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专题02.直角三角形中的分类讨论模型
特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把直角三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 6
模型1.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 12
模型2.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 14
17
特殊三角形中的分类讨论模型源于动态特殊三角形（等腰、直角三角形等）的不确定性，强调分类讨论的逻辑性，后由教育工作者将其系统归纳形成了特殊三角形中的分类讨论模型。
（2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ．
1）斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。
2）直角三角形存在性模型
直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。
直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。
“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。
问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．
分三种情况，如图：
①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求；
②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；
③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求．
代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。
几何法计算：特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解．
模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
例1（2025·浙江嘉兴·校考三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或
例2（春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度．
例3（2026八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（ ）

A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60°
例4（2026九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ．
模型2.直角三角形存在性模型
例1（2026八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
例2（2026·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．

例3（2026八年级下·安徽合肥·期中）如图，点为轴上的一个动点，点的坐标为，点的坐标为，轴于点，当点的坐标为 时，为直角三角形．
例4（2026八年级上·重庆·期中）如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则 ．
例5（2026八年级下·山东·开学考试）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为
例6（2026八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
例7（2026·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为．

(1)求直线的解析表达式．(2)若在线段上，四边形的面积为14，求点坐标．
(3)若点、分别为直线、上的动点，连结、、，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．
1．（2026八年级上·山东潍坊·阶段练习）在 中，，，点 在 边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（ ）(多选题)
A． B． C． D．
2．（2026八年级·江苏·课后作业）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知中，，，所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（　　）
A． B． C．或 D．或
3．（2026八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026八年级下·江西南昌·期末）如图，为直角三角形，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·广西河池·八年级统考期末）在中，，，当 时，是直角三角形．
6．（2026·四川成都·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为 时，△CEB′恰好为直角三角形．
7．（2026八年级下·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角是，过点A作轴，交直线l于点N，若点P在射线上（点P与点N不重合），则当是直角三角形时，点P的坐标为 ．

8．（2026八年级上·江苏盐城·阶段练习）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上，且△APO是直角三角形，则点P的坐标是 ．
9．（2026七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ．
10．（2026·江西吉安·八年级校联考阶段练习）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ．
11．（2026八年级下·湖南长沙·阶段练习）在三角形中，，，点在边上，平分，在上取一点，若三角形为直角三角形，则的度数为 ．
12．（2026·四川成都·八年级校考期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，以AC为腰作等腰直角三角形ACD ，则线段BD的长为 ．
13.（2026河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形中，，点E为边上的一个动点，与关于直线对称．当为直角三角形时，的长为 ．

14．（2025·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____．
15．（2026·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边上匀速运动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．

（1）当 时，为等腰三角形；（2）当 时，为直角三角形．
16．（2026·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，长度是 ．

17．（2026·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．
（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝　 　秒；
②当△BPQ为直角三角形时，t＝　 　秒．（直接写出结果）
18．（2026八年级上·福建三明·期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点．
(1)填空： ___________， ___________， ___________；
(2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．
①当点落在轴上时，求点的坐标；②若为直角三角形，求点的坐标．
19.（2026·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，，在x轴的负半轴上有一点A，且满足，连接，．
(1)求直线的函数表达式．(2)将线段沿y轴方向平移至，连接，'．
①当线段向下平移2个单位长度时（如图所示），求的面积；
②当为直角三角形时，求点的坐标．
20．（2026·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为．
(1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标．
(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）．
(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02.直角三角形中的分类讨论模型
特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把直角三角形分类讨论情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 6
模型1.直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 12
模型2.直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 14
17
特殊三角形中的分类讨论模型源于动态特殊三角形（等腰、直角三角形等）的不确定性，强调分类讨论的逻辑性，后由教育工作者将其系统归纳形成了特殊三角形中的分类讨论模型。
（2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ．
【答案】6或8或9
【详解】解：过点D作交于点E，
①当时，如图（1），∵是等边三角形，，
∴，，即是等边三角形，
∴，
∴，∴，∴，，
∴，∴，
∴，即，∴．
②当时，如图（2）同理可得，，
∴，即，
∴，∴．
③当时，如图（3）同理可证，
∴∴．∴．
④当时，如图（4）
同理可证，
∴，∴，∴．
综上所述，的长是6或8或9．故答案为：6或8或9．
1）斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。
2）直角三角形存在性模型
直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。
直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论，如下面模型构建。
“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。
问题：已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．
分三种情况，如图：
①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求；
②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；
③以P为直角顶点，即∠APB＝90°：以AB的中点Q为圆心，QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3，P4即为所求．
代数法计算：分别表示出点A，B，P的坐标，再分别表示出AB，AP和BP的长，由①BP2＝AB2＋AP2；②AP2＝AB2＋BP2；③AB2＝AP2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。
几何法计算：特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解．
模型1.斜边（或直角）不确定的直角三角形模型
例1（2025·浙江嘉兴·校考三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ）
A．2或2.5 B．5或 C．2.5或 D．2.5或
【答案】A
【详解】解：当和为直角边时，则斜边，中线，
当斜边为时，中线，∴斜边的长为或，故选：A．
例2（春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度．
【答案】42或21
【详解】解：，，，
平分，当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1，
，；
②当时，如图2，
，，，
综上，的度数为或．故答案为：42或21．
例3（2026八年级下·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（ ）

A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60°
【答案】A
【详解】解：为等边三角形，，当为直角三角形时，有以下两种情况：
①当时，如图1所示：

则，由折叠的性质得：，
②当为直角时，如图2所示：
则，，由折叠的性质得：，
综上所述：的度数为或．故选：A．
例4（2026九年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为 ．
【答案】或
【详解】解：∵中，，，，
∴，∴，
∵点、分别为、的中点，∴，，∴，
∵沿着折叠，点的对应点为点，∴，，
当时，为直角三角形，如图；
∴，∴，∴，∴是等腰三角形，
过点作交于点，∴，
设，∴，∵，
∴，解得：，∴，∴；
当时，为直角三角形，如图，
∵，是公共边，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴不可能为直角．综上所述，的长为或．
模型2.直角三角形存在性模型
例1（2026八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】D
【详解】解：如图：分别以为边作与全等的三角形各有4个，其中有5个是重合的，
则所有符合条件的三角形个数为7．故选：D．
例2（2026·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为 ．

【答案】或或
【详解】解：如图，当时，作轴于，

∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
同法可得，当，
当是等腰直角三角形的斜边时，是的中点，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或．故答案为：或或．
例3（2026八年级下·安徽合肥·期中）如图，点为轴上的一个动点，点的坐标为，点的坐标为，轴于点，当点的坐标为 时，为直角三角形．
【答案】，，
【详解】设点B的坐标为（x，0），分三种情况：
第一种AB为斜边
勾股定理得 解得：
第二种AC为斜边
勾股定理得 解得：
第三种BC为斜边
勾股定理得解得：
点B得坐标是（）、（2，0）、（-3，0）故答案为：（）、（2，0）、（-3，0）
例4（2026八年级上·重庆·期中）如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则 ．
【答案】或或
【详解】解：分三种情况：①如图1，当时，在正方形的内部，
是的中点，且，，
四边形是正方形，，，，；
②如图2，当时，在正方形的外部，同理可得；
③如图3，当时，，，，
，，，
综上，的长是或或；故答案为：或或．
例5（2026八年级下·山东·开学考试）如图．在中．．若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点C以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若为直角三角形，则t的值为
【答案】，或4.8
【详解】解：①如图（1），当时，则，，
∵∴解得：；
②如图（2），当时，
∵，∴，∴若则，解得，，
③当时，∵∴，∴，
若时，则；故答案为 ，或4.8
例6（2026八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．
(1)分别求出直线和直线的表达式；
(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)存在，若点P在右侧，；若点P在左侧，
(3)存在，或
【详解】（1）解：将，代入直线：，得：
，解得：，∴直线：，
∵，，∴，设直线：()
将，代入直线：，得：
，解得：，∴直线：．
（2）解：联立，解得：，∴，∴，
①若点P在右侧，∵，∴，
∴，解得，∴
②若点P在左侧，∵S△BEP=8，∴，
∴，解得，当时，，∴．
（3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q，
∵，，∴，∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴；
②当时，交x轴于Q，同理，∴，
∵，，∴，由勾股定理，得，
∴，∴，综上，存在，或．
例7（2026·重庆南岸·八年级校考期末）如图，直线交轴、轴分别于点、，直线与直线交于点，与轴交于点．已知，点的横坐标为．

(1)求直线的解析表达式．(2)若在线段上，四边形的面积为14，求点坐标．
(3)若点、分别为直线、上的动点，连结、、，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，并把求其中一个点的坐标过程写出来．
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）在中，令得，∴，
把，代入得：，解得，∴直线的解析表达式为．
（2）如图，在中，令得，令得，
∴，，设，∴，，

∵，四边形的面积为14，∴，解得，∴．
（3）设，，
∴，，，
当为斜边时，如图：
，解得，∴，
当为直角边时，如图：
，解得，∴，
∴M的坐标为或．
1．（2026八年级上·山东潍坊·阶段练习）在 中，，，点 在 边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（ ）(多选题)
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】分两种情况： 如图，当时，

∵， ∴；
如图，当时，
∵，， ∴，
∴，综上可知，的度数为或，故选：．
2．（2026八年级·江苏·课后作业）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知中，，，所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】解：如图，，作于H，∴，
∵，∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，即第三边长为或，故选：C．
3．（2026八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，为坐标原点．若要使是直角三角形，则点的坐标不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图所示，点的坐标不可能是，
A.点时，，此项不符合题意；
B.点时，，此项不符合题意；
C.点时，如图，不是直角三角，符合题意；
D.点时，由勾股定理求得,故，即,此项不符合题意；
故选：C．

4．（2026八年级下·江西南昌·期末）如图，为直角三角形，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在Rt△OAB中，OA＝5，AB＝4，
由勾股定理得：OB＝，∴A（3，4），故选：C．
5．（2026·广西河池·八年级统考期末）在中，，，当 时，是直角三角形．
【答案】5或/或5
【详解】解：①为的最长边时：当满足时，是直角三角形，即：，
∴（负值已舍去）；
②为三角形的最长边时：当满足时，是直角三角形，即：，
∴（负值已舍去）；
综上：或；故答案为：5或．
6．（2026·四川成都·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为 时，△CEB′恰好为直角三角形．
【答案】1或
【详解】解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝ ＝5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E＝∠B＝90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，∴CB′＝5﹣3＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，
在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴BE＝，CE＝4﹣＝
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE＝AB＝3，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1 综上所述：CE＝1或 故答案为：1或
7．（2026八年级下·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角是，过点A作轴，交直线l于点N，若点P在射线上（点P与点N不重合），则当是直角三角形时，点P的坐标为 ．

【答案】或或或
【详解】解：（1）当A为直角顶点时，，是直角三角形，N与P重合，如图：
∵，，∴，，∴，
∴，∴，

（2）当B为直角顶点时，，是直角三角形，如图：
∵，，∴，∴，∴，∴，
（3）当P为直角顶点时，分两种情况：， 是直角三角形，如图：
∵，，，∴，
∵，∴是等边三角形，过作，
∴，∴，∴，
当P为直角顶点时，分两种情况：， 是直角三角形，如图：
∵，，，∴，
∵，∴是等边三角形，同理可得，
综上所述，点P的坐标为或或或．
故答案为：或或或．
8．（2026八年级上·江苏盐城·阶段练习）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上，且△APO是直角三角形，则点P的坐标是 ．
【答案】（2，0）或（4，0）
【详解】①当∠A是直角时，∵点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上，
∴∠AOP=45°，即△APO是等腰直角三角形，∴
∴，∴点P的坐标是（4，0）
②∠P是直角时，∵点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上，
∴∠AOP=45°，即△APO是等腰直角三角形，∴OP=AP=2，∴点P的坐标是（2，0），
综上所述：点P的坐标是（2，0）或（4，0）故答案为：（2，0）或（4，0）.
9．（2026七年级下·江苏苏州·阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ．
【答案】或
【详解】解：∵在中，，，
∴，
分两种情况讨论，如下图，当时，则，
此时，即，∴①，
∵②，由②①，可得，∴；
如下图，当时，则，
此时，即，∴③，
∵④，由，可得，∴．
综上所述，的所有可能的度数为或．故答案为：或．
10．（2026·江西吉安·八年级校联考阶段练习）已知Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ．
【答案】7或或
【详解】（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；
（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．
在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD；
（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，
在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD．故答案为7或或．
11．（2026八年级下·湖南长沙·阶段练习）在三角形中，，，点在边上，平分，在上取一点，若三角形为直角三角形，则的度数为 ．
【答案】40°或20°
【详解】解：∵，，∴
∵平分，∴，
若为直角三角形，当时，如图，∴，
∵，∴，
当时，如图，∴，故答案为：或．
12．（2026·四川成都·八年级校考期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，以AC为腰作等腰直角三角形ACD ，则线段BD的长为 ．
【答案】2或.
【详解】①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，
图①∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=1+1=2；
②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，
图② 连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°，
又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴
在中，
∴
13.（2026河南南阳·八年级统考期末）如图，矩形中，，点E为边上的一个动点，与关于直线对称．当为直角三角形时，的长为 ．

【答案】9或18
【详解】解：（1）当时，如图（1），

∵，根据轴对称的性质得，
∵，∴是等腰直角三角形，∴；
（2）当时，如图（2），
根据轴对称的性质得，为直角三角形，
即，∴，∴A、、C在同一直线上，
根据勾股定理得，∴，
设，则，在中，，
即，解得，即；
综上所述：的长为9或18；故答案为：9或18．
14．（2025·江西萍乡·二模）如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____．
【答案】或或1
【详解】当∠ABP=90°时（如图2），
∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，∴BP=，
在直角三角形ABP中，AP=；
当∠APB=90°时，分两种情况，情况一，（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∴BP=OB=1，
∵AB=BC=2，∴AP=；
情况二，如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=1，故答案为：或或1．
．
15．（2026·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边上匀速运动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．

（1）当 时，为等腰三角形；（2）当 时，为直角三角形．
【答案】 2或
【详解】解：（1）∵在中，，，，
∴，，
∵，，∴，∴，
当为等腰三角形时，由于，则为等边三角形，
∴，∴，解得，故答案为：；
（2）当时，则，
∴，∴，解得；
当时，则，∴，
则，解得；故答案为：2或．
16．（2026·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，，，，，点是边上一动点．连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，长度是 ．

【答案】或
【详解】解：，，，，，
由折叠得：，，
当时，，
，是等边三角形，，；
当时，，
在中，，，；
综上所述，的长度为或．故答案为：或．
17．（2026·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．
（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝　 　秒；
②当△BPQ为直角三角形时，t＝　 　秒．（直接写出结果）
【答案】（1）∠CMQ 理由见解析；（2）①2；②或
【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， ∴AP=BQ，
在△APC和△BQA中， ∴△APC≌△BQA（SAS）， ∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°；
（2）① △BPQ为等边三角形， 由题意得：
解得： 所以当△BPQ为等边三角形时，则s
②当△BPQ为直角三角形时，
当 而 则 解得：
当时，则 解得：
综上：当s或s时，△BPQ为直角三角形.
18．（2026八年级上·福建三明·期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点．
(1)填空： ___________， ___________， ___________；
(2)如图2，点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．
①当点落在轴上时，求点的坐标；②若为直角三角形，求点的坐标．
【答案】(1)，，(2)①，②或
【详解】（1）解：把点，代入，
得：，解得：，直线：，
把点代入，得：，解得：，
把代入，，，故答案为：，，；
（2）①直线：，点的坐标为，
如图，过点作轴于点，作轴于点，则，，，
，
，点的坐标为；
②如图，当时，由翻折得：，
，
，，，点的坐标为；如图，
当时，，，，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，解得：，
，点的坐标为，
综上，点的坐标为或．
19.（2026·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为，，在x轴的负半轴上有一点A，且满足，连接，．
(1)求直线的函数表达式．(2)将线段沿y轴方向平移至，连接，'．
①当线段向下平移2个单位长度时（如图所示），求的面积；
②当为直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)(2)①28，②或
【详解】（1）解：∵，∴．∵，∴．
又∵点A在x轴的负半轴上，∴．设直线的函数表达式为．
将，代入上式，得解得∴直线的函数表达式为．
（2）解：①∵将线段向下平移2个单位长度，∴，．
设直线的函数表达式为，把、代入，得
，解得，∴直线的函数表达式为．
设直线与y轴相交于点C，令，则，∴．∴．
②设将线段沿y轴方向平移m个单位长度至，则，．
∴，，．
当时，，解得，此时，；
当时，，解得，此时，；
当时，不成立．
综上所述，点的坐标为或．
20．（2026·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B是直线上的动点，连接AB，设点B的横坐标为．
(1)如图1，当时，以AB为直角边在AB下方作等腰直角三角形ABC，使，求点C的坐标．
(2)如图2，把线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AD，当点B在直线上运动时，点D也随之运动，连接OD，求AOD的面积（用含的代数式表示）．
(3)在图3中以AB为直角边作等腰直角三角形ABE，当点E落在直线上时，求的值．
【答案】(1)(2)(3)的值为 或 或 3或8 或9
【详解】（1）解 ：∵∴
如图1，过作一条平行与轴的直线，作于，于，
∴∴，
∵,,∴
在和中∵∴
∴，∴．
（2）解：如图2，过作一条平行与轴的直线，作于，于，连接，
∴，∴，
同（1）可知∴，
∴∴
当时，；当时，；
∴．
（3）解：①当时，，如图①，
由（2）可知，
将点、分别代入得和解得和；
②当时，，如图②，
由（2）可知，
将点、分别代入得和解得和；
③当时，，如图③，
由（2）可知，
将点、分别代入得和解得和
综上所述，的值为 或 或或 或．
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