资源简介

[A组　基础保分练]
1.已知函数f(x)=2ex,则=(　　)
A.2e　　　　　　　　　 B.-3e
C.-6e D.3e
答案:B
解析:由题意得f'(x)=2ex,
则
=-
=-f'(1)=-×2e=-3e.
2.一个做直线运动的质点的位移s(m)与时间t(s)的关系式为s=100t-5t2,则该质点的瞬时速度为0 m/s时,t= (　　)
A.50 s B.20 s
C.10 s D.5 s
答案:C
解析:由题意知s=100t-5t2,则s'=100-10t,令s'=0,则t=10,即当该质点的瞬时速度为0 m/s时,时间t=10 s.
3.曲线y=(x3-3x)ln x在点(1,0)处的切线方程为(　　)
A.2x+y-2=0 B.x+2y-1=0
C.x+y-1=0 D.4x+y-4=0
答案:A
解析:由y'=(3x2-3)ln x+·(x3-3x),得所求切线斜率k=y'|x=1=-2,故所求切线方程为y=-2(x-1),即2x+y-2=0.
4.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=x+2,那么f(1)+f'(1)= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:C
解析:由题意得f(1)=×1+2=,f'(1)=,所以f(1)+f'(1)=+=3.
5.如图是函数f(x)的部分图象,记f(x)的导数为f'(x),则下列选项中值最大的是 (　　)
A.f(3) B.3f'(3)
C.f(-14) D.f'(8)
答案:A
解析:由题图可知,f(-14),f'(8)为负数,f(3),f'(3)为正数,故不选f(-14),f'(8).设f(x)在x=3处的点为A,显然OA的斜率kOA大于f'(3),则>f'(3),可转化为f(3)>3f'(3),所以f(3)的值最大.
6.过坐标原点作曲线y=(x-4)ex的切线,则切线有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
答案:B
解析:由y=(x-4)ex可得y'=(x-3)ex,
过坐标原点作曲线y=(x-4)ex的切线,设切点为(x0,y0),则切线斜率为k=(x0-3),
切线方程为y-y0=(x0-3)(x-x0),又y0=(x0-4),切线过原点,
所以-(x0-4)=(x0-3)(-x0),即-4x0+4=0, 所以x0=2,即切线有1条.
7.(2026·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0平行,则实数a的值为 (　　)
A.- B.-
C. D.1
答案:A
解析:由f(x)=可得f'(x)==,
则在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)==.
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0平行,且直线2x-y=0的斜率为2,即=2,解得a=-.
8.(多选)下列求导运算中,不正确的是 (　　)
A.(sin 2x)'=cos 2x B.(2x)'=2x
C.(xex)'=(x+1)ex D.()'=
答案:ABD
解析:对于A选项,(sin 2x)'=2cos 2x,A错误;
对于B选项,(2x)'=2xln 2,B错误;
对于C选项,(xex)'=(x+1)ex,C正确;
对于D选项,()'=,D错误.
9.(多选)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下列等式可能成立的是 (　　)
A.x1+x2=2 B.x1+x2=
C.x1x2=1 D.x1x2=
答案:BC
解析:因为f(x)=x2+2ln x,所以f'(x)=2x+,x>0.又f(x)在A,B两点处的切线相互平行,所以f'(x1)=2x1+=f'(x2)=2x2+,
整理得(x1-x2)(1-)=0.因为x1≠x2,所以x1x2=1,C正确,D错误.
又x1+x2≥2=2,且x1≠x2,所以x1+x2>2,A错误,B正确.
10.(2026·重庆模拟)函数f(x)=+ln x的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为　　　　.
答案:0
解析:因为f(x)=+ln x,则f'(x)=-+,
所以在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=-1+1=0.
11.(2026·浙江宁波模拟)已知函数f(x)=x(ex+a)+2在点(0,f(0))处的切线与直线x-3y=0垂直,则a=　　　　.
答案:-4
解析:由题意有f'(x)=ex+a+xex=(x+1)ex+a,所以f'(0)=1+a,
由函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x-3y=0垂直,所以f'(0)=1+a=-3,所以a=-4.
[B组　能力提升练]
12.(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.曲线y=ex+1在x=0处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为2
B.函数f(x)=ln x与函数g(x)=ax2-a的图象在点(1,0)处的切线相同,则实数a=
C.曲线f(x)=3ln x+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是(1,3)
D.直线y=2x+1上的点到曲线y=x+ln x距离的最小值为
答案:BC
解析:对于A,由y=ex+1可得y'=ex,所以y'|x=0=1,y|x=0=2,
所以曲线y=ex+1在点(0,2)处的切线方程为y-2=x-0,即x-y+2=0,
令y=0解得x=-2,令y=2x解得x=2,y=4,
所以切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为×2×4=4,所以A错误;
对于B,由f(x)=ln x,g(x)=ax2-a,可得f'(x)=,g'(x)=2ax,
因为函数f(x)=ln x与函数g(x)=ax2-a的图象在点(1,0)的切线相同,
所以f'(1)=g'(1),可得1=2a,所以a=,所以B正确;
对于C,设切点P0(x0,y0),由f(x)=3ln x+x+2,可得f'(x)=+1,
则切线的斜率为f'(x0)=+1,
因为切线方程为4x-y-1=0,即y=4x-1,即切线的斜率为4,
所以+1=4,解得x0=1,所以4-y0-1=0,解得y0=3,
所以点P0的坐标是(1,3),所以C正确;
对于D,由(2x+1)-(x+ln x)=x+1-ln x>0可知,直线y=2x+1与曲线y=x+ln x不相交,由函数f(x)=x+ln x得f'(x)=1+,
令f'(x)=1+=2,解得x=1,则f(1)=1,f'(1)=2,
所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,
又由直线y=2x-1与y=2x+1之间的距离为d==,
即直线y=2x+1上的点到曲线y=x+ln x距离的最小值为,所以D错误.
13.已知f(x)=满足f(-x)+f(x)=0,且f(x)在(b,f(b))处的切线方程为y=2x,则2a+b=　　　　.
答案:-2
解析:函数f(x)=的定义域为R,
因为f(-x)+f(x)=0,所以函数f(x)是R上的奇函数,
所以f(0)=1+a=0,解得a=-1,所以f(x)=.
又f(-x)===-f(x),
故a=-1符合题意,
则f'(x)==.
因为f(x)在(b,f(b))处的切线方程为y=2x,
所以f'(b)==2,即(eb-1)2=0,解得b=0,所以2a+b=-2.
14.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,则a的取值范围为　　　　　　.
答案:(-∞,-)∪(-,+∞)
解析:f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,
所以关于x的方程3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,
所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,
即4a2+4a+1>0,所以a≠-,
所以a的取值范围为(-∞,-)∪(-,+∞).
15.已知f(x)是{x|x≠0}上的奇函数,当x>0时,f(x)=ln x,过原点O作两条互相垂直的直线,其中一条与f(x)的图象相切于点A,C,另一条与f(x)的图象相交于点B,D,则四边形ABCD的面积为　　　　.
答案:2(e+)
解析:因为当x>0时,f(x)=ln x,所以f'(x)=,设切点坐标为A(x0,ln x0),
则切线的斜率为k=,则切线方程为y-ln x0=(x-x0),
代入(0,0),可得x0=e,则y0=1,所以A(e,1),此时切线的斜率为,则另一条直线的斜率为-e,
两条直线方程分别为y=x,y=-ex,
联立可得B(,-1).
因为f(x)是{x|x≠0}上的奇函数,则C(-e,-1),D(-,1),
所以|AC|==2,|BD|==2,
所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|=×2×2=2(e+).第19讲 导数的概念及其意义、导数的运算
考点一　变化率及导数的概念
[例1]　 (多选)已知某物体运动时位移s与时间t之间的关系式为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则 (　　)
A.当1≤t≤3时,该物体的平均速度是28
B.该物体在t=4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t=5时的瞬时速度是70
[答案]　ABD
[解析]　对于A,当1≤t≤3 时,该物体的平均速度是==28,A正确;
对于B,=
=(56+7Δt)=56,B正确;
对于C,由题易知,s(t)在[0,5] 上单调递增,
所以当t=5 时,s(t)取最大值,最大值为s(5)=7×52+8=183,C错误;
对于D,=
=(70+7Δt)=70,D正确.
方法总结
由导数的定义可知,若函数y=f(x)在x=x0处可导,则f'(x0)=,它仅与x0有关,与Δx无关,因此使用导数的定义时要明确公式的形式,分子为函数值的改变量,分母是自变量的改变量,要注意公式的变形.
1.已知函数f(x)=,则=(　　)
A.2　　　B.　　　C.-　　　D.-4
答案:B
解析:因为f(x)=,所以f'(x)=,则=f'(2)==.
考点二　导数的运算
[例2]　(1)(多选)下列函数求导运算正确的是 (　　)
A.(lg x)'=
B.(e-x)'=e-x
C.(x2sin x)'=2xsin x+x2cos x
D.[ln(2x+1)]'=
[答案]　AC
[解析]　由基本初等函数的导数公式可知,(lg x)'=,故A正确;
(e-x)'=()'==-=-e-x,故B错误;
(x2sin x)'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x,故C正确;
令t=2x+1,则y=ln t,则t'=2,y'=,
则[ln(2x+1)]'==,故D错误.
(2)已知函数f(x)=sin 2x-xf'(0),则f'()=　　　　.
[答案]　-3
[解析]　f'(x)=2cos 2x-f'(0),令x=0得f'(0)=2cos 0-f'(0)=2-f'(0),
解得f'(0)=1,故f'(x)=2cos 2x-1,所以f'()=2cos π-1=-3.
方法总结
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
4.解析式形如f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数求值问题,解题思路:先求导数f'(x),然后令x=x0,解关于f'(x0)的方程,即可得到f'(x0)的值,进而得到f(x),f'(x),再进行求解.
2.(多选)下列求导运算正确的是 (　　)
A.[ln(-x)]'=
B.(2-x)'=-ln 2·2-x
C.()'=
D.()'=
答案:ABD
解析:对于A,[ln(-x)]'=×(-1)=,故A正确;
对于B,(2-x)'=[()x]'=()x·ln =-ln 2·2-x,故B正确;
对于C,()'=[(x-1]'=(x-1=,故C错误;
对于D,()'==,故D正确.
3.已知函数f(x)=3ln(x-1)-x2f'(2),则f'(2)=　　　　.
答案:
解析:因为f(x)=3ln(x-1)-x2f'(2),则f'(x)=-2xf'(2),
令x=2,可得f'(2)=3-4f'(2),解得f'(2)=.
考点三　导数的几何意义
角度1　求切线方程
[例3]　(1)若函数f(x)=xln x+2xf'(1),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　.
[答案]　y=-x-1
[解析]　因为f(x)=xln x+2xf'(1),所以f'(x)=ln x+1+2f'(1),
令x=1,得f'(1)=1+2f'(1),解得f'(1)=-1,所以f(x)=xln x-2x,则f(1)=-2,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-2)=-1×(x-1),即y=-x-1.
(2)已知函数f(x)=x-ln x,过原点作曲线y=f(x)的切线,则该切线的方程为　　　　　　.
[答案]　y=(1-)x
[解析]　设所求切线切点为(x0,x0-ln x0),x0>0,由题可知f'(x)=1-,x>0,
所以所求切线斜率为k=f'(x0)=1-,又切线过原点,
所以1-= x0=e,故切点为(e,e-1),切线斜率为1-,
所以切线方程为y=(1-)x.
角度2　求切点坐标
[例4]　已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切点P的坐标为 (　　)
A.(1,1) B.(e,e+1)
C.(,-1) D.(e2,e2+2)
[答案]　B
[解析]　由题意可知,f'(x)=+1,x>0,
设切点为P(x0,ln x0+x0),x0>0,则切线方程为y=(+1)(x-x0)+ln x0+x0.
因为切线过原点,所以0=(+1)(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1,解得x0=e,则P(e,e+1).
角度3　求与切线有关的参数值(范围)
[例5]　(1)(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　　　.
[答案]　4
[解析]　法一:对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1.
因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线,直线的斜率为2,
所以y'=ex+1=2,即ex=1,解得x=0,
将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5,
所以切点坐标为(0,5).
因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上,
所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4.
法二:对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1,
假设y=2x+5与y=ex+x+a的切点为(x0,y0),
则解得a=4.
(2)(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　　.
[答案]　(-∞,-4)∪(0,+∞)
[解析]　设y=f(x)=(x+a)ex,则f'(x)=(x+a+1)ex,设切点为(x0,(x0+a)),
因此切线方程为y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0).
又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)=(x0+a+1)·(-x0),整理得+ax0-a=0.又切线有两条,∴关于x0的方程+ax0-a=0有两个不相等的实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.
方法总结
求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点”的切线方程的不同.过点的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.
4.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　)
A. B.
C. D.
答案:A
解析:f'(x)=,
所以f'(0)=3,
所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0,
切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),(-,0),
所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=.
5.已知f(x)=x2-,过原点作曲线y=f(x)的切线,则切点的横坐标为 (　　)
A.2 B.-2
C.- D.
答案:C
解析:由f(x)=x2-,得f'(x)=x+,
设切点坐标为(x0,-),
∴f'(x0)=x0+,
则切线方程为y-+=(x0+)(x-x0).
∵切线过原点,
∴-+=-x0(x0+)=--,
解得x0=-,
即切点的横坐标为-.
6.若函数f(x)=x-+aln x存在与x轴平行的切线,则实数a的取值范围是　　　　　.
答案:(-∞,-2]
解析:f'(x)=1++(x>0),
依题意得f'(x)=0有解,
即-a=x+有解.
∵x>0,
∴x+≥2,当且仅当x=1时取等号,
∴-a≥2,即a≤-2.
　　　　　两曲线的公切线问题
在教材中没有明确提到两条曲线的公切线问题,但在高考题中经常考查两条曲线的公切线问题.如2024·新课标Ⅰ卷T13. 定义:若直线l与曲线C1,C2均相切,则称直线l是曲线C1与曲线C2的公切线.
一般地,求C1:y=f(x)与C2:y=g(x)的公切线l的方程有以下三种思路: 思路1:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),公切线l的方程为y=kx+b,则研究方程组解的情况. 思路2:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),f'(x1)=g'(x2)=(x1≠x2),研究方程解的情况. 思路3:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),公切线l:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),y-g(x2)=g'(x2)(x-x2), 则研究方程组解的情况.
角度1　共切点的公切线问题
[例1]　已知函数g(x)=的图象与函数f(x)=aln x的图象在公共点处有相同的切线,则公共点的坐标为　　　　　　.
[答案]　(e2,e)
[解析]　由题可知,函数f(x)=aln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=,g'(x)=.
设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=的公共点为(x0,y0)(x0>0).
因为f(x)的图象与g(x)的图象在公共点处有共同的切线,所以=,即x0=4a2(a>0).
由f(x0)=g(x0),可得aln x0=,
联立解得x0=e2,所以y0=e,所以公共点的坐标为(e2,e).
1.设曲线f(x)=aex+b和曲线g(x)=cos+c在它们的公共点P(0,2)处有相同的切线,则ba+c=　　　　　　.
答案:2
解析:由已知得,
又f'(x)=aex,g'(x)=-sin,所以f'(0)=g'(0)=0,解得a=0,所以a=0,b=2,c=1,所以ba+c=20+1=2.
角度2　不共切点的公切线问题
[例2]　(2026·广东广州模拟)已知曲线C1:f(x)=ex-1和曲线C2:g(x)=1+ln x,请写出曲线C1和C2的一条公切线方程:　　　　　　.
[答案]　y=x(答案不唯一,或填y=ex-1)
[解析]　设公切线与C1:f(x)=ex-1的切点为(x1,-1),与C2:g(x)=1+ln x的切点为(x2,1+ln x2)(x2>0).
由f'(x)=ex,则f'(x1)=,则公切线方程为y=(x-x1)+-1,
即y=x+(1-x1)-1;
由g'(x)=,则g'(x2)=,则公切线方程为y=(x-x2)+ln x2+1,即y=·x+ln x2,
所以
故曲线C1和C2的公切线方程为y=x或y=ex-1.
2.已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则 (　　)
A.k=,b=0　　　　　　 B.k=1,b=0
C.k=,b=-1 D.k=1,b=-1
答案:A
解析:设直线与曲线y=ln x的切点为(x1,ln x1)且x1>0,
与曲线y=-ln(-x)的切点为(x2,-ln(-x2))且x2<0,令f(x)=ln x,g(x)=-ln(-x),
又f'(x)=(ln x)'=,g'(x)=[-ln(-x)]'=-,
则曲线y=ln x的切线方程为y-ln x1=(x-x1),即y=x+ln x1-1,
曲线y=-ln(-x)的切线方程为y+ln(-x2)=-(x-x2),即y=-x+1-ln(-x2),
则
故k==,b=ln x1-1=0.(共24张PPT)
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A组　基础保分练
1.已知函数f(x)=2ex,则=(　　)
A.2e　　　　　　　　　 B.-3e
C.-6e D.3e
解析:由题意得f'(x)=2ex,
则
=-
=-f'(1)=-×2e=-3e.
B
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2.一个做直线运动的质点的位移s(m)与时间t(s)的关系式为s=100t-5t2,则该质点的瞬时速度为0 m/s时,t=(　　)
A.50 s B.20 s
C.10 s D.5 s
解析:由题意知s=100t-5t2,则s'=100-10t,令s'=0,则t=10,即当该质点的瞬时速度为0 m/s时,时间t=10 s.
C
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3.曲线y=(x3-3x)ln x在点(1,0)处的切线方程为(　　)
A.2x+y-2=0 B.x+2y-1=0
C.x+y-1=0 D.4x+y-4=0
解析:由y'=(3x2-3)ln x+·(x3-3x),得所求切线斜率k=y'|x=1=-2,故所求切线方程为y=-2(x-1),即2x+y-2=0.
A
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4.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=x+2,那么f(1)+f'(1)=(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由题意得f(1)=×1+2=,f'(1)=,所以f(1)+f'(1)=+=3.
C
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5.如图是函数f(x)的部分图象,记f(x)的导数为f'(x),则下列选项中值最大的是(　　)
A.f(3) B.3f'(3)
C.f(-14) D.f'(8)
解析:由题图可知,f(-14),f'(8)为负数,f(3),f'(3)为正数,故不选f(-14),f'(8).设f(x)在x=3处的点为A,显然OA的斜率kOA大于f'(3),则>f'(3),可转化为f(3)>3f'(3),所以f(3)的值最大.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6.过坐标原点作曲线y=(x-4)ex的切线,则切线有(　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.3条
解析:由y=(x-4)ex可得y'=(x-3)ex,
过坐标原点作曲线y=(x-4)ex的切线,设切点为(x0,y0),则切线斜率为k=
(x0-3),
切线方程为y-y0=(x0-3)(x-x0),又y0=(x0-4),切线过原点,
所以-(x0-4)=(x0-3)(-x0),即-4x0+4=0, 所以x0=2,即切线有1条.
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7.(2026·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0平行,则实数a的值为(　　)
A.- B.-
C. D.1
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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13
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15
解析:由f(x)=可得f'(x)==,
则在点(1,f(1))处的切线斜率k=f'(1)==.
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0平行,且直线2x-y=0的斜率为2,即=2,解得a=-.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8.(多选)下列求导运算中,不正确的是(　 　)
A.(sin 2x)'=cos 2x B.(2x)'=2x
C.(xex)'=(x+1)ex D.()'=
解析:对于A选项,(sin 2x)'=2cos 2x,A错误;
对于B选项,(2x)'=2xln 2,B错误;
对于C选项,(xex)'=(x+1)ex,C正确;
对于D选项,()'=,D错误.
ABD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9.(多选)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下列等式可能成立的是(　　)
A.x1+x2=2 B.x1+x2=
C.x1x2=1 D.x1x2=
BC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
解析:因为f(x)=x2+2ln x,所以f'(x)=2x+,x>0.又f(x)在A,B两点处的切线相互平行,所以f'(x1)=2x1+=f'(x2)=2x2+,
整理得(x1-x2)(1-)=0.因为x1≠x2,所以x1x2=1,C正确,D错误.
又x1+x2≥2=2,且x1≠x2,所以x1+x2>2,A错误,B正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
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13
14
15
10.(2026·重庆模拟)函数f(x)=+ln x的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为　　　　.
解析:因为f(x)=+ln x,则f'(x)=-+,
所以在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=-1+1=0.
0
1
2
3
4
5
6
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15
11.(2026·浙江宁波模拟)已知函数f(x)=x(ex+a)+2在点(0,f(0))处的切线与直线x-3y=0垂直,则a=　　　　.
解析:由题意有f'(x)=ex+a+xex=(x+1)ex+a,所以f'(0)=1+a,
由函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x-3y=0垂直,所以f'(0)=1+a=-3,所以a=-4.
-4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
15
12.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.曲线y=ex+1在x=0处的切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为2
B.函数f(x)=ln x与函数g(x)=ax2-a的图象在点(1,0)处的切线相同,则实数a=
C.曲线f(x)=3ln x+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是(1,3)
D.直线y=2x+1上的点到曲线y=x+ln x距离的最小值为
B组　能力提升练
BC
1
2
3
4
5
6
7
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11
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13
14
15
解析:对于A,由y=ex+1可得y'=ex,所以y'|x=0=1,y|x=0=2,
所以曲线y=ex+1在点(0,2)处的切线方程为y-2=x-0,即x-y+2=0,
令y=0解得x=-2,令y=2x解得x=2,y=4,
所以切线与直线y=0和y=2x围成的三角形的面积为×2×4=4,所以A错误;
对于B,由f(x)=ln x,g(x)=ax2-a,可得f'(x)=,g'(x)=2ax,
因为函数f(x)=ln x与函数g(x)=ax2-a的图象在点(1,0)的切线相同,
所以f'(1)=g'(1),可得1=2a,所以a=,所以B正确;
1
2
3
4
5
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11
12
13
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15
对于C,设切点P0(x0,y0),由f(x)=3ln x+x+2,可得f'(x)=+1,
则切线的斜率为f'(x0)=+1,
因为切线方程为4x-y-1=0,即y=4x-1,即切线的斜率为4,
所以+1=4,解得x0=1,所以4-y0-1=0,解得y0=3,
所以点P0的坐标是(1,3),所以C正确;
对于D,由(2x+1)-(x+ln x)=x+1-ln x>0可知,直线y=2x+1与曲线y=x+ln x不相交,由函数f(x)=x+ln x得f'(x)=1+,
1
2
3
4
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14
15
令f'(x)=1+=2,解得x=1,则f(1)=1,f'(1)=2,
所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,
又由直线y=2x-1与y=2x+1之间的距离为d==,
即直线y=2x+1上的点到曲线y=x+ln x距离的最小值为,所以D错误.
1
2
3
4
5
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14
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15
13.已知f(x)=满足f(-x)+f(x)=0,且f(x)在(b,f(b))处的切线方程为y=2x,则2a+b=　　　　.
-2
1
2
3
4
5
6
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11
12
13
14
15
解析:函数f(x)=的定义域为R,
因为f(-x)+f(x)=0,所以函数f(x)是R上的奇函数,
所以f(0)=1+a=0,解得a=-1,所以f(x)=.
又f(-x)===-f(x),
故a=-1符合题意,
则f'(x)==.
因为f(x)在(b,f(b))处的切线方程为y=2x,
所以f'(b)==2,即(eb-1)2=0,解得b=0,所以2a+b=-2.
1
2
3
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15
14.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,则a的取值范围为　　　　 　　.
(-∞,-)∪(-,+∞)
1
2
3
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15
解析:f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,
所以关于x的方程3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,
所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,
即4a2+4a+1>0,所以a≠-,
所以a的取值范围为(-∞,-)∪(-,+∞).
1
2
3
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5
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15
15.已知f(x)是{x|x≠0}上的奇函数,当x>0时,f(x)=ln x,过原点O作两条互相垂直的直线,其中一条与f(x)的图象相切于点A,C,另一条与f(x)的图象相
交于点B,D,则四边形ABCD的面积为　　　　.
2(e+)
1
2
3
4
5
6
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15
解析:因为当x>0时,f(x)=ln x,所以f'(x)=,设切点坐标为A(x0,ln x0),
则切线的斜率为k=,则切线方程为y-ln x0=(x-x0),
代入(0,0),可得x0=e,则y0=1,所以A(e,1),此时切线的斜率为,则另一条直线的斜率为-e,
两条直线方程分别为y=x,y=-ex,
联立可得B(,-1).
1
2
3
4
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6
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15
因为f(x)是{x|x≠0}上的奇函数,则C(-e,-1),D(-,1),
所以|AC|==2,|BD|==2,
所以四边形ABCD的面积为|AC||BD|=×2×2=2(e+).(共35张PPT)
第19讲导数的概念及其意义、导数的运算
考点一　变化率及导数的概念
[例1]　 (多选)已知某物体运动时位移s与时间t之间的关系式为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则(　 　)
A.当1≤t≤3时,该物体的平均速度是28
B.该物体在t=4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t=5时的瞬时速度是70
ABD
[解析]　对于A,当1≤t≤3 时,该物体的平均速度是==28,A正确;
对于B,=
=(56+7Δt)=56,B正确;
对于C,由题易知,s(t)在[0,5] 上单调递增,
所以当t=5 时,s(t)取最大值,最大值为s(5)=7×52+8=183,C错误;
对于D,=
=(70+7Δt)=70,D正确.
方法总结
由导数的定义可知,若函数y=f(x)在x=x0处可导,则f'(x0)=,它仅与x0有关,与Δx无关,因此使用导数的定义时要明确公式的形式,分子为函数值的改变量,分母是自变量的改变量,要注意公式的变形.
跟踪训练
1.已知函数f(x)=,则=(　　)
A.2　　　B.　　　C.-　　　D.-4
解析:因为f(x)=,所以f'(x)=,则=f'(2)==.
B
考点二　导数的运算
[例2]　(1)(多选)下列函数求导运算正确的是(　　)
A.(lg x)'=
B.(e-x)'=e-x
C.(x2sin x)'=2xsin x+x2cos x
D.[ln(2x+1)]'=
AC
[解析]　由基本初等函数的导数公式可知,(lg x)'=,故A正确;
(e-x)'=()'==-=-e-x,故B错误;
(x2sin x)'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x,故C正确;
令t=2x+1,则y=ln t,则t'=2,y'=,
则[ln(2x+1)]'==,故D错误.
(2)已知函数f(x)=sin 2x-xf'(0),则f'()=　　　　.
[解析]　f'(x)=2cos 2x-f'(0),令x=0得f'(0)=2cos 0-f'(0)=2-f'(0),
解得f'(0)=1,故f'(x)=2cos 2x-1,所以f'()=2cos π-1=-3.
-3
方法总结
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
4.解析式形如f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数求值问题,解题思路:先求导数f'(x),然后令x=x0,解关于f'(x0)的方程,即可得到f'(x0)的值,进而得到f(x),f'(x),再进行求解.
跟踪训练
2.(多选)下列求导运算正确的是(　 　)
A.[ln(-x)]'=
B.(2-x)'=-ln 2·2-x
C.()'=
D.()'=
ABD
解析:对于A,[ln(-x)]'=×(-1)=,故A正确;
对于B,(2-x)'=[()x]'=()x·ln =-ln 2·2-x,故B正确;
对于C,()'=[(x-1]'=(x-1=,故C错误;
对于D,()'==,故D正确.
3.已知函数f(x)=3ln(x-1)-x2f'(2),则f'(2)=　　　　.
解析:因为f(x)=3ln(x-1)-x2f'(2),则f'(x)=-2xf'(2),
令x=2,可得f'(2)=3-4f'(2),解得f'(2)=.
考点三　导数的几何意义
角度1　求切线方程
[例3]　(1)若函数f(x)=xln x+2xf'(1),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　.
[解析]　因为f(x)=xln x+2xf'(1),所以f'(x)=ln x+1+2f'(1),
令x=1,得f'(1)=1+2f'(1),解得f'(1)=-1,所以f(x)=xln x-2x,则f(1)=-2,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-2)=-1×(x-1),即y=-x-1.
y=-x-1
(2)已知函数f(x)=x-ln x,过原点作曲线y=f(x)的切线,则该切线的方程为　　　　　　.
[解析]　设所求切线切点为(x0,x0-ln x0),x0>0,由题可知f'(x)=1-,x>0,
所以所求切线斜率为k=f'(x0)=1-,又切线过原点,
所以1-= x0=e,故切点为(e,e-1),切线斜率为1-,
所以切线方程为y=(1-)x.
y=(1-)x
角度2　求切点坐标
[例4]　已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切点P的坐标为(　　)
A.(1,1) B.(e,e+1)
C.(,-1) D.(e2,e2+2)
B
[解析]　由题意可知,f'(x)=+1,x>0,
设切点为P(x0,ln x0+x0),x0>0,则切线方程为y=(+1)(x-x0)+ln x0+x0.
因为切线过原点,所以0=(+1)(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1,解得x0=e,则P(e,e+1).
角度3　求与切线有关的参数值(范围)
[例5]　(1)(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　　　.
4
[解析]　法一:对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1.
因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线,直线的斜率为2,
所以y'=ex+1=2,即ex=1,解得x=0,
将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5,
所以切点坐标为(0,5).
因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上,
所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4.
法二:对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1,
假设y=2x+5与y=ex+x+a的切点为(x0,y0),
则解得a=4.
(2)(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　 　　　.
[解析]　设y=f(x)=(x+a)ex,则f'(x)=(x+a+1)ex,设切点为(x0,(x0+a)),
因此切线方程为y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0).
又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)=(x0+a+1)·(-x0),整理得+ax0-a=0.又切线有两条,∴关于x0的方程+ax0-a=0有两个不相等的实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.
(-∞,-4)∪(0,+∞)
方法总结
求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点”的切线方程的不同.过点的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键.
跟踪训练
4.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　)
A. B.
C. D.
A
解析:f'(x)=,
所以f'(0)=3,
所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0,
切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),(-,0),
所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=.
5.已知f(x)=x2-,过原点作曲线y=f(x)的切线,则切点的横坐标为(　　)
A.2 B.-2
C.- D.
C
解析:由f(x)=x2-,得f'(x)=x+,
设切点坐标为(x0,-),
∴f'(x0)=x0+,
则切线方程为y-+=(x0+)(x-x0).
∵切线过原点,
∴-+=-x0(x0+)=--,
解得x0=-,
即切点的横坐标为-.
6.若函数f(x)=x-+aln x存在与x轴平行的切线,则实数a的取值范围是　　　　　.
解析:f'(x)=1++(x>0),
依题意得f'(x)=0有解,
即-a=x+有解.
∵x>0,
∴x+≥2,当且仅当x=1时取等号,
∴-a≥2,即a≤-2.
(-∞,-2]
两曲线的公切线问题
教材延展
知识背景 在教材中没有明确提到两条曲线的公切线问题,但在高考题中经常考查两条曲线的公切线问题.如2024·新课标Ⅰ卷T13.
定义:若直线l与曲线C1,C2均相切,则称直线l是曲线C1与曲线C2的公切线.
思路分析 一般地,求C1:y=f(x)与C2:y=g(x)的公切线l的方程有以下三种思路:
思路1:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),公切线l的方程为y=kx+b,则研究方程组解的情况.
思路2:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),f'(x1)=g'(x2)= (x1≠x2),研究方程解的情况.
思路3:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),公切线l:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),
则研究方程组解的情况.
角度1　共切点的公切线问题
[例1]　已知函数g(x)=的图象与函数f(x)=aln x的图象在公共点处有相同的切线,则公共点的坐标为　　　　　　.
(e2,e)
[解析]　由题可知,函数f(x)=aln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=,g'(x)=.
设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=的公共点为(x0,y0)(x0>0).
因为f(x)的图象与g(x)的图象在公共点处有共同的切线,所以=,即x0=4a2(a>0).
由f(x0)=g(x0),可得aln x0=,
联立解得x0=e2,所以y0=e,所以公共点的坐标为(e2,e).
跟踪训练
1.设曲线f(x)=aex+b和曲线g(x)=cos+c在它们的公共点P(0,2)处有相同的切线,则ba+c=　　　　　　.
解析:由已知得,
又f'(x)=aex,g'(x)=-sin,所以f'(0)=g'(0)=0,解得a=0,所以a=0,b=2,c=1,所以ba+c=20+1=2.
2
角度2　不共切点的公切线问题
[例2]　(2026·广东广州模拟)已知曲线C1:f(x)=ex-1和曲线C2:g(x)=1+ln x,请写出曲线C1和C2的一条公切线方程:　　 　 　　　.
y=x(答案不唯一,或填y=ex-1)
[解析]　设公切线与C1:f(x)=ex-1的切点为(x1,-1),与C2:g(x)=1+ln x的切点为(x2,1+ln x2)(x2>0).
由f'(x)=ex,则f'(x1)=,则公切线方程为y=(x-x1)+-1,
即y=x+(1-x1)-1;
由g'(x)=,则g'(x2)=,则公切线方程为y=(x-x2)+ln x2+1,即y=·x+ln x2,
所以
故曲线C1和C2的公切线方程为y=x或y=ex-1.
2.已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则(　　)
A.k=,b=0　　　　　　 B.k=1,b=0
C.k=,b=-1 D.k=1,b=-1
跟踪训练
A
解析:设直线与曲线y=ln x的切点为(x1,ln x1)且x1>0,
与曲线y=-ln(-x)的切点为(x2,-ln(-x2))且x2<0,令f(x)=ln x,g(x)=-ln(-x),
又f'(x)=(ln x)'=,g'(x)=[-ln(-x)]'=-,
则曲线y=ln x的切线方程为y-ln x1=(x-x1),即y=x+ln x1-1,
曲线y=-ln(-x)的切线方程为y+ln(-x2)=-(x-x2),即y=-x+1-ln(-x2),
则
故k==,b=ln x1-1=0.

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