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专题19 全等三角形中的八类重要模型
本专题包含全等三角形中的八大重要模型，主要有：倍长中线、截长补短、一线三等角（K字型）、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、十字架模型、角平分线的全等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
1．（2026八年级上·湖北孝感·期中）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2026七年级下·河南郑州·期末）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④，则上述结论中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
4．（2026八年级下·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，，连接．小明同学在进一步探究这个题目时，将绕点顺时针旋转了，然后发现了一些结论．你认为他发现的以下四个结论完全正确的是（ ）
平分；平分；；的周长正方形边长的倍
A． B． C． D．
5．（2026八年级上·河南漯河·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6.（2026七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．
A． B． C． D．
7．（2026·江苏·八年级期中）如图，在中，，，求边上中线的范围为_____．
8．（2026八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ．
9．（2026七年级下·上海宝山·期中）如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
10．（24·25浙江八年级期中）如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为 cm．
11．（2026八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线．
12．（2026八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，是的角平分线.
(1)当时，求的度数；(2)当时，求证：.
13．（2026八年级上·河南洛阳·期中）问题情境
如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，

(1)把三角尺绕着点旋转（如图1），与相等吗？试猜想的大小关系，并说明理由．
变式拓展：(2)如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，请直接写出你发现的结论．
14．（2026七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，．
(1)与相等吗？为什么？(2)与相等吗？为什么？
(3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
15.（2026七年级下·成都市·专题练习）操作：如图①，是正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交、边于M、N两点，连接．
探究：线段、、之间的关系，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①（如图②）；②（如图③）．
附加题：若点M、N分别是射线、上的点，其它条件不变，再探线段、、之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．
16．（2026七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ．
像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论．
17．（2026八年级上·辽宁朝阳·阶段练习）已知，正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，当绕点A旋转到时（如图1），求证

(1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整．
证明：延长至点P，使，连接，如图1，
(2)当旋转到时（如图2），线段、和之间的数量关系 ，若正方形的周长为4，则的周长是 ：(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
18．（2026七年级下·河北保定·期末）问题探索
如图1，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线．
（1）直接写出___________°，的最小值为___________cm；
（2）请说明；（3）直接写出的度数，并求出的值．
拓展延伸（4）如图2，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论．
（5）在（4）的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论．
19．（2026七年级下·山东青岛·期末）特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论．
【问题提出】如图①，和是等腰三角形，，，且点在同一直线上，和有怎样的关系？
【问题解决】(1)在图②中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，位置关系是_____；
(2)在图③中，若，点在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数；
(3)在图④中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，_____°．
(4)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，与有怎样的关系．（写出两条）
20．（湖南长沙·三模）如图，在中，，，于点E，于点D．(1)求证：；(2)若，，求的长度．
21．（2026八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究．
“一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”．
(1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：；
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由．
(3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由．
22．（2026八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（ ）；（请填写全等判定的方法）
（2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接，求的面积．
（3）拓展提升：如图3，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为15，则与的面积之和为____________．
（4）拓展应用：如图4，中，，，将绕点顺时针旋转90°，得，连接，则的面积为____________．
23．（2026八年级上·辽宁营口·阶段练习）在中，，，直线绕点旋转，过点A作于，过点作于．当直线绕点旋转到图1的位置时，易证．
　　 　　
(1)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？并加以证明．
(2)当直线绕点旋转到图3的位置时，，，数量关系是________（直接写出结果）
(3)如果，，则________．（直接写出结果）
24．（2026八年级上·河北沧州·期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．
【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N．
(1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）；(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论．
25．（2026八年级上·重庆·校考期末）综合实践
教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程．
(1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定．
若，则的度数为 ．求证：．
(2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由．
(3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由．
26．（2026八年级上·辽宁 期中）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
27．（2026八年级上·辽宁大连·期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在中，平分，，求证：；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.

(1)根据以上材料，任选一种方法证明：；
(2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明.
28.（2026七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，中，点，在边上，，过作交于点．判断是否平分？请说明理由．
下面起两位同学的做法：
如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长，使，连接；
如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长，使，连接；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）如图4，在中，是的中线，．请判断与的数量关系，并说明理由．
【学以致用】（3）如图5，在中，分别以为直角边向内作等腰直角三角形，是边上的中线，已知，求的长．
29.（2026八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题
方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题
(1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：；
30.（2026八年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：；
（2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：；
（3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．

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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题19 全等三角形中的八类重要模型
本专题包含全等三角形中的八大重要模型，主要有：倍长中线、截长补短、一线三等角（K字型）、手拉手模型、半角模型、对角互补模型、十字架模型、角平分线的全等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！
1．（2026八年级上·湖北孝感·期中）如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得：，，，，
∴，∴，，∴，
在和中，，∴；∴，，
∵用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，
∴， ，∴，，∴，故选：C．
2．（2026八年级上·山东德州·阶段练习）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：①∵，∴，即，
∵在和中，∵，
，∴，本选项正确；
②∵为等腰直角三角形，∴，，
∵，，∴，本选项正确；
③∵，，
∴，∴，本选项正确；
④∵，，故此选项正确，故选：D．
3．（2026七年级下·河南郑州·期末）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③；④，则上述结论中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【详解】解：和均为等边三角形，
，，，，
在和中，，，所以①正确；，
，，
在和中，，，所以②正确；，
在和中，，，所以③正确；
，不是等边三角形，而为等边三角形，
与不能全等，所以④错误．故选：B．
4．（2026八年级下·陕西汉中·期末）如图，在正方形中，，连接．小明同学在进一步探究这个题目时，将绕点顺时针旋转了，然后发现了一些结论．你认为他发现的以下四个结论完全正确的是（ ）
平分；平分；；的周长正方形边长的倍
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，
∵将绕点顺时针旋转了，∴，，，，∴，∴三点共线，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，，，
∴平分，故正确；
∵，∴，∴平分，故正确；
∴的周长，
，故正确；综上可知：正确，故选：．
5．（2026八年级上·河南漯河·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：∵点在的角平分线上，∴，
如图所示，过点作于点，作于点，
∴，，，∴在四边形中，，
∵，∴，即，
∴，∴，∴，故①正确；
由①正确可得，，∴，故②正确；
由可得，∴，
∴四边形的面积是定值，故③正确；
如图所示，连接，由上述结论可得，，，，，
∴，即的长度发生变化，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选：C ．
6.（2026七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由作图可知：是的平分线，故说法正确；
，，，
，，故说法正确；
过点作于点，
，∴，点在的垂直平分线上，故说法正确；
是的平分线，，，
在和中≌，，
在和中≌，，
，，故说法正确．正确的说法有个，故选：D．
7．（2026·江苏·八年级期中）如图，在中，，，求边上中线的范围为_____．
【答案】
【详解】解：延长到E，使得，连接，如图，
在和中，，∴，∴．
∵，∴，∴．故答案为：．
8．（2026八年级下·四川成都·期末）如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ．
【答案】9
【详解】解：如图，连接，
∵为的中点，∴，
∴，，∴是等腰直角三角形，∴，
根据题意得：，∴，∴，即，
在和中，∵，，，∴，∴，
∴四边形的面积．故答案为：9
9．（2026七年级下·上海宝山·期中）如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
【答案】4
【详解】解：延长交于E，
∵垂直的平分线于P，，又知，，
∴在与中，，∴，
∴，，∴和等底同高，∴，
设的面积为m，∴，
∴．故答案为：4．
10．（24·25浙江八年级期中）如图，将一块边长为 12 cm 正方形纸片 ABCD 的顶点 A 折叠至DC 边上的 E 点，使 DE＝5，折痕为 PQ，则 PQ 的长为 cm．
【答案】13
【详解】过点P作PM⊥BC于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，∴∠DAE+∠APQ=90°，又∠DAE+∠AED=90°，∴∠AED=∠APQ，
∵AD∥BC，∴∠APQ=∠PQM，则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD
∴△PQM≌△ADE∴PQ=AE=故答案是：13.
11．（2026八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线．
【答案】见解析
【详解】如图，延长、交于点F．∵，∴，
又，∴，∴，
在和中，，∴，∴．
又，∴，∴，∵，∴是线段的垂直平分线，∴，
∴，∴是的角平分线．
12．（2026八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，是的角平分线.
(1)当时，求的度数；(2)当时，求证：.
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）延长至，使，连接，则．
，．平分，．
，，．
设，则，.∵，．
在中，，，解得，；
（2）∵，且，，
在BC上截取，连接DF．平分，．
，，，
，，，，．
13．（2026八年级上·河南洛阳·期中）问题情境
如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，

(1)把三角尺绕着点旋转（如图1），与相等吗？试猜想的大小关系，并说明理由．
变式拓展：(2)如图2，已知，平分，是上一点，，边与边相交于点边与射线的反向延长线相交于点．试解决下列问题：①与还相等吗？为什么？②试判断、、三条线段之间的数量关系，请直接写出你发现的结论．
【答案】(1)；证明见解析(2)①，理由见解析；②，理由见解析
【详解】（1）解：，证明如下：过点作于，于，如图：

平分，，，，，
，，
，，
在和中，，，．
（2）①结论：．理由：过点作于，于，如图：
平分，，，，，
，，，
，，
在和中，，，．
②结论：．
理由：由①得：，，，
在和中，，，，
，，，
在中，，，
，，．
14．（2026七年级下·四川成都·期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，．
(1)与相等吗？为什么？(2)与相等吗？为什么？
(3)如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
【答案】(1)，原因见解析(2)，原因见解析(3)最小值为15
【详解】（1）解：，，；
（2）解：过点作，，分别交于，，如图所示：
是线段的中点且为等腰三角形，平分，
，，，，
在和中，，，；
（3）解：由（2）可知，
，为等边三角形，，求的最小值，即为求的最小值，
作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，
求最小值即为求最小值，最小值为的长度，
则最小值为的长度，由对称的性质可得．
，，，为等腰三角形，，，
，为等边三角形，由等边三角形对称性可得，
是线段的中点，，
，，，，最小值为15．
15.（2026七年级下·成都市·专题练习）操作：如图①，是正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交、边于M、N两点，连接．
探究：线段、、之间的关系，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①（如图②）；②（如图③）．
附加题：若点M、N分别是射线、上的点，其它条件不变，再探线段、、之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．
【答案】探究：，见解析；附加题：，图见解析，理由见解析
【详解】（探究）证明：，
如图，延长至，使，连接，∵的等边三角形，∴，
∵，，∴，∴．
∵，∴，∴，，
∵，，∴，
即，∴．∴．
（附加题），证明如下：证明：如图，在上截取，使，连接
∵，，∴．
∵，∴，∴，
∵，∴．
∴．∴．
∵，∴．∴，即．
16．（2026七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ．
像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【详解】解：（1）在和中
，
又，
在和中
（2），理由：如图所示，延长到点，使，连接
，
在和中，
在和中
17．（2026八年级上·辽宁朝阳·阶段练习）已知，正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，当绕点A旋转到时（如图1），求证

(1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整．
证明：延长至点P，使，连接，如图1，
(2)当旋转到时（如图2），线段、和之间的数量关系 ，若正方形的周长为4，则的周长是 ：(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)证明见解析(2)，2(3)，证明见解析
【详解】（1）证明：延长至点P，使，连接，如图1，

∵四边形是正方形，∴，，
在和中，∵，∴，
∴，，∴，
∵，∴，
∵在和中，∴，∴，
∵，∴，
（2）如图2所示，延长至P，使得，连接，
∵四边形是正方形，∴，，
在和中，∵，∴，
∴，，∴，
∵，∴，∵在和中，
∴，∴，∵，∴，
∵正方形的周长为4，∴，∴；
（3），理由如下：解：如图3，在上截取，连接，

由（1）知，∴，，
∴，∵，∴．
在和中，∴，∴，
即，∴．
18．（2026七年级下·河北保定·期末）问题探索
如图1，在中，，点在线段上运动，以为一边，在的右侧作，使，，过，两点作直线．
（1）直接写出___________°，的最小值为___________cm；
（2）请说明；（3）直接写出的度数，并求出的值．
拓展延伸（4）如图2，改变“问题探索”中“”这一条件，其它条件不变．设，，则，之间有怎样的数量关系？直接写出结论．
（5）在（4）的条件下，继续改变“问题探索”中“点在线段上运动”这一条件为“点在直线上运动”，则与有何数量关系？请直接写出所有可能的结论．
【答案】（1），；（2）见解析；（3），；（4）；（5）或或
【详解】（1）解：在中，，，
点在线段上运动，当点在线段中点处时，则，此时值最小，
在中，，
当点在线段中点处时，最小值为；故答案为：，；
（2）证明，，，
即，；
（3）解：，，
，，
，；
（4）解：，，，
即，；，
，，即，
，，；
（5）解：当点在线段上时，由（4）知，，
，；
当点在线段延长线上时，，，
，即，；
，；
当点在线段延长线上时，，，
，即，；，
；综上所述，或或．
19．（2026七年级下·山东青岛·期末）特殊化是重要的数学策略，即研究一般性问题，经常先从特殊情形进行研究，再通过归纳与猜想，验证并得出一般性的结论．
【问题提出】如图①，和是等腰三角形，，，且点在同一直线上，和有怎样的关系？
【问题解决】(1)在图②中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，位置关系是_____；
(2)在图③中，若，点在同一直线上，判断说明和数量关系，并求的度数；
(3)在图④中，若，点在同一直线上，则和的数量关系是_____，_____°．
(4)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，与有怎样的关系．（写出两条）
【答案】(1)(2)，(3)，(4)
【详解】（1）解：当时，则，
∵，∴和都是等腰直角三角形，
∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，∴，即，
∴和的数量关系是：，位置关系是：，故答案为：；
（2）当时，则，
∵，∴和都是等边三角形，
∴，∴，同（1）证明：，
∴，∴；
（3）当时，则，
∵，∴和都是等腰三角形，
∴，∴，
∵，∴，
即，同（1）证明：，∴，
∴，故答案为：；
（4），理由如下：
∵，∴和都是等腰三角形，
∴，
∴，同（1）证明：，
∴，∴．
20．（湖南长沙·三模）如图，在中，，，于点E，于点D．(1)求证：；(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析(2)3
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵，∴，
又∵，∴；
（2）∵，∴，，∴．
21．（2026八年级上·四川眉山·期中）“一线三等角”学习探究．
“一线三等角”是一个常见的数学几何模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等图形（以及以后要学习的相似图形），这个角可以是直角（此时也称“一线三垂直”模型），也可以是锐角或者钝角．对于“一线三等角”，有的叫“K型图”，也有的叫“M型图”．
(1)如图1，已知：在中，，，直线l经过点C，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：；
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、C、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角，则与是否全等？若仍全等，请你给出证明；若不全等，请说明理由．
(3)拓展与应用：如图3，D、E是D、C、E三点所在直线l上的两动点（D、C、E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试猜想与的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)全等，见解析(3)，与的夹角为，见解析
【详解】（1）解：（1），，，，
又，，，
在和中，，
（2）和全等，理由如下：，
，且，，
在和中，，
（3），与所成夹角为，理由如下：
，，且，，
和均为等边三角形，，
在和中，，，，，
又在等边和等边中，，，
，，
在和中，
，，，
综上所述：，与的夹角为．
22．（2026八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点、在直线同侧，，，垂足分别为、，由此可得：，所以，又因为，所以；所以，又因为，所以（ ）；（请填写全等判定的方法）
（2）类比探究：如图2，中，，，将斜边绕点逆时针旋转90°至，连接，求的面积．
（3）拓展提升：如图3，在中，，，点在边上，，点、在线段上，，若的面积为15，则与的面积之和为____________．
（4）拓展应用：如图4，中，，，将绕点顺时针旋转90°，得，连接，则的面积为____________．
【答案】（1）；（2）；（3）（4）．
【详解】解：如图，，，，，
又，，，
在和中，，，故答案为：；
（2）如图，过作于E，则，
由旋转得：，，∴，，∴，
在和中，，∴，，
；
（3）如图中，的面积为，，的面积是：，
∵，，，，
∴，，
在和中，，∴
与的面积之和等于与的面积之和，即等于 的面积，即为5，故答案为：5；
（4）如图，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，则，∵，，∴，由旋转得，，，
∵，，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，故答案为：．
23．（2026八年级上·辽宁营口·阶段练习）在中，，，直线绕点旋转，过点A作于，过点作于．当直线绕点旋转到图1的位置时，易证．
　　 　　
(1)当直线绕点旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？并加以证明．
(2)当直线绕点旋转到图3的位置时，，，数量关系是________（直接写出结果）
(3)如果，，则________．（直接写出结果）
【答案】(1)，证明见解析(2)(3)11或5
【详解】（1）解：，理由如下：，，
，，，
又，，，
，；
（2）解：，理由如下：，，
，，，
又，，，，
；故答案为：；
（3）解：分两种情况：当直线绕点旋转到图1的位置时，
，，，，，
又，，，
，；
当直线绕点旋转到图2的位置时，由（1）知；故答案为：11或5．
24．（2026八年级上·河北沧州·期中）【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．
【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N．
(1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）；(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析
【详解】（1）证明：根据题意得：AD=BD，延长到E，使，连接
∵，∴，
在和中，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∵∴∴，
在和中∴，∴，
∵，∴．
（2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°，证明方法同（1）类似，∴；
（3），证明：在截取，连接，∵，∴，
在和中，∴，∴，，
∵，，∴，
∴，即，∴，
∵∴即
∴即，
在和中，∴，∴，
∵，∴．
25．（2026八年级上·重庆·校考期末）综合实践
教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程．
(1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定．
若，则的度数为 ．求证：．
(2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由．
(3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由．
【答案】(1) 证明见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析
【详解】（1）解：，，；故答案为：；
证明：是等边三角形，，
，，，；
（2）解：，理由如下：
是等边三角形，，，，
，，，
在和中，，，，即；
（3）解：，理由如下：延长到，使，连接，如图：
，，，是等边三角形，，，
是等边三角形，，，，
，即，
在和中，，，，
，．
26．（2026八年级上·辽宁 期中）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；
（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；
（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），（2）见解析，（3）见解析
【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到
∴（），∴，，即
∵是边上的中线，∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴ ，即，∴；
（2）证明：如图②：绕着点D旋转 得到
∴（），∴， ∵∴，
在中，由三角形的三边关系得： ，∴；
（3），理由如下：如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转
∴，∴ ∴
∵ ∴，∴点A、B、H三点共线
∵，∴ ∴，
在和中，，∴（）∴，
∵∴．
27．（2026八年级上·辽宁大连·期末）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在中，平分，，求证：；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.

(1)根据以上材料，任选一种方法证明：；
(2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明.
【答案】(1)详见解析(2)，详见解析
【详解】（1）证明：方法一，∵平分，∴，
　　　　　　　
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，∴，∴，∴；
方法二：∵，∴， ∴，
∵，∴，∵平分，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：，证明如下：如图，在上截取，使得，连接，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，　　　　
∵，∴，∵，∴，
在和中，，，，
∴，∴，，
∵，∴，∴，∴，
又∵，∴．
28.（2026七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，中，点，在边上，，过作交于点．判断是否平分？请说明理由．
下面起两位同学的做法：
如图2，小美同学从线段FE的角度去考虑，倍长，使，连接；
如图3，小丽同学从线段AE的角度去与虑，倍长，使，连接；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）如图4，在中，是的中线，．请判断与的数量关系，并说明理由．
【学以致用】（3）如图5，在中，分别以为直角边向内作等腰直角三角形，是边上的中线，已知，求的长．
【答案】（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）．
【详解】解：（1）①小美同学的解题思路，延长至G，使连接，如图：
在和中，
∴，∴，
∵，∴，∴，∴平分；
②小丽同学的解题思路，延长至G，使，连接，
在和中，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴平分；
（2），理由如下：延长到F，使，连接，如图：
∵是的中线，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∵，，
∵，∴，
∵，∴，∴，∵，∴；
（3）延长至G，使，连接，如图：
∵是边上的中线，∴，
在和中，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，在和中，
．
29.（2026八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在中，平分，，探究，，之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如下图，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题
方法2：如下图，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题
(1)根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】(2)如下图，在中，是上一点，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】(3)如下图，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：；
【答案】(1)；(2) ，证明见解析；(3)证明见解析．
【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴，
在和中，，，，∴
∴，，
∵，∴，∴，∴，∴；
方法二：延长到点E，使得，连接，
∴，则，
∵，∴，∵平分，∴，
在和中，，，，∴，∴，
∵，∴；
（2）在上取，连接，∵于∴∴
∵，∴，∴
∴；
（3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，，
∴∴，∴
∴∴
过作，交于点，∴，
∵是的中点，∴，又∴
∴ ，，而，
∴，
又∵∴∴ 即　．
30.（2026八年级上·安徽亳州·阶段练习）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：；
（2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：；
（3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）14
【详解】解：（1）∵，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
在和中，，∴．
（2）∵，，，∴，
∵，，，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴；
（3）如图，∵在等腰三角形ABC中，，，
∴与等高，底边比值为：．∴与面积比为：．

∵的面积为21，∴与面积分别为：7，14．∵，∴．
∵，，，∴．∴．
∵，，．∴．∴与面积相等，
∴与的面积之和为的面积．∴与的面积之和为14．
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