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2026 届高三 5 月高考模拟考试参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B B B B D AC BC
题号 11
答案 ACD
4 8
12． ,
5 5
13． 3,0)
14．23
a = 2n 115．(1) n
3n (n +1)
(2) Sn = 2
n 1+
2
3 3 3
【详解】（1）设等比数列 an 的公比为q，则a4 + a5 = a1q + a2q = (a1 + a2 )q ，
又a1 + a2 = 3，a + a
3 3 q 2
4 5 = 24，所以24 = 3q ，即q = 8，解得 .
因为a1 + a2 = 3，且a2 = a1q = 2a1，所以a1 + 2a1 = 3，即3a1 = 3，解得a1 =1.
a =1 2n 1 = 2n 1故 n .
（2）由（1）知a = 2
n 1
，则bn = 2
n 1 + 3n
n .
所以 Sn = b1 +b2 + +bn = (a1 +3 1)+ (a2 +3 2)+ + (an +3n)
a1 + a2 + + an +3 (1+ 2+ + n) .
1 1 2n
设等比数列 an 的前n
( )
项和为 An，则 A n ， n = = 2 1
1 2
n 3+3n 3n n +1
设等差数列 3n
( ) ( )
的前n项和为Bn，则Bn = = ，
2 2
3n (n +1n )所以 Sn = An + Bn = 2 1+ .
2
16．（1）2x + y 13 = 0，（2）32 .
2
【详解】（1）因为 f (x) =12 x ，所以 f (x) = 2x，
(x ,12 x 2设切点为 0 0 )，则 2x = 2，即 x0 0 =1，所以切点为 (1,11)，
由点斜式可得切线方程为： y 11= 2(x 1)，即2x + y 13 = 0 .
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2 2
（2）显然 t 0，因为 y = f (x)在点 (t,12 t )处的切线方程为： y (12 t ) = 2t (x t )，
t2 +12
令 x = 0，得 y = t 2 +12，令 y = 0，得 x = ，
2t
1 t2 +12
所以 S (t ) = (t2 +12) ，
2 2 | t |
不妨设 t 0 (t 0时，结果一样 ) ，
t4 + 24t2 +144 1 3 144则 S (t) = = (t + 24t + ) ，
4t 4 t
1 144 3(t4 2 ( ) 2 + 8t 48)所以 S t = (3t + 24 ) =
4 t2 4t2
3(t2 4)(t2 +12) 3(t 2)(t + 2)(t2 +12)
= = ，
4t2 4t2
由 S (t ) 0，得 t 2，由 S (t ) 0，得0 t 2，
所以 S (t )在 (0, 2)上递减，在 (2,+ )上递增，
16 16
所以 t = 2时， S (t )取得极小值，也是最小值为 S (2) = = 32 .
8
17． （1） k = 2
（2）证明见解析
【详解】（1）将 y = kx 2pk + 2p代入 x2 = 2py，
化简得 x2 + 2pkx + 4p2(k 1) = 0（*），
2 2 2 2
方程（*）的判别式Δ = 4p k 4(4p k 4p ) = 0，
化简得 k 2 4k + 4 = 0，解得 k = 2；
（2）设 A(xA, yA ) ,B (xB , yB ) ,C (xC , yC ) ,D (xD , yD ) ,E (xE , yE ) ,F (xF , yF )，
设抛物线 x2 = 2py在 A点处的切线方程为 y yA = kA (x xA )，
y yA = kA (x xA ) 2
由 2 ，消去 y并化简得 x 2pkAx + 2pkAxA 2pyA = 0，
x = 2py
= 4p2k 2A 4(2pkAxA 2pyA ) = 4p
2k 2A 8pkAxA +8pyA = 0，
x2 x2
pk 2A 2xAkA + 2yA = 0， pk
2
A 2xAkA + 2
A = pk 2 AA 2xAkA + = 0，
2p p
xA x x x
2
解得 k = ，故切线方程为 y y = A (x x ) = AA A A x
A ，
p p p p
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x2 x2
py pyA = x x x
2 2
A A， py p
A = xAx xA , py
A = xAx x
2 2
A ，即2py = 2xAx xA，
2p 2
同理可求得抛物线 x2 = 2py上过点 B，C的切线方程分别为：
2py = 2x x x2B B，2py = 2xCx x
2
C，
2py = 2xAx x
2
A xA + xB xA + x联立 2 ，解得 x = ，即 x
B
D = ，
2py = 2xBx xB 2 2
x + x x + x
同理可得 x A C B CE = ， xF = ，
2 2
x
x A
+ xB
| AD | x AA xD 2 x x
因为 = = =
A B
，
| DE | xD x xA + x x + xE B A C
xB xC
2 2
xA + xC xB + x C
EF xE xF 2 2 x x
= = = A B ，
FC xF x xB + xC C x x x B CC
2
xA + xB x
DB xD x
B
B 2 x
= = = A
xB ，
BF xB x xB + xF C xB xx CB
2
| AD | | EF | |DB |
所以 = = ．
|DE | | FC | | BF |
6
18．（1）
3
（2）最大值为18
（3）最小值为3 2 3
【详解】（1）以正方体的中心为原点，DA、DC、DH的方向分别为 x轴、 y轴、 z轴的
正方向建立空间直角坐标系．
由题意， A(1, 1, 1)，E (1, 1,1)，P1 (1,0, 1)， P2 ( 1,1,0)，P3 ( 1,0,1)，
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则 AE = (0,0,2)，P1P2 = ( 2,1,1)， P2P3 = (0, 1,1)，
设平面P1P2P3的一个法向量n = (x, y, z ) ，
2x + y + z = 0
则有 ，
y + z = 0
令 x =1，则 y =1， z =1，所以n = (1,1,1)，
n·AE 2 3
所以cos n，AE = = =
n·AE 2 3 3
2
3 6
所以棱 AE和平面P1P2P3所成角的余弦值为 1 = ．
3

3
（2）由条件，可设P1 (1,cos 1,sin 1 )，P2 (sin 2 ,1,cos 2 )，P3 (cos 3 ,sin 3 ,1)，
记 d1 = P1P2 ，d2 = P2P3 ，d3 = P3P1 ，则（ i =1，2，3）
2 2 2 2di = (1 sin i+1 ) + (1 cos i ) + (sin i cos i+1 ) （其中 4 = 1 ）
2
注意到di = 4 2cos i 2sin i+1 2sin i cos i+1
i=1 i=1 i=1 i=12
所以 di =12 2 cos i + sin i+1 + sin i cos i+1
3 3 3 3
i=1 i=1 i=1
=12 2 cos i+1 + sin i + sin i cos i+1
3 3 3
i=1
=18 2 (1+ sin i )(1+ cos i+1 ) 18
3
故当 1 = 2 = 3 = π时， g可取到最大值18．
（3）记 f = d1 + d2 + d3 ，求 f 的最小值：
由（2）及均值不等式，
d 2
2 2 1 2
i (1 sin i+1 ) + (1 cos i ) (2 sin i+1 cos i )
2
2
所以di (2 sin i+1 cos i )
2
2 i=1 2 i=1
所以 f (2 sin i+1 cos ) = 3 2 (sin i+1 + cos i i )
2 3 2 3
2 i=1 i=1 π
= 3 2 (sin i + cos ) = 3 2 sin i + 3 2 3 i
2 3 3 4
π
所以当 f1 = 2 = 3 = 时， 可取到最小值3 2 3 .
4
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19．（1）分布列为：
X 2 3
P 0.52 0.48
期望为2.48 .
（2）①0.648，0.68256 ，P (2) P (1)， k = 2赛制对机器人更有利
②随着 k的增大，机器人获胜的可能性变大，证明见解析
【详解】（1）当 k =1时，赛制为三局两胜制，故 X的可能取值为2,3，
P (X = 2) = 0.42 + 0.62 = 0.52，
P (X = 3) = C12 0.6 0.4 = 0.48 ,
所以 X的分布列为：
X 2 3
P 0.52 0.48
E (X ) = 2 0.52+3 0.48 = 2.48
（2）（i）因为每局比赛中，机器人获胜的概率为 p = 0.6，
由题可知P (1)为3局2胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有两种：2 : 0或2 :1，
2 1 2 2
所以P (1) = p +C2 p (1 p) = p (3 2p) = 0.6
2 (3 1.2) = 0.648，
P (2)为5局3胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：3 : 0或3:1或3 : 2，
2
P (2) = p3 +C2 p33 (1 p)+C
2 3 3 2
4 p (1 p) = p (6p 15p +10)
2 2 2
= 0.63 +C23 (0.6) 0.4 0.6+C
2
4 (0.6) (0.4) 0.6 = 0.68256，
所以P (2) P (1)，
所以 k = 2时，5局3胜制对机器人更有利.
（ii）随着 k的增大，机器人获胜的可能性越来越大.
证明如下：
2k+1
i i 2k+1 i
由（i）可知，P (k ) = C2k+1p (1 p) ，
i=k+1
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下面讨论2k + 3局与前 2k +1局的递推关系：
1）若前 2k +1局中机器人恰好赢了 k局，则后两场机器人都要赢才能获胜，
k+1 k+1
其概率为Ck k 2 k k+2 . 2k+1p (1 p) p ，即C2k+1p (1 p)
2）若前 2k +1局中机器人恰好赢了 k +1局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜，
k+1 k+1 k 2
其获胜概率为C p (1 p) 1 (1 p) ，即Ck+1 pk+2
k
2k+1 2k+1 (1 p) (2 p . )
3）若前 2k +1局中机器人至少赢了 k + 2局，则后两场机器人无论输赢都获胜，
2k+1
i i 2k+1 i
其获胜概率为 C2k+1p (1 p) .
i=k+2
2k+1
P (k +1) = Ck pk+2
k+1 k+1 k+2 k 2k+1 i
2k+1 (1 p) +C2k+1p (1 p) (2 p)+ C
i i
2k+1p (1 p) ，
i=k+2
k+1 k k
P(k +1) P(k) =Ck2k+1p
k+2 (1 p) +Ck+12k+1p
k+2 (1 p) (2 p) Ck+1 k+12k+1p (1 p)
k k+1=C2k+1p
k+1 (1 p) (2p 1)，
k+1
p = 0.6， Ck pk+12k+1 (1 p) (2p 1) 0，即P(k +1) P(k).
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