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专题01.平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型运用 4
模型1.猪蹄模型（M型） 4
模型2.锯齿模型 7
10
猪蹄模型与锯齿模型名称均源于生活观察，因图形类似猪蹄的开口形状而得名，是平行线拐点模型中最基础的形态。在猪蹄模型基础上增加多个拐点，形成左右交替的锯齿状结构。锯齿模型是猪蹄模型的扩展，两者均基于“见拐点作平行线”的通用解法。
（2026七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由．
【类比探究】（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________．
【综合应用】（3）如图3，直线，，，，，则____．
（4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4）
【详解】解：（1），理由如下：如图1中，作，
∵，，∴，∴，，
∴，即．
（2）如图2中，作，，，∵，∴，
∴，，，，
∴，即．
故答案为：．
（3）如图3中，作，，，
∵，，， ∴，∴，
∵，∴，∴，，
∵，，∴，则，
∴．故答案为：；
（4）如图，过点作 ∴即，∵，即
∵平分平分，∴∴
∵，∴∴∴
由（1）可得∴ 故答案为：．
图1 图2 图3
模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；
②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN；
模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2；
模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。
证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
模型1.猪蹄模型（M型）
例1（2026·成都市·七年级校考期末）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．35° D．50°
【答案】B
【详解】解：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，
∵∠1=30°，∠2=35°，∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故选：B．
例2（2025·重庆·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：过点作，为法线，如图：
∵，∴，∴，∴为法线，∴，
∵为法线，，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，故选：A．
例3（2026七年级下·湖北武汉·期中）【问题探究】如图①，已知，我们发现，我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，．
李思同学：如图③，过点B作，则，再证明．
【问题解答】(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：如图②，过点E作，，，
，，，
∴，即．
（2）证明：如图③，过点B作，交延长线于K，
∵，∴，，
，，，
∴，即．
例4（2026七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，点，分别在，上，点为两平行线内部一点，和的角平分线交于点．
(1)直接写出与的数量关系；(2)点是射线上的一个点（不与点重合），连接，平分交射线于点，作交直线于点．①补全图形；②用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)(2)，证明见解析
【详解】（1）解：过点作，过点作，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴设，
∵，∴，即，同理可得，
∴，即在题干图中：；
（2）解：①补全图：
②，理由如下：
证明：平分，∴设，∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，即
∴，∴．
模型2.锯齿模型
例1（2026七年级下·吉林四平·期中）如图1，已知三条直线，点M，N，P分别在直线，，上.(1)求的度数.(2)求证：.
(3)如图2，直线，探索，归纳直接写出：，，，，这五个角之间的数量关系.（用一个等式表示，提示：利用（2）证得的过程或结论）
【答案】(1)(2)见解析(3)
【详解】（1）解：∵，∴，
∵∴；
（2）证明：∵，∴；
∵， ∴；
（3）解：如图，过点C作，则；
由（2）结论得，；∵，
∴，
即．
例2（2026七年级下·河北沧州·阶段练习）已知：如图1，，点E，F分别为上一点．
(1)在之间有一点M（点M不在线段上），连接，试探究之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
(2)如图2，在之间有两点M，N，连接，请选择一个图形写出存在的数量关系（不需证明）．
【答案】(1)图形见解析，．．证明见解析
(2)，．
【详解】（1）解：①如图，
，；
，；
②证明：如图，过点作，则，
，
，，
，，；
如图，过点作，则，
，
，，，
，；
（2）解：如图，过点作，过点作，则，
，
，，，，
，，
；
如图，过点作，过点作，则，
，，，，
，，
，．
例3（2026七年级下·广东广州·期中）如图1，点、分别在直线、上，，．
(1)如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；
(2)在（1）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．
【答案】(1) (2)或
【详解】（1）解：延长交于点，交于点，∵，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，平分，∴，，∴，
∵，，
∴；
（2）当在直线下方时，如图，设射线交于，∵， ∴，
∵，∴， ∴；∴，
∵平分，∴，∴，
∵，，∴，
∵，，∴，
即，解得：．
当在直线上方时，如图，同理可证得，
则有，解得：．综上，故答案为或．
1．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，
∵，，∴；故选：A．
2．（2025·福建·二模）如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ∵， ，∴，
∵，，∴，∴．故选：D．
3．（2025·河北·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，，，，求的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作．方案Ⅱ：如图3，延长交于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　）
A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【详解】解：方案Ⅰ：如图2，过点C作，
∵，∴，，
，∴；
方案Ⅱ：如图3，延长交于点F，∵，，
，∴，∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行．故选D．
4．（湖南岳阳·模拟预测）如图所示， 已知， 点E在线段上（不与点A、 点D重合）， 连接．若， ， 则（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，
，． 故选：A ．
5．（2025·山东淄博·一模）如图，已知，点为上一点，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，∴，故A正确；
过点作，则，
∴，，∴，故B正确；
由三角形内角和定理可知，，故C正确；
由三角形外角的性质可知，，故D不一定正确；故选：D．
6．（2026下·广东佛山·七年级校考期中）如图，直线，分别交、于E、F两点，作、的平分线相交于点K；作、的平分线交于点；依此类推，作、的平分线相交于点，…，作、的平分线相交于点，则 ， ．

【答案】
【详解】解：如图，过作，可得，，，

、分别为与的平分线，，，
，，即，
，则；
、的平分线相交于点，，，
，即，
，即，
，
归纳总结得：．故答案为：，．
7．（2026八年级上·绵阳市·期中）图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的大小为 ．
【答案】/60度
【详解】解：∵，
∴，
∵，∴，
∴．故答案为：．
8．（2026下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知，和分别平分和，若，则 ．

【答案】/度
【详解】解：如图，过作，过作，

，，
，，，，
设，，，，
和分别平分和，， ，
，，，，
，，解得：，；故答案：．
9．（2026七年级下·北京大兴·阶段练习）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”．(1)如图1，形中，若，，则__________．
(2)如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)(2)，理由见解析
【详解】（1）解：如图，过作

∴ 故答案为：；
（2）解： 理由如下：如图，过作 于交于点K，

∴ 而∴
由（1）得： 而，
．
10．（2026七年级下·四川南充·阶段练习）小明遇到了一些问题，请你帮他解决一下
(1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由；
(2)如图②，已知点B在点A的左侧，，平分，平分，若，，求的度数；(3)如图③，点B在点A的右侧，点C在点D的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数(用含m，n的式子表示)．
【答案】(1)成立，理由见解析(2)(3)
【详解】（1）解：成立，理由如下：如图，过点作，
∵，∴，∵，，∴，
∴；
（2）解：∵平分，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，
同理（1）中的方法可得，，∴；
（3）解：如图，过点作，∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵平分，∴，
∵，，∴，∴，
∴．
11．（2026七年级下·山东德州·阶段练习）（1）问题解决：如图1，已知，是直线，内部一点，连接，，若，，求的度数；
嘉琪想到了如图2所示的方法，请你完成嘉淇的解答过程；
（2）问题迁移：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：
如图3，，射线与直线，分别交于点，，射线与直线，分别交于点，，点在射线上运动，设，．
①当点在，两点之间运动时（不与，重合），求，和之间满足的数量关系；
②当点在，两点外侧运动时（不与点重合），直接写出，和之间满足的数量关系．
【答案】（1）100°（2）①；②当点在上时，；，当点在上时，
【详解】解：（1）如图2，过点作，，
，，，
；
（2）①如图3，过作，
，，，，
，即；
②如图4，当点在上时，过作，
，，，，
；即；
如图5，当点在上时，过作，
，，，，
，即．
12.（2026七年级下·北京·期中）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线．
(1)如图1所示，当机械臂时，证明．
(2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示）
(3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示）
【答案】(1)见解析(2)(3)或或或
【详解】（1）证明：如图，延长交于E，∵，∴，
∵，∴，∴
（2）解：；理由：如图，分别过点P、Q作，
∵，∴，∴，
当，，时，
；
（3）解：或或或；
理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作，
∵，∴，∴，
当，时，
，
∴；
如图2-2，分别过点P、Q作，
∵，∴，
∴，
当，时，
∴；
如图2-3，分别过点P、Q作，
∵，∴，
∴，
当，时，
∴；
如图2-4，分别过点P、Q作，
∵，∴，∴，
当，时，
∴；
综上可得：或或或．
13.（2026七年级下·山东临沂·期中）问题情境：
找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上．
探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由．
探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________．
同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究．
探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）．
探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________．
【答案】探究一：，理由见解析；探究二：；探究三：；探究四：或
【详解】解：探究一：，理由如下，如图所示，过点作，
又∵，，
∴，即，故答案为：；
探究二：，理由如下，
如图所示，过点作，又∵，，
∴，即；
探究三：，理由如下，
如图所示，过点作，过点作，过点作，
又∵，，
，
即；
探究四：或，理由如下，
如图所示，过点作，过点作，又∵，，
,
，
∵平分，平分，，
又∵，，，
故或．
14．（2026七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）课题学行线的“等角转化”功能．
（1）如图，，探索与，之间的关系．
阅读理解：如图1，过点作．
∵，∴．∵，∴，
∵，∴．
∵，∴．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，转化成，，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：（2）如图2，已知，则________．
（3）如图3，已知，，与之间数量关系是_______________．
（4）如图4，已知，，则________．
深化拓展：
（5）如图5，已知，点为平面内一点，于．过点作于点，求证：．
【答案】方法运用：（2）360；（3）；（4）20 深化拓展：（5）见详解
【详解】解：方法运用：
（2）过点作，如下图，则，
∵，，∴，∴，
∴．故答案为：360；
（3）过点作，如下图，
则，∴，
∵，，∴，∴，
∴，
∴．故答案为：；
（4）过点作，如下图，
∵，，∴，
∵，，∴，∴，
∴．故答案为：20；
深化拓展：（5）证明：过点作，如下图，
则，∵，∴，
又∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴．
15．（2026七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、．
【问题提出】（1）如图1，过点作，若，，求的度数；
【问题初探】（2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数；
【衍生拓展】（3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴的度数为；
（2）证明：由（1）得：，同理：，
∵平分，平分，∴，，
∴，∴；∵，∴
（3）解：如图3，作的角平分线交于点，∴，

∵平分，∴，
∵，∴，即，
∵，∴，即，
∴，由（2）得：，．
16．（2026七年级下·贵州毕节·期中）已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系；(3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________．
【答案】(1)，理由见详解(2)(3)
【详解】（1）解： ．
理由：∵，，∴，∴，．
∵，∴．
（2）解：由（1）得，同理可得．
∵，，∴，．
∵，，∴，，
∴，
则．
（3）解：．如图，过点E，F，G分别作的平行线，，，
则，∴，，，．
∵，，，
∴，
∴，即．
17．（2026下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．

知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：．
知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：；
（3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系．
知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可
（5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）
【详解】解：过点作，，

，，，
，；
由得：，，
、分别平分、，，，
，即；
，
理由：、分别平分、，，，
，
由得：，，
即；
过点作，过点作，

，，，，
，，，
，，，，，
、分别平分、，，，
，故答案为：；
过点作，过点作，过点作，

，，，，
，，，
，
、分别平分、，，，
，
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01.平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 3
模型运用 4
模型1.猪蹄模型（M型） 4
模型2.锯齿模型 7
10
猪蹄模型与锯齿模型名称均源于生活观察，因图形类似猪蹄的开口形状而得名，是平行线拐点模型中最基础的形态。在猪蹄模型基础上增加多个拐点，形成左右交替的锯齿状结构。锯齿模型是猪蹄模型的扩展，两者均基于“见拐点作平行线”的通用解法。
（2026七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由．
【类比探究】（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________．
【综合应用】（3）如图3，直线，，，，，则____．
（4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______．
图1 图2 图3
模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；
②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN；
模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2；
模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。
证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
模型1.猪蹄模型（M型）
例1（2026·成都市·七年级校考期末）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70° B．65° C．35° D．50°
例2（2025·重庆·模拟预测）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（ ）
A． B． C． D．
例3（2026七年级下·湖北武汉·期中）【问题探究】如图①，已知，我们发现，我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，．
李思同学：如图③，过点B作，则，再证明．
【问题解答】(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；(2)请按李思同学的思路，写出证明过程；
例4（2026七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，点，分别在，上，点为两平行线内部一点，和的角平分线交于点．
(1)直接写出与的数量关系；(2)点是射线上的一个点（不与点重合），连接，平分交射线于点，作交直线于点．①补全图形；②用等式表示与的数量关系，并证明．
模型2.锯齿模型
例1（2026七年级下·吉林四平·期中）如图1，已知三条直线，点M，N，P分别在直线，，上.(1)求的度数.(2)求证：.
(3)如图2，直线，探索，归纳直接写出：，，，，这五个角之间的数量关系.（用一个等式表示，提示：利用（2）证得的过程或结论）
例2（2026七年级下·河北沧州·阶段练习）已知：如图1，，点E，F分别为上一点．
(1)在之间有一点M（点M不在线段上），连接，试探究之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．
(2)如图2，在之间有两点M，N，连接，请选择一个图形写出存在的数量关系（不需证明）．
例3（2026七年级下·广东广州·期中）如图1，点、分别在直线、上，，．
(1)如图2，平分，平分，若，求与之间的数量关系；
(2)在（1）的条件下，如图3，平分，点在射线上，，若，直接写出的度数．
1．（2025·山东烟台·中考真题）如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·福建·二模）如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北·一模）老师在黑板上出了一道题目，让学生解答．如图1，，，，求的度数．以下是两位同学提供的作辅助线的方案．方案Ⅰ：如图2，过点C作．方案Ⅱ：如图3，延长交于点F．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　）
A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都可行
4．（湖南岳阳·模拟预测）如图所示， 已知， 点E在线段上（不与点A、 点D重合）， 连接．若， ， 则（　　）

A． B． C． D．
5．（2025·山东淄博·一模）如图，已知，点为上一点，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026下·广东佛山·七年级校考期中）如图，直线，分别交、于E、F两点，作、的平分线相交于点K；作、的平分线交于点；依此类推，作、的平分线相交于点，…，作、的平分线相交于点，则 ， ．

7．（2026八年级上·绵阳市·期中）图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的大小为 ．
8．（2026下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知，和分别平分和，若，则 ．

9．（2026七年级下·北京大兴·阶段练习）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”．(1)如图1，形中，若，，则__________．
(2)如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由．

10．（2026七年级下·四川南充·阶段练习）小明遇到了一些问题，请你帮他解决一下
(1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由；
(2)如图②，已知点B在点A的左侧，，平分，平分，若，，求的度数；(3)如图③，点B在点A的右侧，点C在点D的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数(用含m，n的式子表示)．
11．（2026七年级下·山东德州·阶段练习）（1）问题解决：如图1，已知，是直线，内部一点，连接，，若，，求的度数；
嘉琪想到了如图2所示的方法，请你完成嘉淇的解答过程；
（2）问题迁移：请你参考嘉琪的解题思路，完成下面的问题：
如图3，，射线与直线，分别交于点，，射线与直线，分别交于点，，点在射线上运动，设，．
①当点在，两点之间运动时（不与，重合），求，和之间满足的数量关系；
②当点在，两点外侧运动时（不与点重合），直接写出，和之间满足的数量关系．
12.（2026七年级下·北京·期中）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线．
(1)如图1所示，当机械臂时，证明．
(2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示）
(3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示）
13.（2026七年级下·山东临沂·期中）问题情境：
找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上．
探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由．
探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________．
同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究．
探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）．
探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________．
14．（2026七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）课题学行线的“等角转化”功能．
（1）如图，，探索与，之间的关系．
阅读理解：如图1，过点作．
∵，∴．∵，∴，
∵，∴．
∵，∴．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，转化成，，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：（2）如图2，已知，则________．
（3）如图3，已知，，与之间数量关系是_______________．
（4）如图4，已知，，则________．
深化拓展：
（5）如图5，已知，点为平面内一点，于．过点作于点，求证：．
15．（2026七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、．
【问题提出】（1）如图1，过点作，若，，求的度数；
【问题初探】（2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数；
【衍生拓展】（3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
16．（2026七年级下·贵州毕节·期中）已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系；(3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________．
17．（2026下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．

知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：．
知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：；
（3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系．
知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可
（5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示
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