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第22讲 利用导数研究函数的极值、最值
考点一　求函数的极值问题
角度1　根据函数的图象判断函数的极值(点)
[例1]　(多选)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的极小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.-2是函数y=f(x)的极大值点
AC
[解析]　由题图知f'(-3)=0且两侧符号相反,故A正确;在(-3,1)上y=f'(x)≥0(当且仅当x=-1时等号成立),所以y=f(x)在(-3,1)上单调递增,故B,D错误,C正确.
角度2　求函数的极值
[例2]　求函数g(x)=ax-ln(x+1)(a∈R)的极值.
[解]　由题意知g(x)=ax-ln(x+1)的定义域为(-1,+∞),
g'(x)=a-.
①当a≤0时,g'(x)=a-<0在(-1,+∞)上恒成立,g(x)在(-1,+∞)上单调递减,所以g(x)在(-1,+∞)上无极值;
②当a>0时,令g'(x)=a->0,则x>-1,令g'(x)=a-<0,则-1所以当x>-1时,g(x)单调递增,当-1所以g(x)在x=-1处,取得极小值g(-1)=1-a+ln a,无极大值.
综上所述,当a≤0时,g(x)在(-1,+∞)上无极值,
当a>0时,g(x)在(-1,+∞)上有极小值1-a+ln a,无极大值.
方法总结
求函数f(x) 的极值或极值点的步骤
1.求导数f'(x),不要忘记函数f(x)的定义域.
2.求方程f'(x)=0的根.
3.检查在方程的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定函数的极值或极值点.
跟踪训练
1.已知函数f(x)=x3-3ax,讨论函数f(x)的极值情况.
解:f'(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a≤0时,f'(x)≥0,函数f(x)在R上单调递增,无极值;
当a>0时,令f'(x)>0,解得x<-或x>;
令f'(x)<0,解得-∴函数f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减,
∴函数f(x)在x=-处取得极大值 f(-)=2a,在x=处取得极小值f()=-2a.
考点二　利用导数求函数的最值
[例3]　已知函数f(x)=aln x-x(a≠0),当a>0时,求函数f(x)在(0,2]上的最大值.
[解]　f'(x)=-1=,x>0,令f'(x)=0,解得x=a,
①若0当00,∴f(x)在区间(0,a)上单调递增,
当a∴f(x)max=f(a)=aln a-a.
②若a≥2,
当0∴f(x)max=f(2)=aln 2-2.
综上所述,当0当a≥2时,f(x)max=aln 2-2.
方法总结
1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较,得到函数的最值.
2.若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
跟踪训练
2.(2025·全国一卷)求函数f(x)=5cos x-cos 5x在区间[0,]的最大值.
解:f'(x)=-5sin x+5sin 5x=10cos 3xsin 2x.
因为x∈[0,],故2x∈[0,],故sin 2x≥0,
当00,即f'(x)>0,
当故f(x)在(0,)上为增函数,在(,)上为减函数,
故f(x)在[0,]上的最大值为f()=5cos-cos=3.
考点三　函数极值、最值的应用
角度1　根据极值求参数
[例4]　(2026·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=x3-ax2的极小值是-4,则实数a=(　　)
A.1　　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
C
[解析]　f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),
当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在R上单调递增,无极值.当a≠0时,令f'(x)=0得x=0或x=,
若>0即a>0,
则在(-∞,0),(,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,
在(0,)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=处取得极小值,即f()=()3-a×()2=-4,解得a=3;
若<0即a<0,
则在(-∞,),(0,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,
在(,0)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=0处取得极小值,即f(0)=0-a×0=0≠-4,不满足题意.
综上,实数a=3.
方法总结
已知函数极值点或极值求参数的两个关键点
1.列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
2.验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
注意:已知极值情况求参数范围时要注意等价转化思想与数形结合思想的应用.
角度2　根据最值求参数
[例5]　(2026·山东泰安模拟)已知函数f(x)=+ln x在区间[1,e]上的最小值为,则a=(　　)
A.1 B.
C. D.
D
[解析]　因为f(x)=+ln x(x>0),
所以f'(x)=-=,
当a≤0时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
此时f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(1)=a+ln 1=,解得a=,不符合题意,舍去.
当a>0时,令f'(x)<0,得00,得x>a,所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
①当0所以最小值为f(1)=a≤1,不符合题意,舍去;
②当1所以最小值为f(a)=1+ln a=,解得a=;
③当a≥e时,f(x)在[1,e]上单调递减,
所以最小值为f(e)=+ln e=,
解得a=,不符合题意,舍去.
综上所述,a=.
方法总结
已知函数的最值求参数,可以先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数.
跟踪训练
3.(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　　　.
-4
解析:由题意有f'(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2).
因为2是函数f(x)的极值点,所以f'(2)=2-a=0,得a=2,
当a=2时,f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4),
当x∈(-∞,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点,符合题意,
所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4.
4.(2026·湖南常德模拟)若函数f(x)=有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.
解析:当x>1时,f(x)=xln x,求导得f'(x)=1+ln x>0,
函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在x>1时的取值集合为(0,+∞),
当x≤1时,若a=0,则f(x)=1>0,没有最小值,
由函数f(x)在R上有最小值,得f(x)在(-∞,1]上单调递减,且f(1)≤0,
因此解得a≥1,所以实数a的取值范围是[1,+∞).
[1,+∞)第22讲　利用导数研究函数的极值、最值
考点一　求函数的极值问题
角度1　根据函数的图象判断函数的极值(点)
[例1]　(多选)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　　)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的极小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.-2是函数y=f(x)的极大值点
[答案]　AC
[解析]　由题图知f'(-3)=0且两侧符号相反,故A正确;在(-3,1)上y=f'(x)≥0(当且仅当x=-1时等号成立),所以y=f(x)在(-3,1)上单调递增,故B,D错误,C正确.
角度2　求函数的极值
[例2]　求函数g(x)=ax-ln(x+1)(a∈R)的极值.
[解]　由题意知g(x)=ax-ln(x+1)的定义域为(-1,+∞),
g'(x)=a-.
①当a≤0时,g'(x)=a-<0在(-1,+∞)上恒成立,g(x)在(-1,+∞)上单调递减,所以g(x)在(-1,+∞)上无极值;
②当a>0时,令g'(x)=a->0,则x>-1,令g'(x)=a-<0,则-1所以当x>-1时,g(x)单调递增,当-1所以g(x)在x=-1处,取得极小值g(-1)=1-a+ln a,无极大值.
综上所述,当a≤0时,g(x)在(-1,+∞)上无极值,
当a>0时,g(x)在(-1,+∞)上有极小值1-a+ln a,无极大值.
方法总结
求函数f(x) 的极值或极值点的步骤
1.求导数f'(x),不要忘记函数f(x)的定义域.
2.求方程f'(x)=0的根.
3.检查在方程的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定函数的极值或极值点.
1.已知函数f(x)=x3-3ax,讨论函数f(x)的极值情况.
解:f'(x)=3x2-3a=3(x2-a),
当a≤0时,f'(x)≥0,函数f(x)在R上单调递增,无极值;
当a>0时,令f'(x)>0,解得x<-或x>;
令f'(x)<0,解得-∴函数f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减,
∴函数f(x)在x=-处取得极大值 f(-)=2a,在x=处取得极小值f()=-2a.
考点二　利用导数求函数的最值
[例3]　已知函数f(x)=aln x-x(a≠0),当a>0时,求函数f(x)在(0,2]上的最大值.
[解]　f'(x)=-1=,x>0,令f'(x)=0,解得x=a,
①若0当00,∴f(x)在区间(0,a)上单调递增,
当a∴f(x)max=f(a)=aln a-a.
②若a≥2,
当0∴f(x)max=f(2)=aln 2-2.
综上所述,当0当a≥2时,f(x)max=aln 2-2.
方法总结
1.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较,得到函数的最值.
2.若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
2.(2025·全国一卷)求函数f(x)=5cos x-cos 5x在区间[0,]的最大值.
解:f'(x)=-5sin x+5sin 5x=10cos 3xsin 2x.
因为x∈[0,],故2x∈[0,],故sin 2x≥0,
当00,即f'(x)>0,
当故f(x)在(0,)上为增函数,在(,)上为减函数,
故f(x)在[0,]上的最大值为f()=5cos-cos=3.
考点三　函数极值、最值的应用
角度1　根据极值求参数
[例4]　(2026·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=x3-ax2的极小值是-4,则实数a= (　　)
A.1　　　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
[答案]　C
[解析]　f'(x)=3x2-2ax=x(3x-2a),
当a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)在R上单调递增,无极值.当a≠0时,令f'(x)=0得x=0或x=,
若>0即a>0,
则在(-∞,0),(,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,
在(0,)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=处取得极小值,即f()=()3-a×()2=-4,解得a=3;
若<0即a<0,
则在(-∞,),(0,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,
在(,0)上,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=0处取得极小值,即f(0)=0-a×0=0≠-4,不满足题意.
综上,实数a=3.
方法总结
已知函数极值点或极值求参数的两个关键点
1.列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
2.验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
注意:已知极值情况求参数范围时要注意等价转化思想与数形结合思想的应用.
角度2　根据最值求参数
[例5]　(2026·山东泰安模拟)已知函数f(x)=+ln x在区间[1,e]上的最小值为,则a= (　　)
A.1 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　因为f(x)=+ln x(x>0),
所以f'(x)=-=,
当a≤0时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
此时f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(1)=a+ln 1=,解得a=,不符合题意,舍去.
当a>0时,令f'(x)<0,得00,得x>a,所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.
①当0所以最小值为f(1)=a≤1,不符合题意,舍去;
②当1所以最小值为f(a)=1+ln a=,解得a=;
③当a≥e时,f(x)在[1,e]上单调递减,
所以最小值为f(e)=+ln e=,
解得a=,不符合题意,舍去.
综上所述,a=.
方法总结
已知函数的最值求参数,可以先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数.
3.(2025·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　　　.
答案:-4
解析:由题意有f'(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2).
因为2是函数f(x)的极值点,所以f'(2)=2-a=0,得a=2,
当a=2时,f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4),
当x∈(-∞,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点,符合题意,
所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4.
4.(2026·湖南常德模拟)若函数f(x)=有最小值,则实数a的取值范围是　　　　.
答案:[1,+∞)
解析:当x>1时,f(x)=xln x,求导得f'(x)=1+ln x>0,
函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在x>1时的取值集合为(0,+∞),
当x≤1时,若a=0,则f(x)=1>0,没有最小值,
由函数f(x)在R上有最小值,得f(x)在(-∞,1]上单调递减,且f(1)≤0,
因此解得a≥1,所以实数a的取值范围是[1,+∞).[A组　基础保分练]
1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是 (　　)
A.1　　　　　　　　　 B.(1,-)
C.-3 D.(-3,8)
答案:A
解析:f'(x)=x2+2x-3,由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1,
所以函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)在x=1处有极小值,极小值点为1.
2.已知函数f(x)=ln x-x2,则函数f(x) (　　)
A.既有极大值,也有极小值
B.有极大值,无极小值
C.有极小值,无极大值
D.既无极大值,也无极小值
答案:B
解析:函数f(x)=ln x-x2的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-2x==,当00,当x>时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,所以f(x)在x=处取得极大值,无极小值.
3.已知函数y=f(x)的定义域为(a,b),导函数y=f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数y=f(x)在(a,b)内的极小值有 (　　)
A.1个　　　　　　　　　 B.2个
C.3个 D.4个
答案:A
解析:因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增,对应导函数值是先负后正,由题图可知,在区间(a,b) 内,导函数值先负后正的点只有1个,所以函数y=f(x)在区间(a,b) 内的极小值的个数是1.
4.函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈[0,]的最大值为(　　)
A.4 B.3
C. D.5
答案:B
解析:由题意f'(x)=3cos 3x+6cos x=3cos(x+2x)+6cos x
=3(cos xcos 2x-sin xsin 2x)+6cos x
=3[cos x(2cos2x-1)-2cos x(1-cos2x)]+6cos x
=3(4cos3x-3cos x)+6cos x=12cos3x-3cos x
=3cos x(4cos2x-1)
=3cos x(2cos x-1)(2cos x+1),x∈[0,],
所以当00,当所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,
所以函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈[0,]的最大值为f()=sin π+6sin=3.
5.已知函数f(x)=xln x-ax有极值-e,则a=(　　)
A.1 B.2
C.e D.3
答案:B
解析:由题可得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1-a.
令f'(x)>0,得x>ea-1;
令f'(x)<0,得0所以函数f(x)在区间(0,ea-1)上单调递减,在区间(ea-1,+∞)上单调递增.
则函数f(x)的极小值点是ea-1,无极大值点,
故f(ea-1)=ea-1ln ea-1-aea-1=-e,
解得a=2.
6.已知函数f(x)=x++3ln x在(a,2-3a)内有最小值,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(,1) B.[0,)
C.(,1) D.[0,)
答案:B
解析:函数f(x)=x++3ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-+==,
令f'(x)=0可得x=1或x=-4(舍去),当01时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,即最小值.又因为函数f(x)在(a,2-3a)内有最小值,故0≤a<1<2-3a,解得0≤a<,所以实数a的取值范围是[0,).
7.(多选)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则 (　　)
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
答案:BCD
解析:函数f(x)=aln x++的定义域为(0,+∞),
则f'(x)=--=.
因为函数f(x)既有极大值也有极小值,
则函数f'(x)在(0,+∞)上有两个变号零点,
因此方程ax2-bx-2c=0有两个不相等的正实数根x1,x2,
于是
即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0,
显然a2bc<0,即bc<0,故A错误,B,C,D正确.
8.(2026·陕西宝鸡模拟)若函数f(x)=4sin x+3cos x的极大值点为x0,则sin x0=　　　　.
答案:
解析:由函数f(x)=4sin x+3cos x,
求导可得f'(x)=4cos x-3sin x=5(cos x-sin x),
令sin φ=,cos φ=,则f'(x)=5cos(x+φ),
由题意可得f'(x0)=5cos(x0+φ)=0,
由函数y=cos x可知当x∈(-+2kπ,+2kπ)(k∈Z)时,cos x>0,
当x∈(+2kπ,+2kπ)(k∈Z)时,cos x<0,又x0为函数f(x)的极大值点,
则x0+φ=+2kπ(k∈Z),解得x0=-φ+2kπ(k∈Z),
所以sin x0=sin(-φ+2kπ)=cos φ=.
[B组　能力提升练]
9.某同学准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形(圆心和半径与圆形铁片一致)作为圆锥的侧面,制作成一个圆锥形无盖漏斗(接缝处忽略不计).若该漏斗的容积为2π,则圆形铁片的面积最小值为 (　　)
A.4π B.6π
C.8π D.9π
答案:D
解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为R.
当圆形铁片的面积最小时,R2最小.因为该漏斗的容积V=πr2h=2π,
解得r2=,则R2=h2+r2=h2+(h>0).
设y=x2+,x>0,则y'=2x-,
令2x-=0,可得x=,
当0时,y'>0,函数单调递增.
故当x=时,y取得最小值9,所以圆形铁片的面积的最小值为9π.
10.(多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则(　　)
A.f(0)=0
B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2
C.f(x)≥2当且仅当x≥
D.x=-1是f(x)的极大值点
答案:ABD
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,故A正确;
当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-[(x2-3)e-x+2]=-(x2-3)e-x-2,故B正确;
f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2,故C错误;
当x<0时,f(x)=(3-x2)e-x-2,
则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x,
令f'(x)=0,解得x=-1或x=3(舍去),
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增,
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减,
则x=-1是f(x)的极大值点,故D正确.
11.(2026·广东广州模拟)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax-a2.
(1)当a=4时,求曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性;
(3)若f(x)存在极大值,且极大值不大于-3-ln 2,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=4时,f(x)=ln(x+1)-4x-16,f'(x)=-4,
则f(0)=ln 1-16=-16,f'(0)=-4=-3,所以切线方程为y+16=-3(x-0),化简得3x+y+16=0.
(2)由f(x)=ln(x+1)-ax-a2可得f'(x)=-a,x∈(-1,+∞),
当a≤0时,f'(x)=-a>0恒成立,所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
当a>0时,令f'(x)>0,即-a>0,得-1-1+,
所以f(x)在(-1,-1+)上单调递增,在(-1+,+∞)上单调递减.
综上所述,
当a≤0时, f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(-1,-1+)上单调递增,在(-1+,+∞)上单调递减.
(3)由(2)可知当a≤0时f(x)无极值点,当a>0时f(x)在x=-1+处有极大值,
可得f(-1+)≤-3-ln 2,代入得ln+a-1-a2≤-3-ln 2,化简得a2-a+ln a-2-ln 2≥0.
令g(a)=a2-a+ln a-2-ln 2(a>0),则g'(a)=2a-1+=.
因为2a2-a+1=2(a-)2+>0,所以g'(a)>0,g(a)在(0,+∞)上单调递增.
因为g(2)=22-2+ln 2-2-ln 2=0,所以g(a)≥g(2),解得a≥2,
所以实数a的取值范围是[2,+∞).(共21张PPT)
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A组　基础保分练
1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　)
A.1　　　　　　　　　 B.(1,-)
C.-3 D.(-3,8)
解析:f'(x)=x2+2x-3,由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1,
所以函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)在x=1处有极小值,极小值点为1.
A
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2.已知函数f(x)=ln x-x2,则函数f(x)(　　)
A.既有极大值,也有极小值 B.有极大值,无极小值
C.有极小值,无极大值 D.既无极大值,也无极小值
解析:函数f(x)=ln x-x2的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-2x== ,当00,当x>时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,所以f(x)在x=处取得极大值,无极小值.
B
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3.已知函数y=f(x)的定义域为(a,b),导函数y=f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数y=f(x)在(a,b)内的极小值有(　　)
A.1个　　　　　　　　　 B.2个
C.3个 D.4个
解析:因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增,对应导函数值是先负后正,由题图可知,在区间(a,b) 内,导函数值先负后正的点只有1个,所以函数y=f(x)在区间(a,b) 内的极小值的个数是1.
A
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4.函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈[0,]的最大值为(　　)
A.4 B.3
C. D.5
B
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解析:由题意f'(x)=3cos 3x+6cos x=3cos(x+2x)+6cos x
=3(cos xcos 2x-sin xsin 2x)+6cos x
=3[cos x(2cos2x-1)-2cos x(1-cos2x)]+6cos x
=3(4cos3x-3cos x)+6cos x=12cos3x-3cos x
=3cos x(4cos2x-1)
=3cos x(2cos x-1)(2cos x+1),x∈[0,],
所以当00,当所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,
所以函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈[0,]的最大值为f()=sin π+6sin=3.
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5.已知函数f(x)=xln x-ax有极值-e,则a=(　　)
A.1 B.2
C.e D.3
B
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解析:由题可得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1-a.
令f'(x)>0,得x>ea-1;
令f'(x)<0,得0所以函数f(x)在区间(0,ea-1)上单调递减,在区间(ea-1,+∞)上单调递增.
则函数f(x)的极小值点是ea-1,无极大值点,
故f(ea-1)=ea-1ln ea-1-aea-1=-e,
解得a=2.
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6.已知函数f(x)=x++3ln x在(a,2-3a)内有最小值,则实数a的取值范围是(　　)
A.(,1) B.[0,)
C.(,1) D.[0,)
B
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解析:函数f(x)=x++3ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-+== ,
令f'(x)=0可得x=1或x=-4(舍去),当01时,f'(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,即最小值.又因为函数f(x)在(a,2-3a)内有最小值,故0≤a<1<2-3a,解得0≤a<,所以实数a的取值范围是[0,).
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7.(多选)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则( 　　)
A.bc>0 B.ab>0
C.b2+8ac>0 D.ac<0
BCD
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解析:函数f(x)=aln x++的定义域为(0,+∞),
则f'(x)=--=.
因为函数f(x)既有极大值也有极小值,
则函数f'(x)在(0,+∞)上有两个变号零点,
因此方程ax2-bx-2c=0有两个不相等的正实数根x1,x2,
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于是
即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0,
显然a2bc<0,即bc<0,故A错误,B,C,D正确.
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8.(2026·陕西宝鸡模拟)若函数f(x)=4sin x+3cos x的极大值点为x0,则sin x0=　　　　.
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解析:由函数f(x)=4sin x+3cos x,
求导可得f'(x)=4cos x-3sin x=5(cos x-sin x),
令sin φ=,cos φ=,则f'(x)=5cos(x+φ),
由题意可得f'(x0)=5cos(x0+φ)=0,
由函数y=cos x可知当x∈(-+2kπ,+2kπ)(k∈Z)时,cos x>0,
当x∈(+2kπ,+2kπ)(k∈Z)时,cos x<0,又x0为函数f(x)的极大值点,
则x0+φ=+2kπ(k∈Z),解得x0=-φ+2kπ(k∈Z),
所以sin x0=sin(-φ+2kπ)=cos φ=.
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9.某同学准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形(圆心和半径与圆形铁片一致)作为圆锥的侧面,制作成一个圆锥形无盖漏斗(接缝处忽略不计).若该漏斗的容积为2π,则圆形铁片的面积最小值为(　　)
A.4π B.6π
C.8π D.9π
B组　能力提升练
D
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解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为R.
当圆形铁片的面积最小时,R2最小.因为该漏斗的容积V=πr2h=2π,
解得r2=,则R2=h2+r2=h2+(h>0).
设y=x2+,x>0,则y'=2x-,
令2x-=0,可得x=,
当0时,y'>0,函数单调递增.
故当x=时,y取得最小值9,所以圆形铁片的面积的最小值为9π.
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10.(多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则( 　　)
A.f(0)=0
B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2
C.f(x)≥2当且仅当x≥
D.x=-1是f(x)的极大值点
ABD
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解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,故A正确;
当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-[(x2-3)e-x+2]=-(x2-3)e-x-2,故B正确;
f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2,故C错误;
当x<0时,f(x)=(3-x2)e-x-2,
则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x,
令f'(x)=0,解得x=-1或x=3(舍去),
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增,
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减,
则x=-1是f(x)的极大值点,故D正确.
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11.(2026·广东广州模拟)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax-a2.
(1)当a=4时,求曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
解:当a=4时,f(x)=ln(x+1)-4x-16,f'(x)=-4,
则f(0)=ln 1-16=-16,f'(0)=-4=-3,所以切线方程为y+16=-3(x-0),化简得3x+y+16=0.
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(2)讨论函数f(x)的单调性;
解:由f(x)=ln(x+1)-ax-a2可得f'(x)=-a,x∈(-1,+∞),
当a≤0时,f'(x)=-a>0恒成立,所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
当a>0时,令f'(x)>0,即-a>0,得-1-1+,
所以f(x)在(-1,-1+)上单调递增,在(-1+,+∞)上单调递减.
综上所述,
当a≤0时, f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(-1,-1+)上单调递增,在(-1+,+∞)上单调递减.
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(3)若f(x)存在极大值,且极大值不大于-3-ln 2,求实数a的取值范围.
解:由(2)可知当a≤0时f(x)无极值点,当a>0时f(x)在x=-1+处有极大值,
可得f(-1+)≤-3-ln 2,代入得ln+a-1-a2≤-3-ln 2,化简得a2-a+ln a-2-ln 2 ≥0.
令g(a)=a2-a+ln a-2-ln 2(a>0),则g'(a)=2a-1+=.
因为2a2-a+1=2(a-)2+>0,所以g'(a)>0,g(a)在(0,+∞)上单调递增.
因为g(2)=22-2+ln 2-2-ln 2=0,所以g(a)≥g(2),解得a≥2,
所以实数a的取值范围是[2,+∞).

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