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山东淄博实验中学、淄博齐盛高中2025-2026学年高二第二学期第一次模块考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
2.若随机变量，，则( )
A. B. C. D.
3.记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知甲组有名男生名女生，乙组有名男生名女生，如果随机选个组，再从该组中随机选名学生，则该学生是女生的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.设数列的前项和为，且为常数列，则( )
A. B. C. D.
8.若函数是单调递增函数，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小杨正在安排五一五天假期月日月日的旅行计划，他决定在这天里每天去一个不同的景点其中甲、乙、丙是五个不同景点中的三个，则下列说法正确的是( )
A. 若甲、乙两景点必须在相邻的两天去，则不同的安排方法共有种
B. 若去甲、乙两景点的两天不相邻，则不同的安排方法共有种
C. 若去甲、乙、丙三个景点的先后顺序不变不一定相邻，则不同的安排方法有种
D. 若月日不去甲景点，月日不去乙景点，则不同的安排方法共有种
10.已知，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.在平面直角坐标系中，为坐标原点，在曲线：上取点满足，设直线的斜率为，则下列结论正确的是( )
A. B. ，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为__ __．
13.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为 ．
14.在等比数列中，，，则满足不等式的正整数的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋中装有标有数字到的个大小形状相同的小球，从袋中任取个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的个小球标号的最大数字．
求随机变量的分布列及数学期望；
已知取出的个小球的标号和为偶数，求的概率．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，且满足．
证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的极值点；
若不等式对恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加，且次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，且各次抽奖相互独立．规定第次抽奖时，若中奖则得分，否则得分．第次抽奖，从以下两个方案中任选一个；
方案：若中奖则得分，否则得分；
方案：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得分．
第次开始执行第次抽奖所选方案，直到抽奖结束．
如果，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；
记顾客甲第次获得的分数为，并且选择方案请直接写出与的递推关系式，并求的值．精确到，参考数据：
19.本小题分
设函数．
当时，证明：；
已知函数在区间内存在极值点．
求的取值范围；
是否存在，使？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：随机变量的所有可能取值为，
则，
．
所以的分布列为
所以．
记事件为“取出的个球的标号和为偶数”，事件为“”
由题意得，
．
由条件概率公式，得．

16.解：由，可得则．
因为，所以，
数列是以为首项，为公比的等比数列
，所以．
当时，．
当时，，适合上式．
所以数列的通项公式为．
由知．
则
则
由得：
所以．

17.解：由题意得，
当时，令，得或，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则函数的极小值点为，极大值点为．
由，得到，
因为，所以，则，
令，则，
当时，，即在区间上单调递增，
当时，，即在区间上单调递减，所以，
得到，所以，故的取值范围为．

18.解：若甲第次抽奖选方案，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为，，，
，，
，，
所以
若甲第次抽奖选方案，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为，，，
则，，，，
因为，所以应选择方案．
依题意得，
的可能取值为，其分布列为
所以，则，
由得，
所以为等比数列．其中首项为，公比为
所以，
故．
19.解：设，
则，
因为，所以，
则函数在上单调递增，所以，
得当时，，即得证．
，
，
因为函数在区间内存在极值点，
所以在内有变号零点．
当时，因为，所以，
得恒成立，
得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
当时，令，
则，
所以函数在上单调递减，
又，
若，即，
则，得，得函数在上单调递减，无极值，不合题意，
若，即，
因为函数在上单调递减，且，，
所以存在，使得，即，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是的极大值点，符合题意，
故的取值范围为：．
由知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，得，则，
得在上单调递减，
故当时，在上单调递增，在上单调递减，
而，
，
而，
由零点存在性定理知，存在唯一的零点，使得，
即存在唯一的零点，使得．
接下来比较与的大小，
因为，
由，得，得，
则，
令，
得
，
令，得，
得在上单调递减，得，
而，
令，
得，
得在上单调递减，得，
得，
得，
得在上单调递减，得，
得，而，得，
因为，所以，得，而，
而当时，在上单调递减，
得．

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