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2025-2026学年重庆市实验外国语学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我区今年四月份某五天的空气质量指数为：28，31，35，36，37.这组数据的中位数为（　　）
A. 31 B. 35 C. 36 D. 37
2.化简为最简二次根式的正确结果是（　　）
A. B. C. D.
3.甲、乙、丙三人分别进行相同次数的射击训练，他们的平均分均为9.6，且方差s甲2=1.5，s乙2=2，s丙2=2.2，则本次训练发挥较稳定的是（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定
4.若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是（　　）
A. 135° B. 60° C. 120° D. 45°
5.下列命题中，其逆命题不成立的是（　　）
A. 同位角相等，两直线平行
B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数
C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D. 如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
6.计算的结果是（　　）
A. B. C. D.
7.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A. 5，6，7 B. C. D. 6，8，9
8.如图，直线y=3x-1和y=kx+4（k≠0）相交于点P（m,2）.则不等式3x-1≤kx+4的解集为（　　）
A. x≤3
B. x≥3
C. x≤1
D. x≥1
9.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为BC边的中点，连接DE，将△CDE沿DE所在直线翻折到正方形ABCD所在平面内，得△FDE，连接AF，BF，过点A作AG⊥DE，垂足为G，连接FG，则的值为（　　）
A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2
10.已知整式M：，其中a0，a1=2，a2…，an-1为自然数，n,an为正整数，且n+a0+a1+…+an=5.下列说法：
①满足条件的整式M中所有的单项式之积为24x10；
②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为5x3+x2+x+1；
③满足条件的所有二次式的和记为N，当x取任意实数时，N的值一定为正数；
④满足条件的整式M共有14个.
其中正确的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若二次根式有意义，则x的取值范围是______．
12.如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，若∠ADE=50°，则∠B的度数为 .
13.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，连接BO.若AB=5，AD=12，则BO的长度为 .
14.在平面直角坐标系中，对于函数y1=x+2与y2=x+m,当x＜4时，对任意的x,函数y2的值均大于函数y1的值且y2＜6，则m的值为 .
15.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，P为矩形所在平面内一点，且∠PAD=∠PCD，连接OP，若AB=4，BC=8，则OP的长为 .
16.一个四位整数的各数位上的数字互不相等且不为零，若满足千位上的数字与十位上的数字之和，百位上的数字与个位上的数字之和均为3的倍数，则称该四位数M为“三象数”，则最小的“三象数”为______；若“三象数”（1≤a≤7，1≤b≤7，1≤c≤9，1≤d≤9）的千位数字和百位数字分别加上2，十位数字和个位数字不变，得到的四位数记为M1，将M1的千位数字与十位数字互换位置，同时百位数字与个位数字互换位置，得到的四位数记为M2，若是5的倍数，则满足条件的最大“三象数”M的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
利用菱形的性质和判定，可以帮助我们完成一些尺规作图.例如，作一个给定角∠MON的平分线.作法：
（1）以∠MON的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OM，ON于点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，OA（或OB）为半径作弧，两弧相交于点P（非点O），连接AP，BP，则四边形OAPB为菱形；
（3）作射线OP，则射线OP就是∠MON的平分线.
根据以上作法步骤完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）和证明：
证明：由尺规作图可得______.
∴四边形OAPB为菱形.
由______可得，
射线OP是∠MON的平分线.
19.(本小题10分)
某社区为提高居民反诈的意识，举办了“我是反诈达人”的知识比赛.现从该社区甲、乙两个参赛代表队中各随机抽取10名队员的比赛成绩，并进行整理、描述和分析（分数用x表示，共分为四组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.x≥90），下面给出了部分信息：
甲队10名代表的比赛成绩：76，86，88，92，92，96，96，96，98，100.
乙队10名代表的比赛成绩在D组中的所有数据为：94，96，97，98，99，100，100.
甲、乙代表队中抽取的代表比赛成绩统计表
代表队 平均数 中位数 众数 “C”组所占百分比
甲 92 a 96 20%
乙 92 96.5 b 10%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，m=______；
（2）该社区甲队有100名代表、乙队有120名代表参加了此次比赛，估计此次比赛成绩在C组的代表共有多少名；
（3）根据以上数据，你认为甲、乙哪个代表队的比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）.
20.(本小题10分)
东东在学习完二次根式后，发现一些含二次根式的式子可以写成另一个式子的完全平方，如式子，东东继续探究：设（其中a,b,m,n均为正整数），即有，则可得，东东就找到了把写成一个完全平方式的方法.根据以上信息完成下列问题：
（1）若a,b,x,y均为正整数，，请用含x,y的式子分别表示a,b；
（2）若（其中a,x,y均为正整数），求所有满足条件的数M；
（3）化简：=______.（将结果直接填写在答题卡上）
21.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中.
22.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，，∠B=60°，AB⊥AC，P为AC上一动点（不与点A，C重合），连接PD.用x表示线段AP的长度，点P到直线BC的距离为y1，△ABC的面积为S，△APD的面积为S1，.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，分别写出y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，E是边BC上任意一点，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G.
（1）如图1，求证：BF+GF=DG；
（2）如图2，E为BC的中点时，连接DE，DF，若AB=10，求DF的长度.
24.(本小题10分)
如图，已知一次函数y=kx+8（k≠0）的图象分别与x轴，y轴交于点A，B.
（1）如图1，当时，以AB为边在第一象限构造正方形ABCD，连接AC，BD，求直线AC和BD的表达式；
（2）如图2，当k＞0时，以AB为边在第二象限构造正方形ABCD，连接OC，求△OBC的面积；
（3）若k=2，点P在正比例函数y=-x的图象上，且∠ABP=45°，直接写出满足条件的点P的坐标.
25.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，AC=BC，AE⊥BC交BC于点E，且AE=CE，F为AB的中点，连接CF交AE于点G.
（1）如图1，求证：AB=CG；
（2）如图2，连接BG并延长交AD于点H，猜想DH与EG的数量关系并证明.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】x≥-3
12.【答案】50°
13.【答案】
14.【答案】5
15.【答案】
16.【答案】1254，7281．
17.【答案】9；
7-4．
18.【答案】作图如下：
OA=OB=PA=PB，菱形的每一条对角线平分一组对角．
19.【答案】94;100;10 此次比赛成绩在C组的队员约有32名 乙代表队的比赛成绩更好，理由为乙代表队被抽取的比赛成绩的中位数96.5大于甲代表队被抽取的比赛成绩的中位数94（答案不唯一）
20.【答案】a=x2+5y2，b=2xy 所有满足条件的M有，， -
21.【答案】，-2．
22.【答案】，y2=x（0＜x＜6） 函数y1，y2的图象，如图2即为所求；
当0＜x＜6时，y1随x的增大而减小；当0＜x＜6时，y2随x的增大而增大 y1＜y2时x的取值范围为：2＜x＜6
23.【答案】证明见解答过程；
10．
24.【答案】直线AC的表达式为y=7x-42；直线BD的表达式为 32 （4，-4），（-6，6）
25.【答案】证明：∵AC=BC，F为AB的中点．
∴CF⊥AB，即∠CFB=90°．
∴∠B+∠BCF=90°．
∵∠AEB=∠AEC=90°．
∴∠B+∠BAE=90°．
∴∠BCF=∠BAE．
在△ABE与△CGE中，
∴△ABE≌△CGE（AAS），
∴AB=CG DH=2EG，
过点C作CP⊥AD交AD于点P，连接CH，如图．
∵AE=CE，AE⊥CE，
∴∠ACE=45°．
由（1）可知，CF平分∠ACB．
∴∠BCF=22.5°．
∴∠ABC=∠CGE=67.5°．
∴∠D=∠ABC=67.5°．
由（1）可得AB=CG，又AB=CD，
∴CG=CD．
在△CDP与△CGE中，
∴△CDP≌△CGE（AAS）．
∴DP=EG．
由（1）可得，BE=GE．
又AE⊥BC，则∠BGE=45°，
∴∠AGH=45°．
∴△AGH为等腰直角三角形．
∴AG=AH．
又∠CAE=45°，
∴∠CAH=45°，即AC平分∠EAD．
则AC为线段GH的垂直平分线．
∴CG=CH，
∴CD=CH，
又CP⊥AD，
∴PD=PH，
∴DH=2DP=2EG
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