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第18讲函数模型及应用
考点一　指数、对数、幂函数的增长速度问题
[例1]　现有一组关于速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的实验数据,如下表:
t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18
v 1.5 4.02 7.5 12 18.3
用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律,其中最接近的一个是 (　　)
A.v=log2t　　　　　　 B.v=t
C.v= D.v=2t-2
[答案]　C
[解析]　从表中数据的变化趋势看,函数递增的速度不断加快.
A项,是对数函数模型,其递增速度越来越慢,不符合题意;
B项,随着t的增大,v变小,不符合题意;
C项,是二次函数模型,对比数据,其最接近实验数据的变化趋势,符合题意;
D项,是一次函数模型,增长速度不变,不符合题意.
方法总结
常见的函数模型及增长特点
1.指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”.
2.对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
3.幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长速度和对数增长速度之间.
1.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,等到茶水温度降至60 ℃时再饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图,则下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的是 (　　)
A.y=mx2+n(m>0)
B.y=max+n(m>0,0C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
答案:B
解析:由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0考点二　已知函数模型解决实际问题
[例2]　(1)(2026·山东青岛模拟)已知臭氧层中的臭氧含量Q与时间t(单位:年)的关系为Q=Q0,其中Q0是臭氧的初始含量,则臭氧消失一半所需要的时间约为(ln 2≈0.693,精确到1年) (　　)
A.265年 B.266年
C.276年 D.277年
[答案]　D
[解析]　令Q=Q0=Q0可得=,可得-=ln=-ln 2,所以t=400ln 2≈277,故臭氧消失一半所需要的时间约为277年.
(2)(2025·北京卷)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(　　)
A.2 h B.4 h
C.20 h D.40 h
[答案]　B
[解析]　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1,T2,T3,
由题意,T1=klog2106=6klog210,
T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210),
T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210).
因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2,
所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4,
所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4 h.
方法总结
已知函数模型解决实际问题的技巧
1.认清所给函数模型,明确其中的变量,弄清楚哪些为待定系数.
2.根据已知条件,利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
3.利用该函数模型,借助函数的性质、系数等解决相关问题.
2.(2026·北京模拟)经研究表明,糖块的溶解过程可以用指数型函数S=ae-kt(a,k为常数)来描述,其中S(单位:g)代表第t min末未溶解糖块的质量.现将一块质量为7g的糖块放入一定量的水中,在第5min末测得未溶解糖块的质量为3.5g,则k=(　　)
A. B.
C.ln 2 D.ln 3
答案:A
解析:由题意,当t=0时,S=a=7,
当t=5时,S=7e-5k=3.5,则e-5k=,
则-5k=ln=-ln 2,即k=.
3.(2026·广东广州模拟)声强级LI(单位:dB)由公式LI=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).轻柔音乐的声强一般在10-8~10-6 W/m2之间,则轻柔音乐的声强级范围是 (　　)
A.0~20 dB B.20~40 dB
C.40~60 dB D.60~80 dB
答案:C
解析:依题意可得10-8≤I≤10-6,所以104≤≤106,所以4≤lg≤6,所以40≤10lg≤60,即轻柔音乐的声强级范围是40~60 dB.
考点三　构建初等函数模型解决实际问题
[例3]　已知某零件原来的售价为15元,可售出50万件,据市场调查,该零件的单价每提高1元,销售量就减少2万件,现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售,设提价后的零件售价为x(x∈N*)元.
(1)求提价后该零件的销售总收入(单位:万元)的最大值;
(2)若提价后该零件的销售总收入(单位:万元)不低于原来的销售总收入,求x的取值集合.
[解]　(1)由题意可得提价后该零件的销售总收入y=[50-2(x-15)]x=-2x2+80x.
因为y=-2x2+80x=-2(x-20)2+800,
所以当x=20时,y取得最大值800,
即该零件的售价为20元时,该零件的销售总收入取得最大值800万元.
(2)由题意可得
整理得
解得15 方法总结
构建函数模型解决实际问题的步骤
1.建模:抽象出实际问题的数学模型.
2.推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.
3.评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
4.(2026·山东淄博模拟)随着人工智能技术的快速发展,训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长.某公司现有新一代人工智能芯片,其有A,B两套设计方案.若A设计方案中初始计算量为N1,每年增长50%;B设计方案中初始计算量为N2(N2=3N1),每年增长20%.要使A设计方案计算量比B设计方案计算量更高,则至少需要(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477 ) (　　)
A.4年 B.5年
C.6年 D.7年
答案:B
解析:设x年后A设计方案计算量更高,
则x年后,A设计方案计算量为N1()x,B设计方案计算量为3N1·()x,
则N1()x>3N1()x ()x>3 xlg>lg 3 x>==≈≈4.92,
要使A设计方案计算量比B设计方案计算量更高,则至少需要5年.(共17张PPT)
第18讲 函数模型及应用
考点一　指数、对数、幂函数的增长速度问题
[例1]　现有一组关于速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的实验数据,如下表:
用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　)
A.v=log2t　　　　　　 B.v=t
C.v= D.v=2t-2
t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18
v 1.5 4.02 7.5 12 18.3
C
[解析]　从表中数据的变化趋势看,函数递增的速度不断加快.
A项,是对数函数模型,其递增速度越来越慢,不符合题意;
B项,随着t的增大,v变小,不符合题意;
C项,是二次函数模型,对比数据,其最接近实验数据的变化趋势,符合题意;
D项,是一次函数模型,增长速度不变,不符合题意.
方法总结
常见的函数模型及增长特点
1.指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”.
2.对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
3.幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长速度和对数增长速度之间.
跟踪训练
1.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,等到茶水温度降至60 ℃时再饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图,则下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的是(　　)
A.y=mx2+n(m>0)
B.y=max+n(m>0,0C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
解析:由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0B
考点二　已知函数模型解决实际问题
[例2]　(1)(2026·山东青岛模拟)已知臭氧层中的臭氧含量Q与时间t(单位:年)的关系为Q=Q0,其中Q0是臭氧的初始含量,则臭氧消失一半所需要的时间约为(ln 2≈0.693,精确到1年)(　　)
A.265年 B.266年
C.276年 D.277年
[解析]　令Q=Q0=Q0可得=,可得-=ln=-ln 2,所以t=400ln 2≈277,故臭氧消失一半所需要的时间约为277年.
D
(2)(2025·北京卷)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(　　)
A.2 h B.4 h
C.20 h D.40 h
B
[解析]　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1,T2,T3,
由题意,T1=klog2106=6klog210,
T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210),
T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210).
因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2,
所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4,
所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4 h.
方法总结
已知函数模型解决实际问题的技巧
1.认清所给函数模型,明确其中的变量,弄清楚哪些为待定系数.
2.根据已知条件,利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
3.利用该函数模型,借助函数的性质、系数等解决相关问题.
跟踪训练
2.(2026·北京模拟)经研究表明,糖块的溶解过程可以用指数型函数
S=ae-kt(a,k为常数)来描述,其中S(单位:g)代表第t min末未溶解糖块的质量.现将一块质量为7g的糖块放入一定量的水中,在第5min末测得未溶解糖块的质量为3.5g,则k=(　　)
A. B.
C.ln 2 D.ln 3
A
解析:由题意,当t=0时,S=a=7,
当t=5时,S=7e-5k=3.5,则e-5k=,
则-5k=ln=-ln 2,即k=.
3.(2026·广东广州模拟)声强级LI(单位:dB)由公式LI=10lg给出,其中I为声强(单位:W/m2).轻柔音乐的声强一般在10-8~10-6 W/m2之间,则轻柔音乐的声强级范围是(　　)
A.0~20 dB B.20~40 dB
C.40~60 dB D.60~80 dB
C
解析:依题意可得10-8≤I≤10-6,所以104≤≤106,所以4≤lg≤6,所以40≤10lg≤60,即轻柔音乐的声强级范围是40~60 dB.
考点三　构建初等函数模型解决实际问题
[例3]　已知某零件原来的售价为15元,可售出50万件,据市场调查,该零件的单价每提高1元,销售量就减少2万件,现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售,设提价后的零件售价为x(x∈N*)元.
(1)求提价后该零件的销售总收入(单位:万元)的最大值;
[解]　由题意可得提价后该零件的销售总收入y=[50-2(x-15)]x=-2x2+
80x.
因为y=-2x2+80x=-2(x-20)2+800,
所以当x=20时,y取得最大值800,
即该零件的售价为20元时,该零件的销售总收入取得最大值800万元.
(2)若提价后该零件的销售总收入(单位:万元)不低于原来的销售总收入,求x的取值集合.
[解]　由题意可得
整理得
解得15方法总结
构建函数模型解决实际问题的步骤
1.建模:抽象出实际问题的数学模型.
2.推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.
3.评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
跟踪训练
4.(2026·山东淄博模拟)随着人工智能技术的快速发展,训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长.某公司现有新一代人工智能芯片,其有A,B两套设计方案.若A设计方案中初始计算量为N1,每年增长50%;B设计方案中初始计算量为N2(N2=3N1),每年增长20%.要使A设计方案计算量比B设计方案计算量更高,则至少需要(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈
0.477 )(　　)
A.4年 B.5年
C.6年 D.7年
B
解析:设x年后A设计方案计算量更高,
则x年后,A设计方案计算量为N1()x,B设计方案计算量为3N1·()x,
则N1()x>3N1()x ()x>3 xlg>lg 3 x>==≈≈4.92,
要使A设计方案计算量比B设计方案计算量更高,则至少需要5年.(共26张PPT)
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A组　基础保分练
1.设f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是(　　)
A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢
D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢
B
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解析:画出函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的图象,如图所示,
结合图象,可得三个函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x中,
当x∈(4,+∞)时,函数g(x)=2x增长速度最快,h(x)=log2x
增长速度最慢,故B正确.
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2.(2024·北京卷)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　)
A.3N2=2N1　　　　　　　 B.2N2=3N1
C.= D.=
解析:由题意,得=2.1,=3.15,若S不变,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,故ln =ln ,所以=.
D
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3.某放射性物质在衰减过程中,其质量y与年数t满足关系式y=m0e-kt(m0为初始质量,m0>0,k为常数,e≈2.718).已知该放射性物质经过4年,其质量变为初始质量的,若再经过8年,该放射性物质的质量变为初始质量的 (　　)
A. B.
C. D.
C
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解析:依题意,m0=m0e-4k,则e-4k=,
再经过8年,即t=12时,y=m0e-12k=m0(e-4k)3=m0,所以再经过8年,该放射性物质的质量变为初始质量的.
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4.我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据,分别是小数记录与五分记录,其部分数据如下表所示.
小数 记录x 0.1 0.12 0.15 0.2 … … 1.0 1.2 1.5 2.0
五分 记录y 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3
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现有如下函数模型:①y=5+lg x;②y=5+lg.x表示小数记录数据,y表示五分记录数据.请选择最合适的模型解决如下问题:小明同学检测视力时,医生告诉他视力为4.7,则小明同学的小数记录数据为(参考数据:
10-0.3≈0.5,5-0.22≈0.7,10-0.1≈0.8)(　　)
A.0.3 B.0.5
C.0.7 D.0.8
答案:B
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解析:由题中数据可知,当x=1时,y=5,两个函数模型都符合;
当x=0.1时,由y=5+lg x,得y=5+lg 0.1=4,与表中的数据符合,而y=5+lg
=5.1,与表中的数据不符,所以选择模型y=5+lg x更合适,此时令y=4.7,则lg x=-0.3,所以x=10-0.3≈0.5.
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5.(2026·广东深圳模拟)某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301) (　　)
A.2028年 B.2029年
C.2030年 D.2031年
D
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解析:设2025年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元,
则5 000(1+20%)x>12 800,即1.2x>2.56,
则x·lg 1.2>lg 2.56=lg=lg 256-2=8lg 2-2,
即x>≈≈5.16,
所以x=6,即2031年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.
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6.(多选)对某智能手机进行续航能力测试(测试6 h结束),得到了剩余电量y(单位:百分比)与测试时间t(单位:h)的函数图象,如图所示,则下列判断中正确的有(　 　)
A.测试结束时,该手机剩余电量为85%
B.该手机在5 h时电量为0
C.该手机在0~3 h内电量下降的速度比在3~5 h内下降的速度更快
D.该手机在5~6 h进行了充电操作
ACD
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解析:A选项,测试结束时,由题图可知,电量是85%,
A选项正确;
B选项,由题图可知,在5 h时刻,电量剩余为30%,
B选项错误;
C选项,由题图可知,在0~3 h内电量下降的速度平均为≈16.7%,
在3~5 h内下降的速度平均为≈10%,前者更快,C选项正确;
D选项,由于在5~6 h期间电量上涨,可知进行了充电操作,D选项正确.
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7.(多选)(2026·甘肃定西模拟)声音由物体的振动产生,以波的形式在一定的介质(如固体、液体、气体)中进行传播.在物理学中,声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I(W/cm2).但在实际生活中,常用声音的声强级D(dB)来度量,声强级D(dB)与声强I(W/cm2)的关系近似满足D=alg I+b.经过多次测定,得到如下数据:
声强I/(W/cm2) 10-11 10-10 m
声强级D/dB 10 20 30
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已知烟花的噪声的声强级一般在(90,100),其声强为I1;鞭炮的噪声的声强级一般在(100,110),其声强为I2;飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在(135,145),其声强为I3.则(　　)
A.b-a=110 B.m=10-8
C.
答案:ACD
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解析:由题意可得
即所以b-a=110,故A正确;
因为D=10lg I+120,所以30=10lg m+120,解得m=10-9,故B错误;
由100<10lg I2+120<110,得设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为D1,D2,D3,由题意知902D2,所以10lg I1+120+10lg I3+120>2(10lg I2+120),所以lg I1+lg I3>2lg I2,即lg(I1I3)>lg ,所以I1I3>,故D正确.
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8.运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km,按交通法规限制,
50≤x≤100(单位:km/h),假设汽油价格是每升6元,汽车每小时耗油(4+)L,司机的工资是每小时46元,则这次行车的总费用y的最低值是
　　　　　元.
600
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解析:行车所用时间t=h,由题意可得行车总费用为y=×6×(4+)+=+(50≤x≤100).
y=+≥2=600,当且仅当=,即x=70 时,等号成立.所以当x=70 时,这次行车的总费用y 最低,最低费用为600元.
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9.某企业为研发新产品,投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元,之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%,记2025年1月为第1个月,第n(n∈N*)个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元,则n的最小值为　　　　.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
解析:由题意可得20×(1+20%)n-1≥40,则1.2n-1≥2,所以(n-1)lg 1.2≥lg 2,所以n-1≥=≈≈3.810,所以n≥4.810.
因为n∈N*,所以n的最小值为5.
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10.某动力电池生产企业为提高产能,计划投入7 200万元购买一批智能工业机器人,使用该批智能机器人后前x(x∈N*)年的维护成本为(800x2-400x)万元,每年电池销售收入为7 600万元,设使用该批智能机器人后,前x年的总盈利额为y万元.
(1)写出y关于x的函数关系式,并求该电池生产企业从第几年开始盈利.
解:由题意可得y=7 600x-(800x2-400x)-7 200=-800(x2-10x+9)(x∈N*),
由y>0得11
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(2)使用若干年后,对该批智能机器人的处理方案有两种.
方案一:当总盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以2 000万元的价格处理;
方案二:当年平均盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以5 200万元的价格处理.
哪种方案更合理 请说明理由.
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解:方案二更合理,理由如下:
方案一:∵y=-800(x2-10x+9)=-800(x-5)2+12 800,
∴当x=5时,y取到最大值12 800,
若此时处理掉智能机器人,总利润为12 800+2 000=14 800(万元).
方案二:年平均盈利额=-800(x+)+8 000≤-1 600+8 000=3 200(万元),
当且仅当x=3时,年平均盈利额最大,
若此时处理掉智能机器人,总利润为3 200×3+5 200=14 800(万元).
综上,两种方案总利润都是14 800万元,但方案一需要五年,方案二仅需三年即可,故方案二更合理.
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11.(2026·江苏南通模拟)心理学家有时使用函数L(t)=A(1-e-kt)来测定在时间t(min)内能够记忆的量L,其中A表示需要记忆的量,k表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆,心理学家测定在5 min后该学生记忆了20个单词,则该学生记忆38个单词大约需要　　　　min.
B组　能力提升练
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解析:已知A=200,当t=5时,L=20,将这些值代入函数L(t)=A(1-e-kt)中,可得20=200×(1-e-5k),
可得=1-e-5k,即0.1=1-e-5k,可得e-5k=0.9,
两边同时取对数可得ln e-5k=ln 0.9,
可得-5k=ln 0.9,则k=-.
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将L=38,A=200,k=-,代入函数L(t)=A(1-e-kt)中,可得38=200×(1-)
可得=1-,即0.19=1-,
可得=0.81,两边同时取对数可得ln =ln 0.81,
可得t=ln 0.81.
因为ln 0.81=ln 0.92=2ln 0.9,所以t=2ln 0.9,可得=2,解得t=10.
故该学生记忆38个单词大约需要10 min.
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12.根据某高科技公司多年的经营数据发现,该公司每年的利润y(单位:万元)与研发投入x(单位:万元)满足函数关系式y=klog2(x>100),且当x=200时,y=350.
(1)若该公司想要明年的利润为700万元,则明年的研发投入应该为多少万元
解:当x=200时,y=350,所以350=klog2,解得k=350,所以y=350log2(x>100),
令y=700,可得700=350log2,解得x=400,
所以明年的研发投入应该为400万元.
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(2)若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元,则明年的研发投入相比今年应该怎样变化
解:设今年的研发投入为x1万元,利润为y1万元,明年的研发投入为x2万元,利润为y2万元,
所以y1=350log2,y2=350log2,
根据题意可得350log2-350log2=y2-y1=175,
所以log2(×)=,所以log2=,所以==,所以x2=x1.
所以明年的研发投入应该提高至今年的倍.[A组　基础保分练]
1.设f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢
D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢
答案:B
解析:画出函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的图象,如图所示,
结合图象,可得三个函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x中,
当x∈(4,+∞)时,函数g(x)=2x增长速度最快,h(x)=log2x增长速度最慢,故B正确.
2.(2024·北京卷)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则 (　　)
A.3N2=2N1　　　　　　　 B.2N2=3N1
C.= D.=
答案:D
解析:由题意,得=2.1,=3.15,若S不变,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,故ln =ln ,所以=.
3.某放射性物质在衰减过程中,其质量y与年数t满足关系式y=m0e-kt(m0为初始质量,m0>0,k为常数,e≈2.718).已知该放射性物质经过4年,其质量变为初始质量的,若再经过8年,该放射性物质的质量变为初始质量的 (　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:依题意,m0=m0e-4k,则e-4k=,
再经过8年,即t=12时,y=m0e-12k=m0(e-4k)3=m0,所以再经过8年,该放射性物质的质量变为初始质量的.
4.我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据,分别是小数记录与五分记录,其部分数据如下表所示.
小数 记录x 0.1 0.12 0.15 0.2 … … 1.0 1.2 1.5 2.0
五分 记录y 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型:①y=5+lg x;②y=5+lg. x表示小数记录数据,y表示五分记录数据.请选择最合适的模型解决如下问题:小明同学检测视力时,医生告诉他视力为4.7,则小明同学的小数记录数据为(参考数据:10-0.3≈0.5,5-0.22≈0.7,10-0.1≈0.8)(　　)
A.0.3 B.0.5
C.0.7 D.0.8
答案:B
解析:由题中数据可知,当x=1时,y=5,两个函数模型都符合;
当x=0.1时,由y=5+lg x,得y=5+lg 0.1=4,与表中的数据符合,而y=5+lg=5.1,与表中的数据不符,所以选择模型y=5+lg x更合适,此时令y=4.7,则lg x=-0.3,所以x=10-0.3≈0.5.
5.(2026·广东深圳模拟)某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg 1.2≈0.079,lg 2≈0.301) (　　)
A.2028年 B.2029年
C.2030年 D.2031年
答案:D
解析:设2025年后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元,
则5 000(1+20%)x>12 800,即1.2x>2.56,
则x·lg 1.2>lg 2.56=lg=lg 256-2=8lg 2-2,
即x>≈≈5.16,
所以x=6,即2031年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.
6.(多选)对某智能手机进行续航能力测试(测试6 h结束),得到了剩余电量y(单位:百分比)与测试时间t(单位:h)的函数图象,如图所示,则下列判断中正确的有(　　)
A.测试结束时,该手机剩余电量为85%
B.该手机在5 h时电量为0
C.该手机在0~3 h内电量下降的速度比在3~5 h内下降的速度更快
D.该手机在5~6 h进行了充电操作
答案:ACD
解析:A选项,测试结束时,由题图可知,电量是85%,A选项正确;
B选项,由题图可知,在5 h时刻,电量剩余为30%,B选项错误;
C选项,由题图可知,在0~3 h内电量下降的速度平均为≈16.7%,
在3~5 h内下降的速度平均为≈10%,前者更快,C选项正确;
D选项,由于在5~6 h期间电量上涨,可知进行了充电操作,D选项正确.
7.(多选)(2026·甘肃定西模拟)声音由物体的振动产生,以波的形式在一定的介质(如固体、液体、气体)中进行传播.在物理学中,声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I(W/cm2).但在实际生活中,常用声音的声强级D(dB)来度量,声强级D(dB)与声强I(W/cm2)的关系近似满足D=alg I+b.经过多次测定,得到如下数据:
声强I/(W/cm2) 10-11 10-10 m
声强级D/dB 10 20 30
已知烟花的噪声的声强级一般在(90,100),其声强为I1;鞭炮的噪声的声强级一般在(100,110),其声强为I2;飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在(135,145),其声强为I3.则 (　　)
A.b-a=110 B.m=10-8
C.
答案:ACD
解析:由题意可得
即所以b-a=110,故A正确;
因为D=10lg I+120,所以30=10lg m+120,解得m=10-9,故B错误;
由100<10lg I2+120<110,得设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为D1,D2,D3,由题意知902D2,所以10lg I1+120+10lg I3+120>2(10lg I2+120),所以lg I1+lg I3>2lg I2,即lg(I1I3)>lg ,所以I1I3>,故D正确.
8.运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km,按交通法规限制,50≤x≤100(单位:km/h),假设汽油价格是每升6元,汽车每小时耗油(4+)L,司机的工资是每小时46元,则这次行车的总费用y的最低值是　　　　　元.
答案:600
解析:行车所用时间t=h,由题意可得行车总费用为y=×6×(4+)+=+(50≤x≤100).
y=+≥2=600,当且仅当=,即x=70 时,等号成立.所以当x=70 时,这次行车的总费用y 最低,最低费用为600元.
9.某企业为研发新产品,投入研发的经费逐月递增.已知该企业2025年1月投入该新产品的研发经费为20万元,之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加20%,记2025年1月为第1个月,第n(n∈N*)个月该企业投入该新产品的研发经费不低于40万元,则n的最小值为　　　　.(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
答案:5
解析:由题意可得20×(1+20%)n-1≥40,则1.2n-1≥2,所以(n-1)lg 1.2≥lg 2,所以n-1≥=≈≈3.810,所以n≥4.810.
因为n∈N*,所以n的最小值为5.
10.某动力电池生产企业为提高产能,计划投入7 200万元购买一批智能工业机器人,使用该批智能机器人后前x(x∈N*)年的维护成本为(800x2-400x)万元,每年电池销售收入为7 600万元,设使用该批智能机器人后,前x年的总盈利额为y万元.
(1)写出y关于x的函数关系式,并求该电池生产企业从第几年开始盈利.
(2)使用若干年后,对该批智能机器人的处理方案有两种.
方案一:当总盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以2 000万元的价格处理;
方案二:当年平均盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以5 200万元的价格处理.
哪种方案更合理 请说明理由.
解:(1)由题意可得y=7 600x-(800x2-400x)-7 200=-800(x2-10x+9)(x∈N*),
由y>0得1(2)方案二更合理,理由如下:
方案一:∵y=-800(x2-10x+9)=-800(x-5)2+12 800,
∴当x=5时,y取到最大值12 800,
若此时处理掉智能机器人,总利润为12 800+2 000=14 800(万元).
方案二:年平均盈利额=-800(x+)+8 000≤-1 600+8 000=3 200(万元),
当且仅当x=3时,年平均盈利额最大,
若此时处理掉智能机器人,总利润为3 200×3+5 200=14 800(万元).
综上,两种方案总利润都是14 800万元,但方案一需要五年,方案二仅需三年即可,故方案二更合理.
[B组　能力提升练]
11.(2026·江苏南通模拟)心理学家有时使用函数L(t)=A(1-e-kt)来测定在时间t(min)内能够记忆的量L,其中A表示需要记忆的量,k表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆,心理学家测定在5 min后该学生记忆了20个单词,则该学生记忆38个单词大约需要　　　　min.
答案:10
解析:已知A=200,当t=5时,L=20,将这些值代入函数L(t)=A(1-e-kt)中,可得20=200×(1-e-5k),
可得=1-e-5k,即0.1=1-e-5k,可得e-5k=0.9,
两边同时取对数可得ln e-5k=ln 0.9,
可得-5k=ln 0.9,则k=-.
将L=38,A=200,k=-,代入函数L(t)=A(1-e-kt)中,可得38=200×(1-)
可得=1-,即0.19=1-,
可得=0.81,两边同时取对数可得ln =ln 0.81,
可得t=ln 0.81.
因为ln 0.81=ln 0.92=2ln 0.9,所以t=2ln 0.9,可得=2,解得t=10.
故该学生记忆38个单词大约需要10 min.
12.根据某高科技公司多年的经营数据发现,该公司每年的利润y(单位:万元)与研发投入x(单位:万元)满足函数关系式y=klog2(x>100),且当x=200时,y=350.
(1)若该公司想要明年的利润为700万元,则明年的研发投入应该为多少万元
(2)若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元,则明年的研发投入相比今年应该怎样变化
解:(1)当x=200时,y=350,所以350=klog2,解得k=350,所以y=350log2(x>100),
令y=700,可得700=350log2,解得x=400,
所以明年的研发投入应该为400万元.
(2)设今年的研发投入为x1万元,利润为y1万元,明年的研发投入为x2万元,利润为y2万元,
所以y1=350log2,y2=350log2,
根据题意可得350log2-350log2=y2-y1=175,
所以log2(×)=,所以log2=,所以==,所以x2=x1.
所以明年的研发投入应该提高至今年的倍.

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