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山东淄博实验中学、淄博齐盛高中2025-2026学年高一第二学期第一次模块考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则复数( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，若与共线，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知平面和平面，直线，直线则下列结论一定成立的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若与是异面直线，则
4.如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知的内角，，的对边分别为，，，且面积为若，且，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是( )
平面平面；；平面平面；锐二面角的余弦值为
A. B. C. D.
8.已知的三个内角，，所对的边分别是，，，且满足，，，点是边上一点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，互为共轭复数，，则
C. 若复数满足，则的最大值为
D. 若复数是实系数方程的一个根，则
10.已知向量，满足：，，，则( )
A. B. 与夹角的余弦值为
C. 在上的投影向量坐标为 D. 的最小值为
11.如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内含边界，则( )
A. 若，则点的轨迹长度为
B. 若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为
C. 若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为
D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在边长为的等边中，点为中线的三等分点靠近点，点为的中点，则 ．
13.如图，在直三棱柱中，，，，点、分别是、的中点，则直线与所成的角为 ．
14.在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，且与的夹角为．
若，求实数的值；
求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．
求圆锥的体积；
在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，且
求角；
若是边的中点，，，求的面积；
若是锐角三角形，且，求的取值范围．
18.本小题分
已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点．

求证：平面；
求证：平面平面；
求直线和平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在中，已知，的面积满足：．
求的值；
如图所示，为线段上一点，延长至点，使得，记
用含的式子分别表示与的面积；
若，求实数的最大值．
参考答案
1.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意知，．
因为，所以，
即，代入整理得，解得．
，
，
，
设与的夹角为，
则．

16.解：设圆锥的母线长为，底面半径为，高为已知母线长，圆锥侧面展开图为半圆，
因此半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，代入，得，
圆锥的高．
因此圆锥的体积为．
设圆柱的底面半径为，高为．
由相似三角形小圆锥的轴截面与原圆锥的轴截面相似，
可得比例关系．
圆柱侧面积公式为，代入得
这是关于的开口向下的二次函数，当时，二次函数取得最大值，
代入得最大侧面积．
因此圆柱侧面积的最大值为，此时圆柱的高为．

17.解：由题意，在中，，
由正弦定理，
，
，
，
即，
，
，又，
，解得，
．
由题意及知，，
，，
是边的中点，
，
，
解得，
．
由题意，及知，
在锐角中，，，
，解得，
由正弦定理，，
，
，
，
，，，
．

18.解：证明：如图，取的中点，连接、．
为的中点，且．
平面，平面，
，．
又，．
四边形为平行四边形，则．
平面，平面，
平面．

为等边三角形，为的中点，．
平面，平面，．
，所以，，
又，平面，
平面．
平面，平面平面．
如图，在平面内，过作于，连接．
平面平面，平面平面，平面，
平面．
为和平面所成的角．
因为，，则，，
在中，，
直线和平面所成角的正弦值为．


19.解：因为，所以，
即，得，
所以，而，
在中，由余弦定理可知，，
所以，即．
记，的面积分别为，设，
在中，由余弦定理可知，，
则，
即，则，
在中，由正弦定理可知，，即，
所以
，
故的面积为，的面积为．
记的面积为，则，
由，可得
，
令，则由，得
而在上单调递增，故，
所以实数的最大值为，当且仅当，即时等号成立．

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