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湖南省株洲市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知斜率为的直线经过点，，则（ ）
A． B． C．1 D．0
2．已知等比数列中，，，则公比为（ ）
A． B．2 C． D．4
3．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设，且⊥，则（ ）
A．8 B．-8 C．5 D．-5
5．设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ）
A．0.08 B．0.09 C．0.1 D．0.15
6．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．决定系数越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
B．经验回归方程相对于点的残差为
C．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“x与y没有关联”
D．样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强
10．一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中无放回地依次取出2个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）
A． B．
C．，相互独立 D．
11．下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为______．
13．已知函数在上单调递增，则的取值范围是_____．
14．已知奇函数满足，当时，，则______．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．在中，内角所对的边分别为.
(1)求；
(2)若，求的面积的最大值.
16．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望.
17．已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由.
18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别是棱，上的动点.
(1)若是棱的中点，求二面角的大小；
(2)请判断下列条件：①直线与平面所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论.
19．已知函数.
(1)若函数为增函数，求的取值范围；
(2)已知.
（i）证明：；
（ii）若，证明：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
湖南省株洲市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D B C A A BD ABD
题号 11
答案 BCD
12．
13．
14．1
15．(1)
(2)
16．(1)0.9
(2)由题意结合（1）可知：3人中参加过培训的人数服从二项分布，则，
，，
，，
的分布列：
0 1 2 3
0.001 0.027 0.243 0.729
的期望.
，
17．(1)
(2)，抛物线方程可化为，则，当时，切线斜率，
由点斜式可得过点的切线方程为，即，
令，可得，所以.
由，可得，所以.
如图（1），设直线的方程为，
联立得得，
所以.
因为，
所以，
所以.
(3)是，
18．(1)；
（2）条件②可以推断平面；
以下证明条件①不可以，条件②可以，
若选择条件①，
因为在线段上，所以，所以，
过作的垂线，垂足为，易得是直线与平面所成角，
所以，解得， 所以
由（1）可得，，
设平面的法向量，
由，得，当时，，
则，
所以，则与不垂直，即与平面不平行;
若选择条件②，
如图，连接，相交于点，连结，
在梯形中，有，，
根据三角形的相似得，
又因为，故，
又平面，平面，
所以平面
19．(1)
（2）（i）由（1）可知：当时，单调递增，
∵，则，即，
整理得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上递减，在递增，
故，
即，当且仅当时等号成立，
令，可得，
综上；
（ii）∵，则，
可知有两个不同实数根，由（1）知，
可得，
同理可得，
构建，则，
当时，；当时，；
当时，；
且，故对恒成立，故在上单调递减，
∵，则，即，
且，则，故，
可得；
又∵，由（i）可得，即，
则，
且，则，可得；
综上所述：.
可得，则
故.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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