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(共20张PPT)
第15讲 对数函数的图象与性质
考点一　对数函数的图象及应用
[例1]　(1)(2026·湖南长沙模拟)已知lg a+lg b=0(a>0,b>0,且a≠1,b≠1),则函数f(x)=a-x与g(x)=logbx的图象可能是(　　)
[解析]　由lg a+lg b=0可知,=b,
故f(x)=a-x=bx,故函数f(x)=a-x与函数g(x)=logbx的单调性相同.
B
(2)已知函数f(x)=|log3x|,若a[解析]　f(x)=|log3x|的图象如图所示.
因为01,
所以-log3a=log3b,所以ab=1,故a+2b=a+.因为对勾函数y=x+在(0,1)上单调递减,所以a+2b=a+>1+2=3,所以a+2b的取值范围是(3,+∞).
(3,+∞)
方法总结
对数函数图象的识别及应用方法
1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
跟踪训练
1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,
则a,b满足的关系是(　　)
A.0C.0解析:由题图可知,f(x)为增函数,故a>1.
f(x)与y轴的交点坐标为(0,logab),
由题图可知-1综上,0A
2.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实数根,则实数a的取值范围是　　　　　.
解析:问题等价于函数y=f(x)的图象与y=-x+a的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a>1.
(1,+∞)
考点二　对数函数的性质及应用
角度1　比较对数值的大小
[例2]　已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
D
[解析]　法一(中间量法):因为a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=lo=log23>log2e>1,所以c>a>b.
法二(图象法):lo=log23,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=ln x的图象,如图.由图可知c>a>b.
方法总结
比较对数值大小的方法
若底数相同,真数不同 若底数为同一常数,可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论
若底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底,再进行比较
若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
角度2　解对数不等式
[例3]　(1)不等式log2(x-1)<1的解集为　　　　.
[解析]　因为log2(x-1)<1,则log2(x-1)(1,3)
(2)不等式lo(2x+3)[解析]　易知lo(5x-6)3=lo(5x-6),
由lo(2x+3)又函数y=lox在(0,+∞)上单调递减,所以(,3)
方法总结
求解对数不等式的两种类型及方法
1.logax>logab:借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与02.logax>b:需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解.
跟踪训练
3.若a=log0.30.5,b=log0.50.3,c=log217,则(　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.c>b>a
解析:因为函数y=log0.3x,y=log0.5x都是减函数,
所以a=log0.30.5又c=log217=log2>log24=2,所以c>b>a.
D
4.不等式log2(2-x)>log0.5的解集为(　　)
A.(,1) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(,+∞)
A
解析:法一:因为log0.5=log2(3x-2),所以不等式化为log2(2-x)>log2(3x-2).
又y=log2x在(0,+∞)上是增函数,
所以log2(2-x)>log2(3x-2)
解得即原不等式的解集为(,1).
法二:当x=3时,log2(2-3)=log2(-1)无意义,排除C,D;
当x=0时,log0.5无意义,排除B.
考点三　对数函数性质的综合应用
[例4]　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
[解]　∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0.
∵当x>0时,f(x)=log2x,
∴当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-log2(-x),
∴f(x)=
(2)若g(x)=f(x)·f(),x∈[1,8],求函数g(x)的值域.
[解]　由题意得g(x)=log2x·log2=log2x·(log2x-2)=(log2x)2-2log2x,x∈[1,8],
令log2x=t,t∈[0,3],问题等价于求h(t)=t2-2t,t∈[0,3]的值域.
∵函数h(t)=t2-2t的图象开口向上,对称轴为直线t=1,
∴h(t)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增.
∵h(1)=1-2=-1,h(0)=0,h(3)=9-6=3,
∴h(t)min=-1,h(t)max=3,∴函数h(t)的值域为[-1,3],即函数g(x)的值域为
[-1,3].
方法总结
求与对数函数有关的综合问题,必须弄清三点:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成.
跟踪训练
5.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,且a≠1),且f(1)=2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域;
解:∵f(1)=2,∴loga4=2(a>0,且a≠1),
∴a=2.由得-1∴函数f(x)的定义域为(-1,3).
(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值.
解:f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)
=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],
∴当x∈[0,1]时,f(x)单调递增;
当x∈(1,]时,f(x)单调递减,
故函数f(x)在[0,]上的最大值是f(1)=2.第15讲对数函数的图象与性质
考点一　对数函数的图象及应用
[例1]　(1)(2026·湖南长沙模拟)已知lg a+lg b=0(a>0,b>0,且a≠1,b≠1),则函数f(x)=a-x与g(x)=logbx的图象可能是 (　　)
[答案]　B
[解析]　由lg a+lg b=0可知,=b,
故f(x)=a-x=bx,故函数f(x)=a-x与函数g(x)=logbx的单调性相同.
(2)已知函数f(x)=|log3x|,若a[答案]　(3,+∞)
[解析]　f(x)=|log3x|的图象如图所示.
因为01,所以-log3a=log3b,所以ab=1,故a+2b=a+.因为对勾函数y=x+在(0,1)上单调递减,所以a+2b=a+>1+2=3,所以a+2b的取值范围是(3,+∞).
方法总结
对数函数图象的识别及应用方法
1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 (　　)
A.0C.0答案:A
解析:由题图可知,f(x)为增函数,故a>1.
f(x)与y轴的交点坐标为(0,logab),
由题图可知-1综上,02.已知函数f(x)=关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实数根,则实数a的取值范围是　　　　　.
答案:(1,+∞)
解析:问题等价于函数y=f(x)的图象与y=-x+a的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a>1.
考点二　对数函数的性质及应用
角度1　比较对数值的大小
[例2]　已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
[答案]　D
[解析]　法一(中间量法):因为a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=lo=log23>log2e>1,所以c>a>b.
法二(图象法):lo=log23,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=ln x的图象,如图.由图可知c>a>b.
方法总结
比较对数值大小的方法
若底数相同,真数不同 若底数为同一常数,可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论
若底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底,再进行比较
若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
角度2　解对数不等式
[例3]　(1)不等式log2(x-1)<1的解集为　　　　.
[答案]　(1,3)
[解析]　因为log2(x-1)<1,则log2(x-1)(2)不等式lo(2x+3)[答案]　(,3)
[解析]　易知lo(5x-6)3=lo(5x-6),
由lo(2x+3)又函数y=lox在(0,+∞)上单调递减,所以 方法总结
求解对数不等式的两种类型及方法
1.logax>logab:借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与02.logax>b:需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解.
3.若a=log0.30.5,b=log0.50.3,c=log217,则 (　　)
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.c>b>a
答案:D
解析:因为函数y=log0.3x,y=log0.5x都是减函数,
所以a=log0.30.5又c=log217=log2>log24=2,所以c>b>a.
4.不等式log2(2-x)>log0.5的解集为 (　　)
A.(,1) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(,+∞)
答案:A
解析:法一:因为log0.5=log2(3x-2),所以不等式化为log2(2-x)>log2(3x-2).
又y=log2x在(0,+∞)上是增函数,
所以log2(2-x)>log2(3x-2)
解得即原不等式的解集为(,1).
法二:当x=3时,log2(2-3)=log2(-1)无意义,排除C,D;
当x=0时,log0.5无意义,排除B.
考点三　对数函数性质的综合应用
[例4]　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)·f(),x∈[1,8],求函数g(x)的值域.
[解]　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0.
∵当x>0时,f(x)=log2x,
∴当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-log2(-x),
∴f(x)=
(2)由题意得g(x)=log2x·log2=log2x·(log2x-2)=(log2x)2-2log2x,x∈[1,8],
令log2x=t,t∈[0,3],问题等价于求h(t)=t2-2t,t∈[0,3]的值域.
∵函数h(t)=t2-2t的图象开口向上,对称轴为直线t=1,
∴h(t)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增.
∵h(1)=1-2=-1,h(0)=0,h(3)=9-6=3,
∴h(t)min=-1,h(t)max=3,∴函数h(t)的值域为[-1,3],即函数g(x)的值域为[-1,3].
方法总结
求与对数函数有关的综合问题,必须弄清三点:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成.
5.设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,且a≠1),且f(1)=2.
(1)求实数a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值.
解:(1)∵f(1)=2,∴loga4=2(a>0,且a≠1),
∴a=2.由得-1∴函数f(x)的定义域为(-1,3).
(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)
=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],
∴当x∈[0,1]时,f(x)单调递增;
当x∈(1,]时,f(x)单调递减,
故函数f(x)在[0,]上的最大值是f(1)=2.[A组　基础保分练]
1.函数y=的定义域为 (　　)
A.[1,+∞)　　　　　　　 B.[,1]
C.(,1] D.(0,]
答案:C
解析:函数y=故函数的定义域为(,1].
2.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),则y=f(|x|-1)的图象可能是 (　　)
答案:B
解析:令g(x)=f(|x|-1)=loga(|x|-1),因为g(-x)=loga(|-x|-1)=g(x),所以g(x) 为偶函数,排除A,D;当x=3时,g(3)=loga(|3|-1)=loga2,当x= 时,g()=loga(||-1)=-loga2,所以x=3与x= 对应的函数值异号,排除C.
3.若函数f(x)=4+log2x在区间[1,a]上的最大值为6,则a= (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
答案:B
解析:因为函数f(x)=4+log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,又函数f(x)在区间[1,a]上的最大值为6,所以f(a)=4+log2a=6,即log2a=2,所以a=22=4.
4.设a=log32,b=log96,c=,则 (　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>c>a D.b>a>c
答案:D
解析:因为b=log96=lo()2=log3,且c==log3,
又函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,<2<,
则log35.若lo0.8A.0C.1答案:C
解析:因为lo0.8所以log0.8x2又因为y=log0.8x在(0,+∞)上单调递减,
所以16.(多选)已知函数f(x)=ln,下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的定义域为(-1,1)
B.f(x)为奇函数
C.f(x)在定义域上是增函数
D.f(x)的值域为(0,+∞)
答案:AB
解析:对于选项A,由>0,解得-17.(多选)(2026·湖北孝感模拟)已知函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)上单调递增,则 (　　)
A.0B.a>1
C.f(a+2 026)>f(2 027)
D.f(a+2 026)答案:AC
解析:f(x)=loga|x-1|的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).
设z=|x-1|,可得函数z=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性可得0由0又f(x)在(1,+∞)上单调递减,
则f(a+2 026)>f(2 027),故C正确,D错误.
8.函数f(x)=ln x+ln(4-x)的单调递增区间为　　　　.
答案:(0,2)
解析:由题意得4-x>0且x>0,所以0f(x)=ln x+ln(4-x)=ln(-x2+4x),令u=-x2+4x,则u=-x2+4x在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减.又y=ln u在定义域内单调递增,
所以根据复合函数单调性知,函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2).
9.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为　　　　.
答案:2
解析:由已知得f(x)=1+,
因为ln(+x)+ln[+(-x)]=ln 1=0,
所以ln[+(-x)]=-ln(+x),
易知函数y=ln(+x)的定义域为R,因此函数y=ln(+x)是奇函数.
令g(x)=,则g(-x)==-g(x),所以g(x)为奇函数,
则g(x)的最大值M1和最小值N1满足M1+N1=0.
因为M=M1+1,N=N1+1,所以M+N=2.
[B组　能力提升练]
10.(2025·全国一卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为 (　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
答案:B
解析:设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m,令m=2,则x=1,y=3-1=,z=5-3=,此时x>y>z,A有可能;
令m=5,则x=8,y=9,z=1,此时y>x>z,C有可能;
令m=8,则x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时y>z>x,D有可能.
11.已知函数f(x)=log2(x2-ax+1).
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)若f(x)在(2,4)上单调递增,求a的取值范围;
(3)设g(x)=4x-2x+1,若对于任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围.
解:(1)∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即log2(x2+ax+1)=log2(x2-ax+1).
又∵函数y=log2x是增函数,
∴x2+ax+1=x2-ax+1,即得2ax=0对于函数f(x)定义域内任意的x都成立,
∴a=0.
(2)令t=x2-ax+1,则y=log2t.
∵函数y=log2t在(0,+∞)上是增函数,且f(x)在(2,4)上单调递增,
∴函数t=x2-ax+1在(2,4)上单调递增,
且t>0在(2,4)上恒成立,∴解得a≤.
故a的取值范围为(-∞,].
(3)∵对于任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,∴f(x)≥g(x)min.
∵g(x)=4x-2x+1=(2x)2-2×2x, 令u=2x,x∈[-1,1],∴y=u2-2u,u∈[,2].
又∵二次函数y=u2-2u的图象开口向上,对称轴为直线u=1,
∴当u=1时,函数y=u2-2u有最小值-1,故当x∈[-1,1]时,g(x)min=-1.
∴f(x)≥-1对于任意x∈(0,1)恒成立,即x2-ax+1≥对于任意x∈(0,1)恒成立,
故a≤x+对于任意x∈(0,1)恒成立.
又∵由基本不等式可得x+≥,当且仅当x=时等号成立,
∴a≤ ,故a的取值范围为(-∞,].(共16张PPT)
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A组　基础保分练
1.函数y=的定义域为(　　)
A.[1,+∞)　　　　　　　 B.[,1]
C.(,1] D.(0,]
解析:函数y=
C
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2.已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),则y=f(|x|-1)的图象可能是(　　)
解析:令g(x)=f(|x|-1)=loga(|x|-1),因为g(-x)=loga(|-x|-1)=g(x),所以g(x) 为偶函数,排除A,D;当x=3时,g(3)=loga(|3|-1)=loga2,当x= 时,g()=loga(||-1)=
-loga2,所以x=3与x= 对应的函数值异号,排除C.
B
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3.若函数f(x)=4+log2x在区间[1,a]上的最大值为6,则a=(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:因为函数f(x)=4+log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,又函数f(x)在区间[1,a]上的最大值为6,所以f(a)=4+log2a=6,即log2a=2,所以a=22=4.
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4.设a=log32,b=log96,c=,则(　　)
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>c>a D.b>a>c
解析:因为b=log96=lo()2=log3,且c==log3,
又函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,<2<,
则log3D
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5.若lo0.8A.0C.1解析:因为lo0.8所以log0.8x2又因为y=log0.8x在(0,+∞)上单调递减,
所以1C
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6.(多选)已知函数f(x)=ln,下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为(-1,1)
B.f(x)为奇函数
C.f(x)在定义域上是增函数
D.f(x)的值域为(0,+∞)
AB
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解析:对于选项A,由>0,解得-11
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7.(多选)(2026·湖北孝感模拟)已知函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)上单调递增,则(　　)
A.0B.a>1
C.f(a+2 026)>f(2 027)
D.f(a+2 026)AC
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解析:f(x)=loga|x-1|的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).
设z=|x-1|,可得函数z=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性可得0由0又f(x)在(1,+∞)上单调递减,
则f(a+2 026)>f(2 027),故C正确,D错误.
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8.函数f(x)=ln x+ln(4-x)的单调递增区间为　　　　.
解析:由题意得4-x>0且x>0,所以0f(x)=ln x+ln(4-x)=ln(-x2+4x),令u=-x2+4x,则u=-x2+4x在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减.又y=ln u在定义域内单调递增,
所以根据复合函数单调性知,函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2).
(0,2)
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9.设函数f(x)=的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为　　　　.
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解析:由已知得f(x)=1+,
因为ln(+x)+ln[+(-x)]=ln 1=0,
所以ln[+(-x)]=-ln(+x),
易知函数y=ln(+x)的定义域为R,因此函数y=ln(+x)是奇函数.
令g(x)=,则g(-x)==-g(x),所以g(x)为奇函数,
则g(x)的最大值M1和最小值N1满足M1+N1=0.
因为M=M1+1,N=N1+1,所以M+N=2.
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B组　能力提升练
10.(2025·全国一卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为(　　)
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
解析:设2+log2x=3+log3y=5+log5z=m,令m=2,则x=1,y=3-1=,z=5-3=,此时x>y>z,A有可能;
令m=5,则x=8,y=9,z=1,此时y>x>z,C有可能;
令m=8,则x=26=64,y=35=243,z=53=125,此时y>z>x,D有可能.
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11.已知函数f(x)=log2(x2-ax+1).
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
解:∵函数f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即log2(x2+ax+1)=log2(x2-ax+1).
又∵函数y=log2x是增函数,
∴x2+ax+1=x2-ax+1,即得2ax=0对于函数f(x)定义域内任意的x都成立,
∴a=0.
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(2)若f(x)在(2,4)上单调递增,求a的取值范围;
解:令t=x2-ax+1,则y=log2t.
∵函数y=log2t在(0,+∞)上是增函数,且f(x)在(2,4)上单调递增,
∴函数t=x2-ax+1在(2,4)上单调递增,
且t>0在(2,4)上恒成立,∴解得a≤.
故a的取值范围为(-∞,].
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(3)设g(x)=4x-2x+1,若对于任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值范围.
解:∵对于任意x1∈(0,1),存在x2∈[-1,1],使得不等式f(x1)≥g(x2)成立, ∴f(x)≥g(x)min.
∵g(x)=4x-2x+1=(2x)2-2×2x, 令u=2x,x∈[-1,1],∴y=u2-2u,u∈[,2].
又∵二次函数y=u2-2u的图象开口向上,对称轴为直线u=1,
∴当u=1时,函数y=u2-2u有最小值-1,故当x∈[-1,1]时,g(x)min=-1.
∴f(x)≥-1对于任意x∈(0,1)恒成立,即x2-ax+1≥对于任意x∈(0,1)恒成立,
故a≤x+对于任意x∈(0,1)恒成立.
又∵由基本不等式可得x+≥,当且仅当x=时等号成立,
∴a≤ ,故a的取值范围为(-∞,].

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