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专题07 几何最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型拓展 5
模型运用 7
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 7
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 9
模型3.将军饮马模型（多线段和的最值模型） 12
模型4.将军遛马（过桥）模型 16
20
“将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。
传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。
（四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】5
【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，
则可知，，∴，
即当三点共线时，的最小值为，
∵直线垂直于y轴，∴轴，∵，，∴，
∴在中，，故答案为：5
（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
∴周长为，当四点共线时取得最小值，
∵是关于的对称点，∴，
又∵∴∴是等腰直角三角形，
∴∴当时，取得最小值，即周长最小。
又∵，，∴。
∴周长最小为 故答案为：．
（西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、．
【答案】米
【详解】解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接，
∴四边形和四边形都是平行四边形，∴，
∴，
∴当四点共线时，最小，即此时最小；
如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、，
∴，∴，∴米，
∴米，∴米，米，
∴米， ∴的最小值为米．
1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。
2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
1）将军饮马（多线段和的最值模型）
如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。
证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
2）将军饮马（多线段和的最值模型）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3）
图1-1 图1-1 图1-1
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
（3）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）；
图1 图2 图3
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
（4）：将军造桥（过桥）模型
已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。
将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）
例1（2026八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ．
【答案】12
【详解】解：作点B关于的对称点F，连接交于E，连接、，则，此时，最小，∵∴，，∴
∵∴∴∴
∵点B与点F关于的对称，∴，，∴
∵∴为等边三角形，∵点D为的中点，
∴，，∴
∴的最小值为12．故答案为：12．
例2（黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

【答案】/
【详解】解：∵为高上的动点．∴
∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，
∴∴
∴，∴点在射线上运动，如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，∴∴
在中，,
∴周长的最小值为，故答案为：．
例3（2026八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，作关于的对称点，∴，
∵是是的平分线，∴在上，，∴，
当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，
∵在中，，，，∴，
∵，∴，故答案为：．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）
例1（2026八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ．
【答案】 8 8
【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，∴，
∵的周长是18，，∴的周长，
点P在直线上，如图，连接，

∵点P在的垂直平分线上，∴，∴，
故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：8，8．
例2（2026八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：作点关于的对称点，连接，
∴，∴，
∴当三点共线时，的最大值为的长，
∵，∴，∴，
∴，∴为等边三角形，∴，
∴的最大值为；故答案为：．
例3（2026八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，点为上的动点，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、，．
∵ 点与关于对称∴ ，，则
根据三角形三边关系，（当与重合时，取等号）
∵ ，∴
在中，，，由勾股定理得：
故的最大值为．故答案为：
例4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示：
∵，∴，∵，
∴过点作直线，作点关于直线的对称点在上，则，
连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴∴的最大值为，故答案为：．
模型3.将军饮马模型（多线段和的最值模型）
例1（2026八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，作点分别关于的对称点，连接分别交于点，
，，，，，
，
，
此时的周长最小，过点作于点，，，
，，，
，，周长的最小值是，故选：A．
例2（2026八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小．
作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值．
(1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长．
【答案】(1)3(2)3(3)5
【详解】（1）解：连接，
∵是等边三角形，是边上的高，∴点B，C关于对称，，
∴，∴∴就是的最小值．
∵在等边三角形中，E是的中点，∴，而是边上的高
∴，∴的最小值为3．
（2）解：如图，过点作于点，
∵为等边三角形的高，∴平分，，
∴，，∴，∴，故其最小值为3；
（3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接．
∵点P关于的对称点为E，∴．
∵点P关于的对称点为D，∴，
∴，
∴是等边三角形，∴．∴．∵，
∴当点共线时，周长取得最小值即为∴．
例3．（2026八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则，
∴为最小值，
∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称，
∴
∵，∴，
∴，
∴，即的最小值为10，故选：D．
例4（2026八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，作点关于的对称点，则，
作点关于的对称点，则，∴
当四点共线时，最小，连接，
∵则,
∴∵,
过作垂直的延长线交于点，∴
在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知，
则，∴
即的最小值为．故答案为：．
模型4.将军遛马与过桥模型
例1（2025·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，
∵点，，，，，
作点关于直线的对称点，，，
，即、、三点共线时，最小值为的长，
在中，由勾股定理得，∴的最小值为，故答案为：．
例2（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：∵在和中，，，∴，
∵，∴，∴，
如图∶将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，则，∴，即的最小值为的长，
∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∵C点关于的对称点L，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，如图：过L作于G，
∴，
∴，∴．故答案为：．
例3（广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
【答案】A
【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．
∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，
在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A．
例4（2025·江苏·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．

【答案】
【详解】解：在上取一点，使得，连接，如图所示：

，，四边形是平行四边形，，，
将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，如图所示：
，，是等边三角形，，，
，，，，
，，，
，，，，，，
，，
，的最小值为，故答案为：．
1．（2025·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值，
∵是的平分线，∴，∴是点C到直线的最短距离（垂线段最短），
∵的面积为，，∴，
∵的最小值是．故选：D．
2.（山东德州·统考中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接，，、关于对称，，
当，，三点共线时，的值最小，即的值最小，
，，由勾股定理得：，
即的最小值为，故选C．

3．（山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵∴F是BC的中点，∴AF⊥BC．
则AF＝AB sin60°＝2．即的最小值是．故选：C
4．（2026·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．
∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，∴×4×x=××4×（6-x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．故选：B．
5．（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作且使，连接，
∴四边形是平行四边形，，，
∵点，，∴设点1），∴点．
作点关于x轴的对称点连接，，交x轴于点W，
，∴当点在点W处时，最小，最小值是的长．
，的最小值是故答案为
6．（2026·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______.
【答案】
【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.
设最小BF的解析式为y=kx+b，则有解得
∴直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案为（2，0）.
7.（2026八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为 ．
【答案】
【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，作交的延长线于，∴，
∵，∴，在中，∵，
∴，，∴，，
在中，，
∴周长的最小值．故答案为：．
8.（2026八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】3
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，
则，，，
的最小值为的长．
，，，，，，
，△为等边三角形，，
即 的值最小为3；故答案为：3
9．（2026八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为，点E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当四边形的周长最小时，点P的坐标为________．
【答案】
【详解】解：过点作于点H，截取，作点关于x轴的对称点，连接，
则，
∵长方形中，点D的坐标为，∴，
∵点与点关于x轴的对称，∴，，
∵点E为边的中点，∴，∵长方形中，，
又，∴四边形是矩形，∴，，
∴，∴，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，
∵为定值，为定值，
∴当四边形的周长最小时，则最小，即最小，
当三点共线时，最小，
∵，，设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，令，解得，∴故答案为：．
10.（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，连接，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：∵，点是的中点，∴，，
在中，，∴线段与线段关于直线对称，
∴将关于对称得，则点落在线段上，过C作于点F，
∴，∴，
，分别是，上的动点，最小值为垂线段的值．
∵，，∴，
即，∴，
即的最小值为．故答案为：．
11.（2026八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ．
【答案】
【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，
∴，∴，
根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接，
∵为等腰直角三角形，，∴，，
∵，∴，∴，
∵，∴，，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∴，
∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
12．（2025·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___．
【答案】
【详解】解：作点A关于线段的对称点F，连接，交于点O，连接，过点F作，交的延长线于点H，过点作，交的延长线于点G，如图所示：
由轴对称的性质可知：，，，
∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，
当点E与点O重合时，则的最小值即为的长，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴
∴，∴即的最小值为；故答案为．
13.（2026八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】13
【详解】作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q，连接，，

∵，由对称性可知，，，
∴，∴，由对称性可得，，
由勾股定理得，，∴，
当M、N、P、Q共线时，的值最小，即的最小值为13．故答案为：13.
14．（2025·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
【答案】6
【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接，
∵为等腰直角三角形，，∴，，
∵，∴，∵点A与A′关于CD对称，
∴CD⊥AA′，，，∴，
∵AC=BC，∴，，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6
15．（2025.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．

【答案】见解析
【详解】解：如图所示，将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置．
，
16．（上·辽宁大连·八年级统考期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题：
问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？
问题解决：如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？
如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．

数学思考：有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
(1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值；(2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：如图5，连接交于点P，此时最小，

∵是等边三角形，，∴，，，
∴，，即就是的最小值，
∵，E为的中点，，∴．∴的最小值是12．
∵，∴，解得，∴
∴的最小值是，即周长的最小值是．
（2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值，
∵，，∴，∴，
∵是边上的中线，∴是边上的高线，即垂直平分，
∴，∴，∴的最小值为3，故答案为：3．
17．（2026上·浙江·八年级专题练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　　；(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
【答案】(1)(2)，图和理由见解析
【详解】（1）解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接交于P，此时的值最小．连接，
由勾股定理得， ，∵是的中点，∴，
∵，，∴，∴，
∴的最小值．故答案为：；
（2）解：如图3，作点C关于直线的对称点，作于N，交于M，连接，
则，，∴为等边三角形，
∴，∴，∴的最小值为．
18．（2025·陕西榆林·三模）问题探究
(1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______；
(2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值；
问题解决
(3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值．
【答案】(1)4(2)(3)米
【详解】（1）解：，，四边形是平行四边形，．故答案为：4．
（2）解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，如图：
由翻折的性质可得，，，，，，
，
是等腰直角三角形，，
，，周长的最小值为．
（3）解：过点作且，连接、、，作于点，交于点，如图：
，米，，四边形是矩形，
，米，，
矩形是正方形，，，，
且米，四边形是平行四边形，，，
，，四边形是矩形，米，，，
，是等腰直角三角形，米，
米，米，米，
米，，米，
米，米，的最小值米．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题07 几何最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型拓展 5
模型运用 7
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 7
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 9
模型3.将军饮马模型（多线段和的最值模型） 12
模型4.将军遛马（过桥）模型 16
20
“将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。
传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。
（四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ．
（西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、．
1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。
2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：
图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
1）将军饮马（多线段和的最值模型）
如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。
证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
2）将军饮马（多线段和的最值模型）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3）
图1-1 图1-1 图1-1
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
（3）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）；
图1 图2 图3
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
（4）：将军造桥（过桥）模型
已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。
将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）
例1（2026八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ．
例2（黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

例3（2026八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）
例1（2026八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ．
例2（2026八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ．
例3（2026八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，点为上的动点，则的最大值为 ．
例4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ．
模型3.将军饮马模型（多线段和的最值模型）
例1（2026八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例2（2026八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小．
作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值．
(1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长．
例3．（2026八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
例4（2026八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ．
模型4.将军遛马与过桥模型
例1（2025·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ．
例2（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为 ．
例3（广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
例4（2025·江苏·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．

1．（2025·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
2.（山东德州·统考中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
3．（山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2026·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为 ．
6．（2026·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______.
7.（2026八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为 ．
8.（2026八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ．
9．（2026八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为，点E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当四边形的周长最小时，点P的坐标为________．
10.（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，连接，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ．
11.（2026八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ．
12．（2025·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___．
13.（2026八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ．
14．（2025·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．
15．（2025.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．

16．（上·辽宁大连·八年级统考期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题：
问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？
问题解决：如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？
如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．

数学思考：有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
(1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值；(2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ．
17．（2026上·浙江·八年级专题练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　　；(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
18．（2025·陕西榆林·三模）问题探究
(1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______；
(2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值；
问题解决
(3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值．
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