资源简介

[A组　基础保分练]
1.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点 (　　)
A.(-1,2)　　　　　　 B.(1,2)
C.(-1,-2) D.(-2,1)
答案:A
解析:函数y=f(x) 与y=-f(-x) 的图象关于原点对称,又y=f(x) 的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x) 的图象必过点(-1,2).
2.(2026·山东聊城模拟)函数y=与y=-2x的图象 (　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x轴对称
答案:C
解析:令f(x)=2x,则-f(-x)=-2-x.
∵y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,
∴y=2-x与y=-2x的图象关于原点对称.
3.已知函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,则a等于 (　　)
A.1 B.2
C.0 D.-2
答案:B
解析:函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,可得f(2+x)=f(2-x),
即2|2+x-a|=2|2-x-a|,
则|2+x-a|=|2-x-a|(*)恒成立,
可得2+x-a=2-x-a或2+x-a+2-x-a=0,解得x=0或a=2,
检验可得当a=2时(*)式恒成立.
4.(2026·山西晋中模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=sinx,则f()= (　　)
A.- B.
C.- D.
答案:C
解析:定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),
则f(x)=-f(x-2),于是f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4),
即f(x)的周期为4,则f()=f(-)=-f()=-sin=-.
5.(多选)(2026·宁夏银川模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(x+2)是R上的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x,则下列说法正确的是 (　　)
A.8为f(x)的一个周期
B.f(-3)=3
C.f(2 025)=3
D.f(2 026)=8
答案:ACD
解析:因为f(x+2)是偶函数, 所以f(x+2)=f(-x+2).
又因为f(x)是奇函数,所以f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2),
所以f(x+4)=-f(x),
所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的一个周期为8,选项A正确;
又当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x,
所以f(-3)=f(5)=-f(1)=-3,选项B错误;
f(2 025)=f(8×253+1)=f(1)=3,选项C正确;
f(2 026)=f(8×253+2)=f(2)=8,选项D正确.
6.(多选)(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=e2|x|+cos 2x(x∈R),则下列判断正确的是 (　　)
A.函数f(x)的图象关于y轴对称
B.函数f(x)的最小值为2,无最大值
C.函数f(x)在(-π,π)上单调递增
D.不等式f(x-1)答案:ABD
解析:f(-x)=e2|-x|+cos(-2x)=e2|x|+cos 2x,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,f(x)的图象关于y轴对称,故A正确;
当x≥0时,f(x)=e2x+cos 2x,f'(x)=2e2x-2sin 2x>0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(0)=2,且f(x)是偶函数,所以函数f(x)的最小值为2,无最大值,故B正确;
由A,B可知,f(x)在(-π,0)上单调递减,在[0,π)上单调递增,故C错误;
不等式f(x-1),故D正确.
7.已知函数y=f(x)与g(x)=ln(-x-2)-x-2的图象关于点(-1,0)对称,则f(x)=　　　　.
答案:-ln x-x
解析:设M(x,y)是y=f(x)图象上任意一点,且点M关于点(-1,0)对称的点为(m,n),
可得
将其代入函数g(x)=ln(-x-2)-x-2,可得-y=ln x+x,所以y=-ln x-x,即f(x)=-ln x-x.
8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),当0≤x≤2时,f(x)=设g(x)=f(x-1)+f(x)+f(x+1),则g(2 026)=　　　　.
答案:0
解析:由题知,f(x)是奇函数且是周期为4的周期函数,
又当0≤x≤2时,f(x)=
则f(2 025)=f(1+506×4)=f(1)=1,f(2 026)=f(2+506×4)=f(2)=0,f(2 027)=(-1+507×4)=f(-1)=-f(1)=-1,
故g(2 026)=f(2 025)+f(2 026)+f(2 027)=0.
[B组　能力提升练]
9.(多选)(2026·广东湛江模拟)设定义在R上的函数f(x)和g(x),记g(x)的导函数为g'(x),且满足f(x)+g'(x)=4,f(x-1)-g'(3-x)=4.若g(x)为奇函数,则下列结论一定成立的有 (　　)
A.f(2)+f(4)=8
B.f(2 025)=4
C.f(n)=8 100
D.g'(4)=0
答案:ABC
解析:由f(x)+g'(x)=4,得f(x-1)+g'(x-1)=4.
又f(x-1)-g'(3-x)=4,所以g'(x-1)=-g'(3-x),即g'(x)=-g'(2-x),
所以g'(x)关于(1,0)对称,g'(1)=0.
又因为g(x)是奇函数,故g'(x)是偶函数,所以g'(x)满足条件g'(x+4)=g'(x).
对于选项A,因为g'(4)=-g'(-2)=-g'(2),所以g'(4)+g'(2)=0,
所以f(2)+f(4)=4-g'(2)+4-g'(4)=8-[g'(4)+g'(2)]=8,选项A正确;
f(2 025)=4-g'(2 025)=4-g'(1)=4,选项B正确;
因为g'(3)=-g'(-1)=-g'(1)=0,所以g'(1)+g'(2)+g'(3)+g'(4)=0,
所以f(n)=4×2 025-g'(n)=8 100-g'(2 025)=8 100-g'(1)=8 100,选项C正确;
对于选项D,g'(4)=g'(0),但不一定为0,选项D错误.
10.设函数f(x)=ln+ax-b(a>0,b∈R).
(1)判断函数f(x)的单调性(无需证明);
(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;
(3)若3a=b,解关于实数t的不等式f(t2-2t+3)+f(3+t)>0.
(1)解:f(x)的定义域为(0,6),
f(x)=ln x-ln(6-x)+ax-b,
当a>0时,y=ln x,y=-ln(6-x),y=ax-b都是增函数,
所以函数f(x)在(0,6)上单调递增.
(2)证明:f(x)的定义域为(0,6),
由于f(x)+f(6-x)=ln+ax-b+ln+a(6-x)-b=6a-2b,
(或f(3+x)+f(3-x)=ln+a(3+x)-b+ln+a(3-x)-b=6a-2b)
所以f(x)关于点(3,3a-b)中心对称.
(3)解:当3a=b时,由(2)知,f(x)关于点(3,0)中心对称,
关于t的不等式f(t2-2t+3)+f(3+t)>0等价于t2-2t+3+3+t>6,
又0由
所以不等式的解集为{t|-11
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A组　基础保分练
1.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(　　)
A.(-1,2)　　　　　　 B.(1,2)
C.(-1,-2) D.(-2,1)
解析:函数y=f(x) 与y=-f(-x) 的图象关于原点对称,又y=f(x) 的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x) 的图象必过点(-1,2).
A
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2.(2026·山东聊城模拟)函数y=与y=-2x的图象 (　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x轴对称
解析:令f(x)=2x,则-f(-x)=-2-x.
∵y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,
∴y=2-x与y=-2x的图象关于原点对称.
C
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3.已知函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,则a等于(　　)
A.1 B.2
C.0 D.-2
解析:函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,可得f(2+x)=f(2-x),
即2|2+x-a|=2|2-x-a|,
则|2+x-a|=|2-x-a|(*)恒成立,
可得2+x-a=2-x-a或2+x-a+2-x-a=0,解得x=0或a=2,
检验可得当a=2时(*)式恒成立
B
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4.(2026·山西晋中模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=sinx,则f()=(　　)
A.- B.
C.- D.
C
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解析:定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),
则f(x)=-f(x-2),于是f(x)=-f(x-2)=-[-f(x-4)]=f(x-4),
即f(x)的周期为4,则f()=f(-)=-f()=-sin=-.
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5.(多选)(2026·宁夏银川模拟)已知f(x)是R上的奇函数,f(x+2)是R上的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x,则下列说法正确的是(　　 )
A.8为f(x)的一个周期
B.f(-3)=3
C.f(2 025)=3
D.f(2 026)=8
ACD
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解析:因为f(x+2)是偶函数, 所以f(x+2)=f(-x+2).
又因为f(x)是奇函数,所以f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2),
所以f(x+4)=-f(x),
所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的一个周期为8,选项A正确;
又当x∈[0,2]时,f(x)=x2+2x,
所以f(-3)=f(5)=-f(1)=-3,选项B错误;
f(2 025)=f(8×253+1)=f(1)=3,选项C正确;
f(2 026)=f(8×253+2)=f(2)=8,选项D正确.
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6.(多选)(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=e2|x|+cos 2x(x∈R),则下列判断正确的是(　 　)
A.函数f(x)的图象关于y轴对称
B.函数f(x)的最小值为2,无最大值
C.函数f(x)在(-π,π)上单调递增
D.不等式f(x-1)ABD
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解析:f(-x)=e2|-x|+cos(-2x)=e2|x|+cos 2x,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,f(x)的图象关于y轴对称,故A正确;
当x≥0时,f(x)=e2x+cos 2x,f'(x)=2e2x-2sin 2x>0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(0)=2,且f(x)是偶函数,所以函数f(x)的最小值为2,无最大值,故B正确;
由A,B可知,f(x)在(-π,0)上单调递减,在[0,π)上单调递增,故C错误;
不等式f(x-1),故D正确.
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7.已知函数y=f(x)与g(x)=ln(-x-2)-x-2的图象关于点(-1,0)对称,则f(x)=　　　　.
解析:设M(x,y)是y=f(x)图象上任意一点,且点M关于点(-1,0)对称的点为(m,n),
可得
将其代入函数g(x)=ln(-x-2)-x-2,可得-y=ln x+x,所以y=-ln x-x,即f(x)=-ln x-x.
-ln x-x
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8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),当0≤x≤2时,
f(x)=设g(x)=f(x-1)+f(x)+f(x+1),则g(2 026)=　 　.
解析:由题知,f(x)是奇函数且是周期为4的周期函数,
又当0≤x≤2时,f(x)=
则f(2 025)=f(1+506×4)=f(1)=1,f(2 026)=f(2+506×4)=f(2)=0,f(2 027)=(-1
+507×4)=f(-1)=-f(1)=-1,
故g(2 026)=f(2 025)+f(2 026)+f(2 027)=0.
0
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B组　能力提升练
9.(多选)(2026·广东湛江模拟)设定义在R上的函数f(x)和g(x),记g(x)的导函数为g'(x),且满足f(x)+g'(x)=4,f(x-1)-g'(3-x)=4.若g(x)为奇函数,则下列结论一定成立的有( 　　)
A.f(2)+f(4)=8
B.f(2 025)=4
C.f(n)=8 100
D.g'(4)=0
ABC
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解析:由f(x)+g'(x)=4,得f(x-1)+g'(x-1)=4.
又f(x-1)-g'(3-x)=4,所以g'(x-1)=-g'(3-x),即g'(x)=-g'(2-x),
所以g'(x)关于(1,0)对称,g'(1)=0.
又因为g(x)是奇函数,故g'(x)是偶函数,所以g'(x)满足条件g'(x+4)=g'(x).
对于选项A,因为g'(4)=-g'(-2)=-g'(2),所以g'(4)+g'(2)=0,
所以f(2)+f(4)=4-g'(2)+4-g'(4)=8-[g'(4)+g'(2)]=8,选项A正确;
f(2 025)=4-g'(2 025)=4-g'(1)=4,选项B正确;
因为g'(3)=-g'(-1)=-g'(1)=0,所以g'(1)+g'(2)+g'(3)+g'(4)=0,
所以f(n)=4×2 025-g'(n)=8 100-g'(2 025)=8 100-g'(1)=8 100,选项C正确;
对于选项D,g'(4)=g'(0),但不一定为0,选项D错误.
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10.设函数f(x)=ln+ax-b(a>0,b∈R).
(1)判断函数f(x)的单调性(无需证明);
解:f(x)的定义域为(0,6),
f(x)=ln x-ln(6-x)+ax-b,
当a>0时,y=ln x,y=-ln(6-x),y=ax-b都是增函数,
所以函数f(x)在(0,6)上单调递增.
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(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;
证明:f(x)的定义域为(0,6),
由于f(x)+f(6-x)=ln+ax-b+ln+a(6-x)-b=6a-2b,
(或f(3+x)+f(3-x)=ln+a(3+x)-b+ln+a(3-x)-b=6a-2b)
所以f(x)关于点(3,3a-b)中心对称.
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(3)若3a=b,解关于实数t的不等式f(t2-2t+3)+f(3+t)>0.
解:当3a=b时,由(2)知,f(x)关于点(3,0)中心对称,
关于t的不等式f(t2-2t+3)+f(3+t)>0等价于t2-2t+3+3+t>6,
又0由
所以不等式的解集为{t|-1考点一　函数的对称性
[例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3,证明:曲线y=f(x)是中心对称图形.
[证明]　法一:易知x∈(0,2),
f(2-x)+f(x)=ln+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ax+b(x-1)3=2a,
所以f(x)的图象关于点(1,a)中心对称,即曲线y=f(x)是中心对称图形.
法二:f(x)=ln+ax+b(x-1)3的定义域为(0,2),
f(1+x)+f(1-x)=ln+a(1+x)+b(1+x-1)3+ln+a(1-x)+b(1-x-1)3=ln+a(1+x)+bx3+ln+a(1-x)-bx3=ln 1+2a=2a,因此f(x)的图象关于点(1,a)中心对称,所以曲线y=f(x)是中心对称图形.
1.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=(+a)ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称 若存在,求a,b;若不存在,说明理由.
解:假设存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称.
令g(x)=f()=(x+a)ln(1+)=(x+a)·ln.
因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称,所以g(x)=g(2b-x),
即(x+a)ln=(2b-x+a)ln=(x-2b-a)ln,
于是
当a=,b=-时,g(x)=(x+)ln(1+),g(-1-x)=(-x-)ln=(-x-)·ln=(x+)ln=(x+)ln(1+)=g(x),
所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称,满足题意.
故存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称,且a=,b=-.
考点二　对称性与函数的奇偶性的应用
[例2]　(多选)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),则下列结论正确的是 (　　)
A.f(x)的图象关于直线x=2对称
B.f(x)的图象关于点(2,0)对称
C.f(x)的周期为4
D.y=f(x+4)为偶函数
[答案]　ACD
[解析]　因为f(2+x)=f(2-x),所以f(x) 的图象关于直线x=2 对称,故A正确,B错误;
因为函数f(x) 的图象关于直线x=2对称,
则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),
所以f(x+4)=f(x),所以f(x) 的周期为4,故C正确;
因为f(x)的周期为4且f(x) 为偶函数,
所以y=f(x+4) 为偶函数,故D正确.
2.(多选)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列结论成立的是 (　　)
A.f(x+1)为偶函数
B.f(1+x)=f(1-x)
C.f(1+x)+f(1-x)=0
D.f(1)=0
答案:AB
解析:由于y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)为偶函数,故A,B选项正确,C选项错误;如f(x)=(x-1)2+1,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,但f(1)=1≠0,故D选项错误.
考点三　函数的对称性与周期性
[例3]　(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f()=(　　)
A.-　　　　　　　　 B.-
C. D.
[答案]　D
[解析]　由于f(x+1)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,得f(1)=0,即a+b=0　①,即有f(x)+f(2-x)=0,所以f(0)=-f(2),由于f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1),所以f(0)+f(3)=-f(2)+f(1)=-4a-b+a+b=-3a=6　②.
根据①②可得a=-2,b=2,所以当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2.
根据函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且关于点(1,0)对称,可得函数f(x)的周期为4,所以f()=f()=-f()=2×()2-2=.
3.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f(2-x)=2,f(x)-f(4-x)=0,且f(0)=2.若i∈N*,则f(i)= (　　)
A.506 B.1 012
C.2 024 D.4 048
答案:C
解析:因为f(x)+f(2-x)=2,①
所以f(1+x)+f(2-(1+x))=2,
即f(1+x)+f(1-x)=2,
所以f(1+x)-1=-[f(1-x)-1],
所以函数f(x)的图象关于(1,1)对称,
在①中,令x=1,则f(1)+f(1)=2,所以f(1)=1,
令x=2,f(2)+f(0)=2,又f(0)=2,所以f(2)=0.
又因为f(x)-f(4-x)=0,所以f(2-x)=f(4-(2-x))=f(2+x),②
即函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
f(3)=f(1)=1,
由①和②,得f(x)+f(2+x)=2 f(2+x)+f(4+x)=2,
所以f(x)=f(4+x),则函数f(x)的一个周期为4,
则f(4)=f(0)=2,
所以f(i)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=506×(1+0+1+2)=2 024.
考点四　函数的奇偶性、对称性与周期性
[例4]　(2026·山东青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x+1)为偶函数,且f(x)+f(4-x)=2,f(1)=2,则f(n)= (　　)
A.2 026 B.2 025
C.2 024 D.2 023
[答案]　A
[解析]　由f(2x+1)为偶函数,得f(2x+1)=f(-2x+1),即f(1+x)=f(1-x),则f(2-x)=f(x),
因此f(2-x)+f(4-x)=2,即f(2+x)+f(x)=2,则f(4+x)+f(2+x)=2,
于是f(x+4)=f(x),函数f(x)是周期为4的周期函数,
由f(2+x)+f(x)=2,得f(1)+f(3)=2,f(2)+f(4)=2,因此f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,
所以f(n)=506×4+f(1)=2 026.
4.(多选)(2026·河北石家庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)是定义在R上的奇函数,则 (　　)
A.f(x)的图象关于点(1,0)中心对称
B.f(x)是周期为2的函数
C.f(2 027)=0
D.f(i)=0
答案:AC
解析:对于A,因为y=f(x+1)是R上的奇函数,其图象关于原点对称,
又y=f(x+1)可以看成函数y=f(x)向左平移1个单位得到,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故A正确;
对于B,由y=f(x+1)是R上的奇函数,可得f(-x+1)=-f(x+1),即 f(-x)=-f(x+2),
又f(-x)=f(x),则f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为4的函数,故B错误;
对于C,由f(-x)=-f(x+2),令x=-1,得f(1)=-f(1),则f(1)=0,
所以f(2 027)=f(506×4+3)=f(3)=-f(-1)=-f(1)=0,故C正确;
对于D,由f(x+2)+f(x)=0,则f(2)+f(4)=0,又f(1)=f(3)=0,f(x)是周期为4的函数,
则f(i)=4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=f(2),
而f(2)的值无法确定,故D错误.(共18张PPT)
第11讲函数的对称性及其应用
考点一　函数的对称性
[例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3,证明:曲线y=f(x)是中心对称图形.
[证明]　法一:易知x∈(0,2),
f(2-x)+f(x)=ln+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ax+b(x-1)3=2a,
所以f(x)的图象关于点(1,a)中心对称,即曲线y=f(x)是中心对称图形.
法二:f(x)=ln+ax+b(x-1)3的定义域为(0,2),
f(1+x)+f(1-x)=ln+a(1+x)+b(1+x-1)3+ln+a(1-x)+b(1-x-1)3= ln+a(1+x)+bx3+ln+a(1-x)-bx3=ln 1+2a=2a,因此f(x)的图象关于点(1,a)中心对称,所以曲线y=f(x)是中心对称图形.
跟踪训练
1.(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=(+a)ln(1+x),是否存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称 若存在,求a,b;若不存在,说明理由.
解:假设存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称.
令g(x)=f()=(x+a)ln(1+)=(x+a)·ln.
因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称,所以g(x)=g(2b-x),
即(x+a)ln=(2b-x+a)ln=(x-2b-a)ln,
于是
当a=,b=-时,g(x)=(x+)ln(1+),g(-1-x)=(-x-)ln=(-x-)·ln= (x+)ln=(x+)ln(1+)=g(x),
所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称,满足题意.
故存在a,b,使得曲线y=f()关于直线x=b对称,且a=,b=-.
考点二　对称性与函数的奇偶性的应用
[例2]　(多选)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且
f(-x)=f(x),则下列结论正确的是(　 　)
A.f(x)的图象关于直线x=2对称
B.f(x)的图象关于点(2,0)对称
C.f(x)的周期为4
D.y=f(x+4)为偶函数
ACD
[解析]　因为f(2+x)=f(2-x),所以f(x) 的图象关于直线x=2 对称,故A正确, B错误;
因为函数f(x) 的图象关于直线x=2对称,
则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),
所以f(x+4)=f(x),所以f(x) 的周期为4,故C正确;
因为f(x)的周期为4且f(x) 为偶函数,
所以y=f(x+4) 为偶函数,故D正确.
跟踪训练
2.(多选)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列结论成立的是(　　)
A.f(x+1)为偶函数
B.f(1+x)=f(1-x)
C.f(1+x)+f(1-x)=0
D.f(1)=0
AB
解析:由于y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)为偶函数,故A,B选项正确,C选项错误;如f(x)=(x-1)2+1,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,但f(1)=1≠0,故D选项错误.
考点三　函数的对称性与周期性
[例3]　(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f()=(　　)
A.-　　　　　　　　 B.-
C. D.
D
[解析]　由于f(x+1)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,得f(1)=0,即a+b=0　①,即有f(x)+f(2-x)=0,所以f(0)=-f(2),由于f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(3)=f(1),所以f(0)+f(3)=
-f(2)+f(1)=-4a-b+a+b=-3a=6　②.
根据①②可得a=-2,b=2,所以当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2.
根据函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且关于点(1,0)对称,可得函数f(x)的周期为4,所以f()=f()=-f()=2×()2-2=.
跟踪训练
3.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f(2-x)=2,f(x)-f(4-x)=0,且f(0)=2.若i∈N*,则f(i)=(　　)
A.506 B.1 012
C.2 024 D.4 048
C
解析:因为f(x)+f(2-x)=2,①
所以f(1+x)+f(2-(1+x))=2,
即f(1+x)+f(1-x)=2,
所以f(1+x)-1=-[f(1-x)-1],
所以函数f(x)的图象关于(1,1)对称,
在①中,令x=1,则f(1)+f(1)=2,所以f(1)=1,
令x=2,f(2)+f(0)=2,又f(0)=2,所以f(2)=0.
又因为f(x)-f(4-x)=0,所以f(2-x)=f(4-(2-x))=f(2+x),②
即函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
f(3)=f(1)=1,
由①和②,得f(x)+f(2+x)=2 f(2+x)+f(4+x)=2,
所以f(x)=f(4+x),则函数f(x)的一个周期为4,
则f(4)=f(0)=2,
所以f(i)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=506×(1+0+1+2)=2 024.
考点四　函数的奇偶性、对称性与周期性
[例4]　(2026·山东青岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x+1)为偶函数,且f(x)+f(4-x)=2,f(1)=2,则f(n)= (　　)
A.2 026 B.2 025
C.2 024 D.2 023
A
[解析]　由f(2x+1)为偶函数,得f(2x+1)=f(-2x+1),即f(1+x)=f(1-x),则f(2-x) =f(x),
因此f(2-x)+f(4-x)=2,即f(2+x)+f(x)=2,则f(4+x)+f(2+x)=2,
于是f(x+4)=f(x),函数f(x)是周期为4的周期函数,
由f(2+x)+f(x)=2,得f(1)+f(3)=2,f(2)+f(4)=2,因此f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,
所以f(n)=506×4+f(1)=2 026.
跟踪训练
4.(多选)(2026·河北石家庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)是定义在R上的奇函数,则(　　)
A.f(x)的图象关于点(1,0)中心对称
B.f(x)是周期为2的函数
C.f(2 027)=0
D.f(i)=0
AC
解析:对于A,因为y=f(x+1)是R上的奇函数,其图象关于原点对称,
又y=f(x+1)可以看成函数y=f(x)向左平移1个单位得到,所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故A正确;
对于B,由y=f(x+1)是R上的奇函数,可得f(-x+1)=-f(x+1),即 f(-x)=-f(x+2),
又f(-x)=f(x),则f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是周期为4的函数,故B错误;
对于C,由f(-x)=-f(x+2),令x=-1,得f(1)=-f(1),则f(1)=0,
所以f(2 027)=f(506×4+3)=f(3)=-f(-1)=-f(1)=0,故C正确;
对于D,由f(x+2)+f(x)=0,则f(2)+f(4)=0,又f(1)=f(3)=0,f(x)是周期为4的函数,
则f(i)=4[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=f(2),
而f(2)的值无法确定,故D错误.

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