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专题13 全等模型之半角模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型运用 5
模型1.半角模型 6
16
首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三 核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。
半角模型 ：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。
（2025·山东东营·中考真题）
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)
【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到，
，，，，
四边形是正方形，，
，E、B、N三点共线，
，，，，，
，，，，
；故答案为：；
（2）解：；理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，E在上，
四边形是正方形，，，
，，，，
，，；
（3）解：．理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
，，
E、B、N三点共线，
，，，，．
1）半角模型
条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型）
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB；
⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，
∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；
∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。
∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，
∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，
∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°，
∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE，
∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
图1 图2
条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型）
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，
条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60）
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，
∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，
∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，
∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，
过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，
∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF，
∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
图3 图4 图5
条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30）
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，
条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型）
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。
证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。
∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。
模型1.半角模型
例1（2026八年级上·广西·期末）已知：正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点M、N．
(1)如图1，当绕点A旋转到时，线段，和的等量关系是______．
(2)当绕点A旋转到时，如图2，请问（1）中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(3)当绕点A旋转到如图3位置时，请直接写出线段，和的等量关系．
【答案】(1)(2)成立，证明见解析(3)
【详解】（1）解：如图，连接，交于点．

四边形为正方形，且，
，且平分，且，∴，
，即，，
在和中，，
，同理可得，，
．故答案为：；
（2）解：成立，理由如下：如图，在的延长线上，截取，连接，
在和中，，，，
，，，，
在和中，，，
又，．
（3）解：，如图，在上截取，连接，
和中，，
，，，即，
，，
在和中，，
，，．
例2（2026八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E．
(1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ；
(2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长．
【答案】(1)(2)，证明见详解(3)10
【详解】（1）解：如图1，延长，在射线上截取，连接．
∵是等边三角形，是等腰三角形，，∴，，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即．∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴．故答案为：；
（2）答：．证明：如图，在线段上截取，连接．
∵是等边三角形，是等腰三角形，，
∴，，∴，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即．
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴；
（3）解：如图，作，交延长线于点H，延长交于点G．
∵，∴，，∴是等边三角形，∴，
∵，∴，
∵，，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴，∴，∴，
∵，，，∴．
∵，∴，，∴，
∴，∴，∴．
例3（2026八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、.
当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明）
(1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：.
(2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
【答案】(1)证明见解析；(2)不成立，
【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接，
，，
在和中，，，，
，，
，即，，
在和中，，，，
，．
（2）不成立， 证明如下：如图，在上截取，连接，
，，
在和中，，，，
，，
，，
在和中，，，，
，即．
例4（2026九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定
【答案】C
【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，，∵是等边三角形，∴，
∵ ，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵ ，∴，
又∵，∴是以为边长的钝角三角形，故选：．
例5（2026广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数.
【答案】（1）见解析；（2）20°
【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合，
∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，
由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线，
∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD，
∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED；
（2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，
又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°．
例6（2026八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在正方形中，点E、F分别为，边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为2，则的周长为______．
（2）如图②，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想，，之间有何数量关系，证明你的结论．
（3）如图③，四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明提由）．
【答案】（1）4；（2），证明见解析；（3）．
【详解】解：（1）正方形的边长为2，，，，
，的周长为故答案为：4；
（2）
证明：如图②，将绕点A顺时针旋转，旋转角度为的度数，得到，
由旋转的性质可知，，，，，
，，，
，点H、B、F三点共线，
在和中，，，
，；
（3）， 理由如下：在上截取，
，，，
在和中，，，，，
，，
，
在和中，，，
，．
例7（2026八年级上·河南郑州·期末）【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题．
【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：．
小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路．
第一步：延长至点，使，连接，易证，
得出① ，．
第二步：，，得出，
所以，即 ② ．
第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以．
【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程．
【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ．
【答案】（），，，；（）仍然成立，理由见解析；（）
【详解】（）证明：如图，延长至点，使，连 接，
∵， ∴，
在和中， ， ∴，∴，，
∴，
∵，∴，
在和中， ，∴， ∴，
∵，∴，故答案为：，，，；
（）仍然成立，理由如下：如图，延长到点，使，连 接，
∵，， ∴，
在和中， ，∴， ∴，，
∵， ∴，
∴，即，
在和中，，∴， ∴，
∵，∴，∴（）中的结论仍然成立；
（）如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是边长为的正方形，
∴， ， ∴，
在和中， ，∴，∴，，
∵，∴，∴，
在和中， ，∴，∴，
∵， ∴，
∴，∴ 的周长为，故答案为：．
1.（2026·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定
【答案】C
【详解】解：如图所示：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH，连接HN，
由旋转性质可知，BM=BH，CH=AM，，，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵∠MBN=30°，∴∠ABM+∠CBN=30°，
∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN =30°，∴∠NBM=∠NBH，
在△NBM与△NBH中，，∴△NBM≌△NBH（SAS），∴MN=NH=x，
∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m，∴∠NCH=120°，
∴以x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选：C．
2．（2026八年级下·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，，连接．小明同学在进一步探究这个题目时，将绕点顺时针旋转了，然后发现了一些结论．你认为他发现的以下四个结论完全正确的是（ ）
平分；平分；；的周长正方形边长的倍
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，
∵将绕点顺时针旋转了，∴，，，，∴，∴三点共线，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，，，
∴平分，故正确；
∵，∴，∴平分，故正确；
∴的周长，
，故正确；综上可知：正确，故选：．
3．（2026八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，，，．若，则等于 （用含的式子表示）．
【答案】
【详解】解：在正方形中，，，
将绕点A顺时针旋转，得，G、B、E三点共线，如图所示：
则，，∵，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵∴∴，
∴，故答案为：．
4．（2026八年级下·山东威海·期中）如图，在正方形中，点、、分别在、、上，连接、、、、，其中，，若，则一定等于 ．（用含α的式子表示）
【答案】
【详解】解：如图，作于点，则，
四边形是正方形，，，，
，，四边形是矩形，，，
在和中，，，，，
将绕点顺时针旋转得到，则，，，
点、分别在、上，，
，，，
，、、三点在同一条直线上，
在和中，，，，，
，，，
，，故答案为：．
5．（2026九年级上·广西玉林·期中）（1）【探究】如图①，正方形中，、分别在边上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．求证：．
（2）【拓展】如图②，在四边形中，cm，，， 以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长．
【答案】（1）证明详见解析；（2）五边形的周长为．
【详解】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．
∴，，，，
∵四边形是正方形，∴，，
∴，∴点、、三点共线，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，∴，；
（2）解：将绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到，

，，，，，
，，，
，，，，
∴五边形的周长，
∴五边形的周长．
6．（2026七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，E，F分别在边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是：如图1，延长到H，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长=______；
（2）如图2，在四边形中，．E，F分别是线段上的点．且．探究图中线段之间的数量关系；
（3）如图3，若在四边形中，，E，F分别是线段上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）10；（2）；（3）成立，见解析
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，故答案为：10；
（2），延长至点，使得，连接，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，即；
（3）结论仍然成立，理由如下：
延长至点，使得，连接，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，即．
7．（2026七年级下·成都·假期作业）在正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、．
(1)当绕点旋转到时（如图①），求证：；
(2)当绕点A旋转到时（如图②），线段、和之间的数量关系是__________；
(3)当绕点A旋转到如图③所示的位置时，猜想线段、和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)，理由见解析
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，
在和中，，∴，∴，，
∵，，∴，
∴，作于点，
∵，∴平分，∴，
∴，，∴平分，平分，
∵，，∴，，，，∴，，
∵，∴．
（2）解：在延长线上截取，连接，
∵四边形是正方形，∴，，，∴，
在和中，，∴，∴，，，
∵，，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
（3）解：，理由：在上截取，连接，
∵四边形是正方形，∴，，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，
答：线段、和之间的数量关系为．
8．（2026九年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点M，N，当绕点A旋转到时（如图1），易证．
(1)当绕点A旋转到时（如图2），上面的结论还成立吗？说明理由．
填空：若周长为8，则正方形边长为 ．
(2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由．
(3)图3中，若，求的面积为 ．
【答案】(1)成立，见解析；4(2)，见解析(3)
【详解】（1）解：成立；理由如下：
如图，过点A作交的延长线于点E，∴；
∵四边形是正方形，∴，
∴，，∴；
在与中，，∴，∴；
∵，∴；
在与中，，∴，∴；
∵，∴；
∵的周长为8，即，∴，
即，∴；
∵，∴，即正方形的边长为4；故答案为：4．
（2）解：；理由如下：如图，过点A作交直线于点E，∴；
∵四边形是正方形，∴，
∴，，∴；
在与中，，∴，∴；
∵，∴；
在与中，，∴，∴；
∵，∴；
（3）解：由（2）知，，
∴．故答案为：．
9．（2026九年级下·广东·假期作业）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；理由见解析(2)；理由见解析(3)；理由见解析
【详解】（1）解：，理由如下：
由旋转的性质，可知，，，，
又正方形中，，，，，三线共线，
，，
在和中，，， ，
，．
（2）解：，理由如下：如图，在上取，连接，
在正方形中，，，，
在和中，，，，，
，，，
在和中，，，，
，．
（3）解：,理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转得，
，，，
，，，，三点共线，
由（1）同理可得，．
10.（2026八年级上·山东济宁·期中）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°．
（1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形；
（2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形；
（3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠B＝∠C，
∵∠BAD＝15°，∠DAE＝30°，∴∠CAE＝∠BAD＝15°，
∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；
（2）∵点D，点F关于直线AE对称，∴AD＝AF，AE垂直平分DF，
∴∠DAE＝∠FAE＝30°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形；
（3）如图，连接EF，∵∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAF，
又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∠ABD＝∠ACF＝60°，∴∠ECF＝120°，
∵AE垂直平分DF，∴DE＝EF，∵△EFC是钝角三角形，∴以EF，CE，CF为边长的三角形是钝角三角形，∴以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
11.（2026八年级上·江西·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．
【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路：
思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）；
【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时，
猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）；
（3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）．
【答案】（1），；（2），证明见解析；；（3），证明见解析；
【详解】解：（1），；理由如下：
，，是等边三角形，，
，，，
是等边三角形，，，
在和中，，
，，，
，；
，，，，是等边三角形，
，的周长，
等边的周长，；
（2），理由如下：如图2，延长到E，使，连接，
是等边三角形，，，，，
，即，，
在和中，，，，
，，，
，即，
在和中，，，
，，；根据（1）可得
（3），理由如下：如图3，在上截取，连接，
由（2）知：，，
在和中，，，，
，，
在和中，，，
，，；
②．如图3，等边的周长为L，
，的周长
．故答案为．
12.（2026七年级下·辽宁阜新·期末）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．
【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析；
(3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析．
【详解】（1）解：EF=BE+FD．延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，
∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．
又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．
∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD；
（2）解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．
证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．
∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，
在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3．
∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；
（3）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD．
证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．
在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．
13.（2026八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动．
(1)当点、分别为、中点时，求证：；
(2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明；
(3)如图，当点、分别在射线、上运动，时，
①试问中的结论还成立吗？请加以说明；②直接写出、和之间的数量关系；
【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长．
【答案】【尝试探究】（1）见解析；（2），见解析；（3）①结论不成立，见解析；②，见解析；【模型建立】成立，见解析；【拓展应用】
【详解】[尝试探究]（1）证明：四边形是正方形，，，
点、分别为、中点，，，
，，；
（2）解：．证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合，
，，点、、共线，，，
，即．
在和中， ，，
，；
（3）解：①（2）中的结论不成立．证明：如图所示．
，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，
，点、、在一条直线上．，，．
又，．
，．．
在和中，，．．
，，∴（2）中的结论不成立，、和的数量关系为；
②，证明：如图所示．
由①知，，∴，
∴，∴；
[模型建立]成立，如图，．
证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，
由旋转得：，，，，
同理得：点，，在同一条直线上，，，
，，
，，，，
，∴（2）中的结论还成立，；
[拓展应用]解：是边长为的等边三角形，，，
，，
，，把绕点顺时针旋转至，可使与重合，
由旋转得：，，，，
同理得：点，，在同一条直线上，
，，，，
，，，，，
的周长．
14.（2026八年级下·贵州·期末）综合与实践：
【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题．
【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程；
【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ；
【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3），见解析
【详解】解：（1）， 理由如下：沿着小李的思路进行证明，
在正方形中，有，，∴，
∵，，，∴，∴，，
∵，，∴，∴，
又∵，，∴，∴，
∵，，∴；
（2）设，则，
∴ 的周长为：，故答案为：8；
（3），理由如下：如下图中，在上截取，使，连接，

∵，，∴，
在与中，，∴，∴，，
∴，∴，
∵，，∴，∴，且，∴．
15．（2026七年级下·山东泰安·期末）综合与实践
问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系．
方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程；
（2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线．
延伸探究（3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），过程见解析（2），，图见解析（3），理由见解析
【详解】（1）
证明：如图2，平分， ，
，，，，，
，，，，，，
，．
（2）， 辅助线如图3
（3） 证明：如图4中，延长至M，使，连接，
，，，
在与中，，，，
，，，即，
在与中，，，，
，．
16．（2026八年级下·广西钦州·阶段练习）【问题情境】神奇的半角模型
在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法．
如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下：
如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系．
(1)【提出问题】，，之间的数量关系为______；
(2)【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______．
【答案】(1)(2)成立，理由见解析(3)
【详解】（1）解：延长到点，使，连接，
四边形是正方形，，，∴，
，，，
，，，
，，
，故答案为：；
（2）解：成立，理由如下：延长到点，使，连接，
∵，∴，∴，
，，，，
，，，，
，，；
（3）解：延长到点，使，连接，则，
与互补，，
，，，，，
，，，
，，，
的周长为，故答案为：．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题13 全等模型之半角模型
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型运用 5
模型1.半角模型 6
16
首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三 核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。
半角模型 ：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。
（2025·山东东营·中考真题）
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
1）半角模型
条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型）
结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB；
⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG，
∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG；
∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。
∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°，
∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF，
∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°，
∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE，
∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
图1 图2
条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型）
结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG，
∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG；
∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，
条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60）
结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB；
⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG，
∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG；
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF，
∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF，
∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB，
过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°，
∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF，
∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。
图3 图4 图5
条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30）
结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；
证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF；
∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，
条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型）
结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。
证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF，
∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。
∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=，
∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。
模型1.半角模型
例1（2026八年级上·广西·期末）已知：正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点M、N．
(1)如图1，当绕点A旋转到时，线段，和的等量关系是______．
(2)当绕点A旋转到时，如图2，请问（1）中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(3)当绕点A旋转到如图3位置时，请直接写出线段，和的等量关系．
例2（2026八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E．
(1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ；
(2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长．
例3（2026八年级上·黑龙江·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、.
当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明）
(1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：.
(2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
例4（2026九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定
例5（2026广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数.
例6（2026八年级上·福建泉州·期中）（1）如图①，在正方形中，点E、F分别为，边上的点，且满足，连接．将绕点A顺时针旋转得到，易证，从而得到结论：，根据这个结论，若正方形的边长为2，则的周长为______．
（2）如图②，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想，，之间有何数量关系，证明你的结论．
（3）如图③，四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明提由）．
例7（2026八年级上·河南郑州·期末）【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．在解决这类问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题．
【初步思考】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：．
小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路．
第一步：延长至点，使，连接，易证，
得出① ，．
第二步：，，得出，
所以，即 ② ．
第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ，所以．
【探究迁移】（）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程．
【拓展应用】（）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ．
1.（2026·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在等边三角形中，在AC边上取两点使．若，，， 则以为边长的三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定
2．（2026八年级下·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，，连接．小明同学在进一步探究这个题目时，将绕点顺时针旋转了，然后发现了一些结论．你认为他发现的以下四个结论完全正确的是（ ）
平分；平分；；的周长正方形边长的倍
A． B． C． D．
3．（2026八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在，上，连接，，，．若，则等于 （用含的式子表示）．
4．（2026八年级下·山东威海·期中）如图，在正方形中，点、、分别在、、上，连接、、、、，其中，，若，则一定等于 ．（用含α的式子表示）
5．（2026九年级上·广西玉林·期中）（1）【探究】如图①，正方形中，、分别在边上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．求证：．
（2）【拓展】如图②，在四边形中，cm，，， 以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长．
6．（2026七年级下·四川成都·期中）（1）如图1，四边形是边长为的正方形，E，F分别在边上，．为了求出的周长．小南同学的探究方法是：如图1，延长到H，使，连接，先证，再证，得，从而得到的周长=______；
（2）如图2，在四边形中，．E，F分别是线段上的点．且．探究图中线段之间的数量关系；
（3）如图3，若在四边形中，，E，F分别是线段上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
7．（2026七年级下·成都·假期作业）在正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、．
(1)当绕点旋转到时（如图①），求证：；
(2)当绕点A旋转到时（如图②），线段、和之间的数量关系是__________；
(3)当绕点A旋转到如图③所示的位置时，猜想线段、和之间的数量关系，并说明理由．
8．（2026九年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点M，N，当绕点A旋转到时（如图1），易证．
(1)当绕点A旋转到时（如图2），上面的结论还成立吗？说明理由．
填空：若周长为8，则正方形边长为 ．
(2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由．
(3)图3中，若，求的面积为 ．
9．（2026九年级下·广东·假期作业）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
10.（2026八年级上·山东济宁·期中）如图，等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝30°．
（1）当∠BAD＝15°时，如图1，求证：△ADE为等腰三角形；
（2）作D点关于直线AE的对称点F，连接AF，CF，如图2．求证：△ADF为等边三角形；
（3）求证：以BD，DE，CE为边长的三角形为钝角三角形．
11.（2026八年级上·江西·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．
【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路：
思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值；
故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）；
【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时，
猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）；
（3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）．
12.（2026七年级下·辽宁阜新·期末）问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．
13.（2026八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动．
(1)当点、分别为、中点时，求证：；
(2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明；
(3)如图，当点、分别在射线、上运动，时，
①试问中的结论还成立吗？请加以说明；②直接写出、和之间的数量关系；
【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明；
【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长．
14.（2026八年级下·贵州·期末）综合与实践：
【模型解读】“半角模型”是指在一个大角中包含着一个大小为其一半的角，通过边与角的特殊关系解决线段长度、角度的相关问题．例如：如图1，在正方形中，点E，F分别在上，连接，且，我们把这种模型称为“半角模型”．在解决问题时，“截长补短”是一种常用的方法，将分散的线段或角集中在一起，构造全等三角形，从而利用全等三角形的性质来解决问题．
【实践证明】（1）如图1，连接EF，为了证明“”，小李同学运用所学的几何知识，延长到点H，使，连接，通过证明，得到 ，从而得到，请你按照小李同学的思路写出证明过程；
【知识运用】（2）利用（1）的结论，若正方形的边长是4，则 的周长是 ；
【拓展延伸】（3）如图2，在四边形中，，，点E，F分别在 的延长线上，连接，且 探究线段 之间的数量关系，并证明．
15．（2026七年级下·山东泰安·期末）综合与实践
问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系．
方法运用（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程；
（2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线．
延伸探究（3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由．
16．（2026八年级下·广西钦州·阶段练习）【问题情境】神奇的半角模型
在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法．
如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下：
如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系．
(1)【提出问题】，，之间的数量关系为______；
(2)【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______．
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