资源简介

(共22张PPT)
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A组　基础保分练
1.下列函数的图象均与x轴有交点,其中不宜用二分法求函数零点的是(　　)
解析:由题意知,利用二分法求函数的零点时,该函数的零点必须是变号零点,所以根据这个条件可知,不宜用二分法求函数零点的是选项C.
C
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2.函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.1个　　　　　　　　　　 B.2个
C.3个 D.4个
解析:当x≤1时,令f(x)=0,即-x2-3x-2=0,解得x=-1或x=-2,
当x>1时,令f(x)=0,即2x-2-4=0,解得x=4.
综上可知,函数f(x)有3个零点.
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3.(2026·湖北十堰模拟)函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是(　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
解析:函数f(x)=x+ln x-4的定义域为(0,+∞),因为f(x)在(0,+∞)上连续且为增函数.
且f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=-1+ln 3>0,则f(2)·f(3)<0.
由零点存在定理可知,函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是(2,3).
C
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4.某同学用二分法求函数f(x)=ex+x-5的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示:
则该函数零点的近似值(精确度为0.01)可以是(　　)
A.1.20 B.1.21
C.1.27 D.1.32
f(1)≈-1.282 f(2)≈4.389
f(1.5)≈0.982 f(1.25)≈-0.260
f(1.375)≈0.330 f(1.312 5)≈0.028
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解析:f(1.25)≈-0.260<0,f(1.312 5)≈0.028>0,
由零点存在定理得,在区间(1.25,1.312 5)内存在零点,
由于1.27∈(1.25,1.312 5),1.20,1.21,1.32 (1.25,1.312 5),
故该函数零点的近似值(精确度为0.01)可以是1.27,其他选项不正确.
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5.(2026·湖南岳阳模拟)若函数f(x)有唯一零点,且f(x+1)=x2-1+a(ex+e-x),则a=(　　)
A.- B.
C. D.1
解析:由于f(x)有唯一的零点,所以f(x+1)也有唯一的零点,
由于y=x2-1,y=a(ex+e-x)均为偶函数,所以g(x)=f(x+1)也为偶函数,
因此g(0)=f(1)=-1+2a=0,故a=.
C
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6.已知函数f(x)=12-x-lg x在区间(n,n+1)上有唯一零点,则正整数n=(　　)
A.8 B.9
C.10 D.11
解析:函数f(x)=12-x-lg x的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上是减函数.
∵f(11)=12-11-lg 11=1-lg 11<0,f(10)=12-10-lg 10=1>0,
∴f(11)f(10)<0,
根据零点存在定理及其单调性,可得函数f(x)的唯一零点所在区间为(10,11),
∴n=10.
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7.(多选)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(　　)
A.y=x(2x+2-x)
B.y=log2x2
C.y=lg(1-x)+lg(1+x)
D.y=
BC
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解析:对于A,由y=f(x)=x(2x+2-x)得f(1)=≠-=f(-1),故y=x(2x+2-x)不是偶函数,故A错误.
对于B,由x2>0,解得x≠0,所以y=g(x)=log2x2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
又g(-x)=log2(-x)2=log2x2=g(x),所以y=log2x2是偶函数.
而g(1)=log21=0,所以y=log2x2是偶函数又存在零点,故B正确.
对于C,由解得-11
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所以函数y=h(x)=lg(1-x)+lg(1+x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
又h(-x)=lg(1+x)+lg(1-x)=h(x),所以y=lg(1-x)+lg(1+x)是偶函数.
而lg(1-0)+lg(1+0)=0,所以y=lg(1-x)+lg(1+x)存在零点,
所以y=lg(1-x)+lg(1+x)是偶函数又存在零点,故C正确.
对于D,由x-1≠0,解得x≠1,所以y=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以y=不是偶函数,故D错误.
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8.(多选)函数f(x)=-ln(x+1)的零点所在区间不可能是 (　 　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
ACD
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解析:由f(x)=-ln(x+1)可知函数的定义域为(-1,+∞),函数在定义域上单调递减.
对于A,因为f(0)=2>0,f(1)=1-ln 2>0,所以f(0)f(1)>0,故函数在区间(0,1)上无零点,故A符合题意;
对于B,因为f(1)=1-ln 2>0,f(2)=-ln 3<0,所以f(1)f(2)<0,故函数在区间(1,2)上有零点,故B不符合题意;
对于C,因为f(2)=-ln 3<0,f(3)=-ln 4<0,所以f(2)f(3)>0,故函数在区间(2,3)上无零点,故C符合题意;
对于D,因为f(3)=-ln 4<0,f(4)=-ln 5<0,所以f(3)f(4)>0,故函数在区间(3,4)上无零点,故D符合题意.
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9.设正实数a,b,c分别满足a·2a=b·log3b=c·log2c=1,则a,b,c的大小关系为　　　　　.
解析:由已知可得=2a,=log3b,=log2c,
作出y=,y=2x,y=log3x,y=log2x的图象如图所示,
则y=2x,y=log3x,y=log2x的图象与y=的图象的交点的横坐标分别为a,b,c,
由图象可得b>c>a.
b>c>a
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10.若函数f(x)=2x-+a在区间(1,2)上存在零点,则常数a的取值范围为　　　　.
(-,-1)
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解析:因为y=2x,y=-在(1,2)上均为增函数,
所以函数f(x)=2x-+a在区间(1,2)上为增函数,且函数图象连续不间断,
若f(x)在区间(1,2)上存在零点,
则
解得-故常数a的取值范围为(-,-1).
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11.已知a,b,c分别是函数f(x)=ex-,g(x)=ln x-,h(x)=x2-的零点,则(　　)
A.cC.cB组　能力提升练
B
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解析:令f(x)=ex-=0,g(x)=ln x-=0,h(x)=x2-=0,
得ex=,ln x=,x=1=c,
在同一平面直角坐标系中作出函数y=ex,y=,y=ln x的图象,
如图所示.
由图象知,a<11
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12.(多选)已知函数f(x)=ax-()x(a>0且a≠1),则下列结论正确的是(　　 )
A.函数f(x)的图象过定点(0,1)
B.函数f(x)在其定义域上有零点
C.函数f(x)是奇函数
D.当a=2时,函数f(x)在其定义域上单调递增
BCD
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解析:对于A选项,因为f(0)=a0-()0=0,故函数f(x)的图象过定点(0,0),A错误;
对于B选项,因为f(x)=ax-()x的定义域为R,且f(0)=0,
故函数f(x)在其定义域上有零点,B正确;
对于C选项,因为f(x)=ax-a-x,该函数的定义域为R,
且f(-x)=a-x-ax=-f(x),即函数f(x)是奇函数,C正确;
对于D选项,当a=2时,f(x)=2x-()x,
因为函数y=2x,y=-()x均为R上的增函数,
所以函数f(x)=2x-()x在R上为增函数,D正确.
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13.(2026·山西临汾模拟)已知a>0,函数f(x)=g(x)=ax-a.若函数F(x)=f(x)-g(x)有3个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
(0,)
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解析:因为函数F(x)=f(x)-g(x)有3个零点,即方程f(x)-g(x)=0有3个解,
当x>0时,方程为=ax-a,即1=ax2-ax,即ax2-ax-1=0.
因为a>0,所以Δ=(-a)2+4a>0,所以方程有2个不相等的实数根.又<0,
所以ax2-ax-1=0有1个正根与1个负根.
又x>0,所以F(x)=f(x)-g(x)有一正的零点.
当x≤0时,方程为ax2+x=ax-a,即ax2+(1-a)x+a=0.
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因为函数F(x)=f(x)-g(x)有3个零点,所以方程ax2+(1-a)x+a=0有2个非正根,
所以
解得-1又a>0,所以0所以实数a的取值范围是(0,).第17讲函数与方程
考点一　判断函数零点所在的区间
[例1]　(2025·天津卷)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是 (　　)
A.(0,0.3)　　　　　　　　 B.(0.3,0.5)
C.(0.5,1) D.(1,2)
[答案]　B
[解析]　由指数函数、幂函数的单调性可知,y=0.3x在R上单调递减,y=在[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=0.3x-在定义域上单调递减,
显然f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0,f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0,
所以根据零点存在定理可知f(x)的零点所在区间是(0.3,0.5).
方法总结
函数零点所在区间的判断方法及适用情形
1.定理法:利用函数零点存在定理进行判断,适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形.
2.图象法:画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断,适用于容易画出函数图象的情形.
1.根据下列表格的对应值判断,方程x2+x-1=0一个解的取值范围是 (　　)
x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63
x2+x-1 -0.061 9 -0.04 -0.017 9 0.004 4 0.026 9
A.0.59C.0.61答案:C
解析:∵当x=0.61时,x2+x-1=-0.017 9<0;当x=0.62时,x2+x-1=0.004 4>0,
则在0.61和0.62之间有一个值能使x2+x-1的值为0,∴方程x2+x-1=0一个解的取值范围是0.612.(2026·河北沧州模拟)函数f(x)=2x+ln x-1的零点所在的区间为 (　　)
A.(0,) B.(,1)
C.(1,) D.(,2)
答案:B
解析:因为y=2x与y=ln x-1均在其定义域上单调递增,
所以f(x)=2x+ln x-1在(0,+∞)上单调递增.
又f()=+ln-1=-1-ln 2,
∵-1<,ln 2>ln=,
∴f()=-1-ln 2<0.
又∵f(1)=2+ln 1-1=1>0,∴函数f(x)的零点所在区间是(,1).
考点二　判断函数零点的个数
[例2]　函数f(x)=的零点个数是 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
[答案]　B
[解析]　因为f(x)=
当x≤0时,令f(x)=0,即x2+3x-4=0,解得x1=-4,x2=1(舍去);
当x>0时,令f(x)=0,即log2(x+2)-3=0,即log2(x+2)=3,解得x3=6.
综上可得函数f(x)的零点为-4,6,共2个.
方法总结
函数零点个数的判断方法
1.直接法:令f(x)=0,有几个解就有几个零点.
2.定理法:首先确定函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.
3.图象法:将原函数分成两个函数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.
3.函数f(x)=ex|ln x|-2的零点个数为 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案:B
解析:令f(x)=0,所以|ln x|=.
在同一平面直角坐标系中画出两个函数y=|ln x|,y=的图象,根据图象可得有2个交点,故原函数有2个零点.
考点三　利用函数的零点求参数
[例3]　(1)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是 (　　)
A.0C.1[答案]　A
[解析]　因为函数y=2x,y=-在(0,+∞)上均单调递增,
所以函数f(x)=2x--a在(0,+∞)上单调递增,
由函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内得f(1)=-a<0,f(2)=3-a>0,
解得0(2)(2026·北京模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-mx有三个零点,则实数m的取值范围为　　　　.
[答案]　(0,1)∪(2,+∞)
[解析]　易知x=0为g(x)的一个零点,当x≠0时,令g(x)=f(x)-mx=0,得=m,
令h(x)=,
则h(x)=作出h(x)的图象,
如图,依题意,只需y=m与y=h(x)有两个交点即可.
由图可得m∈(0,1)∪(2,+∞).
方法总结
利用函数零点求参数范围的方法
4.函数f(x)=+x2+m在区间(2,4)上存在零点,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-18) B.(4+,+∞)
C.(4+,18) D.(-18,-4-)
答案:D
解析:函数f(x)=+x2+m在(2,4)上的图象连续不断,且为增函数,
若f(x)=+x2+m在区间(2,4)上存在零点,
根据零点存在定理可知,只需满足f(2)·f(4)<0,
即(m+4+)(m+18)<0,解得-185.已知函数f(x)=若方程f(x)=k有三个不同的实数解,则k的取值范围为 (　　)
A.(-∞,3) B.(-∞,3]
C.[3,4) D.(3,4)
答案:C
解析:根据题意,画出函数y=f(x)和y=k的图象,如图.
当x≤0时,f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,f(x)max=f(-1)=4,f(0)=3,
由图象可知当3≤k<4时,方程f(x)=k有三个解.[A组　基础保分练]
1.下列函数的图象均与x轴有交点,其中不宜用二分法求函数零点的是 (　　)
答案:C
解析:由题意知,利用二分法求函数的零点时,该函数的零点必须是变号零点,所以根据这个条件可知,不宜用二分法求函数零点的是选项C.
2.函数f(x)=的零点个数为(　　)
A.1个　　　　　　　　　　 B.2个
C.3个 D.4个
答案:C
解析:当x≤1时,令f(x)=0,即-x2-3x-2=0,解得x=-1或x=-2,
当x>1时,令f(x)=0,即2x-2-4=0,解得x=4.
综上可知,函数f(x)有3个零点.
3.(2026·湖北十堰模拟)函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是 (　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
答案:C
解析:函数f(x)=x+ln x-4的定义域为(0,+∞),因为f(x)在(0,+∞)上连续且为增函数.
且f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=-1+ln 3>0,则f(2)·f(3)<0.
由零点存在定理可知,函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是(2,3).
4.某同学用二分法求函数f(x)=ex+x-5的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示:
f(1)≈-1.282 f(2)≈4.389
f(1.5)≈0.982 f(1.25)≈-0.260
f(1.375)≈0.330 f(1.312 5)≈0.028
则该函数零点的近似值(精确度为0.01)可以是(　　)
A.1.20 B.1.21
C.1.27 D.1.32
答案:C
解析:f(1.25)≈-0.260<0,f(1.312 5)≈0.028>0,
由零点存在定理得,在区间(1.25,1.312 5)内存在零点,
由于1.27∈(1.25,1.312 5),1.20,1.21,1.32 (1.25,1.312 5),
故该函数零点的近似值(精确度为0.01)可以是1.27,其他选项不正确.
5.(2026·湖南岳阳模拟)若函数f(x)有唯一零点,且f(x+1)=x2-1+a(ex+e-x),则a= (　　)
A.- B.
C. D.1
答案:C
解析:由于f(x)有唯一的零点,所以f(x+1)也有唯一的零点,
由于y=x2-1,y=a(ex+e-x)均为偶函数,所以g(x)=f(x+1)也为偶函数,
因此g(0)=f(1)=-1+2a=0,故a=.
6.已知函数f(x)=12-x-lg x在区间(n,n+1)上有唯一零点,则正整数n= (　　)
A.8 B.9
C.10 D.11
答案:C
解析:函数f(x)=12-x-lg x的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上是减函数.
∵f(11)=12-11-lg 11=1-lg 11<0,f(10)=12-10-lg 10=1>0,
∴f(11)f(10)<0,
根据零点存在定理及其单调性,可得函数f(x)的唯一零点所在区间为(10,11),
∴n=10.
7.(多选)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(　　)
A.y=x(2x+2-x)
B.y=log2x2
C.y=lg(1-x)+lg(1+x)
D.y=
答案:BC
解析:对于A,由y=f(x)=x(2x+2-x)得f(1)=≠-=f(-1),故y=x(2x+2-x)不是偶函数,故A错误.
对于B,由x2>0,解得x≠0,所以y=g(x)=log2x2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
又g(-x)=log2(-x)2=log2x2=g(x),所以y=log2x2是偶函数.
而g(1)=log21=0,所以y=log2x2是偶函数又存在零点,故B正确.
对于C,由解得-1所以函数y=h(x)=lg(1-x)+lg(1+x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
又h(-x)=lg(1+x)+lg(1-x)=h(x),所以y=lg(1-x)+lg(1+x)是偶函数.
而lg(1-0)+lg(1+0)=0,所以y=lg(1-x)+lg(1+x)存在零点,
所以y=lg(1-x)+lg(1+x)是偶函数又存在零点,故C正确.
对于D,由x-1≠0,解得x≠1,所以y=的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以y=不是偶函数,故D错误.
8.(多选)函数f(x)=-ln(x+1)的零点所在区间不可能是 (　　)
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
答案:ACD
解析:由f(x)=-ln(x+1)可知函数的定义域为(-1,+∞),函数在定义域上单调递减.
对于A,因为f(0)=2>0,f(1)=1-ln 2>0,所以f(0)f(1)>0,故函数在区间(0,1)上无零点,故A符合题意;
对于B,因为f(1)=1-ln 2>0,f(2)=-ln 3<0,所以f(1)f(2)<0,故函数在区间(1,2)上有零点,故B不符合题意;
对于C,因为f(2)=-ln 3<0,f(3)=-ln 4<0,所以f(2)f(3)>0,故函数在区间(2,3)上无零点,故C符合题意;
对于D,因为f(3)=-ln 4<0,f(4)=-ln 5<0,所以f(3)f(4)>0,故函数在区间(3,4)上无零点,故D符合题意.
9.设正实数a,b,c分别满足a·2a=b·log3b=c·log2c=1,则a,b,c的大小关系为　　　　　.
答案:b>c>a
解析:由已知可得=2a,=log3b,=log2c,
作出y=,y=2x,y=log3x,y=log2x的图象如图所示,
则y=2x,y=log3x,y=log2x的图象与y=的图象的交点的横坐标分别为a,b,c,
由图象可得b>c>a.
10.若函数f(x)=2x-+a在区间(1,2)上存在零点,则常数a的取值范围为　　　　.
答案:(-,-1)
解析:因为y=2x,y=-在(1,2)上均为增函数,
所以函数f(x)=2x-+a在区间(1,2)上为增函数,且函数图象连续不间断,
若f(x)在区间(1,2)上存在零点,
则
解得-故常数a的取值范围为(-,-1).
[B组　能力提升练]
11.已知a,b,c分别是函数f(x)=ex-,g(x)=ln x-,h(x)=x2-的零点,则 (　　)
A.cC.c答案:B
解析:令f(x)=ex-=0,g(x)=ln x-=0,h(x)=x2-=0,
得ex=,ln x=,x=1=c,
在同一平面直角坐标系中作出函数y=ex,y=,y=ln x的图象,
如图所示.
由图象知,a<112.(多选)已知函数f(x)=ax-()x(a>0且a≠1),则下列结论正确的是 (　　)
A.函数f(x)的图象过定点(0,1)
B.函数f(x)在其定义域上有零点
C.函数f(x)是奇函数
D.当a=2时,函数f(x)在其定义域上单调递增
答案:BCD
解析:对于A选项,因为f(0)=a0-()0=0,故函数f(x)的图象过定点(0,0),A错误;
对于B选项,因为f(x)=ax-()x的定义域为R,且f(0)=0,
故函数f(x)在其定义域上有零点,B正确;
对于C选项,因为f(x)=ax-a-x,该函数的定义域为R,
且f(-x)=a-x-ax=-f(x),即函数f(x)是奇函数,C正确;
对于D选项,当a=2时,f(x)=2x-()x,
因为函数y=2x,y=-()x均为R上的增函数,
所以函数f(x)=2x-()x在R上为增函数,D正确.
13.(2026·山西临汾模拟)已知a>0,函数f(x)=g(x)=ax-a.若函数F(x)=f(x)-g(x)有3个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
答案:(0,)
解析:因为函数F(x)=f(x)-g(x)有3个零点,即方程f(x)-g(x)=0有3个解,
当x>0时,方程为=ax-a,即1=ax2-ax,即ax2-ax-1=0.
因为a>0,所以Δ=(-a)2+4a>0,所以方程有2个不相等的实数根.又<0,
所以ax2-ax-1=0有1个正根与1个负根.
又x>0,所以F(x)=f(x)-g(x)有一正的零点.
当x≤0时,方程为ax2+x=ax-a,即ax2+(1-a)x+a=0.
因为函数F(x)=f(x)-g(x)有3个零点,所以方程ax2+(1-a)x+a=0有2个非正根,
所以
解得-1又a>0,所以0所以实数a的取值范围是(0,).(共18张PPT)
第17讲 函数与方程
考点一　判断函数零点所在的区间
[例1]　(2025·天津卷)函数f(x)=0.3x-的零点所在区间是(　　)
A.(0,0.3)　　　　　　　　 B.(0.3,0.5)
C.(0.5,1) D.(1,2)
[解析]　由指数函数、幂函数的单调性可知,y=0.3x在R上单调递减, y=在[0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=0.3x-在定义域上单调递减,
显然f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0,f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0,
所以根据零点存在定理可知f(x)的零点所在区间是(0.3,0.5).
B
方法总结
函数零点所在区间的判断方法及适用情形
1.定理法:利用函数零点存在定理进行判断,适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形.
2.图象法:画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断,适用于容易画出函数图象的情形.
跟踪训练
1.根据下列表格的对应值判断,方程x2+x-1=0一个解的取值范围是(　　)
A.0.59C.0.61x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63
x2+x-1 -0.061 9 -0.04 -0.017 9 0.004 4 0.026 9
C
解析:∵当x=0.61时,x2+x-1=-0.017 9<0;当x=0.62时,x2+x-1=0.004 4>0,
则在0.61和0.62之间有一个值能使x2+x-1的值为0,∴方程x2+x-1=0一个解的取值范围是0.612.(2026·河北沧州模拟)函数f(x)=2x+ln x-1的零点所在的区间为(　　)
A.(0,) B.(,1)
C.(1,) D.(,2)
B
解析:因为y=2x与y=ln x-1均在其定义域上单调递增,
所以f(x)=2x+ln x-1在(0,+∞)上单调递增.
又f()=+ln-1=-1-ln 2,
∵-1<,ln 2>ln=,
∴f()=-1-ln 2<0.
又∵f(1)=2+ln 1-1=1>0,∴函数f(x)的零点所在区间是(,1).
考点二　判断函数零点的个数
[例2]　函数f(x)=的零点个数是 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
[解析]　因为f(x)=
当x≤0时,令f(x)=0,即x2+3x-4=0,解得x1=-4,x2=1(舍去);
当x>0时,令f(x)=0,即log2(x+2)-3=0,即log2(x+2)=3,解得x3=6.
综上可得函数f(x)的零点为-4,6,共2个.
方法总结
函数零点个数的判断方法
1.直接法:令f(x)=0,有几个解就有几个零点.
2.定理法:首先确定函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数.
3.图象法:将原函数分成两个函数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.
跟踪训练
3.函数f(x)=ex|ln x|-2的零点个数为(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:令f(x)=0,所以|ln x|=.
在同一平面直角坐标系中画出两个函数y=|ln x|,y=的图象,根据图象可得有2个交点,故原函数有2个零点.
B
考点三　利用函数的零点求参数
[例3]　(1)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(　　)
A.0C.1A
[解析]　因为函数y=2x,y=-在(0,+∞)上均单调递增,
所以函数f(x)=2x--a在(0,+∞)上单调递增,
由函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内得f(1)=-a<0,f(2)=3-a>0,
解得0(2)(2026·北京模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-mx有三个零点,则实数m的取值范围为　　 　　.
[解析]　易知x=0为g(x)的一个零点,当x≠0时,令g(x)=f(x)-mx=0,得=m,
令h(x)=,
则h(x)=作出h(x)的图象,
如图,依题意,只需y=m与y=h(x)有两个交点即可.
由图可得m∈(0,1)∪(2,+∞).
(0,1)∪(2,+∞)
方法总结
利用函数零点求参数范围的方法
跟踪训练
4.函数f(x)=+x2+m在区间(2,4)上存在零点,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-18) B.(4+,+∞)
C.(4+,18) D.(-18,-4-)
D
解析:函数f(x)=+x2+m在(2,4)上的图象连续不断,且为增函数,
若f(x)=+x2+m在区间(2,4)上存在零点,
根据零点存在定理可知,只需满足f(2)·f(4)<0,
即(m+4+)(m+18)<0,解得-18-4-).
5.已知函数f(x)=若方程f(x)=k有三个不同的实数解,则k的取值范围为(　　)
A.(-∞,3) B.(-∞,3]
C.[3,4) D.(3,4)
解析:根据题意,画出函数y=f(x)和y=k的图象,如图.
当x≤0时,f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,f(x)max=f(-1)=4,f(0)=3,
由图象可知当3≤k<4时,方程f(x)=k有三个解.
C

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