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高一数学学科
注意事项：
1．本题共4页，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．
3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效．
4．结束后，只需上交答题卡．
选择题部分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
B. 一个多面体至少有4个面
C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱
3. 已知向量，若向量与的方向相反，则实数的值为（ ）
A. B. C. -1 D.
4. 在中，已知，则（ ）
A. 120° B. 或 C. 60° D. 或
5. 已知点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. 1 B. C. 5 D.
6. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形中最长边的长度为（ ）
A. B. C. 4 D. 6
7. 如图所示，在同一个平面内，向量，，满足：，与的夹角为，且与的夹角为，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值时，的值为（ ）
A. B. 3 C. D. 2
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）
9. 已知复数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若为实数，则 D. 若为纯虚数，则
10. 若向量，满足，，则（ ）
A.
B. 与的夹角为
C.
D. 在上的投影向量为
11. 在中，角的对边分别为为的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则有两解
B. 周长的取值范围为
C. 若为锐角三角形，则的取值范围是
D. 若为锐角三角形，边上的中线长的取值范围是
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. ___________．
13. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______ ．
14. 已知向量满足 ，设，其中，则动点的轨迹的长度是___________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设，复数．
（1）若是实数，求；
（2）若是关于的方程的一个根，求的值．
16. 《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为．
（1）求该组合体的体积；
（2）若点为线段上的动点，求的最小值．
17. 如图，在梯形中，，点是线段上的动点．
（1）若，，三点共线，试用和表示；
（2）设，若与的夹角的余弦值为，求．
18. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，且的外接圆半径为1，求的面积；
（3）若为边上一点，且，求的最大值．
19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系．若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
（1）若，，计算的大小；
（2）若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；
（3）设，，，若对恒成立，求的最大值．
1. 【答案】B
2. 【答案】B
3. 【答案】A
4. 【答案】D
5. 【答案】C
6. 【答案】D
7. 【答案】A
8. 【答案】C
9. 【答案】BCD
10. 【答案】BCD
11. 【答案】BCD
12. 【答案】0
13. 【答案】
14.【答案】
15. 【答案】（1）3 （2）或
16. 【答案】（1）
（2）
（1）
设棱台的高为，
由，得，
记上底面的面积为，下底面的面积为，
则，
所以，
又，
所以该组合体的体积为；
（2）
将绕着直线旋转至平面，
当三点共线时，取得最小值．
因为，
所以在中，
所以的最小值为．
17. 【答案】（1）
（2）．
（1）
由已知得，则，所以，
因为，所以
（2）
设，
由已知得与的夹角为，
所以，
由（1）知，
所以，
因为，
所以，
记与的夹角为，则
，
化简得，解得或，
当时，，不符；
所以，即的值为．
18. 【答案】（1）
（2）
（3）
（1）
因为，由正弦定理可得，
又，则，
所以，
即，又，则，
所以，
所以，由，得；
（2）
由，得，
由，得，可得，
所以．
（3）
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，所以，
又在中，，
所以
，
因为，所以，
当即时，的最大值为．
19. 【答案】（1）
（2）不正确，理由见解析
（3）．
（1）
因为，则，又，
则.
（2）
不正确，理由如下：因为，则，
又，，
则，
若，则，则，
所以“”的充要条件是“”，
故“”的充要条件是“”是不正确的．
（3）
因为，，，则，，
．
由，得，
所以，
即对恒成立，
又因为，所以，
解得，
所以
，
又因为，所以，则.
所以的最大值为．

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