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专题07.倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 5
模型1.“8”字模型 5
模型2.“A”字模型 8
模型3.三角板模型 10
15
“8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。
该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和） ；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。

（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴；故选：B．
（2026七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：；
(2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______；
②若，，求的度数（用含，的代数式表示）；
(3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)①，；②
(3)
【详解】（1）证明：，，；
（2）①，，；
，，；
故答案为：，；
②如图所示：和的平分线和相交于点，，，
由(1)得，，，．
，，；
（3）解：，理由如下：与分别平分与，
，，
和的平分线和相交于点，，，
，，
，，
，，，
四边形，，
，，
，，，
，，．
（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．无法比较和的大小
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，即，故选：．
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
证明：在 ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在 COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在 ABO中，AB＜AO+BO；在 COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。
图1 图2 图3 图4
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D
3）A字模型
条件：如图3，在 ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在 ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在 ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
模型1.“8”字模型
例1（2026七年级下·成都·校考期中）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、对顶角相等可得，A说法正确，不符合题意；
B、，，说法正确，不符合题意；
C、与是对顶角，，不能得出，说法错误，符合题意；
D、，，，，
，说法正确，不符合题意；故选：C．
例2（2026八年级·山东·培优）如图，已知，则 ．
【答案】
【详解】解：如图，在图中标记，由图可知，，，
∵，∴在中，，∴，
在中，，∴，
∴，故答案为：．
例3（2026七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图： ．
【答案】
【详解】连接，为与的交点，
在和中，，，
那么．
而正好是四边形的内角和．
根据多边形内角和公式：边形内角和为，四边形内角和为，
所以．故答案为：．
例4（2026七年级下·成都·专题练习）【原题重现】如图1，相交于点O，求证：．
某数学兴趣小组的同学们对此题展开了探究讨论．
【解法再探】（1）利用“三角形的内角和是”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，其思路框图如下：
完成框图填空：① ，② ，③ ．
【变式拓展】（2）小慧同学把图1中线段与相交所组成的结构称为“8字形”，她对原题进行了改编：如图2，相交于点和的平分线交于点，求的度数（用含，的式子表示）．请你帮助小慧完成以下问题：小慧看到图2中有两个与相关的“8字形”，请你根据（1）中的结论写出关于的两个关系式：① ；② ；
小慧进一步思考：设，，由∠，得，即③，由①③（或②③）联立、转化、整理可得结论： ．
【发现生成】（3）小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图3，相交于点，求的度数．（用含的式子表示）
（4）若把（3）中的“”都改为“”，则 （用含的式子表示）．
【答案】（1）①三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；②；③；（2）①；②，；（3）；（4）
【详解】（1）①三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和 ② ③
（2）① ②
提示：因为的平分线交于点P，所以．由①，得，由③，得．所以．
（3）解：由“8字形”，得．所以，所以．
（4） 提示：由“8字形”，得．所以，所以．
例5（2026·重庆·八年级专项训练）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．
求证：（1）； （2）．
（1）在中，，在中，，
两不等式相加得，∴即
（2）应用上题的结论：，，
∴．
模型2.“A”字模型
例1（2025·甘肃·一模）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，∴，
∴，故选：A．
例2（2026八年级上·河北邢台·期末）如图，在四边形中，，则 ；若沿图中虚线剪去，则 ．

【答案】
【详解】解：四边形中，∴内角和的度数为，
∵，∴；
剪去，则变为五边形，∴五边形的内角和为，
∵，∴，故答案为：，．
例3（2026七年级下·广东·期末）如图，的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，∵，
又∵，∴．故选：A．
例4（2026八年级下·浙江·专题练习）探索归纳：
(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　．
A． 90° B． 315° C． 135° D. 270°
(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度．
(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　．
(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　．
【答案】(1)D(2)240(3)(4)
【详解】（1）解：，，
，故选：D．
（2）解：，，
，故答案为：240．
（3）解：，，
，故答案为：．
（4）解：连接，，，
，
，，故答案为：．
模型3.三角板模型
例1（2026七年级下·山东聊城·期末）把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中的度数是 ．
【答案】/75度
【详解】解：由图可得，，，
∴，故答案为：．
例2（2026福建厦门·八年级统考期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由三角板可知：，，，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴角的大小为的是，故选B．
例3（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴的大小为．故选：B．
例4（2026·四川·七年级校联考期中）如图所示，将一副三角板按如图放置，有下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【详解】解：①，，，故①正确；
②，，，，
，，，故②正确；

③如图，，，
，，
，，与不垂直，故③错误；
④，，，
，，，故④正确，
①②④正确，故选：．
例5（2026·七年级下·四川成都·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角
(1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数；
(3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变 并说明理由
【答案】(1)(2)或或(3)
【详解】（1）解：∵，∴，∴；
（2）①当时, 如图所示, ，，即 ，
②当时， 如图所示，过点作，∴，
∴，
∴，，
∴；∴；
当时， 如图所示，如图，则；
综上所述，的度数为或或；
（3）当,, 保持不变，理由如下：
如图, 设分别交、于点,在中,,
∵,∴，
∵,∴.
1．（2026八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，按图中虚线剪去，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，，
，，故选D．
2．（2026山东·七年级校考阶段练习）如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为( )
A．∠1+∠2>∠3+∠4 B．∠1+∠2<∠3+∠4 C．∠1+∠2=∠3+∠4 D．数量关系取决于∠C的度数
【答案】C
【详解】解：∵∠1+∠2=180°-∠C，∠3+∠4=∠CEF+∠CFE=180°-∠C，∴∠1+∠2=∠3+∠4，故选：C．
3．（2026·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：在中，，，
∴，∴．故选：B．
4．（2026·山西·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】A
【详解】解：延长交于H，
∵ ，∴，∴，
∵，∴，选A．
5．（2026·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵三角形的内角和等于，∴可得和的邻补角之和等于，
∴，故选：C．
6．（2026八年级上·河南商丘·期中）如图，中，若沿图中虚线剪去后，，则 ．
【答案】/100度
【详解】解：如图，
∵，∴．
在中，由三角形内角和定理，得．故答案为：．
7．（2026八年级上·重庆·期中）如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝ 度．
【答案】540
【详解】解：连接DG、AC．在四边形EFGD中，得∠E＋∠F＋∠EDG＋∠DGF＝360°，
又∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠B＝180°，
∴∠GAB＋∠B＋∠BCD＋∠EDC＋∠E＋∠F＋∠AGF＝540°．故答案为540．
8．（2026七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，将纸片剪去一个角得到四边形，则
【答案】
【详解】解：在四边形中，根据四边形内角和为，可得．
在中，根据三角形内角和为，即，∴，
将代入到中，得到：
，∴．
9．（2026绵阳·八年级校考期中）如图，已知， ．
【答案】/240度
【详解】连接，，
∴
又，∴ ．故答案为：．
10．（2026浙江宁波·七年级校考期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使CDOB，则∠BAD＝
【答案】15°或165°
【详解】解：设∠BAD=α，∵CDOB，∴∠AEC=∠B=45°，
∵∠D=30°，∴α=∠BAD=45°-30°=15°，∴当α=15°时，CDOB，∴∠BAD=15°，
当CD在点A的上方时，DC边与OB边平行时，∴∠CEA=∠B=45°，
∴∠DAE=∠CEA-∠D=45°-30°=15°，∴α=∠BAD=180°-15°=165°，
∠BAD=135°+30°=165°，故答案为：15°或165°．
11．（2026广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
【答案】见解析
【详解】解：和是的外角，．
又，．
12．（2026江苏·八年级期中）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
【答案】540°
【详解】解：如图所示：
由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．
13．（2026河南·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；

（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析
【详解】（1）为直角三角形，，∴，
∵，，∴，
∴，故答案为：．

（2）∵，∴，
∵，，∴，
∴，故答案为：．
（3）由（1）和（2）得，，
∵，∴，∴．
（4），理由见下：由题意得，，∴，，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴．
14．2026江西七年级南昌二中校考期末）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？

(1)特殊探究：若，则　 　度，　 　度，　 　度；
(2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
(3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式．
【答案】(1)125，90，35 (2)，理由见解析
(3)（2）中的结论不成立，结论：或，理由见解析
【详解】（1）解：由题意：，，
．故答案为125，90，35．
（2）猜想：．理由：在中，，
∵，∴，
∴，
又∵在中，，∴，
∴，∴．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
①如图3﹣1中，结论：．
理由：设交于O．

∵，∴，∴．
②如图4﹣2中，结论：
③如图3﹣7中，结论：．
理由：∵，
∴，∴．
15．（2026湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
(2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．

【答案】（1）47°；（2）43°
【详解】解：（1），，，
，，，．
平分交于，平分交于，
，．
，，
，．
（2），平分交直线于，
，
，，
．
16．（2026重庆·七年级校考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．

(1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，．
(2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由．
【答案】(1)，(2)不变，理由见解析
【详解】（1）解：如图，记与的交点为点，与的交点为点，

， ，， ，即，
如图，记与的交点为，
， ，，
，即，
（2）当，，保持不变，理由如下：
如图3，设分别交、于点、，在中，，
，，
，，．
17．（2026七年级下·江苏泰州·阶段练习）[问题背景]
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明；
[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，、分别平分、，①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间的数量关系为 ．
[问题探究] （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，若，，则的度数为 ．
[拓展延伸]（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ．（用x、y的代数式表示）

【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）；（4）
【详解】解：（1）如图1中，

∵，，，∴；
（2）①如图2中，设，，
则有，∴，∴，
∴；②由①得：；
（3）如图3中，设，，
则有，，∴，
∴；故答案为：；
（4）如图4中，设，，则，，

则有，∴ ，∴，故答案为：．
18．（2026七年级上·吉林长春·期中）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
（1）已知：如图，在中，求证：．
证明：延长线段至点F，并过点C作．
（已作），_________（两直线平行，内错角相等），
_________（两直线平行，同位角相等），
__________________（平角的定义），（等量代换）．
【实践运用】（2）如图，线段相交于点O，连接，试证明：．
【拓展提升】（3）如图，，则的度数为_________．
（4）如图，若和的平分线和相交于点P．若，则的度数为_________．
【答案】（1），，；（2）见详解；（3）；（4）
【详解】（1）证明：延长线段至点F，并过点C作．
（已作），（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
（平角的定义），（等量代换）．
故答案为：，，．
（2）证明：在中，，
在中，，，．
（3）解：如图：
则，
，，故答案为：．
（4）解：如图，连接并延长，∵和分别平分和，∴，
根据（2）可得，即，∴．
根据图象可得：，，
∴．故答案：．
19．（2026七年级下·山西临汾·期末）综合与探究：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫做“对顶三角形”．如图1，与互为“对顶三角形”．
【问题发现】（1）如图1，请说明．
【拓展研究】（2）如图2，若是的平分线，是的平分线，，求的度数．（用含x，y的代数式表示）
【解决问题】（3）如图3，在（2）的条件下，延长，至点M，N．若与分别平分与，，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】解：（1），，，
．
（2），．
是的平分线，是的平分线，．
由（1）知，，
∵，
∴的度数为．
（3）与分别平分与，是的平分线，是的平分线，
，
，即，
．
，，∴．
20．（2026七年级下·重庆江北·期末）综合与实践
【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．如图2，小明同学用了两块镜子形成一个镜子组合体．镜子与形成．他发现改变的大小，入射光线和反射光线的位置关系会发生改变．
【初步探究】（1）当______时，入射光线与反射光线是平行的，并说明理由．
【深入探究】（2）如图3，设，入射光线与反射光线的夹角．若，探索与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图4，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射后的光线与入射光线平行时，请直接写出x的度数．（可用含有m的代数式表示）
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）或
【详解】解：当时，．理由如下：
如图，在中，，∴，
∵，∴，
∵，，∴，∴；
（2），理由如下：在中，，∴，
∵，∴，∴，
同理可得，，在中，，
∴；
（3）或．理由如下：①当时，如图所示：，
∵，∴，
∴，
∵，∴，，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴．
②当时，如果在边反射后与平行，由（2）知，，与题意不符；
则只能在边反射后与平行，如图所示：
根据三角形外角性质得，，∵，∴，
由，且由（1）的结论可得，，则．
综上所述：x的度数为或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07.倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 5
模型1.“8”字模型 5
模型2.“A”字模型 8
模型3.三角板模型 10
15
“8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。
该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和） ；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。

（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
（2026七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：；
(2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．
①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______；
②若，，求的度数（用含，的代数式表示）；
(3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围．
（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．无法比较和的大小
1）8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
证明：在 ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在 COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；
∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D；
在 ABO中，AB＜AO+BO；在 COD中，CD＜CO+DO；
∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。
图1 图2 图3 图4
2）8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D
3）A字模型
条件：如图3，在 ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角；
结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E
证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。
②在 ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在 ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。
模型1.“8”字模型
例1（2026七年级下·成都·校考期中）如图，与相交于点O，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
例2（2026八年级·山东·培优）如图，已知，则 ．
例3（2026七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图： ．
例4（2026七年级下·成都·专题练习）【原题重现】如图1，相交于点O，求证：．
某数学兴趣小组的同学们对此题展开了探究讨论．
【解法再探】（1）利用“三角形的内角和是”和“对顶角相等”对此题进行了证明，小明同学提出了另外一种证明方法，其思路框图如下：
完成框图填空：① ，② ，③ ．
【变式拓展】（2）小慧同学把图1中线段与相交所组成的结构称为“8字形”，她对原题进行了改编：如图2，相交于点和的平分线交于点，求的度数（用含，的式子表示）．请你帮助小慧完成以下问题：小慧看到图2中有两个与相关的“8字形”，请你根据（1）中的结论写出关于的两个关系式：① ；② ；
小慧进一步思考：设，，由∠，得，即③，由①③（或②③）联立、转化、整理可得结论： ．
【发现生成】（3）小慧同学为了寻找规律，再次改变条件：如图3，相交于点，求的度数．（用含的式子表示）
（4）若把（3）中的“”都改为“”，则 （用含的式子表示）．
例5（2026·重庆·八年级专项训练）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．
求证：（1）； （2）．
模型2.“A”字模型
例1（2025·甘肃·一模）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
例2（2026八年级上·河北邢台·期末）如图，在四边形中，，则 ；若沿图中虚线剪去，则 ．

例3（2026七年级下·广东·期末）如图，的度数（ ）
A． B． C． D．
例4（2026八年级下·浙江·专题练习）探索归纳：
(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　．
A． 90° B． 315° C． 135° D. 270°
(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度．
(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　．
(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　．
模型3.三角板模型
例1（2026七年级下·山东聊城·期末）把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中的度数是 ．
例2（2026福建厦门·八年级统考期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（ ）
A． B． C． D．
例3（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
例4（2026·四川·七年级校联考期中）如图所示，将一副三角板按如图放置，有下列结论：①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有．其中正确的是（ ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
例5（2026·七年级下·四川成都·期末）一副三角板按图1所示方式摆放，其中，，.固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角
(1)如图2，当时，的度数为__________；(2)当的一边与平行时，求的度数；
(3)如图3，连结，当时，试判断的大小是否改变 并说明理由
1．（2026八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，按图中虚线剪去，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026山东·七年级校考阶段练习）如图，EF与△ABC的边BC，AC相交，则∠1+∠2与∠3+∠4的数量关系为( )
A．∠1+∠2>∠3+∠4 B．∠1+∠2<∠3+∠4 C．∠1+∠2=∠3+∠4 D．数量关系取决于∠C的度数
3．（2026·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·山西·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
5．（2026·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2026八年级上·河南商丘·期中）如图，中，若沿图中虚线剪去后，，则 ．
7．（2026八年级上·重庆·期中）如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝ 度．
8．（2026七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，将纸片剪去一个角得到四边形，则
9．（2026绵阳·八年级校考期中）如图，已知， ．
10．（2026浙江宁波·七年级校考期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使CDOB，则∠BAD＝
11．（2026广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
12．（2026江苏·八年级期中）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
13．（2026河南·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；

（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
14．2026江西七年级南昌二中校考期末）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？

(1)特殊探究：若，则　 　度，　 　度，　 　度；
(2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；
(3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式．
15．（2026湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．
(1) 若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；
(2) 若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．

16．（2026重庆·七年级校考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．

(1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，．
(2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由．
17．（2026七年级下·江苏泰州·阶段练习）[问题背景]
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明；
[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，、分别平分、，①若，，求的度数；
②和为任意角时，其他条件不变，试直接写出与、之间的数量关系为 ．
[问题探究] （3）如图3，直线平分的邻补角，平分∠ADC的邻补角，若，，则的度数为 ．
[拓展延伸]（4）在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ．（用x、y的代数式表示）

18．（2026七年级上·吉林长春·期中）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
（1）已知：如图，在中，求证：．
证明：延长线段至点F，并过点C作．
（已作），_________（两直线平行，内错角相等），
_________（两直线平行，同位角相等），
__________________（平角的定义），（等量代换）．
【实践运用】（2）如图，线段相交于点O，连接，试证明：．
【拓展提升】（3）如图，，则的度数为_________．
（4）如图，若和的平分线和相交于点P．若，则的度数为_________．
19．（2026七年级下·山西临汾·期末）综合与探究：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫做“对顶三角形”．如图1，与互为“对顶三角形”．
【问题发现】（1）如图1，请说明．
【拓展研究】（2）如图2，若是的平分线，是的平分线，，求的度数．（用含x，y的代数式表示）
【解决问题】（3）如图3，在（2）的条件下，延长，至点M，N．若与分别平分与，，请直接写出的取值范围．
20．（2026七年级下·重庆江北·期末）综合与实践
【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小明在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角相等，例如：在图1中，有．如图2，小明同学用了两块镜子形成一个镜子组合体．镜子与形成．他发现改变的大小，入射光线和反射光线的位置关系会发生改变．
【初步探究】（1）当______时，入射光线与反射光线是平行的，并说明理由．
【深入探究】（2）如图3，设，入射光线与反射光线的夹角．若，探索与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图4，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过n（n为正整数，且）次反射，当第n次反射后的光线与入射光线平行时，请直接写出x的度数．（可用含有m的代数式表示）
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