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[A组　基础保分练]
1.(2026·湖南长沙模拟)已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2在(0,+∞)上单调递增,则m的值为(　　)
A.1　　　　　　　　　 B.-3
C.-4 D.1或-3
答案:A
解析:由题意可得
m=1.
2.“函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是 (　　)
A.2≤m<3
B.≤m≤
C.1≤m<3
D.2≤m≤
答案:C
解析:由题意知,函数f(x)图象的对称轴是直线x=m,则13.已知a=(,b=,c=1,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.aC.c答案:B
解析:由于c=1=,y=在(0,+∞)上单调递增,
又<1<3,则(<<,则a4.已知m>1,点(1-m,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图象上,则 (　　)
A.y1C.y1=y3答案:D
解析:二次函数f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,
其图象的对称轴方程为x=1,
而(1-m)+(1+m)=2,
所以f(1-m)=f(1+m),即y1=y3,
当x>1时,f(x)单调递增.
因为m>1,所以m+1>m>1,
所以f(m+1)>f(m),即y2综上,y25.(多选)幂函数f(x)=(2m2+m-2)xm-3,m∈N*,则下列结论正确的有 (　　)
A.m=1
B.函数f(x)在定义域内单调递减
C.f(-2)D.函数f(x)的值域为(0,+∞)
答案:AD
解析:由f(x)=(2m2+m-2)为幂函数可得2m2+m-2=1,解得m=1或m=-,又m∈N*,所以m=1,所以f(x)=x-2=,故A正确;
因为函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,由f(-x)===f(x),知函数f(x)为偶函数,由于-2<0,故f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,根据偶函数性质知f(x)=x-2在区间(-∞,0)上单调递增,故B错误;
f(-2)==>==f(3),故C错误;
因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则x2>0,所以f(x)=的值域为(0,+∞),故D正确.
6.(多选)在一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a与b同号,那么函数的图象可能为 (　　)
答案:BC
解析:当a>0时,b>0,则函数图象开口向上,对称轴为x=-<0,故A错误,B正确;当a<0时,b<0,则函数图象开口向下,对称轴为x=-<0,故C正确,D错误.
7.(2026·上海模拟)已知幂函数y=f(x)的图象过点(3,),则该幂函数的值域是　　　　.
答案:(0,+∞)
解析:设幂函数f(x)=xα,α∈R,
代入点(3,)可得3α==,即α=-,
可得f(x)==.
因为>0,可得f(x)=>0,所以该幂函数的值域是(0,+∞).
8.若函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,3],若f(x)的最小值为2,则a=　　　　.
答案:2
解析:根据题意,函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,
根据二次函数性质可知,函数在[0,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减,
则f(x)的最小值为f(0)=a=2.
9.已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m的值;
(2)若(2a-1<(a+3,求a的取值范围.
解:(1)由幂函数的定义可得m2+4m+4=1,即m2+4m+3=0,解得m=-1或m=-3.
因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m+2<0,即m<-2,
则m=-3.
(2)设g(x)=x3,则g(x)是增函数.
由(1)可知(2a-1<(a+3,即(2a-1)3<(a+3)3,
则2a-1即a的取值范围为(-∞,4).
[B组　能力提升练]
10.(多选)(2026·江苏南京模拟)若函数f(x)=,且x1A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
B.x1-f(x1)>x2-f(x2)
C.f(x1)-x2D.>f()
答案:AC
解析:由幂函数的性质知, f(x)=在R上单调递增.
因为x1即x1-x2<0,f(x1)-f(x2)<0,
所以(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故A正确.
令x1=0,x2=1,则0-f(0)=1-f(1)=0,故B错误.
令g(x)=f(x)+x=+x,
则由函数单调性知,g(x)在R上单调递增.
因为x1令x1=-1,x2=1,则=0,
所以=f(0)=0,故D错误.
11.若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.
答案:[-2,0]
解析:当0≤x<1时,φ(x)=x2-mx+m,此时φ(x)单调递增,所以≤0,即m≤0;
当x≥1时,φ(x)=x2+mx-m,此时φ(x)单调递增,所以-≤1,即m≥-2.
综上,实数m的取值范围是[-2,0].第12讲幂函数与二次函数
考点一　幂函数的图象和性质
[例1]　(1)如图所示是函数y=(m,n均为正整数且m,n互质)的图象,则 (　　)
A.m,n是奇数,且<1
B.m是偶数,n是奇数,且<1
C.m是偶数,n是奇数,且>1
D.m,n是奇数,且>1
[答案]　B
[解析]　由幂函数性质可知,y=与y=x的图象恒过定点(1,1),即在第一象限内的交点坐标为(1,1),当0x,则<1.又y=的图象关于y轴对称,所以y=为偶函数,所以(-x===.又m,n互质,所以m为偶数,n为奇数.
(2)下列比较大小中正确的是 (　　)
A.()0.7<()0.7　　 　 B.(-)-1<(-)-1
C.(-2.1<(-2.2 D.(-<(
[答案]　C
[解析]　由函数y=x0.7在(0,+∞)上单调递增,所以()0.7>()0.7,A选项错误;
由函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,则(-)-1>(-)-1,B选项错误;
(-2.1=(-,(-2.2=(-,
又函数y=在R上单调递增,所以(-<(-,即(-2.1<(-2.2,C选项正确;
(-=(,函数y=在(0,+∞)上单调递增,
则(>(,即(->(,D选项错误.
1.(多选)下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)=xα 是幂函数,则“α是正偶数”是“f(x)的值域为[0,+∞)”的充要条件
B.幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m=2
C.幂函数y=xα中α的取值集合C是{-1,0,,1,2,3}的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为{-1,,1,3}
D.“m=-1”是“幂函数f(x)=(m∈Z)是偶函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递增”的充要条件
答案:BCD
解析:对于A,当α 是正偶数时,显然f(x)=xα≥0,即其值域为[0,+∞).当f(x)=时,f(x)的值域为[0,+∞),但α 不是正偶数.故“α 是正偶数”是“f(x)的值域为[0,+∞)”的充分不必要条件,A错误.
对于B,由幂函数的定义,知m2-3m+3=1,
解得m=1 或m=2.当m=1 时,f(x)=x的图象不关于y 轴对称,舍去;
当m=2 时,f(x)=x2的图象关于y 轴对称,
因此m=2,B正确.
对于C,当α=-1时,y=的定义域和值域均为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意;
当α=0时,y=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为{1},故不符合题意;
α=时,y=的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞),符合题意;
α=1时,y=x的定义域与值域均为R,符合题意;
α=2时,y=x2的定义域为R,值域为[0,+∞),不符合题意;
α=3时,y=x3的定义域与值域均为R,符合题意,C正确.
对于D,必要性:因为函数f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以m2+2m-3<0,
即(m-1)(m+3)<0,解得-3又因为m∈Z,所以m=-2或m=-1或m=0.
当m=0或m=-2时,f(x)=x-3,
此时f(x)为奇函数,不满足题意;
当m=-1时,f(x)=,此时f(x)为偶函数,满足题意,必要性得证;充分性:当m=-1时,f(x)=x-4是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,充分性得证,D正确.
2.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),若f(3-2m)<1,则实数m的取值范围为 (　　)
A.(-∞,1)
B.(1,)
C.(-∞,1)∪(1,)
D.(-∞,1)∪(,+∞)
答案:D
解析:设f(x)=xα,因为幂函数f(x)的图象过点(2,),所以2α=,即α=-1,所以f(x)=x-1=,
于是不等式f(3-2m)<1可转化为<1,即<0,
所以(2m-2)(3-2m)<0,即m>或m<1.
考点二　二次函数的图象和性质
角度1　二次函数的图象
[例2]　(多选)函数f(x)=ax2-2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为 (　　)
[答案]　BD
[解析]　对于A,当a=-1时,f(x)=-x2-2x+1,其图象开口向下,对称轴方程为x=-1,g(x)=x-1=,其图象关于原点对称,且在(0,+∞)上单调递减,故A满足要求;
对于B,当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时,a>0,此时g(x)=xa在(0,+∞)上单调递增,故B不满足要求;
对于C,当a=时,f(x)=x2-2x+1,其图象开口向上,对称轴方程为x=2,g(x)=,其图象在[0,+∞)上单调递增,且越来越平缓,故C满足要求;
对于D,当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时,a>0,此时其对称轴方程为x=-=>0,故D不满足要求.
方法总结
研究二次函数的图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指图象的开口方向.
角度2　二次函数的单调性问题
[例3]　已知f(x)=ax2-2x+1,若f(x)在[0,1]上单调,求实数a的取值范围.
[解]　当a=0 时,f(x)=-2x+1在[0,1] 上单调递减,符合题意;
当a>0 时,f(x)的对称轴方程为x=,且>0,
所以≥1,即0当a<0 时,f(x)的对称轴方程为x=,且<0,
所以a<0 符合题意.
综上可知,实数a 的取值范围是(-∞,1].
方法总结
解决二次函数单调性问题的注意点
1.二次项系数的符号确定二次函数图象的开口方向.
2.二次函数的对称轴是其单调区间的分界点.
角度3　二次函数的最值(值域)问题
[例4]　已知二次函数g(x)=x2-2mx-1,x∈[-1,2],求g(x)的最小值.
[解]　g(x)=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1,x∈[-1,2].
当m≤-1时,g(x)在[-1,2]上单调递增,g(x)min=g(-1)=2m;
当-1当m≥2时,g(x)在[-1,2]上单调递减,g(x)min=g(2)=3-4m.
综上,g(x)min=
方法总结
闭区间上二次函数最值(值域)问题的解法
抓住“三点一轴”,利用数形结合求解,“三点”是指区间两个端点和顶点, “一轴”指的是对称轴,结合图象,根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
3.已知函数f(x)=-x2+4x+5在区间[0,m]上的值域为[5,9],则实数m的取值范围是 (　　)
A.[2,4] B.[0,4]
C.[0,2] D.[1,4]
答案:A
解析:f(x)=-x2+4x+5的图象开口向下,对称轴为x=2,且f(0)=f(4)=5,f(2)=9.
∵函数f(x)=-x2+4x+5在区间[0,m]上的值域为[5,9],
∴2≤m≤4,即实数m的取值范围是[2,4].
　　　　　一元二次方程根的分布
求解一元二次方程根的分布问题的思路 1.当方程中二次项系数含有参数时,为避免讨论对应二次函数图象的开口方向,可将方程两边同时除以二次项系数,从而只需研究开口向上的情况,需要先判断二次项系数能否为0. 2.求解二次方程根的分布问题,最重要的是数形结合,即结合对应二次函数的图象,从以下角度考虑:①开口方向;②判别式;③对称轴;④在区间端点处的函数值.
[例]　(1)关于x的一元二次方程x2+(a2-1)x+a-2=0有一个根小于1,另一个根大于1,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-1,2) B.(-2,0)
C.(-2,1) D.(0,1)
[答案]　C
[解析]　二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的图象开口向上,
由f(x)=0的一个根小于1,另一个根大于1,得f(1)<0,
因此12+a2-1+a-2<0,解得-2(2)若关于x的方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数根,则a的取值范围是(　　)
A.(-,-1)
B.(-,1)
C.(-∞,-)∪(-1,+∞)
D.(-∞,-)∪(1,+∞)
[答案]　A
[解析]　令g(x)=x2-2ax+a+2,因为方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数根,
所以
解得-1.已知方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于-2,则实数m的取值范围是 (　　)
A.m<-4 B.-5C.m≤-4 D.m>4或m<-4
答案:C
解析:令f(x)=x2+2mx-m+12,
因为方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于-2,
所以由题意可得解得m≤-4.
2.方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根的充要条件是 (　　)
A.a∈(-∞,-1) B.a∈(-,-1)
C.a∈(-,0) D.a∈(-2,-1)
答案:B
解析:因为方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根,
令f(x)=x2+2ax-a,则由题意可得解得-则方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根的充要条件是a∈(-,-1).(共27张PPT)
第12讲 幂函数与二次函数
考点一　幂函数的图象和性质
[例1]　(1)如图所示是函数y=(m,n均为正整数且m,n互质)的图象,则(　　)
A.m,n是奇数,且<1
B.m是偶数,n是奇数,且<1
C.m是偶数,n是奇数,且>1
D.m,n是奇数,且>1
B
[解析]　由幂函数性质可知,y=与y=x的图象恒过定点(1,1),即在第一象限内的交点坐标为(1,1),当0x,则<1.又y=的图象关于y轴对称,所以y=为偶函数,所以(-x===.又m,n互质,所以m为偶数,n为奇数.
(2)下列比较大小中正确的是(　　)
A.()0.7<()0.7　　 　 B.(-)-1<(-)-1
C.(-2.1<(-2.2 D.(-<(
C
[解析]　由函数y=x0.7在(0,+∞)上单调递增,所以()0.7>()0.7,A选项错误;
由函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,则(-)-1>(-)-1,B选项错误;
(-2.1=(-,(-2.2=(-,
又函数y=在R上单调递增,所以(-<(-,即(-2.1<(-2.2,C选项正确;
(-=(,函数y=在(0,+∞)上单调递增,
则(>(,即(->(,D选项错误.
跟踪训练
1.(多选)下列说法正确的是(　　 )
A.f(x)=xα 是幂函数,则“α是正偶数”是“f(x)的值域为[0,+∞)”的充要条件
B.幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m=2
C.幂函数y=xα中α的取值集合C是{-1,0,,1,2,3}的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为{-1,,1,3}
D.“m=-1”是“幂函数f(x)=(m∈Z)是偶函数,且f(x)在(-∞,0)上单调递增”的充要条件
BCD
解析:对于A,当α 是正偶数时,显然f(x)=xα≥0,即其值域为[0,+∞).当f(x)=时,f(x)的值域为[0,+∞),但α 不是正偶数.故“α 是正偶数”是“f(x)的值域为[0,+∞)”的充分不必要条件,A错误.
对于B,由幂函数的定义,知m2-3m+3=1,
解得m=1 或m=2.当m=1 时,f(x)=x的图象不关于y 轴对称,舍去;
当m=2 时,f(x)=x2的图象关于y 轴对称,
因此m=2,B正确.
对于C,当α=-1时,y=的定义域和值域均为(-∞,0)∪(0,+∞),符合题意;
当α=0时,y=x0的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为{1},故不符合题意;
α=时,y=的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞),符合题意;
α=1时,y=x的定义域与值域均为R,符合题意;
α=2时,y=x2的定义域为R,值域为[0,+∞),不符合题意;
α=3时,y=x3的定义域与值域均为R,符合题意,C正确.
对于D,必要性:因为函数f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以m2+2m-3<0,
即(m-1)(m+3)<0,解得-3又因为m∈Z,所以m=-2或m=-1或m=0.
当m=0或m=-2时,f(x)=x-3,
此时f(x)为奇函数,不满足题意;
当m=-1时,f(x)=,此时f(x)为偶函数,满足题意,必要性得证;充分性:当m=-1时,f(x)=x-4是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,充分性得证,D正确.
2.已知幂函数f(x)的图象过点(2,),若f(3-2m)<1,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,1)
B.(1,)
C.(-∞,1)∪(1,)
D.(-∞,1)∪(,+∞)
D
解析:设f(x)=xα,因为幂函数f(x)的图象过点(2,),所以2α=,即α=-1,所以f(x)=x-1=,
于是不等式f(3-2m)<1可转化为<1,即<0,
所以(2m-2)(3-2m)<0,即m>或m<1.
考点二　二次函数的图象和性质
角度1　二次函数的图象
[例2]　(多选)函数f(x)=ax2-2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　)
BD
[解析]　对于A,当a=-1时,f(x)=-x2-2x+1,其图象开口向下,对称轴方程为x=
-1,g(x)=x-1=,其图象关于原点对称,且在(0,+∞)上单调递减,故A满足要求;
对于B,当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时,a>0,此时g(x)=xa在(0,+∞)上单调递增,故B不满足要求;
对于C,当a=时,f(x)=x2-2x+1,其图象开口向上,
对称轴方程为x=2,g(x)=,其图象在[0,+∞)上单
调递增,且越来越平缓,故C满足要求;
对于D,当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时,a>0,
此时其对称轴方程为x=-=>0,故D不满足要求.
方法总结
研究二次函数的图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指图象的开口方向.
角度2　二次函数的单调性问题
[例3]　已知f(x)=ax2-2x+1,若f(x)在[0,1]上单调,求实数a的取值范围.
[解]　当a=0 时,f(x)=-2x+1在[0,1] 上单调递减,符合题意;
当a>0 时,f(x)的对称轴方程为x=,且>0,
所以≥1,即0当a<0 时,f(x)的对称轴方程为x=,且<0,
所以a<0 符合题意.
综上可知,实数a 的取值范围是(-∞,1].
方法总结
解决二次函数单调性问题的注意点
1.二次项系数的符号确定二次函数图象的开口方向.
2.二次函数的对称轴是其单调区间的分界点.
角度3　二次函数的最值(值域)问题
[例4]　已知二次函数g(x)=x2-2mx-1,x∈[-1,2],求g(x)的最小值.
[解]　g(x)=x2-2mx-1=(x-m)2-m2-1,x∈[-1,2].
当m≤-1时,g(x)在[-1,2]上单调递增,g(x)min=g(-1)=2m;
当-1当m≥2时,g(x)在[-1,2]上单调递减,g(x)min=g(2)=3-4m.
综上,g(x)min=
方法总结
闭区间上二次函数最值(值域)问题的解法
抓住“三点一轴”,利用数形结合求解,“三点”是指区间两个端点和顶点, “一轴”指的是对称轴,结合图象,根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
跟踪训练
3.已知函数f(x)=-x2+4x+5在区间[0,m]上的值域为[5,9],则实数m的取值范围是(　　)
A.[2,4] B.[0,4]
C.[0,2] D.[1,4]
解析:f(x)=-x2+4x+5的图象开口向下,对称轴为x=2,且f(0)=f(4)=5,f(2)=9.
∵函数f(x)=-x2+4x+5在区间[0,m]上的值域为[5,9],
∴2≤m≤4,即实数m的取值范围是[2,4].
A
一元二次方程根的分布
教材延展
常用思路 求解一元二次方程根的分布问题的思路
1.当方程中二次项系数含有参数时,为避免讨论对应二次函数图象的开口方向,可将方程两边同时除以二次项系数,从而只需研究开口向上的情况,需要先判断二次项系数能否为0.
2.求解二次方程根的分布问题,最重要的是数形结合,即结合对应二次函数的图象,从以下角度考虑:①开口方向;②判别式;③对称轴;④在区间端点处的函数值.
[例]　(1)关于x的一元二次方程x2+(a2-1)x+a-2=0有一个根小于1,另一个根大于1,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,2) B.(-2,0)
C.(-2,1) D.(0,1)
[解析]　二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的图象开口向上,
由f(x)=0的一个根小于1,另一个根大于1,得f(1)<0,
因此12+a2-1+a-2<0,解得-2C
(2)若关于x的方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数根,则a的取值范围是(　　)
A.(-,-1)
B.(-,1)
C.(-∞,-)∪(-1,+∞)
D.(-∞,-)∪(1,+∞)
A
[解析]　令g(x)=x2-2ax+a+2,因为方程x2-2ax+a+2=0在区间(-2,1)上有两个不相等的实数根,
所以
解得-跟踪训练
1.已知方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于-2,则实数m的取值范围是(　　)
A.m<-4 B.-5C.m≤-4 D.m>4或m<-4
C
解析:令f(x)=x2+2mx-m+12,
因为方程x2+2mx-m+12=0的两根都大于-2,
所以由题意可得解得m≤-4.
2.方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根的充要条件是(　　)
A.a∈(-∞,-1) B.a∈(-,-1)
C.a∈(-,0) D.a∈(-2,-1)
B
解析:因为方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根,
令f(x)=x2+2ax-a,则由题意可得解得-则方程x2+2ax-a=0在区间(0,1)和(1,2)上各有一个根的充要条件是a∈
(-,-1).(共16张PPT)
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A组　基础保分练
1.(2026·湖南长沙模拟)已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2在(0,+∞)上单调递增,则m的值为(　　)
A.1　　　　　　　　　 B.-3
C.-4 D.1或-3
解析:由题意可得
m=1.
A
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2.“函数f(x)=-x2+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是(　　)
A.2≤m<3 B.≤m≤
C.1≤m<3 D.2≤m≤
解析:由题意知,函数f(x)图象的对称轴是直线x=m,则1C
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3.已知a=(,b=,c=1,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.aC.c解析:由于c=1=,y=在(0,+∞)上单调递增,
又<1<3,则(<<,则aB
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4.已知m>1,点(1-m,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图象上,则(　　)
A.y1C.y1=y3D
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解析:二次函数f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,
其图象的对称轴方程为x=1,
而(1-m)+(1+m)=2,
所以f(1-m)=f(1+m),即y1=y3,
当x>1时,f(x)单调递增.
因为m>1,所以m+1>m>1,
所以f(m+1)>f(m),即y2综上,y21
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5.(多选)幂函数f(x)=(2m2+m-2)xm-3,m∈N*,则下列结论正确的有(　　)
A.m=1
B.函数f(x)在定义域内单调递减
C.f(-2)D.函数f(x)的值域为(0,+∞)
AD
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解析:由f(x)=(2m2+m-2)为幂函数可得2m2+m-2=1,解得m=1或m=-,又m∈N*,所以m=1,所以f(x)=x-2=,故A正确;
因为函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,由f(-x)== =f(x),知函数f(x)为偶函数,由于-2<0,故f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,根据偶函数性质知f(x)=x-2在区间(-∞,0)上单调递增,故B错误;
f(-2)==>==f(3),故C错误;
因为f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则x2>0,所以f(x)=的值域为(0,+∞),故D正确.
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6.(多选)在一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a与b同号,那么函数的图象可能为(　　)
BC
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解析:当a>0时,b>0,则函数图象开口向上,对称轴为x=-<0,故A错误,B正确;当a<0时,b<0,则函数图象开口向下,对称轴为x=-<0,故C正确,D错误.
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7.(2026·上海模拟)已知幂函数y=f(x)的图象过点(3,),则该幂函数的值域是　　　　.
解析:设幂函数f(x)=xα,α∈R,
代入点(3,)可得3α==,即α=-,
可得f(x)==.
因为>0,可得f(x)=>0,所以该幂函数的值域是(0,+∞).
(0,+∞)
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8.若函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,3],若f(x)的最小值为2,则a=　　　　.
解析:根据题意,函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,
根据二次函数性质可知,函数在[0,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减,
则f(x)的最小值为f(0)=a=2.
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9.已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m的值;
解:由幂函数的定义可得m2+4m+4=1,即m2+4m+3=0,解得m=-1或m=-3.
因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m+2<0,即m<-2,
则m=-3.
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(2)若(2a-1<(a+3,求a的取值范围.
解:设g(x)=x3,则g(x)是增函数.
由(1)可知(2a-1<(a+3,即(2a-1)3<(a+3)3,
则2a-1即a的取值范围为(-∞,4).
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10.(多选)(2026·江苏南京模拟)若函数f(x)=,且x1A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
B.x1-f(x1)>x2-f(x2)
C.f(x1)-x2D.>f()
B组　能力提升练
AC
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解析:由幂函数的性质知, f(x)=在R上单调递增.
因为x1即x1-x2<0,f(x1)-f(x2)<0,
所以(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故A正确.
令x1=0,x2=1,则0-f(0)=1-f(1)=0,故B错误.
令g(x)=f(x)+x=+x,
则由函数单调性知,g(x)在R上单调递增.
因为x1令x1=-1,x2=1,则=0,
所以=f(0)=0,故D错误.
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11.若函数φ(x)=x2+m|x-1|在[0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.
解析:当0≤x<1时,φ(x)=x2-mx+m,此时φ(x)单调递增,所以≤0,即m≤0;
当x≥1时,φ(x)=x2+mx-m,此时φ(x)单调递增,所以-≤1,即m≥-2.
综上,实数m的取值范围是[-2,0].
[-2,0]

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