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专题03 中点模型之三线合一模型、垂直平分线模型、平行线夹中点模型
中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 5
模型1.垂直平分线模型 5
模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7
模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10
14
垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过 平行线性质 与 中点条件 结合，利用 对顶角相等 或 同位角/内错角相等 ，证明三角形全等。
（四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ．
（2026七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：
(1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程；
(2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）；
(3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．
1）垂直平分线模型
条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。
证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD，
∵DE=DE，∴，∴BE=CE.
2）等腰三角形的“三线合一”模型
条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。
证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。
由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。
注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。
3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型
我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。
条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。
证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE，
∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。
模型1.垂直平分线模型
例1（2026八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．

例2（2026八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，是边的垂直平分线．若，则的周长为 ．
例3（2026八年级上·重庆·期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为 ．
例4（2026八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．(1)求证：；(2)若，求的周长．
模型2.等腰三角形的“三线合一”模型
例1（2026八年级上·重庆·期末）如图，为等边三角形，，垂足为点E，则下列结论中，正确的个数是（ ）
①；②；③线段是的对称轴；④线段AE是的角平分线．
A．1 B．2 C．3 D．4
例2（2026八年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，若，则 ．
例3（2026八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例4（2026上·山东·八年级统考期中）如图，在中，，D是边上一点，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．(1)说明：；(2)若，求的度数．
模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型
例1（2026七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
例2（2026八年级下·浙江温州·期中）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，则的长为 ．
例3（2025·天津和平·二模）如图，在四边形中，，，，．（1）的长为 ；（2）若点是的中点，点在边上，且，连接，则的长为 ．
例4（2026八年级下·浙江湖州·期中）已知平行四边形，E为边上的中点，为边上的一点．(1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；(2)如图，若，求；(3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
1．（2026八年级上·广东·期中）如图，在中，，，点D为的中点，于点E，则与的比值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2026八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．（2026上·江苏·八年级专题练习）如图，中，是边上的中线，M是上的一个动点，作交于N，则的最小值为（　　）
A．10 B．12 C． D．
4．（2026上·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，已知，点P在边OA上，OP＝4，点M，N在边OB上，PM＝PN，且，则（ ）
A．8 B．6 C． D．
5．（2026八年级上·湖南衡阳·期中）如图，中，平分，垂直平分交于点E，交于点F，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026下·江苏徐州·八年级统考期末）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2026八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ．
8．（2026九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图， 在中，，， ， 求 ．
9．（2026八年级下·浙江金华·开学考试）如图，在中，，，
于P，则 ．
10．（2026八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ．
11．（2026上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是边上的中线，M为上一点，且，则 ．
12．（2026上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．

13．（2026上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ．
14．（2026八年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知，，与的面积和为10， 则的平方 ．
15．（2026九年级上·上海·开学考试）如图，D在的边上，，，，， 则的面积为 ．

16．（2026·四川绵阳·八年级统考期中）如图，□ABCD的顶点C在等边的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若，，则BG的长为 ．
17．（2026八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点．
(1)，平分．①如图1，若，，则_______；
②如图2，若，求证：平分；(2)和不平行时，，求证：．
18．（2026上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点D，E．(1)若，求的大小；(2)若的平分线和边的垂直平分线相交于点F，过点F作垂直于的延长线于点G，求证：．
19．（2026八年级上·广西南宁·期中）如图．在中，，，分别垂直平分，交线段于，，的延长线交于点，设为中点，连接．(1)求的度数；(2)证明：；(3)连接，的周长为，的周长为，求的长．
20．（2026上·江苏苏州·八年级统考期中）在中，，，点为边上一动点，连接．

(1)边上的高的长度为 ；(2)如图1，若点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设运动时间为秒．是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把沿着直线翻折，点的对应点为点，交边于点，当时，求的长度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 中点模型之三线合一模型、垂直平分线模型、平行线夹中点模型
中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。
常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的前三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
1
模型来源 1
真题现模型 2
提炼模型 4
模型运用 5
模型1.垂直平分线模型 5
模型2.等腰三角形的“三线合一”模型 7
模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型 10
14
垂直平分线模型和等腰三角形的“三线合一”模型源于垂直平分线定理和等腰三角形的性质定理；垂直平分线定理源于欧几里得《几何原本》中对对称性和等距点的研究，其核心性质与逆定理通过全等三角形证明；等腰三角形的性质定理源于等腰三角形的对称性，其性质在古希腊几何学中已有应用，现代证明通过全等三角形完成。“平行线+中点+对顶角”构造全等模型的核心是通过 平行线性质 与 中点条件 结合，利用 对顶角相等 或 同位角/内错角相等 ，证明三角形全等。
（四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【详解】解：由作图知，垂直平分，，
的周长，
，，的周长，故选：C．
（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点D，，，则的面积为 ．
【答案】15
【详解】解：在中，，平分交于点，，，
，，即的面积为，故答案为：．
（2026七年级下·山东烟台·期末）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：
(1)如图1，当点E在线段上，是的角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？小颖通过观察、分析、思考，探究出了辅助线的添加方法：延长交于一点．从而很快地解决了问题．请写出本题的证明过程；
(2)如图2，当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，若，则 ；（请直接写出结果）；
(3)如图3，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，线段之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．
【答案】(1)，见解析(2)(3)，见解析
【详解】（1），理由如下：如图1，延长交于点M．，，
，，，，平分，，
，即，，，
，，，由得．
（2）如图2，延长相交于点N，
，，，，
，，，，
又，，，，，
平分，，，
即，，，
，，，
又，．故答案为：6．
（3），理由如下：如图3，延长与相交于点G，
，，，，
又，，，平分，，
，，，，
，，，
由得．
1）垂直平分线模型
条件：如图，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D为BC中点，结论：BE=EC。
证明：∵DE⊥BC，∴∠BDE=∠CDE=90°，∵D为BC中点，∴BD=CD，
∵DE=DE，∴，∴BE=CE.
2）等腰三角形的“三线合一”模型
条件：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，结论：①AD为BC边上的中线（即BD=CD）；②AD为∠BAC 的角平分线（即∠BAD =∠CAD）；③AD为BC边上的高线（即AD⊥BC）。
证明：我们不妨以①为结论证明，其他情况证明也是类似的证明全等即可。
由题意知：AB=AC，BD=CD，∵AD=AD，∴，∴∠BAD =∠CAD，AD⊥BC。
注意：其中三个结论已知其一便可证明其他两个结论。
3）“平行线+中点+对顶角”构造全等模型
我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交，即“延长中线交平行”构造全等；当然有时候也需要自己构造平行线的辅助线求解。
条件：如图，AB//CD，点E是BC的中点，可延长DE交AB于点F。结论：。
证明：∵AB//CD，∴∠C=∠FBE，∠D=∠BFE，
∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴（AAS）。
模型1.垂直平分线模型
例1（2026八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．

【答案】/度
【详解】解：如图，连接，

∵，∴，∵是边上的中线，∴，
∵是线段的垂直平分线，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
例2（2026八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，是边的垂直平分线．若，则的周长为 ．
【答案】21
【详解】解：∵是边的垂直平分线，∴，
∴的周长为；故答案为：21．
例3（2026八年级上·重庆·期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为 ．
【答案】8
【详解】解：如图所示，连接，
∵，为边上的中点，∴，，
∴，且，∴，
∵腰的垂直平分线交于点，∴，
∴的周长为，∵，
∴当点三点共线时，值最小，此时的周长最短，最短为，故答案为：8 ．
例4（2026八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．(1)求证：；(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析(2)的周长为11．
【详解】（1）证明：连接，
∵D在的中垂线上，∴，∵，，平分，
∴，，∴，∴；
（2）解：∵平分，∴，∵，，∴，
又∵，∴，∴，由（1）可知，
∴的周长为：．
模型2.等腰三角形的“三线合一”模型
例1（2026八年级上·重庆·期末）如图，为等边三角形，，垂足为点E，则下列结论中，正确的个数是（ ）
①；②；③线段是的对称轴；④线段AE是的角平分线．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：∵为等边三角形，，
∴，，故结论①②正确，
∵为等边三角形，，∴所在直线是的对称轴，
∴“线段是的对称轴”不正确，故结论③错误；
∵为等边三角形，，∴，
∴线段是的角平分线，故结论④正确．故正确个数有3个．故选：C．
例2（2026八年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，若，则 ．
【答案】/14度
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴，故答案为：．
例3（2026八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】过M点作于D点，则，
∵是等边三角形，，，，
，，中，，，
，．故选：B
例4（2026上·山东·八年级统考期中）如图，在中，，D是边上一点，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．(1)说明：；(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
（2）解：∵，
平分
模型3.“平行线+中点+对顶角”构造全等模型
例1（2026七年级下·重庆大渡口·期末）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，过作，交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【详解】解：∵，∴，∴，
∵点是边的中点，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，故选：C．
例2（2026八年级下·浙江温州·期中）如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，则的长为 ．
【答案】/2.5
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∴，
∵是等边三角形，G为的中点，∴，延长交于点H，
∵，∴，在和中，，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴是等边三角形，
∴，∴，故答案为：．
例3（2025·天津和平·二模）如图，在四边形中，，，，．
（1）的长为 ；（2）若点是的中点，点在边上，且，连接，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：（1）在中，，，，
，故答案为：；
（2）如图，延长交的延长线于点，作于点，
，，四边形是矩形，，，
，，点是的中点，，
，，，
，，
，，故答案为：．
例4（2026八年级下·浙江湖州·期中）已知平行四边形，E为边上的中点，为边上的一点．(1)如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
(2)如图，若，求；
(3)如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
为边上的中点，，，；
（2）解：四边形是平行四边形，，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，，，
，，，，；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，
，，，
，，
，，，为直角三角形，
为的中点，为的中点，设，
，
，，，
，．
1．（2026八年级上·广东·期中）如图，在中，，，点D为的中点，于点E，则与的比值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：连接，中，，，为中点，
，，，
∴，即
∴∴∴．故选：C．
2．（2026八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【详解】解：过点 作，
∵，∴，在中， ，
在 中，，∴，
∴，∴，
化简得，∴，∴．故选：A．
3．（2026上·江苏·八年级专题练习）如图，中，是边上的中线，M是上的一个动点，作交于N，则的最小值为（　　）
A．10 B．12 C． D．
【答案】C
【详解】解：∵是边上的中线，∴，
∴是关于中线的对称点，作于，交于，
此时是的最小值，
∵是边上的中线，∴，∴，
∵，∴，
∴．∴的最小值为，故选：C．
4．（2026上·浙江金华·八年级校联考阶段练习）如图，已知，点P在边OA上，OP＝4，点M，N在边OB上，PM＝PN，且，则（ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】C
【详解】解：过作于C，
∵，，∴．∴，
∵，，∴，∴，故选：．
5．（2026八年级上·湖南衡阳·期中）如图，中，平分，垂直平分交于点E，交于点F，连接，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵平分，，∴，，
又，∴，
∵垂直平分，∴，∴，
∴，故选：A．
6．（2026下·江苏徐州·八年级统考期末）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCF是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，
∵点E是的AF中点，∴AE＝FE，
在△NAE和△CFE中， ，∴△NAE≌△CFE（ASA），∴NE＝CE，NA＝CF，
∵AB＝CF，∴NA＝AB，即BN＝2AB，∵BC＝2AB，∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，
∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝NC＝NE，
∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故选：D．
7．（2026八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，，
是的平分线，，，，，
在和中，，，，，
∵点D在的垂直平分线上，．
在和中，，，
，．
，，．故答案为：．
8．（2026九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图， 在中，，， ， 求 ．
【答案】
【详解】解：在上取一点，使得，，作于点，于点，
，，是等腰三角形，，
又，，，
且是等腰三角形，
在中，，
，，，
在中，，，
在中，．故答案为：．
9．（2026八年级下·浙江金华·开学考试）如图，在中，，，
于P，则 ．
【答案】9.6
【详解】解：过点作，
∵，，∴，∴，
∵，∴，即：，∴，故答案为：9.6．
10．（2026八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，点E是边上的点，平分平分有下列结论：①，②E为中点，③，④，其中正确的有 ．
【答案】②③④
【详解】解：∵平分平分∴，
∵，∴，∴
∴，∴，故④正确；如图，延长交延长线于，
∵平分，∴，∵，∴，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴ (ASA)，∴，
∴，故③正确；
∵，∴，即点E为的中点，故②正确；
∵，∴，故①错误；故答案为：②③④
11．（2026上·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在中，，，是边上的中线，M为上一点，且，则 ．
【答案】15
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，
∵，是边上的中线，∴，
∴，故答案为：．
12．（2026上·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 ．

【答案】
【详解】解：如图，作，∵，∴，∵，
∴，∴，

∵，∴，∴，∴，根据勾股定理，，
∵，∴，∴，∴．故答案为：．
13．（2026上·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、，
是、的对称轴，即是线段的垂直平分线，，
的最小值即为的最小值，即的最小值，
当时，即的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长，
在中，，，，
，的最小值是．故答案为：．
14．（2026八年级上·重庆长寿·阶段练习）如图，已知，，与的面积和为10， 则的平方 ．
【答案】76
【详解】解：如图，过点A作于点H，过点D作于点K．
，，
，，．
，．，，
又，，，
设，．与的面积和为10，
即，，
在中，，即，，
，．故答案为：76．
15．（2026九年级上·上海·开学考试）如图，D在的边上，，，，， 则的面积为 ．

【答案】36
【详解】解：如图，过作于，过作于，

∵，，，∴，∴，
∴，∴，∴，故答案为：
16．（2026·四川绵阳·八年级统考期中）如图，□ABCD的顶点C在等边的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若，，则BG的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝3，AB＝CF＝2，∴CD＝2，BC＝3，∴BF＝BC＋CF＝5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，连接BG，∵DC∥AB，∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，，∴△DCG≌△EHG（ASA），∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝2，BE＝5，∴HE＝2，BH＝3，∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，
∴△CBH是等边三角形，∴CH＝BC＝3，BG⊥CH，∴CG＝CH＝，
∴BG＝，故答案为：．
17．（2026八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点．
(1)，平分．①如图1，若，，则_______；
②如图2，若，求证：平分；(2)和不平行时，，求证：．
【答案】(1)①；②证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）解：①，，，，
，，点为线段的中点，，
在和中，，，
，，，
平分，，
，，，故答案为：；
② 如图，延长交的延长线于点，，，
在和中，，，，
平分，，，，
是的中点，平分；
（2）证明：如图，延长至点，使得，
在和中，，，，
，，，，．
18．（2026上·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在中，为钝角，边的垂直平分线分别交于点D，E．(1)若，求的大小；(2)若的平分线和边的垂直平分线相交于点F，过点F作垂直于的延长线于点G，求证：．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）解：如图1，连接，
∵为边的垂直平分线，∴，∴，
∵，∴，
∴为直角三角形，且，∴，
∴，
∴，即，∴；
（2）证明：如图2，在上截取，使，连接，，作于，
∵是的平分线，，，∴，，
∵，，，∴，∴，
∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴．
19．（2026八年级上·广西南宁·期中）如图．在中，，，分别垂直平分，交线段于，，的延长线交于点，设为中点，连接．(1)求的度数；(2)证明：；(3)连接，的周长为，的周长为，求的长．
【答案】(1)(2)见详解(3)
【详解】（1）解：，分别垂直平分，
，，
，，，
又，；
（2）连接，
，分别垂直平分，，
，点F在线段的垂直平分线上，又点为中点，；
（3），分别垂直平分，，，
的周长为，，的周长为，，
，，，．
20．（2026上·江苏苏州·八年级统考期中）在中，，，点为边上一动点，连接．

(1)边上的高的长度为 ；(2)如图1，若点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设运动时间为秒．是否存在值，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，把沿着直线翻折，点的对应点为点，交边于点，当时，求的长度．
【答案】(1)2(2)或(3)
【详解】（1）解：过点A作于D，如图1，

∵，，∴
由勾股定理，得，∴边上的高的长度为2．
（2）解∶分两种情况∶
当时，则，∴解得∶ ；
当时，如图，则， ，由(1)知∶ ， ，∴，
由勾股定理，得，解得∶ ，

综上，当为等腰三角形时，t值为或．
（3）解：过点A作于D，过点A作于G，如图2，
由（1）知，，，由折叠知：，，
又∵，∴，
∴，，∵∴
在中，由勾股定理，得
∴．
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