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第50练　圆的方程
1.圆x2+y2+4x-6y+5=0的圆心坐标为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.(-2,3)
C. D.(2,-3)
2.[2025·河北保定期末] 过三点O(0,0),M1(6,0),M2(0,8)的圆的标准方程为 (　 )
A.(x-3)2+(y+4)2=25
B.(x+3)2+(y-4)2=25
C.(x+3)2+(y+4)2=25
D.(x-3)2+(y-4)2=25
3.[2025·四川绵阳模拟] “k>2或k<-3”是“定点A(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0的外部”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知线段AB的端点B的坐标是(5,3),端点A在圆x2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程为 (　 )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
5.当方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0所表示的圆取得最大面积时,直线y=(k+1)x+1的倾斜角为 (　 )
A. B.
C. D.
6.(多选题)[2025·广东深圳期末] 已知圆C:x2+y2-6x-4y+5=0,则下列说法正确的是 (　 )
A.y-x的最大值为3
B.x+y的最大值为7
C.的最大值为6+2
D.x2+y2的最大值为21+4
7.若点M(5a+1,12a)在圆C:(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是　　　　.
8.[2025·黑龙江哈尔滨模拟] 若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+5上运动,当半径最小时,圆的方程为　　　　　　　.
9.已知圆G经过点A(0,0),B(1,1),且圆G恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分.
(1)求圆G的一般方程;
(2)设D(6,5),P是圆G上的动点,求线段DP的中点M的轨迹方程,并说明表示何曲线
10.若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+4x-4y+4=0的圆心,则+的最小值为 (　 )
A.+ B.2+3
C. D.
11.某圆拱桥的水面跨度为12米,拱高为4米,现有一条船宽8米,若这条船能从桥下通过,则这条船在水面以上的最大高度约为(参考数据≈4.6,≈2.2) (　 )
A.2.65米 B.2.75米
C.2.56米 D.3.15米
12.在平面直角坐标系中,存在圆O:x2+y2=1,点A和点B,M为圆O上的动点,则下列说法中正确的是 (　 )
A.2|MA|-|MB|的最大值为
B.2|MA|+|MB|的最小值为2
C.2|MA|-|MB|的最大值为
D.2|MA|+|MB|的最小值为
13.[2025·贵州安顺模拟] 已知A(-5,1),B(1,1),C(1,-2)三点,点P在圆x2+y2=1上运动,则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2的最大值与最小值之和为　　　　.
14.已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4),圆心在直线2x-y-1=0上.
(1)求圆C1的方程;
(2)若M,N分别是圆C1和圆C2:(x+3)2+(y+4)2=9上的点,点P是直线x+y=0上的点,求|PM|+|PN|的最小值以及此时点P的坐标.
15.[2026·江苏宿迁质检] 在平面直角坐标系xOy中,A为定圆M上一动点,B为平面内一定点,λ,μ为非零常数,若点P满足=λ+μ,则P的轨迹为 (　 )
A.圆 B.椭圆
C.部分双曲线 D.部分抛物线
16.(多选题)[2025·四川凉山三模] 已知x2+y2=4,则下列选项正确的是 (　 )
A.的最小值是
B.|3x+4y-12|的最小值是
C.+的最小值是
D.2-的最大值是2
第50练　圆的方程
1.B　[解析] 圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为,又D=4,E=-6,故圆x2+y2+4x-6y+5=0的圆心坐标为=(-2,3).故选B.
2.D　[解析] 因为·=(6,0)·(0,8)=6×0+0×8=0,所以△OM1M2是直角三角形,其外接圆圆心为线段M1M2的中点(3,4),半径为=5,故所求标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25.
3.B　[解析] ∵定点A(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0的外部,∴化简得∴
∴k的取值范围为-2或k<-3”是“定点A(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0的外部”的必要不充分条件.故选B.
4.D　[解析] 设A(a,b),M(x,y),由M为线段AB的中点,得即由点A在圆x2+y2=4上,得a2+b2=4,即(2x-5)2+(2y-3)2=4,化简可得+=1.故选D.
5.B　[解析] 方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0可化为(x+k)2+(y+2)2=4-k2(其中4-k2>0),所以当k=0时,圆的半径最大,即圆的面积最大,此时直线y=x+1的斜率为1,即倾斜角为.故选B.
6.ACD　[解析] 因为圆C:x2+y2-6x-4y+5=0,所以(x-3)2+(y-2)2=8,设x=2cos θ+3,y=2sin θ+2,θ∈[0,2π).对于A,y-x=2sin θ-2cos θ-1=4sin-1,所以当θ=时,y-x取得最大值,为3,故A正确;对于B,x+y=2cos θ+2sin θ+5=4sin+5,所以当θ=时,x+y取得最大值,为9,故B错误;对于C,设=k,则y=kx,圆C:x2+y2-6x-4y+5=0,圆心为C(3,2),半径为2,则圆心到直线的距离小于或等于半径,即≤2,所以k2-12k-4≤0,得6-2≤k≤6+2,所以的最大值为6+2,故C正确;对于D,x2+y2可以看作是圆上某点P到原点O的距离的平方,|OP|2≤(|OC|+r)2=(+2)2=21+4,故D正确.故选ACD.
7.-方法二:由M(5a+1,12a)在圆内,得(5a)2+(12a)2<1,所以a2<,即-8.(x-2)2+(y-1)2=5　[解析] 由题意知圆心在直线y=-2x+5上运动,设圆心坐标为(a,-2a+5).又圆经过坐标原点,即(0-a)2+(0+2a-5)2=r2,整理得r2=5a2-20a+25=5(a-2)2+5.当半径r最小时,a=2,则圆心为(2,1),r=,故圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
9.解:(1)直线mx-y-m=0恒过点(1,0).因为圆G恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分,所以直线mx-y-m=0恒过圆心,所以圆心坐标为(1,0),又圆G经过点A(0,0),
所以圆的半径r=1,此时B在圆G上,所以圆G的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.
(2)设M(x,y),因为M为线段DP的中点,所以P(2x-6,2y-5),因为点P是圆G上的动点,所以(2x-6)2+(2y-5)2-2×(2x-6)=0,
即4x2+4y2-28x-20y+73=0,可化为+=,
所以M的轨迹是一个圆.
10.B　[解析] 由x2+y2+4x-4y+4=0,可得圆心坐标为(-2,2).因为直线ax-by+2=0(a>0,b>0)过圆心,所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,所以+=(a+b)=++3≥2+3,当且仅当=,即a=-1,b=2-时取等号,所以+的最小值为2+3.故选B.
11.C
[解析] 如图,以圆拱桥在水面上的正投影所在直线为x轴,过桥的最高点垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系,设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置,则B(-6,0),E(-4,0),F(4,0),C(6,0),设圆拱桥所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0),由已知得可得故圆的方程为x2+=,令x=4,可得y=-≈2.56,故这条船在水面以上的最大高度约为2.56米,故选C.
12.C　[解析] 设点M(x,y),由圆O:x2+y2=1,点A和点B,可得2|MA|=
2===
==|MC|,其中C(-2,0),点C在圆O外,点B在圆O内,如图所示,可得2|MA|-|MB|=|MC|-|MB|≤|BC|==,当且仅当M为CB的延长线与圆O的交点时,取得等号,所以2|MA|-|MB|的最大值为.因为2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|≥|BC|=,当且仅当M为线段CB与圆O的交点M1时,取得等号,所以2|MA|+|MB|的最小值为.故选C.
13.102　[解析] 由题意设P(cos θ,sin θ),则|PA|2+2|PB|2+3|PC|2=(cos θ+5)2+(sin θ-1)2+2(cos θ-1)2+2(sin θ-1)2+3(cos θ-1)2+3(sin θ+2)2=6cos2θ+6sin2θ+6sin θ+45=51+6sin θ,因为-6≤6sin θ≤6,所以原式的最大值为57,最小值为45,所以最大值与最小值的和为102.
14.解:(1)已知点A(1,3)和B(2,4),
则线段AB的中垂线的方程为y=5-x,由解得
故圆C1的圆心为(2,3),半径r==1,即圆C1的方程为(x-2)2+(y-3)2=1.
(2)点C1(2,3)和点C2(-3,-4),
且(2+3)×(-3-4)<0,
故点C1(2,3)和点C2(-3,-4)在直线x+y=0的两侧,点C1(2,3)到直线的距离为=>1,点C2(-3,-4)到直线的距离为=>3,
所以直线x+y=0与两圆分别相离,
则|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3≥|C1C2|-4=-4.
直线C1C2的方程为y-3=(x-2),即7x-5y+1=0,
由解得
故P,
即|PM|+|PN|的最小值为-4,此时P.
15.A　[解析] 设M(x0,y0),B(xB,yB),A(xA,yA),P(xP,yP),定圆M的半径为r,则定圆M的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,由向量的坐标表示可知(xP,yP)=λ(xA,yA)+μ(xB,yB)=(λxA+μxB,λyA+μyB),故解得代入圆M的方程得+=r2,整理得[xP-(λx0+μxB)]2+[yP-(λy0+μyB)]2=(λr)2,所以点P的轨迹是以(λx0+μxB,λy0+μyB)为圆心,|λr|为半径的圆.故选A.
16.ACD　[解析] 圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2.对于A,表示圆上一点(x,y)到点A的距离,|AO|==,所以的最小值是|AO|-r=-2=,故A正确;对于B,圆上一点(x,y)到直线3x+4y-12=0的距离d=,即|3x+4y-12|=5d,所以求|3x+4y-12|的最小值,即求dmin,dmin即为O(0,0)到直线3x+4y-12=0的距离减半径,O(0,0)到直线3x+4y-12=0的距离d1==,所以dmin=d1-r=-2=,所以|3x+4y-12|的最小值为5dmin=2,故B错误;对于C,因为x2+y2=4,所以+=
+=
+表示圆上一点P(x,y)到点B(1,0),C(0,3)的距离之和,又|PC|+|PB|≥|CB|=,当P,C,B三点在一条直线上且P在B,C之间时取等号,故+的最小值是,故C正确;对于D,因为x2+y2=4,所以2-=
2-=2-2=
2[-],表示圆上一点P(x,y)到点C(0,3),B(1,0)的距离之差的2倍,又2(|PC|-|PB|)≤2|BC|=2,当P,C,B三点在一条直线上且B在P,C之间时取等号,故2-的最大值是2,故D正确.故选ACD.

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