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专题18 三角形中的倒角模型
本专题包含三角形中的八类倒角模型，主要有：高分线模型、双垂直模型、射影模型、双角平分线（双内、双外、内外）模型、A字型、8字型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻折等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
1．（2026七年级下·浙江杭州·期末）如图，点E，F分别是长方形的边上的点，连结，此时．将四边形沿翻折得到四边形，交于点G．继续将四边形沿翻折，点N翻折到点P处．设，，则α与β满足的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示：
∵折叠∴，
∵四边形是长方形，∴，∴，，
∴，，∴，∴，
∵，∴，∴，故选：C．
2．（2026八年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④点在的角平分线上；⑤一定成立的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．多于3
【答案】C
【详解】解：为外角的角平分线，平分，，，
又是的外角，，故①正确；
，分别平分，，∴，
则，∴，故②是正确的．
连接，如图所示：
，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点，
∴点在的角平分线上，故④是正确的．
∵题干提供的信息都是角的条件，且三点共线，无法通过等角对等角得出，
故③是错误的．∵，
平分， ∴
平分， ∴∴故⑤是错误的．故选：C．
3．（2026八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，已知，，，分别平分的外角、内角、外角，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：平分，，
，，，故A正确；
，，平分，，
，，故B不正确；
在中，，平分的外角，，
，，，，
，，
，
，故C正确；④平分，，
，，，
，，故D正确；故选：B．
4．（2026七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，的角平分线和的外角平分线交于点P，
，，
，，，
是的外角，，故选：A．
5．（2026七年级下·山东淄博·期中）如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：延长交于点E，是的一个外角，，
，，是的一个外角，，
，，，
，解得：，故选：B．
6．（2026七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，∵，∴，
由折叠的性质可得，
∵，∴，由折叠的性质可得，
∴，故选：A．
7．（2026广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（ ）
A．540° B．500° C．460° D．420°
【答案】D
【详解】解：如图所示，
∵，∴，
∵，，∴
∵∴，
同理可得：，∴，故选：D．
8．（2026·河北保定·八年级统考期末）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中 （填“增大”或“减小”） 度．
【答案】 减小 15
【详解】解：如图，延长EF到H与CD交于H，
∵∠DCE=∠ACB=180°-∠A-∠B，∠A=70°，∠B=50°，
∴∠DCE=60°，∴∠DHE=∠E+∠DCE=100°，
∵∠DFE=∠D+∠DHF，∴∠D=∠DFE-∠DHF=120°-100°=20°，
∴∠D从35°减小到20°，减小了15°，故答案为：减小，15．
9．（2026七年级下·山东菏泽·期末）如图， 度．
【答案】
【详解】解：如图，连接，记、的交点为，
，，，
，，
，故答案为：．
10．（2026七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ．
【答案】/42度
【详解】解：如图，连接，
∵线段、的垂直平分线交于点，∴，∴，
∴，∴，即，
∵，∴，
∵，，，∴，∴，故答案为：．
11．（2026·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵点P到三边的距离相等，∴平分，平分，
∴，
故答案为：．
12．（2026八年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．（用含的式子表示）
【答案】/
【详解】解：∵平分，平分，∴，，
∵，∴，
∴，同理可得，，…
∴，故答案为：．
13．（2026八年级上·浙江·期中）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ， ．
【答案】 /40度 /10度
【详解】解：，，，
是高线，，，
，
是角平分线，，，
；故答案：，．
14．（2026八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ．
【答案】或
【详解】解：当为锐角三角形时，如图，

∵，是它的两条高，∴；
当为钝角三角形时，如图，
∵，是它的高，∴，
∵是的高，∴，
综上所述：或，故答案为：或．
15.（2026七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ．
【答案】/21度
【详解】解：由折叠得：，，，，
是长方形，，，，，
，，，，
与重合，，，故答案为：
16．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，和交于点F，．(1)求的度数；(2)若，求的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴；
（2）解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴．
17．（2026八年级上·云南西双版纳·阶段练习）在中，已知，是上的高，是上的高，H是和的交点，求的度数．
【答案】
【详解】解：∵，∴．
又∵是边上的高，是边上的高，∴，
∴．
又∵是的一个外角，∴．
18．（八年级上·广东肇庆·期中）如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点.(1)若，求的度数；(2)求证：点到三边，，所在直线的距离相等.
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，，∴，
∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，
∴，∴
（2）证明：过点P作，，，如图，
∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点，
∴，∴，∴点到三边，，所在直线的距离相等
19．（2026广东·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　　个；
（3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数；
（4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】解：（1）结论为：，理由如下：∵，
又∵，∴；故答案为：
（2）交点有点、、，以为交点有1个，为与，
以为交点有4个，为与，与，与，与，
以为交点有1个，为与，综上所述，“8字形”图形共有6个；故答案为：
（3）由（1）可知：，，
∵和的平分线和相交于点，∴，，
得：，∴，
又∵，，∴，∴；
（4）关系：，由（1）可知：，，
∴，，
∵、分别是和的角平分线，∴，
∴，即，
∴，整理得，．
20．（2026江苏·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．

(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2，、分别平分、，说明：．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．
　　　　
　　　　　
【答案】(1)见解析(2)①；②；③
【详解】（1）解：∵分别平分，∴，∴，
由题干的结论得：，∠，
∴，∴，
∴，即；
（2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知，
∵分别平分，∴，
∵∴，
∴，同理可得，由题干的结论可得，∴；

②如图所示，分作的角平分线交于H，
由（1）的结论可知，，同理可得，，
∴；
③由题干的结论可得，
∵平分，平分的外角，∴，
∵，∴，
由题干的结论可知，∴，
∴
．
21．（2026吉林·七年级统考期末）实践与探究
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．

(1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 　 　度．
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数．
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值．
【答案】(1)105(2)(3)或
【详解】（1）解：，，，
，，
，故答案为：；
（2）解：如图1，延长，交于G，平分，，

由题意得：，，
，；
（3）解：如图2，，，，
当点A运动到时，，综上所述：或．
22．（2026·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】
已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系．
【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是．
【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________；
【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P．
①若，，则________°；②若且，则________°；
③直接写出与、之间的数量关系；
（2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）．
【答案】[问题再探]（1）结论：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．证明见解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2）
【详解】解：[问题再探]（1）如图2中，结论：．
理由：连接，延长到．
，，
．
（2）如图3中，结论：．
理由：连接．，，
，．
[拓展延伸]①如图4中，，，，
、的外角平分线相交于点，，
，故答案为：25．
②，，，，故答案为：20．
③，．
（2）如图5中，结论：．理由：设，．
则有．②①可得，，
即，故答案为：．
23.（2026七年级下·山东淄博·期中）中，，点D，E分别是边，上的点，点P是一动点．设，，．
(1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则___________°；
(2)若点P在线段上运动，如图（2）所示，则，，三者之间的关系为：___________．
(3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则，，三者之间有何关系？请写出你的猜想并说明理由；(4)若点P运动到外且在直线的上方、直线的左侧范围内运动时，请探究，，之间的关系（画图并直接写出结果）．
【答案】(1)；(2)，理由见解析；
(3)，理由见解析；(4)或．，图见解析 ．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵，，∴．
（2）结论：；
理由：∵，，
∴，∴．
（3）结论：，理由：如图3中，设交于M．
∵，，∴
（4）情况1：如图（4），结论：，
理由：设交于M．∵，，∴
情况2：，理由如下：如图（5），，，∴．
综上所述，或．
24．（2026七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在中，是的角平分线．
(1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个；
(2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，．
①求的度数；②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数．
【答案】(1)2(2)①；②
【详解】（1）∵，∴，∴，
∵的长为偶数，∴或6，∴符合条件的共有2个，故答案为：2；
（2）①如图1，过点A作于M，
在中，，
∵是的角平分线，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
②过点A作于M，
由①可知，∵，∴，∴．
25．（2026七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是上一点，且．
（1）求证：．
证明：在中，∵（已知）∴（ ）
又∵（已知）∴（等量代换）∴（ ）
（2）如图②，若的平分线分别交，于点，求证：．
（3）如图③，若为上一点，交于点，，，．
①求的值；②四边形的面积是 ．
【答案】（1）直角三角形两锐角互余；三角形内角和；（2）见解析；（3）①；②
【详解】（1）在中，
∵（已知）∴（直角三角形两锐角互余）
又∵（已知）∴（等量代换）
∴（三角形内角和）
故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和；
（2）∵平分，∴，
又∵，，，∴，
又∵，∴；
（3）①∵BC=3CE，∴，∵AB=4AD，∴，
∴；
②连接，设，则，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴解得：，
∴四边形的面积是：．
26．（2026八年级上·湖北黄石·期中）图形从特殊到一般
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．
如图1，在中，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由；
探究二：若将改为任意四边形呢？
如图2，在四边形中，分别平分和，请你利用上述结论探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】探究一：，理由见解析；探究二：，理由见解析
【详解】解：，理由：
∵分别平分和，∴，，
∵，∴
；
探究二：，理由：
∵分别平分和，∴，，
∵在四边形中，，
∴，
即．
27．（2026八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）．
(2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
【答案】(1)(2)，理由见解析(3)
【详解】（1）解： O是与的平分线和的交点，
，，
，，
；
（2）解：，理由如下：
O是与外角的平分线和的交点，，
是的一外角，，，
是的一外角，；
（3）解：，理由如下： O是外角与外角的平分线和的交点，
，，
，，
．
28.（2026七年级下·江苏常州·阶段练习）探究题
(1)若中，①如图1，若和的角平分线相交于点O，则 ．
②如图2， 若和的三等分线相交于点、，则 ．
(2)若中，；①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示 度 ．
②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示 度．
③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 度．（结果不需化简）；(3)如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，
①如图4，若设，，则 ；
②如图5，若设，，请在图中画出，则 ；
③若设，，一定存在吗？如有，求出的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在，并说明理由．
【答案】(1)；(2)
(3)；；当且仅当满足时不存在
【详解】（1）解：①∵和的角平分线相交于点O，∴，，，
∵，∴，∴，
∵，∵，∴；
②∵和的三等分线相交于点、，∴，，
∴，∵，
∴，∴，
∵，∵，．
故答案为：；；
（2）①由（1）①得，∵，∴
②由（1）②得，∵，∴
③由①②可得，；
∴若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示
故答案为：，；
（3）①∵，∴，∴，∴，∴．
∵，，∴故答案为：；
②如图，∵，∴，
∴，∴；
∵，，∴．故答案为：；
③当时，不存在，
如图，的角平分线及外角的平分线分别是和．
∵，∴，∴．
∵的角平分线及外角的平分线分别是和，∴，
∴的角平分线及外角的平分线平行，∴不存在，∴当时，不存在．
29．（2026七年级上·江苏连云港·期末）【教材再现】（1）教材第201页有这样一道试题：如图1，将长方形纸片沿着折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，，求，的大小；
【反思探究】（2）小明在解决完课本上的这道习题后，进行了如下总结：解决折纸问题的关键是要抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系．于是，他又进行了以下探究活动．
①在（1）的条件下，求图1中的度数；
②将长方形纸带沿着折叠成图2，交边于点G；再将图2中的纸片沿着折叠成图3；再将图3中的纸片沿着折叠成图4；再将图4中的纸片沿着折叠，恰好与重叠．则图2中，的度数是多少？
【拓展应用】（3）如图5，一张足够长的长方形纸条，点E，F分别在，上，是一个度数为的锐角．如图6，将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；如图7，再将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；…如此反复操作．若第5次操作时，所得的，请直接写出x的值．
【答案】（1），（2）①②（3）80
【详解】解：（1）如图1，
∵四边形是长方形，∴，∴，由折叠的性质可知，．
∵，∴，
∵，∴，∴．
（2）①如图1，∵，∴，由折叠的性质可知，，
∵，∴，
②设，如图2，有；∵，∴，
∵，∴，∴，
如图3，有，∴，
如图4，有，∴，
由题意，，即，解得∴．
(3)如图6，有，
如图7，有∴，
同理可得，按此规律，，
如图8，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，即，解得．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题18 三角形中的倒角模型
本专题包含三角形中的八类倒角模型，主要有：高分线模型、双垂直模型、射影模型、双角平分线（双内、双外、内外）模型、A字型、8字型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻折等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
1．（2026七年级下·浙江杭州·期末）如图，点E，F分别是长方形的边上的点，连结，此时．将四边形沿翻折得到四边形，交于点G．继续将四边形沿翻折，点N翻折到点P处．设，，则α与β满足的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026八年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④点在的角平分线上；⑤一定成立的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．多于3
3．（2026八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，已知，，，分别平分的外角、内角、外角，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026七年级下·山东淄博·期中）如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026七年级下·江苏徐州·期中）已知在三角形纸片中，，将纸片的一角按照如图方式对折，使点C落在内，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（ ）
A．540° B．500° C．460° D．420°
8．（2026·河北保定·八年级统考期末）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中 （填“增大”或“减小”） 度．
9．（2026七年级下·山东菏泽·期末）如图， 度．
10．（2026七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ．
11．（2026·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ．
12．（2026八年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．（用含的式子表示）
13．（2026八年级上·浙江·期中）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ， ．
14．（2026八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，是它的两条高，直线交于点F， ．
15.（2026七年级下·四川成都·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ．
16．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，，和交于点F，．(1)求的度数；(2)若，求的长．
17．（2026八年级上·云南西双版纳·阶段练习）在中，已知，是上的高，是上的高，H是和的交点，求的度数．
18．（八年级上·广东肇庆·期中）如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点.(1)若，求的度数；(2)求证：点到三边，，所在直线的距离相等.
19．（2026广东·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　　个；
（3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数；
（4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）．
20．（2026江苏·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论．
我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．

(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：
如图2，、分别平分、，说明：．
(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：
①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．
　 　　　　　
21．（2026吉林·七年级统考期末）实践与探究
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．

(1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 　 　度．
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数．
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值．
22．（2026·江苏连云港·七年级校考阶段练习）【问题情境】
已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、．设，，探索与、、之间的数量关系．
【初步感知】如图1，当点O在的边上时，，此时，则与、、之间的数量关系是．
【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、、之间的数量关系是________；
【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P．
①若，，则________°；②若且，则________°；
③直接写出与、之间的数量关系；
（2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则________（用、表示）．
23.（2026七年级下·山东淄博·期中）中，，点D，E分别是边，上的点，点P是一动点．设，，．
(1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则___________°；
(2)若点P在线段上运动，如图（2）所示，则，，三者之间的关系为：___________．
(3)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则，，三者之间有何关系？请写出你的猜想并说明理由；(4)若点P运动到外且在直线的上方、直线的左侧范围内运动时，请探究，，之间的关系（画图并直接写出结果）．
24．（2026七年级下·河北邢台·期末）如图1，图2，在中，是的角平分线．
(1)若，的长为偶数，则符合条件的共有 个；
(2)如图1，若F为线段上一点，过点F作于点E，，．
①求的度数；②如图2，若F为线段延长线上一点，其余条件不变，直接写出的度数．
25．（2026七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是上一点，且．
（1）求证：．
证明：在中，∵（已知）∴（ ）
又∵（已知）∴（等量代换）∴（ ）
（2）如图②，若的平分线分别交，于点，求证：．
（3）如图③，若为上一点，交于点，，，．
①求的值；②四边形的面积是 ．
26．（2026八年级上·湖北黄石·期中）图形从特殊到一般
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．
如图1，在中，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由；
探究二：若将改为任意四边形呢？
如图2，在四边形中，分别平分和，请你利用上述结论探究与的数量关系，并说明理由．
27．（2026八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
(1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）．
(2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
28.（2026七年级下·江苏常州·阶段练习）探究题
(1)若中，①如图1，若和的角平分线相交于点O，则 ．
②如图2， 若和的三等分线相交于点、，则 ．
(2)若中，；①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示 度 ．
②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示 度．
③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 度．（结果不需化简）；(3)如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，
①如图4，若设，，则 ；
②如图5，若设，，请在图中画出，则 ；
③若设，，一定存在吗？如有，求出的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在，并说明理由．
29．（2026七年级上·江苏连云港·期末）【教材再现】（1）教材第201页有这样一道试题：如图1，将长方形纸片沿着折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，，求，的大小；
【反思探究】（2）小明在解决完课本上的这道习题后，进行了如下总结：解决折纸问题的关键是要抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系．于是，他又进行了以下探究活动．
①在（1）的条件下，求图1中的度数；
②将长方形纸带沿着折叠成图2，交边于点G；再将图2中的纸片沿着折叠成图3；再将图3中的纸片沿着折叠成图4；再将图4中的纸片沿着折叠，恰好与重叠．则图2中，的度数是多少？
【拓展应用】（3）如图5，一张足够长的长方形纸条，点E，F分别在，上，是一个度数为的锐角．如图6，将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；如图7，再将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；…如此反复操作．若第5次操作时，所得的，请直接写出x的值．
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