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专题17 平行线的拐点模型
本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。
1．（山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，即，
∵是等边三角形，∴，
又∵，∴，∴，故选：B．
2．（2025·广东·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，，∴，，
∵，∴，，
∴，故选C．
3．（2025·山西朔州·模拟预测）将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，∵，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴．故选：C．
4．（2026下·广东茂名·七年级统考期中）如图，，=（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，过C点作直线，， ，

，，，
即.故选：B
5．（2026下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】C
【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故选：C．
6．（2025·河南·校考三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，过点作，
∵，，∴．∴，．
∵，∴．
∴．故选C．
7．（广东广州·二模）如图，是直角三角形，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴，故选：A．
8．（2026下·陕西南·七年级统考期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：作，如图2，∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴；故选：D．

9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，点E是下方一点，连接，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，，
根据三角形外角定理，，
∵，∴，故选：D．
10．(2025七年级上·广东·专题练习）如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点作，如图所示：
∵，，，，
．故选：A．
11．（陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，
，，，．故选B．
12．（2026七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（ ）
①若，则；②若，则；
③；④．
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【详解】解：①若，则，
∵，∴，∴，故①正确；
②如图，延长交于点G，∵，∴，
若，则，∴，故②正确；
③分别过点作，则，
∴，
∴
，
∵
∴，故③正确；
④由③知，∴，
∵，∴，
∴
，
则当且仅当时，，故④错误．故选：B．
13．（2026下·河南郑州·七年级统考期中）如图，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过点作，
，，，，
得，，即．故选：D．
14．（2026上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，，，则 ．
【答案】/65度
【详解】解：过点作，

∵，∴，∴，
∴；故答案为：．
15．（2026七年级下·河北保定·期中）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．若三角尺的直角顶点落在上，角的顶点落在上，则与的数量关系是 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，
∵，∴．故答案为：．
16．（2026七年级下·河南周口·阶段练习）如图，，设，那么x，y，z的关系式为
【答案】
【详解】解：过C作，延长交于N，则，即，
∵，，∴，∴，，
∵，∴．故答案为：．
17．（2026七年级下·山东德州·期中）如图1，，是直线、间的一条折线．
(1)猜想、、的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将折一次改为折二次，若，，，则
(3)如图3，若改为折多次，直接写出，，，…，，之间的数量关系： ．
【答案】(1)，证明见解析(2)(3)
【详解】（1）解：猜想：．理由：如图，过点O作．
∵，∴，∴，，
∴，即．
（2）解：如图，过作，由（1）得：，
∵，，，∴，，
∵，，∴，∴；
（3）解：．　
理由：如图，过点K作，同理可得：，
过点L作，同理可得：，
∵，，，∴，∴，
∴，∴．
18．（2026七年级下·宁夏吴忠·期中）【问题背景】如图是太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．图①是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点．
【探索与发现】（1）如图①，太阳光线、平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则、和之间存在的数量关系是 ．
（2）如图②，点、分别在，上，是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系，并写出解答过程．
【拓展延伸】（3）如图③，在（2）的条件下，在和之间，左侧再取一点，连接，．若使，那么与之间的数量关系是 ．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：如图，过点作，
∵，，，，
，．
（2）
理由：由（1）得，
，；
（3）由（1）（2）知，，∴，
∵，，∴，
．
19．（2026七年级下·陕西安康·期中）【问题探究】
（1）如图1，已知，点在直线上，连接并延长至点，连接，若，，则的度数为；
（2）如图2，已知，点在直线上，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由；
【问题解决】（3）如图3，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【详解】解：（1）∵，，，
∴，，
∴；故答案为：．
（2）∵，∴，，
∵∴，
（3）过作，
∵，∴，∴，，
∴，
∵的平分线与的平分线所在直线交于点Q，
∴，，
∴，
由（2）知，∴，
∴，∴．
20．（2026七年级下·甘肃陇南·期末）【发现】（1）如图1，平分平分．当时，请判断与的位置关系并说明理由；
（2）【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分与存在怎样的数量关系？并说明理由；
（3）【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．求与的数量关系．
【答案】（1）；理由见解析；（2）；理由见解析；（3）或
【详解】解：（1），理由如下：
∵平分平分，∴，，
∵，∴，，∴，∴，
（2），理由如下：过点E作，如图所示，
∵，∴，∴，，
∵，∴，
∵平分，∴，∴；
（3）分两种情况分类讨论，第一种情况如图，当点Q在射线上运动时，，
理由：过点P作，∵，∴，∴，，
∵，∴；
第二种情况如图，当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），
理由：∵，∴，∵，∴，
综上，或．
21．（2026七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上．
(1)如图1，点E在直线、之间，求证：；
(2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断断与的数量关系并证明；(3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）解：如图，过E作，
∵，∴，∴，
∵，∴．
（2）解：，理由如下：设的交点为Q，的交点为T，
∵与的角平分线交于点F，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴．
（3）解：设，，的交点为W，
∵，，∴，，，，
，∵，∴，
∴，∴，
∵，∴
根据（1）的结论，得，∴
∵，∴，
∴，解得，∴．
22．（2026七年级下·湖北咸宁·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，已知两直线、，且，直角三角尺中，，．
(1)如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，求的度数；
(2)如图2，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点，始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，射线与直线所夹锐角的度数为：_____．（直接填空）
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)
【详解】（1）解：如图，过点C作，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴；
（2）解：，理由如下：如图，由（1）得：，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴；
（3）解：如图，∵，，∴，
设，则，∵，
∴，解得：，∴，
∵，∴，∴．故答案为：
23．（2026七年级下·安徽蚌埠·期末）【课题学行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数．
解：过点A作， ∴_____，______，
又∵° ∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系．
【答案】（1）；；；；；（2）；（3）
【详解】解：（1）过点A作，∴，，
又∵，∴，
故答案为：；；；；；
（2）过点E作，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）， 理由：过点P作，∴，
∵，∴，∴，∵，∴．
24．（2026七年级下·北京石景山·期末）已知，点在之间．
(1)如图1，求证：．(2)若平分，点在上，．
①如图2，若平分，求的度数；
②如图3，若平分，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)见解析 (2)①；②
【详解】（1）解：如图，过E作，
∵，∴，∴，
∵，∴．
（2）①解：如图，延长交于点Q，
根据（1）的结论，得，∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，，∴，
∵平分，∴，∵，
∴．
②解：根据（1）的结论，得，∵平分，∴，
∴，同理可得，，
∵，∴，∵平分，
∴，，
∴∴．
25．（2026七年级下·江西抚州·期中）小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2所示，已知，点E为、之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分，与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系______；
【答案】（1），证明见解析；（2）；【类比迁移】
【详解】解． （1）猜想：，证明：过E点作，
∵，∴，∴，，∴；
（2）如图2，作，，
∵，∴，
∴，，，，
∴，
∵，∴，
∵和的平分线相交于F，∴，，
∴，∴；
类比迁移：．理由如下：
如图3，过E作，过G作，∵，∴，
∴，，，
∵平分与的平分线相交于点G，
∴，，∴，
∵，
∴．故答案为：．
26．（2026七年级下·江西宜春·期末）综合与实践：
【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究．
【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点．
【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究：
探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由．
探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）
【详解】（1）， 理由如下：过点作，如图①，
，，，
，．
（2）过点作，如图②所示：
平分，，，
平分，设，由（1）得：，
，即，
，，，，，
，；
（3）过点作，如图③所示：
，设，则，
，由对顶角相等得：，
设，，，
，由（1）得：，
，即，
，，，，，
，
，，解得：．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题17 平行线的拐点模型
本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。
1．（山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．（2025·山西朔州·模拟预测）将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图．已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026下·广东茂名·七年级统考期中）如图，，=（ ）

A． B． C． D．
5．（2026下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
6．（2025·河南·校考三模）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（广东广州·二模）如图，是直角三角形，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026下·陕西南·七年级统考期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，点E是下方一点，连接，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．(2025七年级上·广东·专题练习）如图，直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．（陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2026七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，与相交于点，与相交于点，则下列说法正确的是（ ）
①若，则；②若，则；
③；④．
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
13．（2026下·河南郑州·七年级统考期中）如图，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
14．（2026上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，，，则 ．
15．（2026七年级下·河北保定·期中）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．若三角尺的直角顶点落在上，角的顶点落在上，则与的数量关系是 ．
16．（2026七年级下·河南周口·阶段练习）如图，，设，那么x，y，z的关系式为
17．（2026七年级下·山东德州·期中）如图1，，是直线、间的一条折线．
(1)猜想、、的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，将折一次改为折二次，若，，，则
(3)如图3，若改为折多次，直接写出，，，…，，之间的数量关系： ．
18．（2026七年级下·宁夏吴忠·期中）【问题背景】如图是太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．图①是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点．
【探索与发现】（1）如图①，太阳光线、平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则、和之间存在的数量关系是 ．
（2）如图②，点、分别在，上，是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系，并写出解答过程．
【拓展延伸】（3）如图③，在（2）的条件下，在和之间，左侧再取一点，连接，．若使，那么与之间的数量关系是 ．
19．（2026七年级下·陕西安康·期中）【问题探究】
（1）如图1，已知，点在直线上，连接并延长至点，连接，若，，则的度数为；
（2）如图2，已知，点在直线上，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由；
【问题解决】（3）如图3，已知，点在直线上，点在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点，求的值．
20．（2026七年级下·甘肃陇南·期末）【发现】（1）如图1，平分平分．当时，请判断与的位置关系并说明理由；
（2）【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分与存在怎样的数量关系？并说明理由；
（3）【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．求与的数量关系．
21．（2026七年级下·四川成都·期末）已知直线，点M、N分别在直线、上．
(1)如图1，点E在直线、之间，求证：；
(2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断断与的数量关系并证明；(3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数．
22．（2026七年级下·湖北咸宁·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，已知两直线、，且，直角三角尺中，，．
(1)如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，求的度数；
(2)如图2，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点，始终在直线（为直线上一点）的上方，若存在，射线与直线所夹锐角的度数为：_____．（直接填空）
23．（2026七年级下·安徽蚌埠·期末）【课题学行线的“等角转化”．
如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数．
解：过点A作， ∴_____，______，
又∵° ∴______．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系．
24．（2026七年级下·北京石景山·期末）已知，点在之间．
(1)如图1，求证：．(2)若平分，点在上，．
①如图2，若平分，求的度数；
②如图3，若平分，请直接写出与的数量关系．
25．（2026七年级下·江西抚州·期中）小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2所示，已知，点E为、之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分，与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系______；
26．（2026七年级下·江西宜春·期末）综合与实践：
【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究．
【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点．
【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究：
探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由．
探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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