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长沙市南雅中学 2026 届高三第二次模拟考试试卷
数 学
本试题卷分为单项选择题、多项选择题、填空题与解答题四个部分，共 4页。时量 120分钟，
满分 150 分。
一 选择题（本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。）
1．在复平面内， 2 2i 1 2i 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. = , ≤ 0已知函数 , ≥ 0,则 1 =( )
A 1 B - 1 C 1 D

1 1 1
3．已知随机事件 A与 B满足 P A ， P B ，且 P A B ，则 P B∣A （ ）
3 4 2
1 1 1 1A． 4 B． C． D．6 12 3
4．《道德经》有云：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土．”这体现了积累的深远意义．假设商人甲
每天通过经营使财富增长 1%，那么商人甲的财富增长到最初的 2倍至少需要经过多少天？（参考数据：
lg101 2.0043， lg2 0.3010）（ ）
A．40 B．70 C．110 D．180
n
5 ．若 3 x
2
的展开式中二项式系数和为 256，则二项式展开式中第 3项的系数为（ ）
x
A．112 B．224 C．56 D．28
6．已知抛物线C : x2 2py(p 0)焦点为 F，抛物线C的准线与 y轴交于点 A，点M 3, y0 在抛物线C上，
|MF | 7y 0 ，则△MAF 的面积为（ ）
4
2 3 4
A B C D 3 3． ． ． ．
5 2 5 4
π π π7 ．已知函数 f x sin x 0 ，若 x0 , 使得 f x 的图象在点 x0 , f x0 处的切线与 x轴 4 3 4
平行，则 的最小值是（ ）
3 3
A． B．1 C． D．2
4 2
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8 x
2 y2
．设双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的左 右焦点分别为 F1 c,0 ,F2 c,0 ，过焦点F2作双曲线的一条渐a b
3
近线的垂线，垂足为 A，若 F 21AF2 的面积为 c ，且双曲线的离心率e 2，则 e （ ）
4
A．2 B 2 3． 3 C． 2 3 D．
3
二 多选题（本题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分。）
9．下列说法中正确的有（ ）

A． e1 2, 4 ,e2 1,2 可以作为一组平面向量基底

B．已知向量 a 1, 4 ，b 2,3 20 30 ，则向量 a在向量b上的投影向量为 , 13 13

C．平行四边形 ABCD中，若 AB AD AD AB ，则四边形 ABCD是矩形
D 2．已知 a R， i为虚数单位，若复数 z a 1 a 1 i为纯虚数，则 a 1

10、△ABC中，内角 A，B，C 2 3的对边分别为 a，b，c，S为△ABC的面积，且 a 2 3，AB AC S，
3
下列选项正确的是（ ）
π
A． A
3
B．若△ABC有两解，则b取值范围是 2 3,4
C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是 2,4
D．若D为 BC边上的中点，则 AD的最大值为 3

11．已知正方体 ABCD A B C D 的棱长为1，点 P满足 AP xAB yAD zAA ，其中 x，y， z [0,1]，下
列正确的是（ ）
A．当 x y 1时，则直线 AP与CD所成角的正切值范围是 1, 2
B．当 x z 1， y 0时，则 AP PD 6 2的最小值为
2
C 3．当 x y z 1时，线段 AP的长度最小值为
3
D．当 x y z k (0 k 3)时，记点 P 3 3的轨迹为平面 ，则 截此正方体所得截面面积的最大值为
4
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三 填空题（本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。）
12．设直线 2x y 0与圆 x2 y2 2my 2 0交于 A， B两点，若 AB 2，则实数m的值为______．
1
13．已知数列 an 满足 a1 1,an an 1 n n 2 ，设数列{ }的前 na 项和为 Sn，则 S2026 _____.n
14. 有 5个相同的球,分别标有数字 1,2,3,4,5.从中有放回地随机取 次,每次取 1个球,记 X为这 5个球中至少
被取出 1次的球的个数，若 = 2，则 X的数学期望为 ，若 = (其中 ∈ )，则 X的数学
期望为 .（用 k 表示）
四 解答题（本题共 5小题,共 77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。）
15. （本小题满分 13分）在△ABC中，角 A， B，C的对边分别为 a，b， c．且满足
3 sinBsinA cosBcosA sinC．
(1)求角C的大小；
(2)已知 a 3，b 4，D在 AB边上，且满足 AD 2DB，求CD的长．
16. （本小题满分 15分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为菱形，侧面 PAB 底面 ABCD，且
PA PB，∠ =

3
(1)证明： ⊥ ;

(2)若直线 PC与平面ABCD所成角为6，且三棱锥P ABD的体积为
3，求平面 PAB
3
与平面 PCD的夹角．
2 2
17．（本小题满分 15 x y分）已知椭圆 E : 2 2 1 a b 0
3
的离心率为 ，焦点与短轴端点围成四边形的面
a b 3
积是 2 2.
(1)求椭圆 E的方程；
(2)过右焦点F2的直线 l与椭圆 E交于 A， B两点，线段 AB的垂直平分线交直线 l于点 P，交直线 x 2于
PQ
点Q，求 AB 的最小值.
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a
18．（本小题满分 17分）已知函数 f x x b lnx a ,b R .
x
(1)若 a 0，b 1，求曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)若 x 1是 f x 的极大值点，求 a的取值范围；
f x 2a(3)在（2）的条件下，若 0对 x 1, 恒成立，求 a的取值范围.
e
19．（本小题满分 17分）已知 an 是等差数列，a2 a5 16,a5 a3 4．
2n 1
(1)求 an 的通项公式和 ai n N ．
i 2n 1
(2)设 bn 是等比数列，且对任意的 k N*，当 2k 1 n 2k 1时，则bk an bk 1，
Ⅰ k（ ）当 k 2时，求证： 2 1 b kk 2 1；
（Ⅱ）求 bn 的通项公式及前 n项和．
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