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2026年甘肃省武威市数学中考人教版模拟预测试卷
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）2026年2月10日，小行星飞掠地球时，与地球最近距离约为千米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（ ）
A．36 B．12 C．9 D．6
4．（本题3分）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．5
5．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x，y轴正半轴上，点B坐标为．点M是边上的动点（不与B，C重合），函数的图象经过点M且与边交于点N，给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②若点M是边的中点，则点N一定为的中点；③在点M的运动过程中，是一个定值；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
6．（本题3分）如图，矩形中，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，与分别交于点，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：
甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数
成绩/分 81 76 ■ 80 83 80 ■
则被遮盖的两个数据依次是（ ）
A．80，82 B．81，82 C．80，80 D．81，80
9．（本题3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　）
A．12 B． C． D．
10．（本题3分）如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）二次根式有意义，则m的取值范围________．
12．（本题3分）若实数，同时满足，，则的值为______．
13．（本题3分）已知是不等式的正整数解，则分式方程有整数解的概率为__________．
14．（本题3分）如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______．
15．（本题3分）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______．
16．（本题3分）如图，将 ABC绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，此时点恰好落在的延长线上，则的度数为______．
17．（本题3分）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形窗户，其外轮廓是一个正八边形，外轮廓示意图如图2的正八边形所示，若对角线，则对角线的长为______．
18．（本题3分）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图所示是斐波那契螺旋线的一部分，其中最小的正方形边长为1，则这一部分螺旋线的长度为_______．
三、解答题（共66分）
19．（本题4分）计算：．
20．（本题4分）解不等式组．
21．（本题6分）如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点，，∠B=90°，反比例函数的图象经过的中点．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)已知点，将点绕点逆时针旋转，若旋转后的点恰好落在的图象上，求的值．
23．（本题6分）汉字是世界上最古老的文字之一，是中华优秀传统文化的重要载体．现有正面分别印着“生”“肖”“午”“马”古文字的四张不透明卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上，小明先随机抽取一张卡片不放回，再从剩下的三张卡片中随机抽取一张．
(1)小明第一次抽中的卡片正面古文字是“马”的概率是___________；
(2)请用列表或画树状图的方法，求小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”的概率．（不分先后顺序）
24．（本题6分）为保障龙东地区冬季居民供暖，某供暖公司计划购进一批供暖设备，已知购进3台A型设备和2台B型设备共需21万元，购进2台A型设备和3台B型设备共需23万元．
(1)求A型设备和B型设备每台的进价分别是多少万元？
(2)该公司计划购进A型设备和B型设备共10台，总费用不超过40万元，且A型设备的数量不小于B型设备数量的一半，求该公司有几种购进方案？哪种方案最省钱？
25．（本题8分）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1) __________，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数；
(3)若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数；
(4)学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率．
26．（本题8分）假日里，亮亮和华华在家人的陪伴下，漫步在春日河畔，望着眼前静静流淌的小河，他们萌生了探究的冲动：想用课堂上学到的数学知识测量小河的宽度．在亲近自然的过程中，他们也体会到了数学的实用与探索的乐趣．测量中，他们在河边的缓坡上的点处安装测角仪，，绘制测量示意图如图，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为，点，，，，，在同一平面上，点，，在同一水平直线上，且．请你帮亮亮和华华计算出河宽．（精确到参考数据：，，，）

27．（本题8分）如图，为的直径，为上的一点，连接，点在的延长线上，且满足，过点作交的延长线于点，交于点．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
28．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，．
(1)求该抛物线的表达式：
(2)过点作，交抛物线于点，点 为直线 下方抛物线上一动点，连接交于点F．将线段沿轴左右平移，线段的对应线段为线段，当四边形的面积最大时，求点的坐标及的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点，点在新抛物线上． 在（2）中，当四边形 的面积最大时，若，求点的横坐标，并写出其中一个点的横坐标的求解过程．
试卷第1页，共3页
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《2026年甘肃省武威市数学中考人教版模拟预测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D B C A C B D
11．
12．
13．
14．
15．
16．30
17．
18．
19．解：
．
20．解：，
解不等式：，
去括号得，
移项，合并同类项得；
解不等式：，
去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为得，
原不等式组的解集为．
21．（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴．
22．（1）解：等腰直角三角形的顶点，，
，轴，
，
又∵点是的中点，设点，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，解得：，
反比例函数的表达式为．
（2）解：如图：连接，，，
，
∴，
是等腰直角三角形，点是的中点，
，，，
，即
将点绕点逆时针旋转，
，即，
，
，
恰好落在的图象上，
，
23．（1）解：小明第一次抽中的卡片正面古文字是“马”的概率是；
（2）解：画树状图如下：
由图可知共有12种等可能的结果，其中小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”的结果有4种，
（小明抽取的两张卡片正面的古文字恰好可以组成“生肖”或“午马”）．
24．（1）解：设A型设备每台进价x万元，B型设备每台进价y万元，
根据题意得：．
解得：．
答：A型设备每台进价3.4万元，B型设备每台进价5.4万元．
（2）解：设购进A型设备m台，则购进B型设备台，
根据题意得：，
解得：．
∵m为整数，
∴，8，9，10，
∴共4种购进方案；
总费用，
∵，故W随m增大而减小，
∴当时，W最小，此时，
最小费用（万元），
答：有4种购进方案，购进10台A型设备最省钱．
25．（1）解：根据统计图可知，喜欢 “羽毛球”的学生数为人，占比为，
∴调查人数（人），
∴喜欢 “乒乓球”的学生数为（人），
条形统计图补全如下：
（2）解：，
∴“足球”所对应扇形的圆心角度数为；
（3）解：(人)，
答：喜欢“篮球”运动的学生约有人；
（4）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B两名同学的结果有2种，
∴恰好选中A和B两名同学的概率为．
26．解：如图，延长，交于点，
∵，
∴，
由题意得：，，，，
∴，，
在中，，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
答：河宽约为．
27．（1）证明：连接，则
，
为的直径，
即，
又
为的切线；
（2）证明：连接，则，
，
与相切于点
，
，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
；
（3）解：（3）由（2）可知，
为的直径
，
；
28．（1）解：∵抛物线过点和，
∴将两点坐标代入得：
解方程组得：，
∴抛物线表达式为．
（2）解：在中，令，得，
∴，
设直线的解析式为，则
解得，，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
设与轴交于点，则，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，，
∴直线的解析式为，
由得或，
∴，
设所在直线解析式为，则，
解得，，
∴所在直线解析式为，
设，
∵，
∴，
当四边形的面积：
作轴于点，连接，
,
∴,
∴，
当时，四边形的面积最大，．
此时，，
作平行四边形，则，，
∵，
∴，
作点关于轴的对称点，连接，，则，
∴，，
∴，
答：当四边形的面积最大时，点的坐标为，的最小值为．
（3）解：∵，，，
∴新函数，
即，
对称轴为，
作轴，交新函数图象于点，
∵，
∴，
∵点，点，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
在中，令，得，
∴直线与的交点坐标为，
∵，
∴为直线与新抛物线的交点，
∵轴，
∴，，
作，则，
∴，
∵，
∴，
∴与新抛物线的交点为，
过点作轴，交于点，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴点纵坐标为，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
由得或，
∴，
∵，，，，
∴，，
连接，，则四边形为平行四边形，
与交点记为，则为的中点，
∵，，
∴，
作与关于对称，作，交于点，则，
∴，
连接并延长，交于，
∴，
∴与关于点对称，
设，则，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得，，
∴直线的解析式为，
由得或，
∴，
答：点的横坐标为或．
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