解：，；理由如下：∵和均为等腰直角三角形，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，，
又，∴，∴，；
（3）解：如图所示，作交于E点，连接，
∵，∴为等腰直角三角形，∴，，，
由旋转的性质可知，，，∴，∴，
∴，，∴，
∴的面积为，故答案为：；
（4）解：设，作，使，
∵，，∴，∴，∴，，
∵，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，
连接并延长至点，使，连接，，，
∵，，∴，∴，，
∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，
∵，，∴，∴．
例7（2026山东潍坊·八年级统考期末）已知，△ABC为等边三角形，点D在边BC上．
(1)[问题解决]如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE．求证：BE＋BD＝AB．
(2)[迁移运用]如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．求证：BE＋BD＝BF．
(3)[类比探究]如图3，点F是AB边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF．试探究线段BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系？请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)BD＋BF＝BE，理由见解析
【详解】（1）证明：∵△ABC与△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠DAE－∠BAD＝60°－∠BAD，∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝60°－∠BAD，∴∠BAE＝∠CAD，
在△CAD与△BAE中，，∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD，∴BE＋BD＝CD＋BD＝BC，∵AB＝BC，∴BE＋BD＝AB；
（2）证明：过点D作DG//AC，交AB于点G，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°，
∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°，
又∵∠ABC＝60°，∴△BDG为等边三角形，∴BD＝DG＝BG，
∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∵∠BDE＝∠BDG－∠EDG＝60°－∠EDG，∠FDG＝∠EDF－∠EDG＝60°－∠EDG，∴∠BDE＝∠FDG，
在△BDE与△GDF中，∴△BDE≌△GDF（SAS），
∴BE＝GF，∴BE＋BD＝GF＋BG＝BF；
（3）BD＋BF＝BE，理由如下：过点D作DG∥AC，交AB于点G，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝∠C＝60°，
∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠A＝60°，∠BDG＝∠C＝60°，
又∵∠ABC＝60°，∴△BDG为等边三角形，∴BD＝DG＝BG，
∵△DEF为等边三角形，∴DE＝DF，∠FDE＝60°，
∵∠GDF＝∠GDB＋∠BDF＝60°＋∠BDF，∠BDE＝∠EDF＋∠BDF＝60°＋∠BDF，∴∠GDF＝∠BDE，
在△BDE与△GDF中，∴△BDE≌△GDF（SAS），∴BE＝GF，
∵GF＝BF＋BG＝BF＋BD，∴BD＋BF＝BE．
例8（2026·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等）
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD= ；
③如图2，∠BOD= ；④如图3，∠BOD= ．
【答案】①见解析；②60°；③90°；④108°
【详解】解：①证明：如图，
∵△ABD和△AEC是等边三角，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE．
在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS）；
②，，∵∠AFD=∠OFB，∴∠BOD=∠BAD=60°；
③如图， 四边形和四边形是正方形，
，，，，
，即，
在和中，，，，
∵∠AHB=∠OHD，∴∠BOD=∠BAD=90°；
④如图，五边形和五边形是正五边形，
，，，
，，，
在和中，，，，
∵∠AMB=∠OMD，∴∠BOD=∠BAD=（5-2）×180°÷5=108°．
1．（2026八年级上·河南信阳·阶段练习）已知：如图，在△与△中，°，，、、三点在同一直线上，连接、．以下四个结论：①，②，③，④△≌△，其中正确的个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【详解】解：∵，∴，
在和中，，∴，故结论④正确；
∴，，故结论①正确；
∵，，∴，故结论③正确；
∴，∴，故结论②正确；
∴正确的个数是．故选：A．
2．（2026七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形， 、、三点共线，与相交于点，与分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（　　）
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：①∵和均是等边三角形，
∴，∴，
即，∴，故①正确，符合题意；
②∵和均是等边三角形，∴，
，∴，
∴，∴，故②正确，符合题意；
③由①得，∴，由②得，
又，∴，∴，故③正确，符合题意；
④由③得，∴，故④正确，符合题意；
⑤由③得，由②得，∴为等边三角形，
∴，故⑤正确，符合题意；故选：A．
3．（2026八年级下·宁夏银川·期中）如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接．若，，则下列结论①；②的周长是9；③是等边三角形；④，正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②③④
【答案】B
【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转，得到，
∴，，∴是等边三角形，故③正确；
∵是等边三角形，∴，，∴，
又，∴，∴，，∴，故①正确；
∵、是等边三角形， ，，∴，，
∴的周长是，故②正确；
∵，，
∴，故④不正确，故选：B．
4．（2026七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于E，连接，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∵是等腰直角三角形，，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴；故答案为：．
5．（2026七年级下·山东泰安·期末）如图所示，已知和都是等腰三角形，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②平分；③平分；④；⑤．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④⑤
【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O．
∵，∴，
在与中，，（），∴，，故①正确，
∵， ∴，∴，故④正确，
∵，，，∴，
∴，∴平分，故③正确；∴，∴，
∵∴，故⑤正确；
若②平分成立，则，
∵，∴，推出，由题意知，不一定等于，
∴不一定平分，故②错误，即正确的有①③④⑤，故答案为：①③④⑤．
6．（2025七年级下·成都 ·专题练习）如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和．
【答案】21
【详解】解：如答图，作关于AE的对称图形，连接，则，
，，所以．
由题意，得，所以．
在和中，所以，
所以，，，
所以，即是直角三角形，所以，
所以，即与的面积之和为21．
7．（2026七年级下·辽宁·期中）如图，在与中，，连接，二者相交于．判断与的关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【详解】解：，理由如下：
，，，
在和中，，，，
，，，
，，综上所述，．
8．（2026七年级下·四川成都·期中）已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．(1)求证：；(2)求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴，
∵，∴，∵平分，∴，
∵，∴；
（2）解：∵为等边三角形，∴，，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴．
9．（2026七年级下·重庆·期末）如图，在中，点D为上一点，连接，且，点C为外一点，连接，，，．(1)求证：(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）解：∵，∴，∴，
∵，且，
∴，∵，∴；
（2）解：∵，，∴，
由（1）得，∴，，
∴，
∵，∴，∴．
10．（2026八年级下·甘肃甘南·期中）如图，在正方形和正方形中，连接、交于点，连接．求证：(1)；(2)平分．
【答案】(1)见详解(2)见详解
【详解】（1）解：∵四边形，都是正方形，
∴，则，
∴，∴，∴．
（2）解：过点分别作，如图所示：
由（1）得，∴，
∵，∴，则，
即点A在的平分线上，∴平分．
11．（2026七年级下·黑龙江绥化·期末）如图所示，，是等腰的斜边上的两个动点，,且．(1)求证：；(2)求证；．
【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴，，
∵，∴，∴，
在和中，∴．
（2）证明：由（1）知，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴．
12.（2026·广东·八年级统考期中）如图1，等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，连接交于点，连．
(1)求证：；(2)求证：平分；
(3)设，若，直接写出a，b，c之间满足的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：∵等边与等边的顶点，，三点在一条直线上，
∴，，∴，
∴，，∴，
∵等边，等边，∴，，
在与中，∵，∴，∴．
（2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点，
∵（1）中已证，又∵，，∴，
∵，，∴平分．
（3），理由如下：
如图2，过点作交于点，过点作交于点，在上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接，，
∵，∴，∵，
又∵等边，∴，∴，
∵，∴，即，
∵，∴是等边三角形，∴，，
∵是等边三角形，∴，，∴，
即，在与中，∵，
∴，∴．∵，，
∴，
同法可证，，∵，∴．
∵，，∴，
∵（2）中已证，∴，∴，即．
13．（2026七年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，点是边上一点（不与、重合），连接，以为一边在右侧作，使，，连接．
(1)试判断与的数量关系，并说明理由；(2)①若，求的度数．
②若，请直接写出与之间的数量关系__________．
(3)若平分，且，求的长．
【答案】(1)，见解析(2)①；②(3)
【详解】（1）解：，理由：∵，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：①∵，∴，
∵，∴，∴；
②，理由：，，
同理，，，，
，，且，；
（3）解：∵平分，∴，
∵，∴，∵，∴，∴．
14．（2026七年级下·陕西渭南·期末）【思路梳理】（1）如图1，在中，，点E在上，连接，以为边作等腰三角形，连接，，且．则和全等吗？为什么？
【问题解决】（2）如图2，某景区内有一处大道，大道两侧均为花卉种植区，区域为月季种植区，且，区域为牡丹种植区，区域为菊花种植区，，均为观赏小道，点A在线段上，点E在线段上，，为等腰直角三角形，，，点F恰好在的延长线上，求之间的数量关系，请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析
【详解】解：（1），理由如下：
∵，∴，∴，
∵在和中，，∴．
（2），理由如下：∵，∴，
∵，，∴，∴，
∵在和中，，∴，∴，
∵，点F恰好在的延长线上，∴，
∵为等腰直角三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵在和中，，∴，∴，
∵，∴．
15．（2026八年级下·浙江·假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
(1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ______________________．
(2)如图，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，则 ___________．
(3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
【答案】(1)，；(2)(3)，，理由见解析．
【详解】（1）（1）解：，，，
在和中，，，故答案为：，；
（2）解：等边和等边，
，，，
，，
在和中，，，，
，
，故答案为：；
（3）解：且，理由如下：如下图所示，
，，即，
在和中，，，，，
，，∴．
16．（2026七年级下·河南平顶山·期中）在中，，点是边上一点不与、重合，连接，以为一边在右侧作，使，，连接．
(1)如图，若．①与全等吗？请说明理由；②求的度数．(2)如图，若，则的度数为 ；(3)如图，若，，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)≌，理由见解析；的度数是；(2)(3)
【详解】（1）解：，
理由：，，
在和中，，∴．
，，的度数是．
（2），，，，
在和中，，∴，，
，故答案为：．
（3），理由：，，
在和中，，，，
，
，，且，．
17.（2026山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．
(1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由．
(2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线）
(3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）．
(4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由．
【答案】(1)BE＝CD．证明见详解；(2)90°；(3)BC＝BD+BE．证明见详解；(4)∠EBD＝120°．
【详解】（1）证明：问题初探：BE＝CD．如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD；
（2）解：在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F，
∵，，∴∠ACB=∠ABC=，
∵MF∥AC，∴∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF，
∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF，
在△BME和△FMD中，，∴△BME≌△FMD（SAS），
∴∠MBE＝∠MFD=45°；∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．故答案为：90°；
（3）解：BC＝BD+BE．如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE；
（4）拓展创新：∠EBD＝120°．理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G，
如图则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM，
∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME+∠BMD=∠BMD+∠GMD=60°，∴∠BME＝∠DMG，
在△BME和△GMD中，，∴△BME≌△GMD（SAS），
∴∠MBE＝∠MGB＝60°，∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°．
18.（2026七年级下·辽宁沈阳·期中）已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接．
(1)如图1，求证：．(2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：．
(3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)或
【详解】（1）∵，，∴，∴，
又∵，，∴；
（2）∵，∴，，
∴，，∴，
∵，∴，
在和中，∴，∴，∴；
（3）分类讨论：第一种情况：点G在点E的下方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图，∵，∴，
又∵，，∴，∴，，同理可证明：，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，，，∴，
∵，，，∴；
第二种情况：点G在点E的上方，过点A作于点O，点H作于点M，点H作于点N，如图，同理可得：，，，
∵，∴，∴，
∴，∴；综上：与的面积比为 或者．
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