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2026 年全国中学生数学奥林匹克竞赛广东赛区初赛
一试试卷
学校：_____________________ 姓名：____________ 准考证号：___________
一、填空题（每小题 8分，共 80分）
1．设
， 关于 的一元二次方程 有整数根 ．
则 的元素个数为 ．
2．已知 ，则 ．
3．有 24名小朋友排成一圈，现在要将小朋友们两两配对，一共配成 12对，并要
求任意两名配对的小朋友之间恰好隔了 3名小朋友，则共有 种配对的方法．
4．在平面直角坐标系中，点 ，动点 满足 ，则
的纵坐标的最大值为 ．
5．若存在 个实数 同时满足
（1） ；
（2）对 ，有 ．
则正整数 的最大值是 ．
6．在矩形 中， ．将 沿对角线 折起后形成三棱锥
．当三棱锥 的体积最大时，直线 所成角的余弦值
为 ．
7．设整数 ，则 的最小可能值为 ．
注： 表示不超过实数 的最大整数．
8．四个互不相等的复数 的实部和虚部都是非负整数，且
，
则 ．
9．给定平面直角坐标系内三点 ．过 作一条直线与圆
交于两点 ，则 的取值范围是 ．
10．设 是锐角三角形 的垂心，三角形 的面积分别为 ，
则三角形 的外接圆的面积为 ．
二、解答题（每题 20分，共 40分）
11．设 ，求 的通项公式．
12．设 是一个凸四边形，延长 交于点 ．已知
．
求 ．2026广东预赛
参考答案与评分标准
一、填空题（每小题8分，共80分）
1.设
S={a:a2<2026},T={a:关于x的一元二次方程x2-4x+a=0有整数根}.
则SnT的元素个数为一
答案：8
解：显然T的元素都是整数，而S中的整数元素仅有-45，-44，，45，故只需考
虑这些数中有哪些满足T的条件，
设x2-4x+a=0的一个整数根是x,则a=4x。-x行=4-(2-)2，故a形如
4-d2,这里d是整数，不妨设d非负，
由-45≤4-d2≤45知0≤d≤7，故共有8个d,因此共有8个a.
2.已知1og2x=logy=1ogVx2+y2,则y=
答案：√6.
解：设1og2x=a,则x=2°，y=3°，Vx2+y=5,故22+320=52a,因此
原+=1。
由f0=(日+（关于单调递减及f0=1知2a=1,故x=2,y=5,因此
y=V6】
3.有24名小朋友排成一圈，现在要将小朋友们两两配对，一共配成12对，并
要求任意两名配对的小朋友之间恰好隔了3名小朋友，则共有种配对的
方法
答案：16
解：将小朋友们顺次编号为1,2,24，则配对的小朋友编号之差为4（模24意
义下).将编号按照除以4的余数分组，每一组（例如，1,5,9,13,17,21号小朋
友)只能在他们内部配对，共有2种配对方式（1-5,9-13,17-21或
1-21,5-9,13-17),故配对的方法共有24=16种.
4.在平面直角坐标系中，点A(-3,0),B(3,0),动点M满足|MAMB=6,则
M的纵坐标的最大值为
答案：1.
解：设M(x,y),由条件得(x-3)2+y2)(x+3)2+y2)=36,整理得
y°+(2x2+18)y2+(x4-18x2+45)=0,
故
(x2+y2)2+18y2-x2)+45=0.
设2+2=，则y2-x2=-名5，故
y=+18-45-1-《2s1,
36
36
因此y≤1.取等时t=9,x2=8,即M(2W2,1)或M(-2W2,1)
5.若存在n+1个实数a,a,,an同时满足
(1)a=-2026a1:
（2）对k=1,2,n-1,有a1-2a4+a
a
则正整数n的最大值是
答案：1013
解：由(2)得：=包1+2.设6=包，则{}是以-2026为首项，2为公差
ak+ak
a
的等差数列.如果n21014,那么bo4=0,故a4o13=0,结合前面条件知
a1o2=4o1=…=a=0,但2a+a=0不能作分母，与条件矛盾.
另一方面，令
1
1
a,=14=20260,4=-202444013=
202,
符合题目条件.因此n的最大值是1013.
6.在矩形ABCD中，AB=3,BC=2.将ABCD沿对角线AC折起后形成三棱锥
D-ABC.当三棱锥D-ABC的体积最大时，直线AC,BD所成角的余弦值
为
答案：
5m.
9
解：三棱锥D-ABC的体积最大时，点D到面ABC的距离最大，故点D到面
ABC的垂足在直线AC上，即面ADC与面ABC垂直，
如下图建立空间直角坐标系，由勾股定理知AC=√13，由射彩定理得
BE=DF=613,AF=CE-413,
13
13
故r=名而.因此0丽=合而，名，合.

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