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2025-2026学年甘肃省天水市第二中学等校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.对于以下四个函数：①：y=x②：y=x2③：y=x3④：y=，在区间[1，2]上函数的平均变化率最大的是（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
2.下列导数运算正确的是（　　）
A. B. （3x）′=3x C. D.
3.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）关于y轴的对称点为点B，则点B的坐标是（　　）
A. （-1，-2，-3） B. （-1，2，-3） C. （1，-2，3） D. （1，2，-3）
4.已知=（1，2，1），=（2，-4，1），则2+等于（　　）
A. （4，-2，0） B. （4，0，3） C. （-4，0，3） D. （4，0，-3）
5.某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为，则t=8s时，弹簧振子的瞬时速度为（　　）
A. -3πmm/s B. 0mm/s C. 3πmm/s D. 12mm/s
6.已知两个向量，，且，则mn的值为（　　）
A. 1 B. -2 C. -3 D. 6
7.若函数在区间[1，4]上单调递减，则a的取值范围是（　　）
A. （24，+∞） B. [24，+∞） C. D.
8.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，1） B. （0，1） C. （0，2） D. （2，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，点E是CC′的中点，下列结论中正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
10.定义在R上的可导函数f（x）的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A. -2是函数f（x）的极大值点，-1是函数f（x）的极小值点
B. 0是函数f（x）的极小值点
C. 函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）
D. 函数f（x）的单调递减区间是（-2，-1）
11.若函数的导函数f′（x）是偶函数，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）的图象关于（0，0）中心对称
B. f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：8x-y-18=0
C. f（x）最小值为
D. 对任意x1，x2≥0，都有
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知函数f（x）=xlnx,则曲线y=f（x）在点（e,f（e））处的切线方程为 .
13.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1靠近D1的三等分点.F为线段BB1靠近B的三等分点，则直线FC1到平面AB1E的距离为 .
四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
函数f（x）=（x-3）ex的单调递增区间是______．
15.(本小题13分)
已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设.
（1）求；
（2）若向量与互相垂直，求实数k的值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3+ax2+b在x=-2时取得极大值4.
（1）求实数a,b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-3，1]上的最值.
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AC=2BC=CC1=2，D，E分别是A1C1，BC的中点.
（1）求证：C1E∥平面ABD；
（2）求异面直线AC与BD所成角的余弦值.
18.(本小题17分)
如图，已知平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，AB⊥AD，AB=AD=2，PQ∥DC，PQ=DC=1.
（1）求二面角Q-BC-A的余弦值；
（2）线段QB上是否存在点M，使得AM⊥平面QBC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=aln（x+2）+，（a＞0）.
（1）讨论y=f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：1＜f（x1）+f（x2）＜2.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】2x-y-e=0
13.【答案】
14.【答案】（2，+∞）
15.【答案】解：（1）由题意，，
则；
（2）由（1）可得，
因向量与互相垂直，
则得，
解得k=2或．
16.【答案】解：（1）f′（x）=3x2+2ax,由题意得，解得a=3，b=0，
此时f（x）=x3+3x2，f′（x）=3x2+6x=3x（x+2），
当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（-∞，-2）单调递增，
当x∈（-2，0）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（-2，0）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）单调递增，
所以f（x）在x=-2时取得极大值．
所以a=3，b=0．
（2）由（1）可知，f（x）在[-3，-2）单调递增，在（-2，0）单调递减，在（0，1]单调递增．
又因为f（-3）=0，f（-2）=4，f（0）=0，f（1）=4，
所以函数f（x）在区间[-3，1]上的最大值为4，最小值为0．
17.【答案】（1）证明：取AB的中点F，连接DF，EF，
因为E是BC的中点，所以EF抛下AC，且，
又AC∥A1C1，AC=A1C1，D是A1C1的中点，
所以EF∥C1D，EF=C1D，
所以四边形C1EFD是平行四边形，
所以C1E∥DF，又DF 平面ABD，C1E 平面ABD，
所以C1E∥平面ABD （2）
18.【答案】
19.【答案】答案见解析 证明见解析
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