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专题16 将军饮马模型
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型拓展 5
模型运用 6
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 9
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 17
23
“将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。
传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。
（2026八年级上·福建厦门·期末）如图，直线l是正五边形的一条对称轴，点P是直线l上的一个动点，当最小时，______．
（安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
（2026八年级上·北京西城·期中）已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是__________．
1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。
2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。
证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3）
图1-1 图1-1 图1-1
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
例1（2026八年级上·云南昆明·期末）如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（ ）
A．B．C．D．
例2（2026八年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上．
(1)在网格中画出关于直线l对称的（点与点，点与点对应）；
(2)在直线上找一点，使得的周长最小；(3)直接写出的面积（不写过程）．
例3（2026八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________．
例4（2026八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，平分，P，Q分别为，上的动点，当最小时，的大小是________．
例5（2026八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，，，分别是边，上的两个动点，连接，.若当与的和最小时，的长为1，则的长为________
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）
例1（2026八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2（2026七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，已知的三个顶点在格点上．
(1)画出，使它与关于直线对称；(2)在直线上画出点D，使．
(3)在直线上画出点P，使最大．
例3（2026·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？
（2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹．
例4（2026·重庆·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
例5（2026八年级上·湖北武汉·期末）已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
例1（2026八年级上·江苏盐城·月考）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明．
∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，∴ ， ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
例2（2026八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（ ）
A． B． C． D．
例3（2026八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）

A．76° B．84° C．96° D．109°
例4（2026八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，．（1）的周长的最小值是______；（2）当的周长最小时，______度．
例5（2026七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
例1（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）．
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______．
在中，因为，所以______，即最小．
请完善小亮的说明过程．
本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．
【解决问题】如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
例2（2026八年级上·福建厦门·月考）如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是______．
例3（2026八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ．
例4（2026八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务．
探索最短距离
背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题．
任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是____米．
任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．（1）求的最小值，并说明理由；（2）求周长的最小值．
任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值．
1．（2026八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案：
方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道路径是
其中铺设管道路径最短的方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4
2．（2026七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026八年级上·陕西商洛·月考）如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．无法确定
4.（2026八年级上·山西大同·期中）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026八年级上·河南周口·月考）如图，已知正六边形的边长为，分别是和的中点，是上的动点，连接，当的值最小时，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（八年级上·安徽安庆·期末）如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
7.（2026八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ．
8.（2026八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 .
9.（2026七年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度．
10．（2026八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为______ ．
11．（2026八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为______．
12．（2026八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为______．
13．（2026八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，垂足为D，，P为直线BC上方的一个动点，的面积等于面积的一半，则当最小时，的度数为_______．
14．（2026八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．

15．（2026八年级上·广东广州·期末）如图，在等边中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是_____．
6．（2026八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设．
（1）若，且，则________；
（2）当最小时，则之间的数量关系是________．
17．（2026七年级下·四川成都·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中画出与关于直线成轴对称的；(2)求的面积；
(3)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可）
18．（2026七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)的面积为 ；
(3)在直线l上找点P使得最小；(4)直线l上找一点Q使得最大．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题16 将军饮马模型
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型拓展 5
模型运用 6
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 9
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 17
23
“将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。
传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。
（2026八年级上·福建厦门·期末）如图，直线l是正五边形的一条对称轴，点P是直线l上的一个动点，当最小时，______．
【答案】/72度
【详解】解：直线l是正五边形的一条对称轴，，
，此时：为的最小值，
在正五边形中，有，，，
，，，故答案为：．
（安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴，
∵的周长是18，，∴的周长，
点P在直线上，如图，连接，

∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴，
故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B．
（2026八年级上·北京西城·期中）已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是__________．
【答案】
【详解】解：如图，作点关于的对称点，作线段、关于对称，则点关于的对称点在上，连接交于点，交于点，则，当时，最小，
，，，
，，，
，，
，故答案为：．
1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。
2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。
证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3）
图1-1 图1-1 图1-1
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
例1（2026八年级上·云南昆明·期末）如图，A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂O，分别向两个小镇供水，考虑到供水所用水管铺设的长度应最短的选址要求，从数学的角度看，下列图形中自来水厂O的选址设计正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点O，可得，则，由两点之间线段最短，此时的值最小，
即所用水管总长度最短，故选：A．
例2（2026八年级上·福建福州·期中）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上．
(1)在网格中画出关于直线l对称的（点与点，点与点对应）；
(2)在直线上找一点，使得的周长最小；(3)直接写出的面积（不写过程）．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：所作图形如图所示；

（2）解：点P即为所求的点．由轴对称知，又的长为定值，
∴的周长为，∴当、、共线时，的周长最小．
（3）的面积．
例3（2026八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是上的一个动点，连接、，当的值最小时，则的度数为________．
【答案】
【详解】解：作点关于的对称点，然后连接，交于点，连接，
是等边三角形，，，
，平分，，
点是的中点，垂直平分，点是的中点，
，平分，，
当点与点重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时为最小值，即为的长，
，垂直平分，
，，即．
例4（2026八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，平分，P，Q分别为，上的动点，当最小时，的大小是________．
【答案】/45度
【详解】解：在上取一点，使，连接，，过点C作于点H，交于点，过点作于点，
∵是的平分线，∴是的对称轴， ∴，
∴，∴最小值为，
∴当最小时，点P位于点处，点Q位于点处，的度数为的度数，
∵，∴，
∵，∴，∴，∵，即，∴，
∴当最小时，的度数是，故答案为：．
例5（2026八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，，，分别是边，上的两个动点，连接，.若当与的和最小时，的长为1，则的长为________
【答案】6
【详解】解：如图，作点B关于直线的对称点，交于点D，连接，，
则，，当点，，三点共线时等号成立，
时，取最小值，时，与的和最小，如图，
，，，
又点B与关于直线对称，，，，
，，，，，
，，，，
，，，，故答案为：6．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）
例1（2026八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，连接，
则，∴，此时最大．故选：B
例2（2026七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，已知的三个顶点在格点上．
(1)画出，使它与关于直线对称；(2)在直线上画出点D，使．
(3)在直线上画出点P，使最大．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解
【详解】（1）如图，
即为所求；
（2）如图，点D即为所求；证明：根据对称性可知，
根据对顶角相等可得：，即有；
（3）如图，点P即为所求．
证明：如图，当点P在处时，根据三角形三边的关系可知：；
当点A、C、P在三点共线时，此时有：；
综上有：，当且仅当点A、C、P在三点共线时取等号，即点P满足要求．
例3（2026·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？
（2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）由题意可知，若自来水厂到两村的输水管用料最省，即AN+BN最小，
如图，A′为点A关于CD的对称点，连接A′B，与CD交于点N，则厂址应该选在点N处；
（2）若最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图，
可知P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大；
例4（2026·重庆·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
【解答】8cm
【详解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，
又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm），
在MN上取点P，∵MN垂直平分AC连接PA、PB、PC
∴PA＝PC ∴PA﹣PB＝PC﹣PB 在△PBC中PC﹣PB＜BC
当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm．
例5（2026八年级上·湖北武汉·期末）已知中，，将沿边进行对折使得点B落在点D处，过点C作垂直于点E，点P是直线CE上一动点，当的值最大时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接．
则此时
∴当点在同一直线上时，有最大值，此时，
∵，∴，
∵，∴．∴，
∴，∴，
由题意得和关于对称，∴，
∴，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，,
∵故选：C．
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
例1（2026八年级上·江苏盐城·月考）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明．
∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，∴ ， ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
【答案】分析问题：见解析；解决问题：见解析
【详解】解：分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴，，∴，，
由两点之间线段最短可知，，∴，
∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方；
解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求．
易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求．
例2（2026八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，
由对称性可知，，，周长，
此时周长最小，∵周长的最小值等于8，即
，，，是等边三角形，
，由对称的性质得：，
，故选：A．
例3（2026八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（　　）

A．76° B．84° C．96° D．109°
【答案】A
【详解】解：如图，延长至，使，

延长至，使，则垂直平分，垂直平分，
，，根据两点之间，线段最短，
当，，，四点在一条直线时，最小，
则的值最小，即的周长最小，
，，可设，，
在中，，
，，，故选：A．
例4（2026八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，．（1）的周长的最小值是______；（2）当的周长最小时，______度．
【答案】 120
【详解】（1）分别作点关于，的对称点，，连接，
分别交，于点，则此时的周长最小．
连接，由轴对称的性质得，，
是等边三角形，，
的周长，的周长的最小值为,故答案为：；
（2）由（1）可知，，
，故答案为：．
例5（2026七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
【答案】B
【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于H，

∵，且，∴，
∵点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，
∴，，，
∵，∴，∴的面积为，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，最小值为，
∴的面积的最小值为，故选：B．
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
例1（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）．
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______．
在中，因为，所以______，即最小．
请完善小亮的说明过程．
本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）．
【解决问题】如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
【答案】解：【分析问题】 两点之间，线段最短【解决问题】图见解析．
【详解】（1）∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴，，∴，，
由两点之间线段最短可知，，∴，
本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接两点的线中，线段最短）。
故答案为： 两点之间，线段最短；
（2）如图，即为最短路径．
例2（2026八年级上·福建厦门·月考）如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是______．
【答案】
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，∴根据两点之间线段最短可得，的值最小，
∴四边形的周长最小值为：，
∵在中，，，即是等腰直角三角形，∴，
在中，∵，∴，
根据对顶角的性质可得，，，
根据对称的性质可得，，，，，
∴，，
在，中，∵，，
∴，∴当四边形的周长最小时，的大小是，故答案为：．
例3（2026八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】3
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，
则，，的最小值为，
由轴对称的性质得，，，，
，∵，为等边三角形，
，即的值最小为3；故答案为：3．
例4（2026八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务．
探索最短距离
背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题．
任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是____米．
任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．（1）求的最小值，并说明理由；（2）求周长的最小值．
任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值．
【答案】任务1：520米任务2：（1）6，理由见解析 （2）10任务3：9
【详解】任务1解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接，
∵，且点到中点的距离为米，∴到该中点的距离为米，
∵，∴，
∴，，
又点C、M、D在同一条直线上，则,∴,
∴点在同一条直线上，最短距离（米）．故答案为：．
任务2（1）解：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时，∴的最小值为．
（2）解：∵直线是边的垂直平分线，∴，∴，
∵的最小值为,∴的最小值为6,∴周长最小值．
任务3解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接．
则，，，，
，，
∵，，∴．
1．（2026八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案：
方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接PF，则铺设管道路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道路径是
其中铺设管道路径最短的方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4
【答案】C
【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于点G，则点G为所求燃气站的位置．
故选：C．
2．（2026七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，是的角平分线，点E，F分别是，上的动点，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接，如图，此时最小．
∵是的角平分线，∴， ∴，
∵，∴，又，∴，
∴，∴垂直平分，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．故选：B．
3．（2026八年级上·陕西商洛·月考）如图，点M在等边三角形的边上，，射线，垂足为C，P是射线上一动点，N是线段上一动点．当的长最小时，，则的长为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：如图，作点M关于直线的对称点G，过点G作于点N，交于点P，
则，∴，∵，∴由垂线段最短可知，的最小值为，
∵为等边三角形，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∵等边三角形，∴，故选：B．
4.（2026八年级上·山西大同·期中）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F，则即为的周长最小值．作延长线，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，故选：B．
5．（2026八年级上·河南周口·月考）如图，已知正六边形的边长为，分别是和的中点，是上的动点，连接，当的值最小时，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接、，与相交于点，
正六边形中，分别是和的中点，
所在的直线是正六边形对称轴，，，
即当点在处时，的值最小为的长，
，在中，，即，A选项错误；
正六边形的内角和为，
，，B选项正确；
，，， ，即，C选项错误；
在中，，，即，D选项错误；故选：B．
6．（八年级上·安徽安庆·期末）如图，，在的同侧，，，，M 为的中点， 若，则的最大值为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
【答案】B
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接、、、、，，，，，
M 为的中点，，，
，，，
，为等边三角形，，
，的最大值为，故选：B．
7.（2026八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】13
【详解】作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q，连接，，

∵，由对称性可知，，，
∴，∴，由对称性可得，，
由勾股定理得，，∴，
当M、N、P、Q共线时，的值最小，
即的最小值为13．故答案为：13.
8.（2026八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 .
【答案】/8厘米
【详解】解：垂直平分，，
又，，，
在上取点，连接、、，垂直平分，，，
在中，当、、共线时，即运动到与重合时，有最大值，
此时．故答案为：．
9.（2026七年级下·陕西西安·阶段练习）已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度．
【答案】
【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接．
则，，此时，
∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时，
∵当的最大值是时，∴．
∵，，∴，由题意得和关于对称，
∴，，，，
∴，，，
∵，，∴，∴，
∴，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，∵，∴．故答案为：90
10．（2026八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为______ ．
【答案】
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，
则，，∴，
由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，
∵垂直平分，且，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴当的值最小时，的长为，故答案为：．
11．（2026八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为______．
【答案】
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，
则，，∴，
由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小, 即的值最小，
∵垂直平分，且，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴当的值最小时，的长为，故答案为：．
12．（2026八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为______．
【答案】9
【详解】解：作点D关于直线的对称点F，过F作于E，交于P，
则此时的值最小， ，，，，
点D关于直线的对称点F， ，
，，，故答案为：9．
13．（2026八年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，垂足为D，，P为直线BC上方的一个动点，的面积等于面积的一半，则当最小时，的度数为_______．
【答案】
【详解】解：∵的面积等于面积的一半，∴在的垂直平分线上，
如图，作关于的垂直平分线的对称点，连接， ，则，
由对称的性质可知，，∴，
∴当三点共线时，的值最小为，此时为的中点，
∵，∴，，∴，故答案为：．
14．（2026八年级上·广东东莞·期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边中点．若，当取得最小值时，则的度数为 ．

【答案】/90度
【详解】∵是等边三角形，是边上的中线，
∴，∴点B和点C关于轴对称，连接交于点F，则，

∴，即：此时，取得最小值，
∵等边的边长为4，，∴E是的中点，∴，∴．故答案是：．
15．（2026八年级上·广东广州·期末）如图，在等边中，是边上的中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是_____．
【答案】/30度
【详解】解：如图，连接，

∵，是等边三角形，∴，，,
∴，∴，∴．
∵是边上的中线，∴，∴，
∴点E在射线上运动（）．∵周长，且是定值，
∴周长最小，即最小，作点A关于直线的对称点M，连接，连接交于，此时最小．∴，，
根据对称得，，∴，
∴是等边三角形，∴，∵，∴，，
∴，∴，∵，∴，
∴，故答案为：．
6．（2026八年级上·安徽合肥·期末）如图，锐角，M、N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，设．
（1）若，且，则________；
（2）当最小时，则之间的数量关系是________．
【答案】 5
【详解】解：（1）∵，∴，，
在中，，∴，
∵∴，∴
∴，故答案为：5．
（2）如图所示，分别作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，则最小值为．
由题意和对称性可知：，，
∵，∴，
∵，∴．∴．故答案为：．
17．（2026七年级下·四川成都·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点都在格点上．
(1)在图1中画出与关于直线成轴对称的；(2)求的面积；
(3)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可）
【答案】(1)见解析(2)的面积为8(3)见解析
【详解】（1）解：即为所求；
（2）解：；（3）解：点P即为所求作：
18．（2026七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)的面积为 ；
(3)在直线l上找点P使得最小；(4)直线l上找一点Q使得最大．
【答案】(1)见解析(2)11(3)见解析(4)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所作；
（2）解：如图，的面积为．故答案为：11；
（3）解：如图，点P即为所作；
（4）解：如图，点Q即为所作；
．
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