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人教A版高一数学下学期必修二综合测试卷
范围：人教A版必修二全部内容
（考试时间：120分钟，分值150分，解析版附后）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长为（ ）

A． B． C． D．
3．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第80百分位数为（ ）
A．78 B．82 C．85 D．88
4．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5如图，梯形中，，现将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
7.已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．给定下列四个命题：①若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，，则；②若是一条直线，，是两个不同的平面，且，，则；③若，是两个不同的平面，且，，，，则就是二面角的平面角；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．③和④
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（ ）
A．样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30
B．样本数据的极差一定小于100
C．样本数据的中位数约为53
D．估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5%
10．在中，，，，则（ ）
A． B．边上的中线长
C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为
11．（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（ ）
A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球
C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，，若，则_______.
13．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据）
14．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，已知，求.
16．（15分）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表）
(2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差．
17．（15分）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切．
(1)求该圆柱的表面积；
(2)求该直三棱柱的外接球O的体积．
18．（17分）中，，P是内一点，.
(1)若，求；
(2)若，求中AC边上的高.
19．（17分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，．
(1)证明：；
(2)求证：平面平面；
(3)若，求与平面所成角的正弦值．
人教A版高一数学下学期必修二综合测试卷（解析版）
范围：人教A版必修二全部内容
（考试时间：120分钟，分值150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，则，
，
所以.
2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，因为四边形是梯形，所以
所以平面图形梯形中:

由斜二测画法原则可知，，且.
所以
3．某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第80百分位数为（ ）
A．78 B．82 C．85 D．88
【答案】D
【分析】由百分位数计算公式即可求解.
【详解】频率分布直方图中，所有区间的频率和为1，
可得 ，
因此：
各区间累计频率为：
频率，累计，
频率，累计，
频率，累计，
频率，累计 ，
因此第80百分位数落在区间 内，
根据百分位数计算公式：第80百分位数 .
4．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用投影向量公式计算即可.
【详解】由题意， 且 ；
根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为.
5如图，梯形中，，现将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体为圆台，圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，母线长为，再结合圆台的表面积公式计算即可.
【详解】因为梯形中，，
所以，，
将该梯形沿旋转一周，则旋转形成的几何体为圆台，
圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，母线长为，
所以该圆台的表面积为，
即旋转形成的几何体的表面积为
6．已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【详解】若，，则或相交（墙角模型），故A错误；
若，，则，故B正确；
若，，则或异面，故C错误；
若，，则或相交，故D错误.
7.已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】∵，，
∴，则；
则新的样本数据的方差为，
故，.
8．给定下列四个命题：①若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，，则；②若是一条直线，，是两个不同的平面，且，，则；③若，是两个不同的平面，且，，，，则就是二面角的平面角；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．③和④
【答案】C
【详解】命题①：若，相交，均平行于两平面交线时也满足题设条件，故，不一定平行，①为假命题.
命题②：根据面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，已知且，满足判定定理条件，故，②为真命题.
命题③：二面角的平面角定义要求：顶点在棱上，两边分别在两个平面内，且两边均垂直于棱，本题仅给出，，，未说明，故不一定是二面角的平面角，③为假命题.
命题④：采用反证法，假设该直线与另一个平面垂直，根据面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，可得该直线必垂直于两平面的交线，与题设“与交线不垂直”矛盾，故假设不成立，④为真命题.
综上，真命题为②和④，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．为落实“健康中国”行动，某校关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其日均体育锻炼时长（单位：分），将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图（每组均为左闭右开区间），则（ ）
A．样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为30
B．样本数据的极差一定小于100
C．样本数据的中位数约为53
D．估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5%
【答案】AC
【分析】由频率分布直方图依次分析各选项可得结果.
【详解】样本中日均体育锻炼时长在内的学生人数为（人），故A正确；
样本数据的分布在之间，且组距为20，所以极差不一定小于100，故B错误；
，（分），所以样本数据的中位数约为53，故C正确；
日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数为（人），，
所以估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的10%，故D错误.
10．在中，，，，则（ ）
A． B．边上的中线长
C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为
【答案】BC
【分析】对于A：根据向量的数量积求解即可；对于B：根据向量加法的平行四边形法则、向量数量积的运算律及向量的模求解即可；对于C：根据三角形面积关系及三角形面积公式求解即可；对于D：根据正余弦定理求解即可.
【详解】选项A：向量与的夹角为，
所以，A错误.
选项B：设中点为，则，则
，
故边上的中线长，B正确.
选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系，
即，
也即，解得，C正确.
选项D：由余弦定理得，即，
设外接圆半径为，由正弦定理，则.
所以外接圆的面积，D错误.
11．（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（ ）
A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球
C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球
【答案】CD
【分析】依据互斥事件不能同时发生、对立事件不能同时发生且必有一个发生的定义，逐一判断每个选项中两个事件的关系即可得到答案.
【详解】 从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：两个红球，一红一白，两个白球，
对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至少一个白球”包含一红一白、两个白球，
二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误；
对于B：“恰有一个红球”即一红一白，“都是白球”即两个白球，二者互斥，但存在“两个红球”的情况，
二者不是必有一个发生，不对立，B错误；
对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”即两个白球，
二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确；
对于D：“至多一个红球”包含两个白球、一红一白，“都是红球”即两个红球，
二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，，若，则_______.
【答案】
【分析】根据向量的坐标的加减法运算及向量的数量积的坐标运算可得.
【详解】由向量，，得，
又因为，得,所以，解得.
13．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据）
【答案】27
【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长即得答案．
【详解】因为米，，
所以．
由正弦定理，，可得，
在直角中，因为，所以，
即塔高为.
14．在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______．
【答案】
【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解．
【详解】
设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为，
已知是正三角形，边长，
则其外接圆半径为，
平面，
三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上，
且球心到平面的距离，
外接球半径为：，
由球的表面积公式得．
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，已知，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，，
所以，
所以.
（2）因为，
所以由，得，
因为，所以，
所以，
令，则，，，
所以，，
所以.
16．（15分）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表）
(2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合平均数的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，利用分层抽样的方差的计算公式，即可求解.
【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得．
各组的组中值依次为，对应频率依次为，
所以数据的平均数
，
所以估计这100个样本数据的平均数为．
（2）解：由于样本数据在与内的频率之比为，
所以两组的总平均数为，
所以总方差．
17．（15分）如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切．
(1)求该圆柱的表面积；
(2)求该直三棱柱的外接球O的体积．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）由三角形的内切圆半径及圆柱表面积公式即可求解；
（2）由球的体积公式即可求解．
【详解】（1）在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，
所以，的内切圆半径，
圆柱的高 ，所以圆柱的表面积
．
（2）直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点，
设外接圆的圆心为，底面直角三角形外心是斜边的中点，
则，，所以，外接球半径，
体积 ．
18．（17分）中，，P是内一点，.
(1)若，求；
(2)若，求中AC边上的高.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用正弦定理求得，再由已知及正弦定理求；
（2）设，由余弦定理及列方程求参数值，结合等腰直角三角形的性质求高.
【详解】（1）根据正弦定理得，
.
，则，而，
.
根据正弦定理得，
；
（2）设，
在中得，
化简得.
在中得，
化简得，
.
，
，化简得，解得或.
又，则.
中AC边上的高为.
19．（17分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，．
(1)证明：；
(2)求证：平面平面；
(3)若，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用平行关系得出三角形相似，利用相似比相等得出线线平行，进而证明结论；
（2）利用勾股定理得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理，由线面垂直证明面面垂直；
（3）利用垂直关系得出线面角，计算相关边长进而求解．
【详解】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点，
则，
在和中，，则三个内角均对应相等，故，
相似比为，
，即，
已知，则，
由平行线分线段成比例定理可得，
又分别为的中点，
，．
（2）在矩形中，，
，则，
，则，
，
，即，
底面，底面，故，
，且平面，
平面，
又平面，
平面平面．
（3）
平面，即平面，
即为与平面所成的角，
由（2）知，，
已知，，，
，
在中，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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