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2026年宁夏银川市兴庆区景博学校中考数学一模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.杏花是春天最早的信物，那抹粉白藏着千年的诗与惆怅.从杜牧的“牧童遥指杏花村”到叶绍翁的“一枝红杏出墙来”.其花粉直径约0.000083米，这里“0.000083”用科学记数法表示为（　　）
A. 8.3×10-5 B. 8.3×10-4 C. 8.3×10-3 D. 8.3×10-6
2.下列运算正确的是（　　）
A. a2 a3=a6 B. += C. （a+b）2=a2+b2 D. （a2）3=a6
3.将一把直尺与一块含有30°角的直角三角板按如图方式放置，若∠3=65°，则∠2为（　　）
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
4.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A. b＜a B. a＜-2 C. a+b＞0 D. -a＞b
5.如果一个数等于它的所有因数（本身除外）的和，这种数叫做完全数.下列数中，是完全数的是（　　）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 4
6.如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上.连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处.则tan∠AMN的值是（　　）
A. 2
B.
C.
D.
7.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.
B.
C.
D. 无法确定
8.如图，在平面直角坐标系中，A（2，2），，以原点O为位似中心，将△AOB放大，且点O为对应点的黄金分割点，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A. （-4，2），（4，-2）
B. （-4，2）
C. （4，-2）
D. （4，2），（-4，2）
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 .
10.如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD.若=，则= .
11.若点P（3m+1，2-m）在x轴上，则点P的坐标是 .
12.如图，点A（0，-2），B（1，0），以线段AB为边在第四象限作矩形，BC=2AB，则点D的坐标是 .
13.已知实数a,b满足（a-2）2+|b-1|=0，则a+b的平方根 .
14.我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小： （填“＞”或“＜”）.
15.若分式的值为0，则x的值为 .
16.如图，斜坡CD的坡度i=1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 米.
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题5分)
先化简，再求值：，其中.
19.(本小题12分)
在“双减”背景下，某区教育部门想了解该区A，B两所学校九年级各500名学生的课后书面作业时长情况，从这两所学校分别随机抽取50名九年级学生的课后书面作业时长数据（保留整数），整理分析过程如下：
【收集数据】A学校50名九年级学生中，课后书面作业时长在70.5≤x＜80.5组的具体数据如下：
74，72，72，73，74，75，75，75，75，
75，75，76，76，76，77，77，78，80．
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下，不完整的A学校频数分布直方图如图所示：
组别 50.5≤x＜60.5 60.5≤x＜70.5 70.5≤x＜80.5 80.5≤x＜90.5 90.5≤x＜100.5
A学校 5 15 x 8 4
B学校 7 10 12 17 4
【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：
特征数 平均数 众数 中位数 方差
A学校 74 75 y 127.36
B学校 74 85 73 144.12
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查是______调查（选填“抽样”或“全面”）；
（2）统计表中，x=______，y=______；
（3）补全频数分布直方图；
（4）在这次调查中，课后书面作业时长波动较小的是______学校（选填“A”或“B”）；
（5）按规定，九年级学生每天课后书面作业时长不得超过90分钟，估计两所学校1000名学生中，能在90分钟内（包括90分钟）完成当日课后书面作业的学生共有______人．
20.(本小题6分)
如图，以 ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点H.
（1）由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是 ______ ；
（2）求证：CB=CH；
（3）若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积.
21.(本小题6分)
如图所示，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（-2，a）和点B（b，-1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使PB-PA取得最大值时，求出点P的坐标．
22.(本小题6分)
如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上.请用无刻度的直尺按下列要求画图.
（1）在方格纸中，在△ABC的边AC上取一点D，使得BD平分∠ABC；
（2）点E在△ABC的边AB上，且满足.（保留作图痕迹，体现作图过程）.
23.(本小题9分)
下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务.
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同.求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元.
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…
等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二 设…
等量关系：甲商品进价-乙商品进价=20
任务：
（1）解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示______.（填序号）
①甲种商品每件进价x元
②乙种商品每件进价x元
③甲种商品购进x件
（2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为______元/件，乙种商品的进价为______元/件.
（3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元.商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W.（利润=售价-进价）
24.(本小题6分)
如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB.
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC=2OC=4，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，求的值.
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5.
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
26.(本小题9分)
如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD边上的点，连接DE，GF，若DE⊥GF，判断DE与GF之间的数量关系.老师在课堂上给出如下分析：将GF沿AD方向平移到DH，连接CH.根据平移的性质，可判断四边形DGFH是平行四边形，再证明△ADE≌△CDH，得到DE=DH，继而得到DE=GF.
尝试初探：
（1）老师提出该问题的变式问题：将正方形ABCD改为菱形ABCD，∠A=60°，如图2，E，F，G分别是AB，AD，BC边上的点，连接FG与DE交于点M.若∠EMG=60°，猜想DE与FG之间的数量关系，并说明理由；
通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题.
迁移应用：
（2）如图3，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，且AD=CE，AD与CE交于点O，∠AOE=60°，判断AE+CD与AD的大小关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图4，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB边上，过点F作FG⊥AE于点H，交CD边于点G，连接EF，AG.若AB=6，CE=2BE，请直接写出AG+EF的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】（7，0）
12.【答案】（4，-4）．
13.【答案】．
14.【答案】＞
15.【答案】-2．
16.【答案】（4-2）
17.【答案】解：
=4+
=4+
=2．
18.【答案】解：
=
=
=a-2，
当时，原式=+2-2=．
19.【答案】解：（1）抽样 ；
（2）18 ，74.5 ；
（3）补全频数分布直方图：
（4）A；
（5） 920
20.【答案】∠1=∠2；
证明见解析；
9．
21.【答案】解：（1）∵△AOC的面积为4，
∴|k|=4，
解得，k=-8，或k=8（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y=-，
把点A（-2，a）和点B（b，-1）代入y=-得，
a=4，b=8；
答：a=4，b=8；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞的解集为x＜-2或0＜x＜8；
（3）∵点A（-2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），
又B（8，-1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，
设直线A′B的关系式为y=cx+d，
则有，
解得，，
∴直线A′B的关系式为y=-x+，
∴直线y=-x+与y轴的交点坐标为（0，），
即点P的坐标为（0，）．
22.【答案】如图所示，点D即为所求； 点E的位置如图所示．

23.【答案】①，③；
50，30；
该商店获得最大的利润为765元．
24.【答案】连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD=90°，则∠CAO+∠OAD=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADB，
又∵∠BAC=∠ADB，
∴∠BAC=∠OAD，
∴∠BAO=∠CAO+∠BAC=∠CAO+∠OAD=90°，即BA⊥OA，
∵OA是⊙O半径，
∴直线AB是⊙O的切线
25.【答案】解：（1）将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y=a（x-1）2-2，
∵OA=1，
∴点A的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a-2=0，
∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令y=0，则=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴B（3，0）．
∴AB=OA+OB=4，
∵△ABD的面积为5，
∴SABD=AB yD=5，
∴，代入抛物线解析式得，，
解得x1=-2，x2=4，
∴D（4，）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AD的解析式为y=x．
（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，

设E（m，m2-m-），则M（m，m+），
∴EM=m+-（m2-m-）=-m2+m+2，
∴S△ACE=S△AME-S△CME=×EM 1=（-m2+m+2）×1=-（m2-3m-4）=-（m-）2+．
∴当m=时，△ACE的面积有最大值，最大值是 ，此时E点坐标为（ ）．
26.【答案】DE=FG，理由见详解 AE+CD＞AD，理由见详解 AG+EF的最小值为．理由见解答过程
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