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第14讲指数函数的图象与性质
考点一　指数函数的图象及应用
[例1]　(1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 (　　)
A.a>1,b<0　　　　　　
B.a>1,b>0
C.00
D.0[答案]　D
[解析]　由于f(x)=ax-b的图象单调递减,所以0又00,b<0.
(2)(多选)已知实数a,b满足等式2 025a=2 026b,下列等式可以成立的是 (　　)
A.a=b=0 B.aC.0[答案]　ABD
[解析]　如图,观察易知,a 方法总结
指数函数的图象及其应用策略
1.已知函数解析式判断其图象时,可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断.
2.进行图象识别与应用时,可从基本的指数函数图象入手,通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象.
3.根据指数函数图象判断底数的大小问题,可通过直线x=1与图象的交点进行判断.
1.当a≠0时,函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是(　　)
答案:A
解析:对于A,由一次函数的图象知,a>0,0对于B,由一次函数的图象知,a>0,b>1,此时函数y=bax为增函数,B错误;
对于C,由一次函数的图象知,a<0,b>1,此时函数y=bax为减函数,C错误;
对于D,由一次函数的图象知,a<0,02.(2026·广东深圳质检)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　　.
答案:(0,)
解析:y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,且保持x轴上及其上方的图象不变得到的.
当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意;
当0综上可知,a的取值范围是(0,).
考点二　指数函数的性质及应用
角度1　比较指数式的大小或解不等式
[例2]　已知a=0.310.1,b=0.310.2,c=0.320.1,则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
[答案]　D
[解析]　由y=0.31x在定义域上单调递减可知0.310.1>0.310.2,即a>b;
由y=x0.1在定义域上单调递增可知0.320.1>0.310.1,即c>a,
所以c>a>b.
[例3]　解不等式:>a2x+2(其中a>0且a≠1).
[解]　当a>1时,因为>a2x+2,且y=ax在R上单调递增,所以x2+3x>2x+2,
即x2+x-2>0,解得x>1或x<-2.
当0a2x+2,
且y=ax在R上单调递减,
所以x2+3x<2x+2,
即x2+x-2<0,解得-2综上,当a>1时,x∈(-∞,-2)∪(1,+∞);
当0角度2　与指数函数有关的单调性、值域问题
[例4]　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
[答案]　D
[解析]　设t=x(x-a),易知函数y=2t 是增函数.因为y=2x(x-a) 在(0,1) 上单调递减,所以由复合函数的单调性可知函数t=x(x-a) 在(0,1) 上单调递减.因为函数t=x(x-a) 在(-∞,) 上单调递减,所以≥1,即a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞).
(2)函数y=9x+3x+1-2,x∈[0,1]的值域是　　　　.
[答案]　[2,16]
[解析]　由题意可得,y=9x+3x+1-2=(3x)2+3×3x-2=(3x+)2-.
因为当x∈[0,1]时,3x∈[1,3],所以根据二次函数的单调性知,
当x=0时,ymin=1+3-2=2;当x=1时,ymax=9+9-2=16.
所以所求函数的值域是[2,16].
方法总结
1.比较指数式大小的方法
(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小.
(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.
2.指数方程或不等式的解法
(1)解指数方程或不等式的依据
①af(x)=ag(x) f(x)=g(x).
②af(x)>ag(x) .当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.
3.函数y=(的值域为 (　　)
A.(0,] B.(0,)
C.(0,1) D.[1,2]
答案:A
解析:令t=x2-x-,则t=(x-)2-≥-.
∵y=()t在[-,+∞)上单调递减,∴()t≤(=.又()t>0,
∴y=(的值域为(0,].
4.设a=(,b=(,c=(,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c>a>b B.a>b>c
C.b>a>c D.a>c>b
答案:D
解析:依题意,函数y=在(0,+∞)上单调递增,函数y=()x在R上单调递减,则a=(>c=(>(=b,所以a>c>b.
考点三　指数函数性质的综合应用
[例5]　已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断f(x)的单调性并根据定义证明;
(3)若存在区间[m,n](m[解]　(1)由函数f(x)=是定义在R上的奇函数,
得f(0)==0,解得a=-1,故f(x)=.
f(-x)+f(x)=+=+=0,即f(x)是奇函数,所以a=-1.
(2)函数f(x)为增函数.
证明:设任意实数x1f(x2)-f(x1)=-
=
=.
因为x10,+1>0,+1>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,所以函数f(x)为增函数.
(3)由(2)知函数f(x)在R上单调递增,
所以函数y=f(x)+t在区间[m,n]上单调递增.
依题意,
即
令3x=u>0,因此3m,3n是方程1-+t=u的两个根,即是u2-tu+1-t=0的两个不等的正根,于是解得2-2所以t的取值范围是(2-2,1).
方法总结
求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.
5.已知函数f(x)=()|x|-a.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的最大值等于,求实数a的值.
解:(1)令t=|x|-a,则g(t)=()t,
不论a取何值,t在(-∞,0]上单调递减,
在[0,+∞)上单调递增.
又g(t)=()t是单调递减的,
因此f(x)的单调递增区间是(-∞,0],
单调递减区间是[0,+∞).
(2)由于f(x)的最大值是,且=()-2,
所以t=|x|-a有最小值-2,
即|0|-a=-2,从而a=2.[A组　基础保分练]
1.(2026·北京模拟)函数f(x)=a2x-1+1(a>0)的图象一定经过点 (　　)
A.(,2)　　　　　　 B.(,1)
C.(0,2) D.(0,1)
答案:A
解析:令2x-1=0,则x=,
则f()=1+1=2,
所以函数f(x)=a2x-1+1(a>0)的图象一定经过点(,2).
2.函数y=(0答案:D
解析:当x>0时,y=ax(0所以当x>0时函数是减函数,
当x<0时函数是增函数,且图象是y=ax(03.设a=0.30.2,b=1.10.2,c=1.10.3,则 (　　)
A.aC.b答案:A
解析:因为函数y=1.1x在R上单调递增,所以1<1.10.2<1.10.3,故b又函数y=0.3x在R上单调递减,所以a=0.30.2<0.30=1,所以a4.已知f(x)=2x-2-x,则使f(x)A.(-,1)
B.(-1,)
C.(-∞,1)∪(,+∞)
D.(-∞,-)∪(1,+∞)
答案:A
解析:因为f(x)=2x-2-x=2x-()x,所以f(x)是单调递增函数.
又因为f(x)所以(3x+4)(x-1)<0,解得-5.若x满足不等式≤()x-2,则函数y=2x的值域是 (　　)
A.[,2) B.[,2]
C.(-∞,] D.[2,+∞)
答案:B
解析:将≤()x-2化为x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函数y=2x的值域是[,2].
6.函数f(x)=xa-2与g(x)=()-x在(0,+∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是 (　　)
A.a∈(0,2) B.a∈[0,1)
C.a∈[1,2) D.a∈(1,2]
答案:C
解析:由函数f(x)=xa-2在(0,+∞)上单调递减可得a-2<0,即a<2.
函数g(x)=()-x=()x在(0,+∞)上单调递减,可得0<<1,解得07.(多选)以下结论正确的是 (　　)
A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2
C.1.50.3<0.93.1 D.(<(
答案:ABD
解析:对于A,因为指数函数y=1.7x在R上单调递增,且2.5<3,∴1.72.5<1.73,故A正确;
对于B,因为指数函数y=0.8x在R上单调递减,且-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2,故B正确;
对于C,因为1.50.3>1.50=1,0<0.93.1<0.90=1,
∴1.50.3>0.93.1,故C错误;
对于D,因为[(]12=,且[(]12=()3=,∴(<(,故D正确.
8.(多选)已知函数f(x)=,则 (　　)
A.不等式|f(x)|<的解集是(-1,1)
B. x∈R,都有f(-x)=f(x)
C.f(x)在R上单调递减
D.f(x)的值域为(-1,1)
答案:AD
解析:f(x)==1-,由|f(x)|<,得-<1-<,即<<,得<2x+1<3,解得-1f(-x)=1-=1-≠f(x),故B错误;
f(1)=1-=,f(2)=1-=,f(1)由0<<2知-1<1-<1,即函数f(x)的值域为(-1,1),故D正确.
9.已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过第　　　　　象限.
答案:三
解析:因为f(x) 的图象恒过定点(2,2),所以m=n=2,所以g(x)=2-2x,所以g(x) 在R上为减函数,且其图象过点(0,1),所以g(x) 的图象不经过第三象限.
10.函数f(x)=(的值域为　　　　.
答案:(0,45]
解析:由于x2+2x+=(x+1)2-≥-,
且函数y=()t在R上单调递减,故0<(≤(=45,
故函数f(x)=(的值域为(0,45].
11.已知函数f(x)=4x-a·2x-1.
(1)当a=1时,求f(x)在区间[-1,2]上的值域;
(2)当a=3时,解不等式f(x)+3>0.
解:(1)当a=1时,f(x)=4x-2x-1=(2x)2-2x-1,
令t=2x,因为x∈[-1,2],所以t∈[,4],
令g(t)=t2-t-1=(t-)2-,则函数g(t)在[,4]上单调递增,
所以当t=时,g(t)有最小值g()=-,
当t=4时,g(t)有最大值g(4)=11,
所以函数g(t)在区间[,4]上的值域为[-,11].
故当a=1时,f(x)在区间[-1,2]上的值域为[-,11].
(2)当a=3时,f(x)=4x-3·2x-1.
由f(x)+3>0,得4x-3·2x+2>0,即(2x-1)(2x-2)>0,
解得 2x>2或2x<1,
所以 x>1或x<0,
所以不等式f(x)+3>0的解集为{x|x>1,或x<0}.
[B组　能力提升练]
12.(多选)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0,且a≠1),则下列结论正确的是 (　　)
A.函数f(x)恒过定点(0,1)
B.函数f(x)的值域为[0,+∞)
C.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增
D.若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是(0,)
答案:BD
解析:已知函数f(x)=|ax-1|(a>0,且a≠1),x∈R,对于A,f(0)=|a0-1|=0,函数f(x)恒过定点(0,0),故A错误.
对于B,x∈R,则ax-1>-1,所以|ax-1|≥0,函数f(x)的值域为[0,+∞),故B正确.
对于C,当01时,y=ax单调递增,又x≤0,所以0对于D,y=|ax-1|的图象由y=ax的图象向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到,分为a>1和0当a>1时,2a>2,显然不符合题意;当013.定义min{a,b}=设f(x)=min{2x,-x2+3x+1},则f(x)的最大值为　　　　.
答案:4
解析:设m(x)=2x,n(x)=-x2+3x+1,
作出函数m(x),n(x)的图象,如图1,
由图象可得,当x=0或x=2时,m(x)=n(x),
当x<0时,m(x)>n(x),当02时,m(x)>n(x),
∴f(x)=
画出f(x)图象,如图2,
由图象可知f(x)max=4.
14.已知3a=1+3b(a≥1),则a-b的最大值为　　　　　　.
答案:1-log32
解析:因为3a=1+3b(a≥1),所以3a-b===.因为a≥1,所以0<≤,≤1-<1,1<≤,即1<3a-b≤,即015.已知f(x)=(a>0)为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断并用定义法证明函数f(x)的单调性;
(3)解关于x的不等式0解:(1)由f(x)是奇函数且定义域为R,则f(0)==0,解得a=2,
所以f(x)=,
f(-x)===-f(x).
综上,a=2.
(2)f(x)===-在R上单调递增,证明如下:
设x1=-=,
而<,(+1)(+1)>0,
故f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以函数f(x)在R上单调递增.
(3)由f(x)在R上单调递增,
令f(x)=·=0,解得x=0,令f(x)=,解得x=2,
所以不等式0所以01
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A组　基础保分练
1.(2026·北京模拟)函数f(x)=a2x-1+1(a>0)的图象一定经过点(　　)
A.(,2)　　　　　　 B.(,1)
C.(0,2) D.(0,1)
解析:令2x-1=0,则x=,
则f()=1+1=2,
所以函数f(x)=a2x-1+1(a>0)的图象一定经过点(,2).
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2.函数y=(0解析:当x>0时,y=ax(0所以当x>0时函数是减函数,
当x<0时函数是增函数,且图象是y=ax(0D
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3.设a=0.30.2,b=1.10.2,c=1.10.3,则(　　)
A.aC.b解析:因为函数y=1.1x在R上单调递增,所以1<1.10.2<1.10.3,故b又函数y=0.3x在R上单调递减,所以a=0.30.2<0.30=1,所以aA
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4.已知f(x)=2x-2-x,则使f(x)A.(-,1) B.(-1,)
C.(-∞,1)∪(,+∞) D.(-∞,-)∪(1,+∞)
解析:因为f(x)=2x-2-x=2x-()x,所以f(x)是单调递增函数.
又因为f(x)所以(3x+4)(x-1)<0,解得-A
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5.若x满足不等式≤()x-2,则函数y=2x的值域是(　　)
A.[,2) B.[,2]
C.(-∞,] D.[2,+∞)
解析:将≤()x-2化为x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函数y=2x的值域是[,2].
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6.函数f(x)=xa-2与g(x)=()-x在(0,+∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是(　　)
A.a∈(0,2) B.a∈[0,1)
C.a∈[1,2) D.a∈(1,2]
解析:由函数f(x)=xa-2在(0,+∞)上单调递减可得a-2<0,即a<2.
函数g(x)=()-x=()x在(0,+∞)上单调递减,可得0<<1,解得0C
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7.(多选)以下结论正确的是(　 　)
A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2
C.1.50.3<0.93.1 D.(<(
ABD
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解析:对于A,因为指数函数y=1.7x在R上单调递增,且2.5<3,∴1.72.5<1.73,故A正确;
对于B,因为指数函数y=0.8x在R上单调递减,且-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2,故B正确;
对于C,因为1.50.3>1.50=1,0<0.93.1<0.90=1,
∴1.50.3>0.93.1,故C错误;
对于D,因为[(]12=,且[(]12=()3=,∴(<(,故D正确.
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8.(多选)已知函数f(x)=,则(　　)
A.不等式|f(x)|<的解集是(-1,1)
B. x∈R,都有f(-x)=f(x)
C.f(x)在R上单调递减
D.f(x)的值域为(-1,1)
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解析:f(x)==1-,由|f(x)|<,得-<1-<,即<<,得<2x+1<3,解得-1f(-x)=1-=1-≠f(x),故B错误;
f(1)=1-=,f(2)=1-=,f(1)由0<<2知-1<1-<1,即函数f(x)的值域为(-1,1),故D正确.
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9.已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象不经过第　　　　　象限.
解析:因为f(x) 的图象恒过定点(2,2),所以m=n=2,所以g(x)=2-2x,所以g(x) 在R上为减函数,且其图象过点(0,1),所以g(x) 的图象不经过第三象限.
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10.函数f(x)=(的值域为　　　　.
解析:由于x2+2x+=(x+1)2-≥-,
且函数y=()t在R上单调递减,故0<(≤(=45,
故函数f(x)=(的值域为(0,45].
(0,45]
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11.已知函数f(x)=4x-a·2x-1.
(1)当a=1时,求f(x)在区间[-1,2]上的值域;
解:当a=1时,f(x)=4x-2x-1=(2x)2-2x-1,
令t=2x,因为x∈[-1,2],所以t∈[,4],
令g(t)=t2-t-1=(t-)2-,则函数g(t)在[,4]上单调递增,
所以当t=时,g(t)有最小值g()=-,
当t=4时,g(t)有最大值g(4)=11,
所以函数g(t)在区间[,4]上的值域为[-,11].
故当a=1时,f(x)在区间[-1,2]上的值域为[-,11].
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(2)当a=3时,解不等式f(x)+3>0.
解:当a=3时,f(x)=4x-3·2x-1.
由f(x)+3>0,得4x-3·2x+2>0,即(2x-1)(2x-2)>0,
解得 2x>2或2x<1,
所以 x>1或x<0,
所以不等式f(x)+3>0的解集为{x|x>1,或x<0}.
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12.(多选)已知函数f(x)=|ax-1|(a>0,且a≠1),则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)恒过定点(0,1)
B.函数f(x)的值域为[0,+∞)
C.函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增
D.若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是(0,)
B组　能力提升练
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解析:已知函数f(x)=|ax-1|(a>0,且a≠1),x∈R,对于A,f(0)=|a0-1|=0,函数f(x)恒过定点(0,0),故A错误.
对于B,x∈R,则ax-1>-1,所以|ax-1|≥0,函数f(x)的值域为[0,+∞),故B正确.
对于C,当01时,y=ax单调递增,又x≤0,所以01
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对于D,y=|ax-1|的图象由y=ax的图象向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到,分为a>1和0当a>1时,2a>2,显然不符合题意;当01
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13.定义min{a,b}=设f(x)=min{2x,-x2+3x+1},则f(x)的最大值为　　　　.
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解析:设m(x)=2x,n(x)=-x2+3x+1,
作出函数m(x),n(x)的图象,如图1,
由图象可得,当x=0或x=2时,m(x)=n(x),
当x<0时,m(x)>n(x),当0当x>2时,m(x)>n(x),
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∴f(x)=
画出f(x)图象,如图2,
由图象可知f(x)max=4.
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14.已知3a=1+3b(a≥1),则a-b的最大值为　　　　　　.
解析:因为3a=1+3b(a≥1),所以3a-b===.因为a≥1,所以0<≤,≤1-<1,1<≤,即1<3a-b≤,即01-log32
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15.已知f(x)=(a>0)为奇函数.
(1)求实数a的值;
解:由f(x)是奇函数且定义域为R,则f(0)==0,解得a=2,
所以f(x)=,
f(-x)===-f(x).
综上,a=2.
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(2)判断并用定义法证明函数f(x)的单调性;
解:f(x)===-在R上单调递增,证明如下:
设x1=-=,
而<,(+1)(+1)>0,
故f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以函数f(x)在R上单调递增.
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(3)解关于x的不等式0解:由f(x)在R上单调递增,
令f(x)=·=0,解得x=0,令f(x)=,解得x=2,
所以不等式0所以0第14讲 指数函数的图象与性质
考点一　指数函数的图象及应用
[例1]　(1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(　　)
A.a>1,b<0　　　　　　B.a>1,b>0
C.00 D.0[解析]　由于f(x)=ax-b的图象单调递减,所以0又00,b<0.
D
(2)(多选)已知实数a,b满足等式2 025a=2 026b,下列等式可以成立的是(　　 )
A.a=b=0 B.aC.0[解析]　如图,观察易知,aABD
方法总结
指数函数的图象及其应用策略
1.已知函数解析式判断其图象时,可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断.
2.进行图象识别与应用时,可从基本的指数函数图象入手,通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象.
3.根据指数函数图象判断底数的大小问题,可通过直线x=1与图象的交点进行判断.
跟踪训练
1.当a≠0时,函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是(　　)
A
解析:对于A,由一次函数的图象知,a>0,0对于B,由一次函数的图象知,a>0,b>1,此时函数y=bax为增函数,B错误;
对于C,由一次函数的图象知,a<0,b>1,此时函数y=bax为减函数,C错误;
对于D,由一次函数的图象知,a<0,02.(2026·广东深圳质检)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　　.
解析:y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,且保持x轴上及其上方的图象不变得到的.
当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意;
当0综上可知,a的取值范围是(0,).
(0,)
考点二　指数函数的性质及应用
角度1　比较指数式的大小或解不等式
[例2]　已知a=0.310.1,b=0.310.2,c=0.320.1,则(　　)
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
[解析]　由y=0.31x在定义域上单调递减可知0.310.1>0.310.2,即a>b;
由y=x0.1在定义域上单调递增可知0.320.1>0.310.1,即c>a,
所以c>a>b.
D
[例3]　解不等式:>a2x+2(其中a>0且a≠1).
[解]　当a>1时,因为>a2x+2,且y=ax在R上单调递增,所以x2+3x>2x+2,
即x2+x-2>0,解得x>1或x<-2.
当0a2x+2,
且y=ax在R上单调递减,
所以x2+3x<2x+2,
即x2+x-2<0,解得-2综上,当a>1时,x∈(-∞,-2)∪(1,+∞);
当0角度2　与指数函数有关的单调性、值域问题
[例4]　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
[解析]　设t=x(x-a),易知函数y=2t 是增函数.因为y=2x(x-a) 在(0,1) 上单调递减,所以由复合函数的单调性可知函数t=x(x-a) 在(0,1) 上单调递减.因为函数t=x(x-a) 在(-∞,) 上单调递减,所以≥1,即a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞).
D
(2)函数y=9x+3x+1-2,x∈[0,1]的值域是　　　　.
[解析]　由题意可得,y=9x+3x+1-2=(3x)2+3×3x-2=(3x+)2-.
因为当x∈[0,1]时,3x∈[1,3],所以根据二次函数的单调性知,
当x=0时,ymin=1+3-2=2;当x=1时,ymax=9+9-2=16.
所以所求函数的值域是[2,16].
[2,16]
方法总结
1.比较指数式大小的方法
(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小.
(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.
2.指数方程或不等式的解法
(1)解指数方程或不等式的依据
①af(x)=ag(x) f(x)=g(x).
②af(x)>ag(x).当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0(2)解指数方程或不等式的方法
先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数的单调性转化为一般方程或不等式求解.
跟踪训练
3.函数y=(的值域为(　　)
A.(0,] B.(0,)
C.(0,1) D.[1,2]
解析:令t=x2-x-,则t=(x-)2-≥-.
∵y=()t在[-,+∞)上单调递减,∴()t≤(=.又()t>0,
∴y=(的值域为(0,].
A
4.设a=(,b=(,c=(,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c>a>b B.a>b>c
C.b>a>c D.a>c>b
解析:依题意,函数y=在(0,+∞)上单调递增,函数y=()x在R上单调递减,则a=(>c=(>(=b,所以a>c>b.
D
考点三　指数函数性质的综合应用
[例5]　已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
[解]　由函数f(x)=是定义在R上的奇函数,
得f(0)==0,解得a=-1,故f(x)=.
f(-x)+f(x)=+=+=0,即f(x)是奇函数,所以a=-1.
(2)判断f(x)的单调性并根据定义证明;
[解]　函数f(x)为增函数.
证明:设任意实数x1f(x2)-f(x1)=-
=
=.
因为x10,+1>0,+1>0,
所以f(x2)-f(x1)>0,所以函数f(x)为增函数.
(3)若存在区间[m,n](m[解]　由(2)知函数f(x)在R上单调递增,
所以函数y=f(x)+t在区间[m,n]上单调递增.
依题意,
即
令3x=u>0,因此3m,3n是方程1-+t=u的两个根,即是u2-tu+1-t=0的两个不等的正根,于是解得2-2所以t的取值范围是(2-2,1).
方法总结
求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同增异减”这一性质分析判断.
跟踪训练
5.已知函数f(x)=()|x|-a.
(1)求f(x)的单调区间;
解:令t=|x|-a,则g(t)=()t,
不论a取何值,t在(-∞,0]上单调递减,
在[0,+∞)上单调递增.
又g(t)=()t是单调递减的,
因此f(x)的单调递增区间是(-∞,0],
单调递减区间是[0,+∞).
(2)若f(x)的最大值等于,求实数a的值.
解:由于f(x)的最大值是,且=()-2,
所以t=|x|-a有最小值-2,
即|0|-a=-2,从而a=2.

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