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第51练　直线与圆、圆与圆的位置关系
1.[2025·北京大兴区三模] 已知直线l:x+y-1=0与圆C:(x+1)2+(y-2)2=4,则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.l与C相离
B.l与C相切
C.l平分C
D.l与C相交但不平分C
2.[2025·重庆一中三模] 过圆O:x2+y2=1外的点P(3,2)作圆O的一条切线,切点为M,则|MP|= (　 )
A.2 B.2
C. D.4
3.直线l:x-y=0被圆C:(x-1)2+y2=1所截得的弦长为 (　 )
A.1 B.
C. D.2
4.已知圆O:x2+y2=4,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 (　 )
A.4 B.4
C.8 D.8
5.[2025·山西晋中模拟] 若过点(0,3)且与圆(x-2)2+y2=2相切的两条直线的夹角为θ,则cos θ= (　 )
A. B.
C. D.
6.[2025·湖南长沙三模] 已知P是直线l:x+y-2=0上的任意一点,若过点P作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别记为A,B,则弦长|AB|的最小值为 (　 )
A.2 B.
C. D.1
7.[2025·江西赣州模拟] 已知直线l:y-kx-2=0与圆C:x2-2x+y2=0相交,则实数k的取值范围为　　　　.
8.圆C1:(x-1)2+(y-1)2=2与圆C2:x2-2ax+y2+2(a-2)y=4a-4(a<0)的公切线条数为　　　　.
9.[2025·广东韶关曲江中学月考] 已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,O为坐标原点,以OC为直径的圆C'与圆C交于A,B两点,
(1)求圆C'的方程;
(2)求直线AB的方程;
(3)求四边形CAOB的面积.
10.[2025·江苏盐城模拟] 已知O为坐标原点,直线l:x=my+3与圆C:x2+y2-6x+8=0相交于A,B两点,则·= (　 )
A.2 B.4
C.6 D.8
11.已知点A(1,-1),B(a,a-2)到直线l的距离分别为2和6,若这样的直线l恰有两条,则a的取值范围是 (　 )
A.(5,9)
B.(9,+∞)
C.(-7,-3)∪(5,9)
D.(-3,5)∪(9,+∞)
12.(多选题)[2025·安徽宣城模拟] 已知圆C:(x-2)2+y2=4和直线l:x-y+2=0,点P在直线l上运动,直线PA,PB分别与圆C相切于点A,B,则下列说法正确的是 (　 )
A.切线长|PA|的最小值为2
B.四边形PACB面积的最小值为4
C.当|PA|最小时,弦AB所在直线的方程为x-y+1=0
D.弦AB所在直线必过定点
13.过原点的直线l与圆C:(x-3)2+y2=2交于A,B两点,若△ABC的面积为1,则直线l的方程为　　　　.
14.[2025·江苏南京模拟] 已知圆C:(x+4)2+y2=1和点A(1,0),P为圆C外一点,直线PQ与圆C相切于点Q,|PQ|=|PA|.
(1)求点P的轨迹方程.
(2)记点P的轨迹为T,是否存在斜率为-1的直线l,使得以l被曲线T截得的弦MN为直径的圆过点B(-2,0) 若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
15.[2025·江西景德镇三模] 动圆M经过直线l:y=x与☉C:(x-6)2+y2=20的交点A,B,过原点O向动圆M作切线,切点为P,若·>λ恒成立,则实数λ的最大值是 (　 )
A.8-12 B.20-12
C.20-30 D.32-24
16.[2025·湖南岳阳模拟] 已知圆O:x2+y2=4上有一动点P,点A(4,4),若直线l:y=3kx-6k与线段AP的中点的轨迹始终有公共点,则实数k的取值范围为　　　　.
第51练　直线与圆、圆与圆的位置关系
1.C　[解析] 圆C:(x+1)2+(y-2)2=4的圆心为C(-1,2),半径为2,则圆心到直线l的距离d==0,故直线l经过圆心C,即l平分C.故选C.
2.B　[解析] 由题意得圆O的半径r=1,故|MP|2=|OP|2-r2=13-1=12,则|MP|=2.故选B.
3.A　[解析] 由已知可得圆心C(1,0),半径r=1,因为点C到直线l:x-y=0的距离d=,所以所求弦长为2=2=1.故选A.
4.B　[解析] 圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径R=2.∵|OE|=1,∴过点E(0,1)的最长弦的长|AC|=2R=4,最短弦的长|BD|=2=2,且最短弦与最长弦互相垂直,故四边形ABCD的面积为|AC|×|BD|=×4×2=4.故选B.
5.B　[解析] 圆(x-2)2+y2=2的圆心为C(2,0),半径r=,所以点(0,3)与圆心C间的距离d==,所以sin==,则cos θ=1-2sin2=1-2×=.故选B.
6.C　[解析] 易知圆心O到直线l的距离d=.如图,在直角三角形OAP中,|OA|=1,|OP|≥,所以sin∠APO=≤,又∠APO<,所以∠APO≤,
则∠APB=2∠APO≤,因为OA⊥AP,OB⊥BP,所以∠APB与∠AOB互补,所以当∠APB=时,弦长|AB|最小,此时∠AOB=,弦长|AB|=.故选C.
7.　[解析] 圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1,可得圆C的圆心为C(1,0),半径R=1,又直线l的方程为kx-y+2=0,直线l与圆C相交,所以<1,解得k<-,故实数k的取值范围为.
8.3　[解析] 圆C2的标准方程为(x-a)2+(y+a-2)2=2a2(a<0),所以圆C2是以(a,2-a)为圆心,-a为半径的圆,又圆C1是以(1,1)为圆心,为半径的圆,所以圆C1,圆C2的圆心距为=(1-a),圆C1,圆C2的半径之和为+(-a)=(1-a),即圆心距等于半径之和,故两圆外切,所以圆C1,圆C2有3条公切线.
9.解:(1)如图,圆C:x2+y2-6x-8y+21=0的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4,
则圆C的圆心为C(3,4),半径r=2,
则线段OC的中点C'的坐标为,|OC'|==,
所以圆C'的方程为+(y-2)2=.
(2)圆C'与圆C相交于A,B两点,将两圆的方程相减,整理得3x+4y-21=0,所以直线AB的方程为3x+4y-21=0.
(3)点C到直线AB的距离d==,则|AB|=2=,又OC⊥AB,所以四边形CAOB的面积为|OC|·|AB|=×5×=2.
10.D　[解析] 圆C:x2+y2-6x+8=0的标准方程为(x-3)2+y2=1,则圆C的圆心为C(3,0),半径r=1,又直线l:x=my+3恒过定点(3,0),所以直线l恒过圆心C.又直线l与圆C交于A,B两点,所以=-,所以·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=32-12=8.故选D.
11.C　[解析] 因为恰有两条直线l,使得点A,B到l的距离分别为2和6,所以以A为圆心,2为半径的圆与以B为圆心,6为半径的圆有两条公切线,故这两个圆相交,所以4<|AB|<8,又|AB|==|a-1|,所以4<|a-1|<8,解得512.BD　[解析] 对于A,圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为C(2,0),半径为2,如图,由题意可得PA⊥AC,PB⊥BC,所以|PA|==,又|PC|min==2,所以|PA|min==2,故A错误.对于B,S四边形PACB=2S△PAC=|PA|·|AC|=2|PA|≥4,所以四边形PACB面积的最小值为4,故B正确.对于C,当|PA|最小时,PC⊥l,则直线PC的斜率为-1,又PC⊥AB,所以直线AB的斜率为1,直线PC的方程为y-0=-(x-2),即x+y-2=0,由解得即P(0,2),因为当|PA|最小时,|PA|=|AC|=2,所以△APC为等腰直角三角形,所以PC中点即为AB中点,因为PC的中点为(1,1),所以弦AB的中点为(1,1),所以弦AB所在直线的方程为y-1=x-1,即x-y=0,故C错误.对于D,设P(t,t+2),则以PC为直径的圆的方程为(x-2)(x-t)+y[y-(t+2)]=0,整理得x2-(2+t)x+2t+y2-(t+2)y=0①.圆C的方程为x2-4x+4+y2=4,即x2-4x+y2=0②.由①-②得弦AB所在直线的方程为(2-t)x-(t+2)y+2t=0,即t(2-x-y)+2x-2y=0,由解得所以弦AB所在直线必过定点(1,1),故D正确.故选BD.
13.y=±x　[解析] 圆C的半径r=,圆心为C(3,0),则S△ABC=|AC|·|BC|sin∠ACB
=×()2sin∠ACB=sin∠ACB=1,所以∠ACB=,故AC⊥BC,则圆心C到直线l的距离d=|AC|=×=1.若直线l与y轴重合,则圆心C到直线l的距离为3,不满足题意,所以直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx,即kx-y=0,由题意可得=1,解得k=±,故直线l的方程为y=±x.
14.解:(1)如图①,设点P的坐标为(x,y),连接PC,QC,由直线PQ与圆C相切于点Q,得|PQ|2=|PC|2-|CQ|2,又|PQ|=|PA|,C(-4,0),|CQ|=1,所以2|PA|2=|PC|2-|CQ|2,即2[(x-1)2+y2]=(x+4)2+y2-1,化简得(x-6)2+y2=49,故点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=49.
(2)如图②,设直线l的方程为y=-x+t,点M(x1,y1),N(x2,y2).
由消去y,整理得2x2-2(t+6)x+t2-13=0,
由Δ=4(t+6)2-8(t2-13)>0,得t2-12t-62<0,
所以
若以MN为直径的圆过点B(-2,0),则kBM·kBN=-1,即·=-1,化简得2x1x2+(2-t)(x1+x2)+t2+4=0,即t2-13+(2-t)(t+6)+t2+4=0,解得t=1或t=3,当t=1或t=3时,满足Δ>0,故存在满足题意的直线l,且直线l的方程为y=-x+1或y=-x+3.
15.D　[解析] 由解得或设A(2,2),B(4,4).设动圆M的方程为(x-6)2+y2-20+μ(x-y)=0,则切线长|OP|==4,故点P的轨迹是圆心为O,半径r=4的圆.设线段AB的中点为D(3,3),由32+32=18>16,得点D在圆O外,易知=-,|AD|==,则·=(+)·(+)=-=|PD|2-2,又|PD|>|OD|-r=3-4(O,P,D三点不能共线),所以·=|PD|2-2>(3-4)2-2=32-24,又·>λ恒成立,所以λ的最大值是32-24.故选D.
16.∪
[解析] 如图,设线段AP,AO的中点分别为M,N,因为A(4,4),所以N(2,2),又|MN|=|PO|=1,故点M的轨迹方程为(x-2)2+(y-2)2=1.若直线l:y=3kx-6k与动点M的轨迹始终有公共点,则≤1,解得k≤-或k≥,故k的取值范围为∪.

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