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[A组　基础保分练]
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin B=,b=3a,则sin A= (　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案:B
解析:由b=3a利用正弦定理可得sin B=3sin A=,所以sin A=.
2.(2026·山东枣庄模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,c2+9=a2+3c,则A=(　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:由b=3及c2+9=a2+3c,得b2+c2-a2=bc,
由余弦定理,得cos A===.
因为03.(2026·辽宁辽阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=4,则△ABC的面积为 (　　)
A.4 B.2
C.4 D.8
答案:A
解析:在△ABC中,因为a=5,b=7,c=4,
由余弦定理可得cos B===-,
所以sin B===,
因此△ABC的面积为acsin B=×5×4×=4.
4.在△ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若acos A-bcos B=sin(A+B+C),则△ABC的形状是 (　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
答案:D
解析:因为acos A-bcos B=sin(A+B+C)=sin π=0,所以acos A=bcos B,
所以sin Acos A=sin Bcos B,所以sin 2A=sin 2B.
因为A,B∈(0,π),所以sin A,sin B>0,所以cos A,cos B符号相同,
若cos A≤0,则cos B≤0,而这会导致A+B≥π,这与三角形内角和矛盾,
从而只能0所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=,
所以△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.
5.(多选)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=4,锐角C满足sin C=,则(　　)
A.△ABC的面积为3
B.cos C=
C.c=
D.cos B=
答案:BC
解析:在△ABC中,因为a=3,b=4,且sin C=,
可得S△ABC=absin C=×3×4×=,所以A错误;
由C为锐角,且sin C=,可得cos C==,所以B正确;
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=9+16-2×3×4×=19,可得c=,所以C正确;
由余弦定理得cos B===,所以D错误.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=,a=c,则=　　　　　.
答案:1
解析:由题意知sin=sin C,∴sin C=.又07.(2026·广东广州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=2,b+c=2acos B+2acos C,则△ABC的面积为　　　　.
答案:
解析:由=2,根据余弦定理,
得=2,
解得bc=1,
同理,由b+c=2acos B+2acos C,得b+c=2a+2a,
通分可得b+c=,
由bc=1,得b+c=a2(b+c)+c+b-(b+c)(b2-bc+c2),
化简可得b2+c2-a2=1.因为0所以△ABC的面积为bcsin A=.
8.(2026·山东济南模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠ABC的平分线BD交AC于点D,acos2B+bsin Asin B=2b.
(1)求;
(2)若cos C=,BD=2,求△ABC的面积.
解:(1)已知sin Acos2B+sin Bsin Asin B=2sin B,
所以sin A(cos2B+sin2B)=2sin B.
因为cos2B+sin2B=1,所以sin A=2sin B.
由正弦定理=,可得=,所以=.
(2)已知cos C===,
所以= 5b2-c2=b2 4b2=c2 c=2b.
因为a=2b,所以a=c,△ABC为等腰三角形,由等腰三角形三线合一,得BD⊥AC.
在Rt△BCD中,因为cos C=,所以sin C===,即=,解得b=.
根据三角形面积公式S△ABC=absin C,因为a=2b,所以S△ABC=×2b×bsin C=×2×××=.
[B组　能力提升练]
9.(2026·湖南长沙模拟)已知△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,角B的平分线交AC于点D,则= (　　)
A. B.
C. D.
答案:A
解析:因为△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,
所以AB·ACsin A=×3ACsin 60°=6,解得AC=8.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=9+64-2×3×8cos 60°=49,解得BC=7.
因为BD平分∠ABC,
所以===.
10.(2026·广东佛山模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且+=,则=　　　　.
答案:
解析:因为+=,
故sin Bsin Ccos A+2sin Asin Ccos B=3sin A·sin Bcos C,
所以bc×+2ac×=3ab×,整理得3c2=a2+2b2,故=.(共29张PPT)
第30讲正弦定理、余弦定理
考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
[例1]　(2025·天津卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B=bcos A,c-2b=1,a=.
(1)求A的值;
[解]　已知asin B=bcos A,由正弦定理=,
得asin B=bsin A=bcos A,显然cos A≠0,
得tan A=.因为0所以A=
(2)求c的值;
[解]　由(1)知cos A=,且c=2b+1,a=,
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得7=b2+(2b+1)2-2×b(2b+1)=3b2+3b+1,
解得b=1(b=-2舍去),
故c=3.
(3)求sin(A+2B)的值.
[解]　由正弦定理=,且b=1,a=,sin A=,
得sin B==,且a>b,则B为锐角,
故cos B=,故sin 2B=2sin Bcos B=,
且cos 2B=1-2sin2B=1-2×=,
故sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=×+×=.
方法总结
应用正弦、余弦定理的解题技巧
1.求边:利用正弦定理变形公式a=等或利用余弦定理求解.
2.求角:利用正弦定理变形公式sin A=等或利用余弦定理的推论求解.
3.利用式子的特点转化:若出现a2+b2-c2=λab的形式,用余弦定理;若等式两边是关于边或角的正弦的齐次式,用正弦定理.
跟踪训练
1.(多选)(2026·江苏苏州模拟)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b>c,cos B=,a=b,则(　　)
A.A=B　　　　　　 B.A=2B
C.b=c D.b=2c
BD
解析:因为cos B=,B是三角形内角,则sin B>0,
所以sin B===,
已知a=b,由正弦定理可得sin A====.
又因为sin 2B=2sin Bcos B=2××==,所以sin A=sin 2B.
因为b>c,所以B>C,且A+B+C=π,那么A=2B或A+2B=π.
若A+2B=π,又A+B+C=π,则B=C,这与B>C矛盾,所以A=2B,故选项B正确,A错误.
由余弦定理可得:b2=(b)2+c2-2×b×c×,即b2=b2+c2-bc,
即b2-bc+c2=0,得b2-3bc+2c2=0,则b=c或b=2c.
因为b>c,所以b=2c,故选项D正确,C错误.
考点二　判断三角形的形状
[例2]　在△ABC中,sin A=,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形
A
[解析]　法一:∵sin A=,A+B+C=π,
∴sin Acos B-sin Acos C=sin(A+B)-sin(A+C),
∴sin Acos B-sin Acos C=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos C-cos Asin C,
∴cos A(sin B-sin C)=0,
∴cos A=0或sin B-sin C=0.
又由sin A=可知,sin C-sin B≠0,
∴cos A=0,
∴A=,∴△ABC为直角三角形,故A正确.
法二 :记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由正弦定理、余弦定理及题设条件可得a=,且c-b≠0,
化简得(c-b)(b2+c2-a2)=0,
∴b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2,
∴△ABC为直角三角形,故A正确.
跟踪训练
2.(2026·河北秦皇岛模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acos B+acos C=b+c,则△ABC的形状为(　　)
A.等边三角形 B.锐角非等边三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
D
解析:法一:由余弦定理得a×+a×=b+c,所以a2b+c2b-b3+a2c+b2c-c3=2b2c+2bc2,得b2+c2=a2,故A=,所以△ABC为直角三角形.
法二:因为acos B+acos C=b+c,由正弦定理得sin Acos B+sin Acos C=sin B+sin C,即sin A·cos B+sin Acos C=sin(A+C)+sin(A+B),化简得cos A·(sin B+sin C)=0,在△ABC中,sin B+sin C≠0,则cos A=0.又A∈(0,π),所以A=,所以△ABC为直角三角形.
考点三　三角形的面积问题
[例3]　(2026·山东潍坊模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A.
(1)求B的大小;
[解]　因为(2c-a)cos B=bcos A,
由正弦定理得(2sin C-sin A)cos B=sin Bcos A,
所以2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B).
因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以2sin Ccos B=sin C.
因为sin C>0,所以cos B=.
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)若△ABC外接圆的半径为,且2c-a=2,求△ABC的面积.
[解]　因为△ABC外接圆半径为,
由正弦定理得=2×=,由(1)知B=,即=,所以b=2,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,所以a2+c2-ac=4,
将a=2c-2,代入上式得c2-2c=0.
因为c>0,所以c=2,则a=2,所以S△ABC=acsin B=×2×2×=.
方法总结
三角形面积问题的常见类型
1.求三角形面积:一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等,求出角与边,再求面积.
2.已知三角形面积解三角形:常选用已知邻边求出其夹角,或利用已知角求出角的两边间的关系.
3.已知与三角形面积有关的关系式:常选用关系式中的角作为面积公式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形.
跟踪训练
3.(2026·山东济宁模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a(2-cos B)=b(1+cos A).
(1)证明:b+c=2a;
证明:由正弦定理得sin A(2-cos B)=sin B(1+cos A),
即2sin A-sin Acos B=sin B+sin Bcos A,
所以2sin A=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
所以2sin A=sin B+sin(A+B),
所以2sin A=sin B+sin C,由正弦定理得2a=b+c.
(2)若△ABC的面积为bc,证明:△ABC为等边三角形.
证明:因为bcsin A=bc,
所以sin A=.
因为2a=b+c,所以A为锐角,所以A=.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,
又a=,代入化简得b=c,所以a=b=c,
所以△ABC为等边三角形.
考点四　多边形中的解三角形问题
[例4]　(2026·湖北黄石模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC=1且bcos C+csin B=1+2c.
(1)求B的大小;
[解]　∵bcos C+csin B=1+2c=a+2c,
∴在△ABC中,由正弦定理得,
sin Bcos C+sin Csin B=sin A+2sin C,
由三角形内角和为180°可得sin A=sin(B+C),
∴sin Bcos C+sin Csin B=sin(B+C)+2sin C=sin Bcos C+cos Bsin C+2sin C,即sin Csin B-cos Bsin C=2sin C.
∵0°即sin(B-30°)=1.
又∵0°(2)如图所示,D为△ABC外一点,∠DCB=∠B,CD=,AC=AD,求D的大小.
[解]　设∠DCA=∠CDA=α,∠CAD=180°-2α,
在△ACD中,由正弦定理得,=,
又CD=,∴AC==.
在△ABC中,由正弦定理得,=,∠BAC=α-60°,BC=1,
∴AC=.
∴=,
∴sin(α-60°)=cos α=sin(90°-α),又60°<α<90°,解得α=75°.
跟踪训练
4.(2026·江苏南京模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,b=4,D为△ABC外一点,如图,且D=2A,DC=2,△BCD的面积为4,则c=　　　　　.
8
解析:在△ABC中,∵A+B=π-C,
∴sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
∴==,
由正弦定理可得=,
即bcsin A=b2+c2-a2,
由余弦定理得cos A===sin A,
即sin A=cos A.
又sin2A+cos2A=1,A∈(0,π),
∴sin A=,cos A=.
∵D=2A,
∴sin D=sin 2A=2sin Acos A=2××=,
cos D=cos 2A=1-2sin2A=1-2×()2=-,
故S△BCD=CD×BDsin D=×2×BD×=4,
解得BD=6.
则在△BCD中,由余弦定理可得BC2=BD2+CD2-2BD×CDcos D=62+22-2×6×2×(-)=48,
即a=4.
在△ABC中,由余弦定理得a2=c2+b2-2bccos A,
∴48=c2+48-2×4c×,
∴c=8.
射影定理的应用
教材延展
知识背景 射影定理在解三角形中应用广泛,在高考中考查解三角形常涉及利用射影定理求三角形的边、角,如2023·全国甲卷T17,2023·全国乙卷T4.
结论拓展 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有a=bcos C+ccos B, b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A,这称为射影定理.
[例]　(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=bcos C+csin B,且△ABC的面积为1+,则b的最小值为(　　)
A.2　　　　　　　　　 B.3
C. D.
A
[解析]　由射影定理a=bcos C+ccos B和a=bcos C+csin B,得sin B=cos B.又B∈(0,π),所以B=.又S△ABC=1+,所以acsin B=1+,即ac=4+2,所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=4,当且仅当a=c时取等号,所以b的最小值为2.
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=bcos C,且c=6,A=,则△ABC的面积为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
[解析]　由射影定理a=bcos C+ccos B和a=bcos C,得ccos B=0,故cos B=0.因为B∈(0,π),所以B=,故△ABC为直角三角形.又c=6,A=,所以a=6tan=2,所以S△ABC=ac=6.
D
跟踪训练
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a+b=2ccos B,求C.
解:由射影定理a=bcos C+ccos B和2a+b=2ccos B,得2(bcos C+ccos B) +b=2ccos B,
即2bcos C+b=0,所以cos C=-.
又C∈(0,π),所以C=.第30讲 正弦定理、余弦定理
考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
[例1]　(2025·天津卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B=bcos A,c-2b=1,a=.
(1)求A的值;
(2)求c的值;
(3)求sin(A+2B)的值.
[解]　(1)已知asin B=bcos A,由正弦定理=,
得asin B=bsin A=bcos A,显然cos A≠0,
得tan A=.因为0所以A=.
(2)由(1)知cos A=,且c=2b+1,a=,
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得7=b2+(2b+1)2-2×b(2b+1)=3b2+3b+1,
解得b=1(b=-2舍去),
故c=3.
(3)由正弦定理=,且b=1,a=,sin A=,
得sin B==,且a>b,则B为锐角,
故cos B=,故sin 2B=2sin Bcos B=,
且cos 2B=1-2sin2B=1-2×=,
故sin(A+2B)=sin Acos 2B+cos Asin 2B=×+×=.
方法总结
应用正弦、余弦定理的解题技巧
1.求边:利用正弦定理变形公式a=等或利用余弦定理求解.
2.求角:利用正弦定理变形公式sin A=等或利用余弦定理的推论求解.
3.利用式子的特点转化:若出现a2+b2-c2=λab的形式,用余弦定理;若等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
1.(多选)(2026·江苏苏州模拟)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若b>c,cos B=,a=b,则 (　　)
A.A=B　　　　　　 B.A=2B
C.b=c D.b=2c
答案:BD
解析:因为cos B=,B是三角形内角,则sin B>0,
所以sin B===,
已知a=b,由正弦定理可得sin A====.
又因为sin 2B=2sin Bcos B=2××==,所以sin A=sin 2B.
因为b>c,所以B>C,且A+B+C=π,那么A=2B或A+2B=π.
若A+2B=π,又A+B+C=π,则B=C,这与B>C矛盾,所以A=2B,故选项B正确,A错误.
由余弦定理可得:b2=(b)2+c2-2×b×c×,即b2=b2+c2-bc,
即b2-bc+c2=0,得b2-3bc+2c2=0,则b=c或b=2c.
因为b>c,所以b=2c,故选项D正确,C错误.
考点二　判断三角形的形状
[例2]　在△ABC中,sin A=,则△ABC的形状为 (　　)
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形
[答案]　A
[解析]　法一:∵sin A=,A+B+C=π,
∴sin Acos B-sin Acos C=sin(A+B)-sin(A+C),
∴sin Acos B-sin Acos C=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos C-cos Asin C,
∴cos A(sin B-sin C)=0,
∴cos A=0或sin B-sin C=0.
又由sin A=可知,sin C-sin B≠0,
∴cos A=0,
∴A=,∴△ABC为直角三角形,故A正确.
法二 :记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由正弦定理、余弦定理及题设条件可得a=,且c-b≠0,
化简得(c-b)(b2+c2-a2)=0,
∴b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2,
∴△ABC为直角三角形,故A正确.
2.(2026·河北秦皇岛模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若acos B+acos C=b+c,则△ABC的形状为 (　　)
A.等边三角形 B.锐角非等边三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
答案:D
解析:法一:由余弦定理得a×+a×=b+c,所以a2b+c2b-b3+a2c+b2c-c3=2b2c+2bc2,得b2+c2=a2,故A=,所以△ABC为直角三角形.
法二:因为acos B+acos C=b+c,由正弦定理得sin Acos B+sin Acos C=sin B+sin C,即sin A·cos B+sin Acos C=sin(A+C)+sin(A+B),化简得cos A·(sin B+sin C)=0,在△ABC中,sin B+sin C≠0,则cos A=0.又A∈(0,π),所以A=,所以△ABC为直角三角形.
考点三　三角形的面积问题
[例3]　(2026·山东潍坊模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(2c-a)cos B=bcos A.
(1)求B的大小;
(2)若△ABC外接圆的半径为,且2c-a=2,求△ABC的面积.
[解]　(1)因为(2c-a)cos B=bcos A,
由正弦定理得(2sin C-sin A)cos B=sin Bcos A,
所以2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B).
因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
所以2sin Ccos B=sin C.
因为sin C>0,所以cos B=.
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)因为△ABC外接圆半径为,
由正弦定理得=2×=,由(1)知B=,即=,所以b=2,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac,所以a2+c2-ac=4,
将a=2c-2,代入上式得c2-2c=0.
因为c>0,所以c=2,则a=2,所以S△ABC=acsin B=×2×2×=.
方法总结
三角形面积问题的常见类型
1.求三角形面积:一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等,求出角与边,再求面积.
2.已知三角形面积解三角形:常选用已知邻边求出其夹角,或利用已知角求出角的两边间的关系.
3.已知与三角形面积有关的关系式:常选用关系式中的角作为面积公式中的角,化为三角形的边角关系,再解三角形.
3.(2026·山东济宁模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a(2-cos B)=b(1+cos A).
(1)证明:b+c=2a;
(2)若△ABC的面积为bc,证明:△ABC为等边三角形.
证明:(1)由正弦定理得sin A(2-cos B)=sin B(1+cos A),
即2sin A-sin Acos B=sin B+sin Bcos A,
所以2sin A=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
所以2sin A=sin B+sin(A+B),
所以2sin A=sin B+sin C,由正弦定理得2a=b+c.
(2)因为bcsin A=bc,
所以sin A=.
因为2a=b+c,所以A为锐角,所以A=.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,
又a=,代入化简得b=c,所以a=b=c,
所以△ABC为等边三角形.
考点四　多边形中的解三角形问题
[例4]　(2026·湖北黄石模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC=1且bcos C+csin B=1+2c.
(1)求B的大小;
(2)如图所示,D为△ABC外一点,∠DCB=∠B,CD=,AC=AD,求D的大小.
[解]　(1)∵bcos C+csin B=1+2c=a+2c,
∴在△ABC中,由正弦定理得,
sin Bcos C+sin Csin B=sin A+2sin C,
由三角形内角和为180°可得sin A=sin(B+C),
∴sin Bcos C+sin Csin B=sin(B+C)+2sin C=sin Bcos C+cos Bsin C+2sin C,即sin Csin B-cos Bsin C=2sin C.
∵0°又∵0°(2)设∠DCA=∠CDA=α,∠CAD=180°-2α,
在△ACD中,由正弦定理得,=,
又CD=,∴AC==.
在△ABC中,由正弦定理得,=,∠BAC=α-60°,BC=1,
∴AC=.
∴=,
∴sin(α-60°)=cos α=sin(90°-α),又60°<α<90°,解得α=75°.
4.(2026·江苏南京模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,b=4,D为△ABC外一点,如图,且D=2A,DC=2,△BCD的面积为4,则c=　　　　　.
答案:8
解析:在△ABC中,∵A+B=π-C,
∴sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
∴==,
由正弦定理可得=,
即bcsin A=b2+c2-a2,
由余弦定理得cos A===sin A,
即sin A=cos A.
又sin2A+cos2A=1,A∈(0,π),
∴sin A=,cos A=.
∵D=2A,
∴sin D=sin 2A=2sin Acos A=2××=,
cos D=cos 2A=1-2sin2A=1-2×()2=-,
故S△BCD=CD×BDsin D=×2×BD×=4,
解得BD=6.
则在△BCD中,由余弦定理可得BC2=BD2+CD2-2BD×CDcos D=62+22-2×6×2×(-)=48,
即a=4.
在△ABC中,由余弦定理得a2=c2+b2-2bccos A,
∴48=c2+48-2×4c×,
∴c=8.
　　　　　射影定理的应用
射影定理在解三角形中应用广泛,在高考中考查解三角形常涉及利用射影定理求三角形的边、角,如2023·全国甲卷T17,2023·全国乙卷T4.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A,这称为射影定理.
[例]　(1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=bcos C+csin B,且△ABC的面积为1+,则b的最小值为 (　　)
A.2　　　　　　　　　 B.3
C. D.
[答案]　A
[解析]　由射影定理a=bcos C+ccos B和a=bcos C+csin B,得sin B=cos B.又B∈(0,π),所以B=.又S△ABC=1+,所以acsin B=1+,即ac=4+2,所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac≥2ac-ac=4,当且仅当a=c时取等号,所以b的最小值为2.
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=bcos C,且c=6,A=,则△ABC的面积为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.6
[答案]　D
[解析]　由射影定理a=bcos C+ccos B和a=bcos C,得ccos B=0,故cos B=0.因为B∈(0,π),所以B=,故△ABC为直角三角形.又c=6,A=,所以a=6tan=2,所以S△ABC=ac=6.
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a+b=2ccos B,求C.
解:由射影定理a=bcos C+ccos B和2a+b=2ccos B,得2(bcos C+ccos B)+b=2ccos B,
即2bcos C+b=0,所以cos C=-.
又C∈(0,π),所以C=.(共16张PPT)
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A组　基础保分练
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin B=,b=3a,则sin A=(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析:由b=3a利用正弦定理可得sin B=3sin A=,所以sin A=.
B
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2.(2026·山东枣庄模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,c2+9=a2+3c,则A=(　　)
A. B.
C. D.
解析:由b=3及c2+9=a2+3c,得b2+c2-a2=bc,
由余弦定理,得cos A===.
因为0C
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3.(2026·辽宁辽阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=4,则△ABC的面积为(　　)
A.4 B.2
C.4 D.8
A
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解析:在△ABC中,因为a=5,b=7,c=4,
由余弦定理可得cos B===-,
所以sin B===,
因此△ABC的面积为acsin B=×5×4×=4.
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4.在△ABC中, 角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若acos A-bcos B=sin(A+B+C),则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
D
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解析:因为acos A-bcos B=sin(A+B+C)=sin π=0,所以acos A=bcos B,
所以sin Acos A=sin Bcos B,所以sin 2A=sin 2B.
因为A,B∈(0,π),所以sin A,sin B>0,所以cos A,cos B符号相同,
若cos A≤0,则cos B≤0,而这会导致A+B≥π,这与三角形内角和矛盾,
从而只能0所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=,
所以△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.
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5.(多选)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=4,锐角C满足sin C=,则(　　)
A.△ABC的面积为3
B.cos C=
C.c=
D.cos B=
BC
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解析:在△ABC中,因为a=3,b=4,且sin C=,
可得S△ABC=absin C=×3×4×=,所以A错误;
由C为锐角,且sin C=,可得cos C==,所以B正确;
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=9+16-2×3×4×=19,可得c=,所以C正确;
由余弦定理得cos B===,所以D错误.
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6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=,a=c,则=　　　　　.
解析:由题意知sin=sin C,∴sin C=.又01
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7.(2026·广东广州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=2,b+c=2acos B+2acos C,则△ABC的面积为　　　　.
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同理,由b+c=2acos B+2acos C,得b+c=2a+2a,
通分可得b+c=,
由bc=1,得b+c=a2(b+c)+c+b-(b+c)(b2-bc+c2),
化简可得b2+c2-a2=1.因为0所以△ABC的面积为bcsin A=.
解析:由=2,根据余弦定理,
得=2,
解得bc=1,
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8.(2026·山东济南模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠ABC的平分线BD交AC于点D,acos2B+bsin Asin B=2b.
(1)求;
解:已知sin Acos2B+sin Bsin Asin B=2sin B,
所以sin A(cos2B+sin2B)=2sin B.
因为cos2B+sin2B=1,所以sin A=2sin B.
由正弦定理=,可得=,所以=.
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(2)若cos C=,BD=2,求△ABC的面积.
解:已知cos C===,
所以= 5b2-c2=b2 4b2=c2 c=2b.
因为a=2b,所以a=c,△ABC为等腰三角形,由等腰三角形三线合一,得BD⊥AC.
在Rt△BCD中,因为cos C=,所以sin C===,即=,解得b=.
根据三角形面积公式S△ABC=absin C,因为a=2b,所以S△ABC=×2b×bsin C=×2×××=.
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9.(2026·湖南长沙模拟)已知△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,角B的平分线交AC于点D,则=(　　)
A. B.
C. D.
B组　能力提升练
A
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解析:因为△ABC的面积为6,A=60°,AB=3,
所以AB·ACsin A=×3ACsin 60°=6,解得AC=8.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=9+64-2×3×8cos 60°=49,解得BC=7.
因为BD平分∠ABC,
所以===.
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10.(2026·广东佛山模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且+=,则=　　　　.
解析:因为+=,
故sin Bsin Ccos A+2sin Asin Ccos B=3sin A·sin Bcos C,
所以bc×+2ac×=3ab×,整理得3c2=a2+2b2,故=.

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