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山东省2026年中考数学试卷预测卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求.(共10题；共30分)
1．如图，在数轴上，点A、B表示的数互为相反数．若点A表示的数到原点的距离为1.5，则点表示的数为（　　）
A．1.5 B． C．3 D．
2．人工智能与时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4． 2025年浙江省生产总值为94 545亿元，其中94 545 亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
6． 质地均匀的一个红球和一个白球随机放入三个不同的盒子中，则恰好有一个盒子为空的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果一间客房住7人，那么7人无房可住；如果一间客房住9人，那么恰好空出一间客房.若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x，y的二元一次方程组正确的是(　　)
A． B．
C． D．
8．如图，正方形 ABCD中， AB=3，点 E， F分别在边 AB， CD上， ∠EFD=60°.将四边形 EBCF沿 EF折叠得到四边形 EB' C' F，且点 B'恰好在 AD边上，连结 EC' ，则 EC'的长是（　　)
A．4 B． C． D．
9．下列命题错误的是（　　）
A．正方形的对角线互相垂直
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．菱形的四条边相等
10．我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.(共5题；共15分)
11．若分式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，将线段平移得到线段．点的对应点是，则经过点的双曲线的函数解析式为　 　．
13．已知等腰三角形的一边长为2，它的其他两条边长恰好是关于x的一元二次方程x2-6x+m=0 的两个实数根，则m的值为　 　.
14．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，…，那么点的坐标为　 　．
15． 如图， 在 ABCD 中， AE⊥BC 于点 E，N 是 EC 的中点， M 是 AB 的中点， ， ， 则 MN 的长为　 　
三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共8题；共67分)
16．计算：
17．如图，为的高，为的角平分线，若，．
（1）求的度数；
（2）若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
18．小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线：在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系．
通过测量得到球距离台面高度（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离（单位：dm）的相关数据，如下表所示：
表1直发式
（dm） 0 2 4 6 8 10 16 20 …
（dm） 4 …
表2间发式
（dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 …
（dm） 0 …
根据以上信息，回答问题：
（1）表格中______，______；
（2）直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则______（填“>”“＝”或“<”）．
19． 综合与实践
【问题情境】小手拉大手，共创文明城，某校为了了解家长对创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评．
【实践发现】从中随机抽取20份答卷并统计成绩，成绩得分用表示，单位：分收集数据如下
90 82 99 86 98 96 90 100 89 83
87 88 81 90 93 100 100 96 92 100
整理数据：
3 4 8
【实践探究】分析数据如下：
平均分 中位数 众数
92
【问题解决】
（1）上述表格中：　 　，　 　，　 　；
（2）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？
（3）请从中位数、众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．
20．如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝18，，求BE的长．
21．综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图2所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
（1）图2中，矩形的周长为　 　；
（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线符合要求．
（4）［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图5，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
①当时，求的值；
②当最大时，直接写出的长．
22．某数学小组在公园游玩时，发现公园管理方用多条形状近似成抛物线的绳子，挂起多串小彩旗装饰，如图1所示．该数学小组的成员想知道不同位置的安全通过高度，做了以下研究．设撑起绳子的树干为，如图2建立平面直角坐标系，经过测量，发现点与点相距8米，且A，C距离地面高度相等，其中一条绳子的最低点离地面高米，绳结离地面高3米．
（1）求这条绳子所在抛物线的解析式．
（2）因实际需要，在离为3米的位置处用一根立柱撑起绳子（如图3），使左边抛物线的最低点距为1米，离地面2米，求的长．
（3）将立柱的长度提升为3米，通过调整的位置，使抛物线对应函数的二次项系数始终为，设离的距离为米，抛物线的顶点离地面距离为米，当时，求的取值范围．
23．
（1）【推理】如图①，在正方形ABCD中，是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点落在点处，连结BE，CF，延长CF交AD于点.求证：.
（2）【运用】如图②，在(1)的条件下，延长BF交AD于点.若，求线段DE的长.
（3）【拓展】将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，H两点，若，求的值(用含的代数式表示).
答案
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】D
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】9
14．【答案】
15．【答案】2.5
16．【答案】解：原式=-1-2+5-1-5
=-4
17．【答案】（1）解：为的角平分线，
，
，
，
为的高，
，
；
（2）解：当时，，
当时
，．
18．【答案】（1）；
（2）
（3）
19．【答案】（1）5；91；100
（2）解：根据题意可得：1600×＝1040（人）；
答：估计成绩不低于90分的人数是1040人．
（3）解：从中位数看，有一半学生的测评成绩不低于91分；
从众数看，测评成绩低于100分的家长人数最多.
20．【答案】（1）解：DE为⊙O的切线，理由为：
证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD⊥AC，
∵AB＝CB，
∴点D为AC的中点，
∵点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∴∠ODE＝∠DFC，
∵DE⊥BC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，D为OD的外端点，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠A+∠OBD＝90°，∠BDE+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠BDE，即sinA＝sin∠BDE＝，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝18，
∴BD＝ABsinA＝18×＝6，
在Rt△BDF中，sin∠BDE＝，
∴BF＝BDsin∠BDE＝6×＝2，
∵BF∥OD，
∴∠FBE＝∠DOE，∠EFB＝∠EDO，
∴△BEF∽△OED，
，即
∴
解得：BE＝．
21．【答案】（1）10
（2）解：如图所示
（3）解：证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
把矩形分成了周长相等的两部分，
直线符合要求；
（4）解：解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，
四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分，
则点是矩形的对角线与的交点，
点是的中点，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
于点，
，
是等腰直角三角形，
，，
；
②=
22．【答案】（1）解：∵绳结离地面高3米，
∴，
∵A，C距离地面高度相等，
∴A，C关于抛物线对称轴对称，
∵米，绳子的最低点离地面高米，
∴顶点坐标，
设抛物线解析式为，
∵顶点坐标，
∴解析式为，
∵抛物线过，代入得：，解得：，
∴这条绳子所在抛物线的解析式．.
（2）解： 由题意可得：米，
∵左边抛物线的最低点距为1米，离地面2米，
∴抛物线的顶点坐标为：，
设的解析式为：，
将代入得：，解得：，
抛物线为：，
当时，米，
的长度为：米.
（3）解：如图，
∵将立柱的长度提升为3米，
，
根据抛物线的对称性可知抛物线的顶点在的垂直平分线上，
∵离的距离为米，抛物线的顶点离地面距离为米，
抛物线的顶点坐标为：，
可设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，且，
当时，，
解得：，（不符合题意，舍去），
当时，，
解得：，（不符合题意，舍去），
是关于的二次函数，且抛物线开口向下，
而由已知，
∴k随m的增大而增大，
的取值范围是：．
23．【答案】（1）证明：∵ΔBFE是由ΔBCE折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCE=90°，BC=CD，
∴∠ECF+∠CGD=90°，
∴∠BEC=∠CGD，
在ΔBCE与ΔCDG中，
∴ΔBCE≌ΔCDG( AAS)
（2）解：连接EH，
由折叠的性质可得BC=BF，CE=FE=9，
∴∠BCF=∠BFC.
∵ΔBCE≌ΔCDG，CE=9，
∴CE=DG=9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠BCG=∠HGF，
∵∠BFC=∠HFG，
∴∠HFG=∠HGF，
∴HF=HG.
∵，DG=9，
∴DH=4，HF=HG=5，
∵∠D=∠HFE=90°，
∴HF2+FE2=DH2+DE2，
∴52+92=42+DE2，
解得DE=（负值舍去）.
（3）解：设DH=4a，则HG=5a，，
当点H在点D的左侧时，连结HE，
由折叠的性质可得BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠ECF+∠CGD=90°，
∴∠BEC=∠CGD.
又∠BCE=∠D，
∴△CDG∽△BCE.
∴.
∵HF=HG，
∴DG=HF+HG=9a.
∵，
∴
∴DE=9akb，
∵∠D=∠HFE=90°，
∴DH2+DE2=HF2+EF2，
∴(4a)2+(9akb)2=（5a）2+(9ak)2，
解得b=(负值舍去），
∴
当点H在点D的右侧时，连结HE，
同可理证HG=HF，△BCE∽△CDG，
∴DG=a，CE=ak=EF，
∴DE=akb，
∵∠D=∠HFE=90°，
∴DH2+DE2=HF2+EF2，
∴(4a)2+(akb)2=(5a)2+(ak)2.解得(负值舍去)
综上所述， 或

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