资源简介

河南省安鹤新联盟2025-2026学年高二下学期5月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，，则四面体的体积( )
A. 与，都有关 B. 与，都无关
C. 与有关，与无关 D. 与有关，与无关
5.已知，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，正方形的边长为，取正方形各边的四等分点，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去这些正方形的面积之和将趋于( )
A. B. C. D.
8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则下列不等式一定成立的有( )
A. B. C. D.
10.已知正项数列的首项，前项积为，且，则( )
A. B. 数列是等差数列
C. 是递增数列 D.
11.设，函数，则( )
A. 有两个极值点
B. 若，则当时，
C. 若有个零点，则的取值范围是
D. 若存在，满足，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，成等比数列，则的展开式中所有项的系数之和为 ．
13.已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则 ．
14.从，，，中随机取出六个不同的数、、、、、，制作长、宽、高分别为、、和、、的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面底面是的中点．
证明：．
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，短轴长为．
求的方程；
若直线与交于两点，为坐标原点，的面积为，求的值．
17.本小题分
设等差数列的前项和为，已知，．
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为定义为不超过的最大整数，例如，当时，求的值．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程．
证明：在上单调递减．
若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
19.本小题分
泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量服从参数为的泊松分布，记作 ，则其概率分布为．
当时，泊松分布可以近似为正态分布已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数服从的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于且小于的概率；参考数据：若，则，
若随机变量服从二项分布，当且时，二项分布近似于泊松分布，其中某工厂生产电子元器件的次品率为，现从一批产品中随机抽取件，记其中的次品数为，按泊松分布近似计算：
这件产品中恰有件次品的概率；参考数据：
求使得最大时的值．
若 ，求证：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：取的中点为，连接，，
因为是等边三角形，所以，
因为侧面底面，侧面底面，
所以底面，因为底面，
所以，，所以，，两两垂直，
则分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
不妨设，
则，，，，，，
，，
因为，所以，所以；
在平面中，，，
设为平面的一个法向量，
则
令，则为平面的一个法向量．
又平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

16.解：由题意，得，解得，
则椭圆的方程为．
设，
联立，得，
则，解得，
且，
所以，
点到直线的距离为，

则，解得或，满足，
则或．

17.解：设等差数列的公差为，因为，则．
因为，则，得．
所以数列的通项公式是．
因为，则．
所以
．
当时，因为，则．
当时，因为，则因为，
则，即，
即，即因为，所以．
18.解：由题意可得，，则，
又，所以切线方程为，即．
证明：令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，
即在上恒成立，所以在上单调递减．
关于的不等式恒成立，即恒成立，
由于，所以恒成立，
设，则，
由知在上单调递减，且，，
所以存在唯一，使得，即，
则当时，，因此函数在上单调递增，
当时，，因此函数在上单调递减，
故函数的最大值为，
因为在上单调递增，则，
要使恒成立，且为整数，
所以的最小值为．
19.解：因为，且，可近似地认为，即，
所以
；
由题知，其中，
．
，
所以，
当时，，当时，，当时，，
所以
所以当，或时，最大．
因为，所以，
由泊松分布的概率公式，得，
所以，
要证当时，，只要证当时，．
令，则，
所以在上单调递减，
又，所以只要证，
因为，所以只需证，
令，则对任意的恒成立，
所以在上单调递减，且，
所以，所以，
所以当时，．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑