0,
由函数f(x)在定义域内存在单调递减区间,则2x2-2ax+1<0在(0,+∞)上有解,
令g(x)=2x2-2ax+1,其开口向上,对称轴为x=且g(0)=1,则所以a>.
(2)(2026·湖北鄂州模拟)已知函数f(x)=(x2+1-ax在[0,+∞)上单调递减,则a的取值范围为　　　　.
[答案]　[1,+∞)
[解析]　函数f(x)=(x2+1-ax,求导得f'(x)=(x2+1·2x-a=-a,
依题意, x∈[0,+∞),f'(x)≤0 a≥,而当x≥0时,=<1,
则a≥1,所以a的取值范围为[1,+∞).
方法总结
根据函数单调性求参数的方法
1.f(x)在(a,b)上为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.
2.函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集.
3.若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解,且解两侧的导数为异号.
1.(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=sin x+cos x+ax(a∈R)在R上单调递减,则实数a的取值范围是 (　　)
A.[,+∞) B.(-∞,]
C.[-,+∞) D.(-∞,-]
答案:D
解析:由题意得f'(x)=cos x-sin x+a≤0在R上恒成立,则a≤sin x-cos x.
因为sin x-cos x=sin(x-)∈[-,],
要使得不等式恒成立,则a≤-.
2.若函数f(x)=2x--tln x在(1,3)上不单调,则实数t的取值范围是 (　　)
A.(2,7) B.(7,+∞)
C.[7,+∞) D.[2,7]
答案:A
解析:函数f(x)=2x--tln x,求导得f'(x)=2+-,
依题意,f'(x)在(1,3)上有变号零点,由f'(x)=0,得t=2x+,
函数t=2x+在(1,)上单调递减,此时2所以实数t的取值范围是(2,7).
考点二　比较大小
[例2]　(1)已知函数f(x)=x2+2cos x,则f(-2),f(1),f(3)的大小关系是 (　　)
A.f(1)>f(-2)>f(3)
B.f(1)>f(3)>f(-2)
C.f(3)>f(1)>f(-2)
D.f(3)>f(-2)>f(1)
[答案]　D
[解析]　已知f(x)=x2+2cos x,函数的定义域为R,关于原点对称,则f(-x)=(-x)2+2cos(-x)=x2+2cos x=f(x),即f(x)为偶函数,
所以f(-2)=f(2).
求导得f'(x)=2x-2sin x=2(x-sin x).
当x≥0时,x≥sin x,故x-sin x≥0,即f'(x)≥0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f(3)>f(2)>f(1).又f(-2)=f(2),则f(3)>f(-2)>f(1).
(2)设a=,b=,c=2ln 0.5,则 (　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.b>c>a D.a>b>c
[答案]　B
[解析]　构造函数f(x)=,其中0令g(x)=-1+ln x,g'(x)=-+=,
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,
g(x)>g(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上单调递增.b==f(0.7)>f(0.6)==a.
又c=2ln 0.5==f(0.5)a>c.
方法总结
利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小.
3.已知函数f (x)=(x-)ln x,且a=f(),b=f(),c=f (),则 (　　)
A.a>b>c B.c>a>b
C.a>c>b D.c>b>a
答案:B
解析:由f (x)=(x-)ln x,得f'(x)=(1+)ln x+(1-),
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f (x)单调递减.
因为c=f(),0<<<<1,所以f ()>f()>f(),故c>a>b.
4.(2026·云南昆明模拟)已知a=,b=,c=,则 (　　)
A.aC.c答案:B
解析:设f(x)=,则f'(x)=,
当x≥2时,f'(x)<0,故f(x)在[2,+∞)上单调递减,因此>>,故c考点三　解不等式
[例3]　已知函数f(x)=ex-e-x+sin x-x+2,其中e是自然对数的底数.若f(lot)+f(3)>4,则实数t的取值范围是 (　　)
A.(0,) B.(,+∞)
C.(0,8) D.(8,+∞)
[答案]　C
[解析]　因为f'(x)=ex+e-x+cos x-1≥2+cos x-1=1+cos x≥0,
所以f(x)在R上单调递增.
令g(x)=f(x)-2,所以g(x)在R上单调递增,f(x)=g(x)+2.
因为g(-x)=e-x-ex+sin(-x)+x=-g(x),所以g(x)为奇函数,
则f(lot)+f(3)>4化为g(lot)+2+g(3)+2>4,
所以g(lot)>-g(3) g(lot)>g(-3) lot>-3,解得0所以t∈(0,8).
方法总结
1.利用函数的单调性解不等式的关键是判断函数的单调性,注意不要忽视函数的定义域.
2.解不等式时,要注意将常数巧妙地转化为函数值,再根据单调性去掉函数符号“f”.
5.设定义在[-,]上的函数f(x)=xsin x+cos x,则不等式f(2x)A.[-,) B.(,]
C.[1-,) D.(,1+]
答案:C
解析:对于函数f(x)=xsin x+cos x,f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),并且定义域[-,]关于原点对称,∴f(x)是偶函数,
∵f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当x∈(0,]时,cos x≥0,x>0,∴f'(x)≥0,∴f(x)是增函数,
∴对于f(2x)解得1-≤x<.(共19张PPT)
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A组　基础保分练
1.若函数f(x)=-x3+ax有三个单调区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.[1,+∞)　　　　　　　 B.(-∞,0]
C.(0,+∞) D.(-∞,1]
解析:f'(x)=-x2+a,∵函数f(x)=-x3+ax有三个单调区间,
∴f'(x)=-x2+a=0有两个不相等的实数根,
∴a>0.
C
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2.已知函数f(x)=x-sin x,则f(1),f(2),f(3)的大小关系是(　　)
A.f(1)>f(2)>f(3) B.f(1)>f(3)>f(2)
C.f(3)>f(1)>f(2) D.f(3)>f(2)>f(1)
解析:因为f'(x)=1-cos x≥0,所以f(x)在R上单调递增,
所以f(3)>f(2)>f(1).
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3.已知奇函数f(x)在R上单调递增,且f(x)是可导函数,g(x)=xf(x).若a=g(),b=g(-),c=g(),则(　　)
A.aC.b解析:因为奇函数f(x)在R上单调递增,所以当x>0时,f(x)>0,且f'(x)≥0,
g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是偶函数,g(-)=g().当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
0<<1<<<,所以g(-)C
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4.已知函数f(x)=ex-e-x-2x,若关于x的不等式f(m-sin x)+f(1-cos x)>0恒成立,则m的取值范围为(　　)
A.(-1,+∞) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
解析:因为f(x)=ex-e-x-2x,则f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,
则f(x)在R上单调递增.因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
因为f(m-sin x)+f(1-cos x)>0等价于f(m-sin x)>f(cos x-1),
所以m-sin x>cos x-1,即m>sin x+cos x-1=2sin(x+)-1恒成立,所以m>1.
B
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5.已知函数f(x)=2ax+cos(2x-)在区间[-,0]上单调递增,则实数a的最小值为(　　)
A. B.
C. D.1
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解析:f'(x)=2a-2sin(2x-),
因为函数f(x)在区间[-,0]上单调递增,
所以2a-2sin(2x-)≥0在区间[-,0]上恒成立,
即a≥sin(2x-)在区间[-,0]上恒成立.
因为x∈[-,0],所以2x-∈[-,-],所以[sin(2x-)]max=,
所以a≥,即实数a的最小值为.
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6.已知函数f(x)=x2+a(ex+e-x)+3(a>0),则不等式f(2x-1)≤f(x+2)的解集是(　　)
A.(-∞,-]∪[3,+∞)
B.[-,3]
C.[3,+∞)
D.(-∞,3]
B
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解析:函数f(x)=x2+a(ex+e-x)+3(a>0)的定义域为R,
f(-x)=(-x)2+a(e-x+ex)+3=f(x),即函数f(x)是偶函数,
当x>0时,f'(x)=2x+a(ex-e-x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
不等式f(2x-1)≤f(x+2) f(|2x-1|)≤f(|x+2|) |2x-1|≤|x+2|,
即3x2-8x-3≤0,解得-≤x≤3,
所以原不等式的解集为[-,3].
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7.(多选)若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1,m+1]上单调,则实数m的值可以是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:f'(x)=x-=(x>0),令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)<0,得0所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(0,3).
因为函数f(x)在区间[m-1,m+1]上单调,
所以或m-1≥3,解得1BD
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8.(多选)已知函数f(x)=3sin x-πx,x∈(0,),则下列结论正确的是(　　)
A.f'(x)<0 B.f'(x)>0
C.f(x)<0 D.f(x)>0
解析:由f(x)=3sin x-πx,x∈(0,),可得f'(x)=3cos x-π.因为x∈(0,),所以f'(x)=3cos x-π∈(-π,3-π),
故当x∈(0,)时,f'(x)<0,故A正确,B错误;
又由f'(x)<0知f(x)在(0,)上单调递减,则当x∈(0,)时,f(x)AC
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9.(2026·江苏苏州模拟)若f(x)=x(ln x+a)在[1,e]上不单调,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:由f(x)=x(ln x+a),可得f'(x)=ln x+a+1.
因为f(x)=x(ln x+a)在[1,e]上不单调,所以f'(x)=0在(1,e)上有解,
即ln x+a+1=0在(1,e)有解,即存在x∈(1,e),使得a=-ln x-1.
又因为y=-ln x-1在(1,e)上单调递减,所以-2所以实数a的取值范围是(-2,-1).
(-2,-1)
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10.已知函数f(x)=cos x+ex,且a=f(2),b=f(),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系为　　　　.
解析:由f(x)=cos x+ex可得f'(x)=-sin x+ex,
当x>0时,f'(x)=-sin x+ex>-sin x+1≥0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又-ln 2==<0,所以b1
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11.(2026·山东威海模拟)已知函数f(x)=ax-loga(x+1)(a>1)在(0,+∞)上存在单调递减区间,则a的取值范围是 (　　)
A.(1,e] B.(1,e)
C.[e,+∞) D.(e,+∞)
B组　能力提升练
B
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解析:求导可得f'(x)=axln a-,
由题意f'(x)=axln a-<0,即axln a<在(0,+∞)上有解,
即ax(x+1)(ln a)2<1在(0,+∞)上有解,
令g(x)=ax(x+1)(ln a)2.
因为a>1,所以g(x)=ax(x+1)(ln a)2在(0,+∞)上单调递增,
此时g(0)=(ln a)2,所以(ln a)2<1.
又a>1,ln a>0,所以0所以a的取值范围是(1,e).
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12.已知函数f(x)=2xsin x+2cos x+x2,则不等式f(ln x)+f(ln)<2f(2)的解集为(　　)
A.(e2,+∞) B.(0,e2)
C.(0,)∪(1,e2) D.(,e2)
D
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解析:函数f(x)=2xsin x+2cos x+x2的导数为f'(x)=2x(cos x+1),
则当x>0时,易知f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为f(-x)=2(-x)sin(-x)+2cos(-x)+(-x)2=2xsin x+2cos x+x2=f(x),
则f(x)为偶函数,则不等式f(ln x)+f(ln)=f(ln x)+f(-ln x)<2f(2),
可化为f(ln x)由其单调性,奇偶性可得-21
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13.已知f(x)=x2-2x+,a=2ln 3,b=(,c=t2-t+6,则f(a),f(b),f(c),f(π)的大小关系正确的为(　　)
A.f(a)f(c)
C.f(a)>f(c) D.f(π)>f(a)
D
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解析:因为f(x)=x2-2x+,则f'(x)=2x-2+=(x-1)(2+),
当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.
因为ln 3>1>,所以a=2ln 3>=(=b>20=1,故f(a)>f(b),故A错误;
因为c=t2-t+6=(t-)2+≥>π>1,所以f(π)因为c≥>4=22>2ln 3=a>1,所以f(a)因为ln 3f(a),故D正确.
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14.若a=1.8-ln 7,b=1.4-ln 5,c=2-3ln 2,则(　　)
A.bC.c解析:设函数f(x)=x-ln(5x-2),则f'(x)=1-=,又5x-2>0,
当x>1.4时,f'(x)>0,f(x)单调递增区间为(1.4,+∞).
因为a=1.8-ln 7=f(1.8),b=1.4-ln 5=f(1.4),c=2-ln 8=f(2),
又1.4<1.8<2,f(x)在(1.4,+∞)为增函数,所以bA(共21张PPT)
第21讲导数与函数单调性的应用
考点一　根据函数的单调性求参数
[例1]　(1)若函数f(x)=x2-2ax+ln x在定义域内存在单调递减区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(,+∞)　　　　　　　 B.[,+∞)
C.(,+∞) D.[,+∞)
A
[解析]　由题设f'(x)=2x-2a+=且x>0,
由函数f(x)在定义域内存在单调递减区间,则2x2-2ax+1<0在(0,+∞)上有解,
令g(x)=2x2-2ax+1,其开口向上,对称轴为x=且g(0)=1,则所以a>.
(2)(2026·湖北鄂州模拟)已知函数f(x)=(x2+1-ax在[0,+∞)上单调递减,则a的取值范围为　　　　.
[解析]　函数f(x)=(x2+1-ax,求导得f'(x)=(x2+1·2x-a=-a,
依题意, x∈[0,+∞),f'(x)≤0 a≥,而当x≥0时,=<1,
则a≥1,所以a的取值范围为[1,+∞).
[1,+∞)
方法总结
根据函数单调性求参数的方法
1.f(x)在(a,b)上为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0),且在(a,b)内的任一非空子区间上,f'(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.
2.函数在区间(a,b)上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集.
3.若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解,且解两侧的导数为异号.
跟踪训练
1.(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=sin x+cos x+ax(a∈R)在R上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.[,+∞) B.(-∞,]
C.[-,+∞) D.(-∞,-]
D
解析:由题意得f'(x)=cos x-sin x+a≤0在R上恒成立,则a≤sin x-cos x.
因为sin x-cos x=sin(x-)∈[-,],
要使得不等式恒成立,则a≤-.
2.若函数f(x)=2x--tln x在(1,3)上不单调,则实数t的取值范围是(　　)
A.(2,7) B.(7,+∞)
C.[7,+∞) D.[2,7]
A
解析:函数f(x)=2x--tln x,求导得f'(x)=2+-,
依题意,f'(x)在(1,3)上有变号零点,由f'(x)=0,得t=2x+,
函数t=2x+在(1,)上单调递减,此时2所以实数t的取值范围是(2,7).
考点二　比较大小
[例2]　(1)已知函数f(x)=x2+2cos x,则f(-2),f(1),f(3)的大小关系是(　　)
A.f(1)>f(-2)>f(3)
B.f(1)>f(3)>f(-2)
C.f(3)>f(1)>f(-2)
D.f(3)>f(-2)>f(1)
D
[解析]　已知f(x)=x2+2cos x,函数的定义域为R,关于原点对称,则f(-x)=
(-x)2+2cos(-x)=x2+2cos x=f(x),即f(x)为偶函数,
所以f(-2)=f(2).
求导得f'(x)=2x-2sin x=2(x-sin x).
当x≥0时,x≥sin x,故x-sin x≥0,即f'(x)≥0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f(3)>f(2)>f(1).又f(-2)=f(2),则f(3)>f(-2)>f(1).
(2)设a=,b=,c=2ln 0.5,则(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.b>c>a D.a>b>c
B
[解析]　构造函数f(x)=,其中0令g(x)=-1+ln x,g'(x)=-+=,
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,
g(x)>g(1)=0,所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上单调递增.b==f(0.7)>f(0.6)==a.
又c=2ln 0.5==f(0.5)a>c.
方法总结
利用导数比较大小,其关键在于利用题目条件判断已知(或构造后的)函数的单调性,利用其单调性比较大小.
跟踪训练
3.已知函数f (x)=(x-)ln x,且a=f(),b=f(),c=f (),则(　　)
A.a>b>c B.c>a>b
C.a>c>b D.c>b>a
解析:由f (x)=(x-)ln x,得f'(x)=(1+)ln x+(1-),
当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f (x)单调递减.
因为c=f(),0<<<<1,所以f ()>f()>f(),故c>a>b.
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4.(2026·云南昆明模拟)已知a=,b=,c=,则(　　)
A.aC.c解析:设f(x)=,则f'(x)=,
当x≥2时,f'(x)<0,故f(x)在[2,+∞)上单调递减,因此>>,故cB
考点三　解不等式
[例3]　已知函数f(x)=ex-e-x+sin x-x+2,其中e是自然对数的底数.若f(lot)+f(3)>4,则实数t的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(,+∞)
C.(0,8) D.(8,+∞)
C
[解析]　因为f'(x)=ex+e-x+cos x-1≥2+cos x-1=1+cos x≥0,
所以f(x)在R上单调递增.
令g(x)=f(x)-2,所以g(x)在R上单调递增,f(x)=g(x)+2.
因为g(-x)=e-x-ex+sin(-x)+x=-g(x),所以g(x)为奇函数,
则f(lot)+f(3)>4化为g(lot)+2+g(3)+2>4,
所以g(lot)>-g(3) g(lot)>g(-3) lot>-3,解得0所以t∈(0,8).
方法总结
1.利用函数的单调性解不等式的关键是判断函数的单调性,注意不要忽视函数的定义域.
2.解不等式时,要注意将常数巧妙地转化为函数值,再根据单调性去掉函数符号“f”.
跟踪训练
5.设定义在[-,]上的函数f(x)=xsin x+cos x,则不等式f(2x)A.[-,) B.(,]
C.[1-,) D.(,1+]
C
解析:对于函数f(x)=xsin x+cos x,f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsin x+cos x=f(x),并且定义域[-,]关于原点对称,∴f(x)是偶函数,
∵f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当x∈(0,]时,cos x≥0,x>0,∴f'(x)≥0,∴f(x)是增函数,
∴对于f(2x)解得1-≤x<.[A组　基础保分练]
1.若函数f(x)=-x3+ax有三个单调区间,则实数a的取值范围是 (　　)
A.[1,+∞)　　　　　　　 B.(-∞,0]
C.(0,+∞) D.(-∞,1]
答案:C
解析:f'(x)=-x2+a,∵函数f(x)=-x3+ax有三个单调区间,
∴f'(x)=-x2+a=0有两个不相等的实数根,
∴a>0.
2.已知函数f(x)=x-sin x,则f(1),f(2),f(3)的大小关系是 (　　)
A.f(1)>f(2)>f(3) B.f(1)>f(3)>f(2)
C.f(3)>f(1)>f(2) D.f(3)>f(2)>f(1)
答案:D
解析:因为f'(x)=1-cos x≥0,所以f(x)在R上单调递增,
所以f(3)>f(2)>f(1).
3.已知奇函数f(x)在R上单调递增,且f(x)是可导函数,g(x)=xf(x).若a=g(),b=g(-),c=g(),则 (　　)
A.aC.b答案:C
解析:因为奇函数f(x)在R上单调递增,所以当x>0时,f(x)>0,且f'(x)≥0,
g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是偶函数,g(-)=g().当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
0<<1<<<,所以g(-)4.已知函数f(x)=ex-e-x-2x,若关于x的不等式f(m-sin x)+f(1-cos x)>0恒成立,则m的取值范围为 (　　)
A.(-1,+∞) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
答案:B
解析:因为f(x)=ex-e-x-2x,则f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,
则f(x)在R上单调递增.因为f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
因为f(m-sin x)+f(1-cos x)>0等价于f(m-sin x)>f(cos x-1),
所以m-sin x>cos x-1,即m>sin x+cos x-1=2sin(x+)-1恒成立,所以m>1.
5.已知函数f(x)=2ax+cos(2x-)在区间[-,0]上单调递增,则实数a的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.1
答案:B
解析:f'(x)=2a-2sin(2x-),
因为函数f(x)在区间[-,0]上单调递增,
所以2a-2sin(2x-)≥0在区间[-,0]上恒成立,
即a≥sin(2x-)在区间[-,0]上恒成立.
因为x∈[-,0],所以2x-∈[-,-],所以[sin(2x-)]max=,
所以a≥,即实数a的最小值为.
6.已知函数f(x)=x2+a(ex+e-x)+3(a>0),则不等式f(2x-1)≤f(x+2)的解集是 (　　)
A.(-∞,-]∪[3,+∞)
B.[-,3]
C.[3,+∞)
D.(-∞,3]
答案:B
解析:函数f(x)=x2+a(ex+e-x)+3(a>0)的定义域为R,
f(-x)=(-x)2+a(e-x+ex)+3=f(x),即函数f(x)是偶函数,
当x>0时,f'(x)=2x+a(ex-e-x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
不等式f(2x-1)≤f(x+2) f(|2x-1|)≤f(|x+2|) |2x-1|≤|x+2|,
即3x2-8x-3≤0,解得-≤x≤3,
所以原不等式的解集为[-,3].
7.(多选)若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1,m+1]上单调,则实数m的值可以是 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:BD
解析:f'(x)=x-=(x>0),令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)<0,得0所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(0,3).
因为函数f(x)在区间[m-1,m+1]上单调,
所以或m-1≥3,解得18.(多选)已知函数f(x)=3sin x-πx,x∈(0,),则下列结论正确的是 (　　)
A.f'(x)<0 B.f'(x)>0
C.f(x)<0 D.f(x)>0
答案:AC
解析:由f(x)=3sin x-πx,x∈(0,),可得f'(x)=3cos x-π.因为x∈(0,),所以f'(x)=3cos x-π∈(-π,3-π),
故当x∈(0,)时,f'(x)<0,故A正确,B错误;
又由f'(x)<0知f(x)在(0,)上单调递减,则当x∈(0,)时,f(x)9.(2026·江苏苏州模拟)若f(x)=x(ln x+a)在[1,e]上不单调,则实数a的取值范围是　　　　.
答案:(-2,-1)
解析:由f(x)=x(ln x+a),可得f'(x)=ln x+a+1.
因为f(x)=x(ln x+a)在[1,e]上不单调,所以f'(x)=0在(1,e)上有解,
即ln x+a+1=0在(1,e)有解,即存在x∈(1,e),使得a=-ln x-1.
又因为y=-ln x-1在(1,e)上单调递减,所以-2所以实数a的取值范围是(-2,-1).
10.已知函数f(x)=cos x+ex,且a=f(2),b=f(),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系为　　　　.
答案:b解析:由f(x)=cos x+ex可得f'(x)=-sin x+ex,
当x>0时,f'(x)=-sin x+ex>-sin x+1≥0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又-ln 2==<0,所以[B组　能力提升练]
11.(2026·山东威海模拟)已知函数f(x)=ax-loga(x+1)(a>1)在(0,+∞)上存在单调递减区间,则a的取值范围是 (　　)
A.(1,e] B.(1,e)
C.[e,+∞) D.(e,+∞)
答案:B
解析:求导可得f'(x)=axln a-,
由题意f'(x)=axln a-<0,即axln a<在(0,+∞)上有解,
即ax(x+1)(ln a)2<1在(0,+∞)上有解,
令g(x)=ax(x+1)(ln a)2.
因为a>1,所以g(x)=ax(x+1)(ln a)2在(0,+∞)上单调递增,
此时g(0)=(ln a)2,所以(ln a)2<1.
又a>1,ln a>0,所以0所以a的取值范围是(1,e).
12.已知函数f(x)=2xsin x+2cos x+x2,则不等式f(ln x)+f(ln)<2f(2)的解集为 (　　)
A.(e2,+∞) B.(0,e2)
C.(0,)∪(1,e2) D.(,e2)
答案:D
解析:函数f(x)=2xsin x+2cos x+x2的导数为f'(x)=2x(cos x+1),
则当x>0时,易知f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为f(-x)=2(-x)sin(-x)+2cos(-x)+(-x)2=2xsin x+2cos x+x2=f(x),
则f(x)为偶函数,则不等式f(ln x)+f(ln)=f(ln x)+f(-ln x)<2f(2),
可化为f(ln x)由其单调性,奇偶性可得-213.已知f(x)=x2-2x+,a=2ln 3,b=(,c=t2-t+6,则f(a),f(b),f(c),f(π)的大小关系正确的为 (　　)
A.f(a)f(c)
C.f(a)>f(c) D.f(π)>f(a)
答案:D
解析:因为f(x)=x2-2x+,则f'(x)=2x-2+=(x-1)(2+),
当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.
因为ln 3>1>,所以a=2ln 3>=(=b>20=1,故f(a)>f(b),故A错误;
因为c=t2-t+6=(t-)2+≥>π>1,所以f(π)因为c≥>4=22>2ln 3=a>1,所以f(a)因为ln 3f(a),故D正确.
14.若a=1.8-ln 7,b=1.4-ln 5,c=2-3ln 2,则(　　)
A.bC.c答案:A
解析:设函数f(x)=x-ln(5x-2),则f'(x)=1-=,又5x-2>0,
当x>1.4时,f'(x)>0,f(x)单调递增区间为(1.4,+∞).
因为a=1.8-ln 7=f(1.8),b=1.4-ln 5=f(1.4),c=2-ln 8=f(2),
又1.4<1.8<2,f(x)在(1.4,+∞)为增函数,所以b

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