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2025-2026学年湖南省长沙市长沙县七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A. B. 3.14 C. 0 D.
2.下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是（　　）
A. B.
C. D.
3.如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）

A. （5，2） B. （-6，3） C. （-4，-6） D. （3，-4）
4.估计的值是在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
5.如图，现将一块三角板的含有60°的角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=80°，那么∠2的度数为（　　）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
6.下列命题正确的是（　　）
A. 两点之间，直线最短．
B. 过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线
C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 有理数与数轴上的点一一对应．
7.古代有一首歌谣是这样说的，栖树一群鸦，鸦树不知数，三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树.请你动脑筋，鸦树各几何？若设鸦有x只，树有y棵，则由题意可列方程组（　　）
A. B. C. D.
8.已知关于x,y的方程组的解满足x+y=k+1，则k的值为（　　）
A. -3 B. -2 C. 2 D. 3
9.如图，点A，B的坐标分别为（-3，1），（-1，-2），若将线段AB平移至A1B1的位置，点A1，B1的坐标分别为（a，4），（3，b），则a+b的值为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10.如图，在平面直角坐标系中有点A（1，0），点A第一次向左跳动至A1（-1，1），第二次向右跳动至A2（2，1），第三次向左跳动至A3（-2，2），第四次向右跳动至A4（3，2），…，依照此规律跳动下去，点A第2026次跳动到点A2026的坐标为（　　）
A. （-1013，1013） B. （1014，1013）
C. （2026，2025） D. （-1014，1014）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若方程 xm-1-2y2n-1=0是二元一次方程，则m+n的值为 .
12.的算术平方根是 .
13.已知，则 .
14.已知2x-5y=3，用含y的代数式表示x,则x= .
15.如果是方程2x-3y=2020的一组解，那么代数式2026-2m+3n= .
16.如图，AB∥CD，∠A=40°，∠C=30°，则∠AEC的度数为 °.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算.
（1）；
（2）.
18.(本小题6分)
解下列方程组：
（1）；
（2）.
19.(本小题8分)
已知一个正数的平方根分别是a-2和7-2a,3b+1的立方根是-2，c是的整数部分.
（1）求a,b,c的值；
（2）求5a+2b-c的平方根.
20.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为：A（1，2），B（2，-1），C（4，3）.
（1）将△ABC向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得△A'B'C'，画出△A'B'C'；
（2）写出△A'B'C'的顶点坐标；
（3）求△ABC的面积.
21.(本小题8分)
如图，点A，B，C和点D，E，F分别在同一条直线上，且∠1=∠2，∠C=∠D，试完成下面证明∠A=∠F的过程.
证明：∵∠1=∠2（已知），∠2=∠3（______），
∴______（等式的基本事实）.
∴BD∥CE（______）.
∴∠D+∠DEC=180°（______）.
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠C+∠DEC=180°（______）.
∴______（______）.
∴∠A=∠F（______）.
22.(本小题8分)
已知点P（2a-2，a+5），解答下列各题：
（1）若点P在y轴上，求出点P的坐标；
（2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标；
（3）若点P到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标.
23.(本小题8分)
“预防为主，生命至上”.商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元.
（1）求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元；
（2）该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价30%进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元.
24.(本小题8分)
我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），B（x2，y2），若点P（x3，y3）满足，则把点P（x3，y3）称作A（x1，y1），B（x2，y2）两点的“松雅点”：且把数值M=x1x2+y1y2称作A（x1，y1），B（x2，y2）两点的“唯一值”.根据该约定，完成下列各题：
（1）若点P（1，3）是，两点的“松雅点”，则t=______，s=______，A，B两点的“唯一值”M=______（将正确的答案填写在相应的横线上）；
（2）已知点R（9，11），且点P是A（x+y,-2），B（4，x-y）两点的“松雅点”，先将点P向右平移3个单位，再向上平移11个单位得到点Q，若直线RQ与坐标系中其中一条坐标轴平行，A，B两点的“唯一值”M=36，求点P的坐标；
（3）已知点是A（m-n,2），B（1，2m+3n）两点的“松雅点”，M是A，B两点的“唯一值”，请用含有字母a的式子表示“唯一值”M.
25.(本小题12分)
如图①，平面直角坐标系中，A（-3，0），B（3，0），直线CD∥x轴交y轴于点E，点F在直线AB和CD之间（不在直线AB，CD上）.
（1）连接FE，FA，∠FED=40°，∠FAB=20°，求∠EFA的度数.
（2）若F（5，2），在y轴上是否存在点P，使得若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图②，点H在射线ED上运动，M为x轴上点B右侧的一点，连接AH，BH，BF，FH，若BH始终平分∠EHF，且∠HFB=2∠HAB，∠HBF=45°，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】3
12.【答案】2
13.【答案】9.649
14.【答案】
15.【答案】6．
16.【答案】70
17.【答案】1.5
18.【答案】
19.【答案】解：（1）∵一个正数的平方根是a-2和7-2a,
∴a-2+7-2a=0，
解得：a=5，
∵3b+1的立方根是-2，
∴3b+1=-8，
解得：b=-3，
∵36＜39＜49，
∴，
∴的整数部分是6，
∴c=6，
∴a的值为5，b的值为-3，c的值为6；
（2）∵a的值为5，b的值为-3，c的值为6，
∴5a+2b-c=5×5+2×（-3）-6=13，
∴5a+2b-c的平方根为．
20.【答案】如图，△A'B'C'即为所求； A′（-1，3），B′（0，0），C′（2，4） △ABC的面积=3×4-2××1×3-×2×4=5
21.【答案】对顶角相等；∠1=∠3；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等式的基本事实；DF∥AC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
22.【答案】（0，6） （-2，5） （12，12）或（-4，4）
23.【答案】一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是60元和30元；
全部售出后共可获利1480元．
24.【答案】4;3;1 点P的坐标是（7，0）或（6，-2） “唯一值”M=20a-15
25.【答案】解：（1）过点F作FT∥CD，
所以∠EFT=∠FED，
因为AB∥CD，FT∥CD，
所以FT∥AB，
所以∠TFA=∠FAB，
所以∠EFT+∠TFA=∠FED+∠FAB，
所以∠EFA=60°；
（2）由条件可得AB=3+3=6，
因为F（5，2），
所以，
当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作MN∥x轴，AN∥y轴，FM∥y轴，
设P（0，t），
由条件可得，
解得：t=3，
当点P在y轴负半轴上时，如图，
因为S△APF=S梯形AFMN-S△ANP-S△FMP，
所以，
解得：t=-1.5，
所以P（0，3）或（0，-1.5）；
（3）的值不会变化，理由如下：
设∠HAB=α，∠FBM=β，，则∠HFB=2∠HAB=2α，∠AHB=nβ，
因为BH始终平分∠EHF，
所以∠CHB=∠FHB=α+nβ，
因为AB∥CD，
所以∠CHB=∠HBM，
所以α+nβ=45°+β，即4α-180°=4β-4nβ，
由（1）可知，∠F=∠DHF+∠FBM，
所以2α=180°-2（α+nβ）+β，即4α-180°=β-2nβ，
所以4β-4nβ=β-2nβ，
因为β≠0，
所以4-4n=1-2n,
所以，
所以的值不会变化，其值为．

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