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第49练　两直线的位置关系
1.直线2x+5y-7=0和3x+2y+6=0的交点坐标为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.(4,3) B.(3,4)
C.(-4,3) D.(-4,-3)
2.平面中两条直线l1与l2垂直,已知直线l1的倾斜角为45°,则直线l2的斜率为 (　 )
A.1 B.-1 C. D.-
3.到直线3x+4y+2=0的距离为1的直线方程为 (　 )
A.3x+4y+3=0
B.3x+4y+7=0
C.3x+4y+3=0或3x+4y+1=0
D.3x+4y+7=0或3x+4y-3=0
4.[2025·山西部分学校质检] 已知直线l1:ax+y+a=0与l2:(a-4)x-5y-4=0,则“a=5”是“l1⊥l2”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.直线3x-2y=0关于点对称的直线方程为 (　 )
A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0
C.x-y=0 D.2x-3y-2=0
6.(多选题)已知A(2,2),B(1,0),C(3,-2),且四边形ABCD是平行四边形,则下列说法正确的是 (　 )
A.直线AD的方程为x+y-4=0
B.v=(1,2)是直线CD的一个方向向量
C.边BC的垂直平分线与直线AD交于点
D.四边形ABCD的面积为3
7.若直线l1:mx+2y+3-m=0与直线l2:2x+my+1=0平行,则l1与l2间的距离为　　　　.
8.若直线l过点P(-1,2),且到点A(-4,5)和点B(2,3)的距离相等,则直线l的方程为　　　　.
9.求过两条直线x+y-2=0和x-2y+4=0的交点,且分别满足下列条件的直线l的方程:
(1)与直线3x-4y+1=0平行;
(2)与直线5x+3y-6=0垂直.
10.已知一条光线从点(4,0)发出被直线x+y-10=0反射,若反射光线过点(0,1),则反射光线所在直线的方程为 (　 )
A.x-2y+2=0 B.3x-2y+2=0
C.2x-3y+3=0 D.2x-y+1=0
11.[2025·深圳模拟] 已知点A(-1,2)关于直线l:x+y-2=0的对称点为B,设直线m经过点B,则当点C(3,0)到直线m的距离最大时,直线m的方程为 (　 )
A.x-y-3=0 B.x-y+3=0
C.x+y+3=0 D.x+y-3=0
12.(多选题)[2025·湖北八校联考] 已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论正确的是 (　 )
A.不论a为何值,l1与l2都互相垂直
B.当a变化时,l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(-1,0)
C.不论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称
D.若l1与l2交于点M,则|MO|(O为原点)的最大值是
13.已知直线l1:3x-y+1=0,l2:x+y-5=0,l3:x-ay-3=0,若直线l1,l2,l3不能围成三角形,则实数a的值为　　　　.
14.已知直线l1:mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0,l3:(m+1)x-y+(m+1)=0,记l1∩l2=C,l2∩l3=B,l3∩l1=A.
(1)当m=2时,求原点关于直线l1的对称点的坐标;
(2)求证:不论m为何值,△ABC总有一个顶点为定点;
(3)求△ABC面积的取值范围.(可直接利用对勾函数的单调性).
15.设m∈R,过定点A的动直线2mx-y=0和过定点B的动直线x+2my-8m-3=0交于点P,点P不与A,B重合,则+的最小值是 (　 )
A.9 B.
C. D.
16.已知P,Q是直线l:x-y+1=0上的两个动点,且|PQ|=,点A(-4,6),B(0,6),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为　　　　.
第49练　两直线的位置关系
1.C　[解析] 由得即交点为(-4,3).故选C.
2.B　[解析] 因为l1⊥l2,所以·=-1,易知=tan 45°=1,故直线l2的斜率为=-1.故选B.
3.D　[解析] 设所求直线的方程为3x+4y+c=0.由题意知=1,解得c=7或c=-3,即所求直线的方程为3x+4y+7=0或3x+4y-3=0.故选D.
4.A　[解析] 由l1⊥l2,得a(a-4)-5=0,解得a=5或a=-1,所以“a=5”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选A.
5.B　[解析] 方法一:设所求直线上任意一点为(x,y),则其关于点对称的点为,因为点在直线3x-2y=0上,所以3-2(-y)=0,化简得3x-2y-2=0,所以所求直线方程为3x-2y-2=0.
方法二:在直线3x-2y=0上任取两点O(0,0),M(2,3),设点O,M关于点的对称点分别为O',M',则O',M',所以所求直线方程为=,化简得3x-2y-2=0.
6.ABC　[解析] 对于A,设D(x,y),在 ABCD中,=,则(3-x,-2-y)=(-1,-2),解得x=4,y=0,即D(4,0),直线AD的方程为y=(x-4),即x+y-4=0,故A正确;对于B,直线CD的斜率kCD==2,则v=(1,2)是直线CD的一个方向向量,故B正确;对于C,BC的中点坐标为(2,-1),直线BC的斜率kBC==-1,则边BC的垂直平分线的斜率为1,故其方程为y+1=x-2,即x-y-3=0,由
得点,故C正确;对于D,点B到直线AD的距离h==,|AD|=|BC|==2,故 ABCD的面积为|AD|·h=2×=6,故D错误.故选ABC.
7.　[解析] ∵l1∥l2,直线l1:mx+2y+3-m=0,直线l2:2x+my+1=0,∴m2-4=0,即m=±2.当m=2时,l1与l2重合,不合题意,∴m=-2,∴两直线的方程为-2x+2y+5=0与-2x+2y-1=0,∴l1与l2间的距离d==.
8.x+3y-5=0或x=-1　[解析] 方法一:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,满足条件;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知=,解得k=-,故直线l的方程为x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
方法二:如图,当l∥AB时,直线l的斜率k=kAB=-,l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当直线l经过线段AB的中点(-1,4)时,又直线过点P(-1,2),故其方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
9.解:(1)方法一:由得两条直线的交点为(0,2),所以直线l过点(0,2).
因为直线l与直线3x-4y+1=0平行,所以kl=,所以直线l的方程为y=x+2,即3x-4y+8=0.
方法二:设过两条直线x+y-2=0和x-2y+4=0的交点的直线l的方程为x+y-2+λ(x-2y+4)=0,
即(1+λ)x+(1-2λ)y+4λ-2=0.
因为直线l与直线3x-4y+1=0平行,所以=≠,解得λ=,所以直线l的方程为x-6y+12=0,即3x-4y+8=0.
(2)方法一:由(1)中方法一可知交点为(0,2),因为直线l与直线5x+3y-6=0垂直,所以kl=,所以直线l的方程为y=x+2,即3x-5y+10=0.
方法二:设过两条直线x+y-2=0和x-2y+4=0的交点的直线l的方程为x+y-2+μ(x-2y+4)=0,
即(1+μ)x+(1-2μ)y+4μ-2=0.
因为直线l与直线5x+3y-6=0垂直,所以5(1+μ)+3(1-2μ)=0,解得μ=8,所以直线l的方程为9x-15y+30=0,即3x-5y+10=0.
10.A　[解析] 设A(4,0),B(0,1),点A关于直线x+y-10=0的对称点为C(m,n),则
解得所以C(10,6),所以反射光线所在的直线BC的方程为y-1=(x-0),即x-2y+2=0.故选A.
11.B　[解析] 设点B的坐标为(a,b),由题意可得解得即点B(0,3),直线BC的斜率k==-1,当m⊥BC时,点C到直线m的距离最大,此时直线m的方程为y-3=1×(x-0),即x-y+3=0.故选B.
12.ABD　[解析] 对于A,∵直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a×1+(-1)×a=0,∴无论a为何值,l1与l2都互相垂直,故A正确;对于B,直线l1:ax-y+1=0,当x=0时,y=1,则直线l1恒过定点A(0,1),直线l2:x+ay+1=0,当y=0时,x=-1,则直线l2恒过定点B(-1,0),故B正确;对于C,设直线l1:ax-y+1=0上任意一点P(x,y),则点P关于直线x+y=0的对称点为P'(-y,-x),将点P'(-y,-x)的坐标代入直线l2:x+ay+1=0的方程,可得ax+y-1=0,与点P在直线l1上矛盾,故C错误;对于D,由解得故M,则|MO|==
≤,所以|MO|的最大值是,故D正确.故选ABD.
13.-或或-1　[解析] 由解得所以l1,l2的交点坐标为(1,4),又l3过定点(3,0),所以若直线l1,l2,l3不能围成三角形,则只需l3经过点(1,4),或l1与l3平行,或l2与l3平行.当l3经过点(1,4)时,1-4a-3=0,解得a=-,当l1与l3平行时,-3a=-1且-a≠3,解得a=,当l2与l3平行时,-a=1且5a≠-3,解得a=-1,故a的值为-或或-1.
14.解:(1)当m=2时,直线l1的方程为2x-y+2=0,且斜率k1=2,
设原点关于直线l1的对称点为(x0,y0),则由斜率与中点坐标公式得解得
故所求点的坐标为.
(2)证明:根据题意得l1,l3交于A(-1,0),l2,l3交于B(0,m+1),
由得l1与l2的交点为C,
∴不论m取何值,△ABC中总有一个顶点为定点(-1,0).
(3)由两点间的距离公式得|BC|=,点A(-1,0)到l2的距离d==,
故△ABC的面积S=|BC|·d=··=
.
当m=0时,=0;当m>0时,=∈;当m<0时,=∈.
所以-≤≤,故≤S≤.
15.C　[解析] 直线2mx-y=0过定点A(0,0),直线x+2my-8m-3=0过定点B(3,4).①当m=0时,过定点A的直线方程为y=0,过定点B的直线方程为x=3,两直线垂直,此时P(3,0),所以+=;②当m≠0时,直线2mx-y=0的斜率为2m,直线x+2my-8m-3=0的斜率为-,因为2m×=-1,所以两直线垂直,即点P可视为以AB为直径的圆上的点,因为点P不与点A或点B重合,所以△PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=25,所以+=·(|PA|2+|PB|2)=≥(5+2)=,当且仅当2|PA|=|PB|=2时等号成立,因为>,所以+的最小值为.故选C.
16.10+
[解析] 不妨设点P(x,x+1)在点Q的左边,因为直线l:x-y+1=0的倾斜角为45°,且|PQ|=,所以点Q的坐标为(x+1,x+2),则|AP|+|PQ|+|QB|=
++.
记d=+,则可将d理解为直线y=x上一动点M(x,x)到D(-4,5),C(-1,4)的距离之和,如图,作出点C(-1,4)关于直线y=x的对称点C',则可得C'(4,-1),连接DC',交直线y=x于点N,则|CN|+|DN|即为d的最小值,且|CN|+|DN|=|DN|+|C'N|=|DC'|==10,故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为10+.

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