资源简介

(共30张PPT)
第31讲三角形中的高线、中线、角平分线
考点一　三角形中的高线
[例1]　(2026·山东聊城模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin B+btan Bcos A=2bsin C.
(1)求B;
[解]　因为asin B+btan Bcos A=2bsin C,
由正弦定理,得sin Asin B+sin B·cos A=2sin Bsin C.
又因为B∈(0,π),可得sin B>0,
所以sin A+cos A=2sin C,
即===2sin C.
因为C∈(0,π),可得sin C>0,所以cos B=.
又因为B∈(0,π),所以B=.
(2)若a=3,且AC边上的高为,求△ABC的周长.
[解]　由AC边上的高为,可得S△ABC=b·,
又由a=3且B=,可得△ABC的面积为S△ABC=acsin B=c×=c,
所以c=b·,解得2b=c,即c=,
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
可得b2=9+()2-3×,整理得b2+2b-21=0,
解得b=或b=-3(舍去),此时c=2,
所以△ABC的周长为3++2=5+.
方法总结
高线问题的处理策略
1.等面积法:AD·BC=AB·AC·sin∠BAC.
2.AD=AB·sin∠ABD=AC·sin∠ACD.
跟踪训练
1.(2026·云南昆明模拟)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且asin C-c=ccos A.
(1)求A;
解:因为asin C-c=ccos A,所以由正弦定理得sin Asin C-sin C=sin Ccos A.因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以sin A-1=cos A,即sin A-cos A=1,
所以2sin(A-)=1,即sin(A-)=.
因为A∈(0,π),所以A-∈(-,),所以A-=,所以A=.
(2)若b=2,c=3,求BC边上的高AD.
解:由余弦定理得a2=22+32-2×2×3×cos=7,所以a=.
因为S△ABC=bcsin A=×a×AD,
所以2×3×sin=×AD,所以AD=.
考点二　三角形的中线
[例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
[解]　在△ABC中,因为D为BC的中点,∠ADC=,AD=1,
则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=×1×a×=a=S△ABC=,解得a=4.
在△ABD中,∠ADB=,由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB,
即c2=4+1-2×2×1×(-)=7,解得c=,则cos B==,
sin B===,
所以tan B==.
(2)若b2+c2=8,求b,c.
[解]　在△ABC中,因为D为BC的中点,则2=+,又=-,于是4+=(+)2+(-)2=2(b2+c2)=16,即4+a2=16,解得a=2,
在△ABC中,由余弦定理,
得cos∠BAC===-,
所以S△ABC=bcsin∠BAC
=bc
=bc==,
解得bc=4.由
方法总结
在△ABC中,AD是边BC上的中线,
(1)余弦定理法
在△ABD中,AB2=AD2+BD2-2BD·ADcos∠ADB,①
在△ACD中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC,②
①+②,得到AB2+AC2=2(BD2+AD2).
(2)向量法
=(+),
=(b2+c2+2bccos∠BAC).
(3)中线公式
在△ABC中,BC边上的中线和三边有如下关系:
AD=
跟踪训练
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos B=-.
(1)求C;
解:由cos B=-,得2ccos B=2a-b,
由正弦定理得2sin Ccos B=2sin A-sin B,
即2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B,
化简得sin B=2sin Bcos C.
∵B∈(0,π),∴sin B≠0,∴cos C=.
又∵C∈(0,π),∴C=.
(2)若b=2,D为边AB的中点,CD=,求a.
解:∵D为边AB的中点,∴=(+),
则==(++2·)=(4+a2+2×2×a×cos),
化简得a2+2a-24=0,解得a=4或a=-6(舍去),故a=4.
考点三　三角形的角平分线
[例3]　(2026·四川乐山模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos B+sin B=2.
(1)求B;
[解]　由cos B+sin B=2,得cos B+sin B=1,
所以cos(B-)=1.
因为0(2)若a=2,c=+1,角B的平分线交AC于点D,求BD.
[解]　法一:因为a=2,c=+1,由(1)知∠ABC=,
所以S△ABC=×2×(1+)×sin=,
S△ABD=×BD×(1+)×sin=BD,
S△BCD=×2×BD×sin=BD.
因为S△ABC=S△ABD+S△BCD,
所以=BD+BD,
解得BD=2.
法二:在△ABC中,因为a=2,c=+1,由(1)知∠ABC=,
由余弦定理b2=a2+c2-2accos∠ABC,解得b=,
由正弦定理==,
所以sin A=,即A=或A=(舍去),
所以C=.
又∠BDC=+=,所以△BDC是等腰三角形,
所以BD=BC=2.
方法总结
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠BAC及角B,C所对的边分别为a,b,c.
因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,
所以c·ADsin+b·ADsin=bcsin ∠BAC,
所以(b+c)AD=2bccos,
整理得AD=(角平分线长公式).
跟踪训练
3.(2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　　.
2
解析:如图所示,记AB=c,AC=b,BC=a.
法一:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6.
因为b>0,解得b=1+.由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得,
×2×b×sin 60°=×2×AD×sin 30°+×AD×b×sin 30°,
解得AD===2.
法二:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6,因为b>0,解得b=1+.
由正弦定理可得,==,解得sin B=,sin C=.
因为1+>>2,所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°.
又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2.
角平分线定理、张角定理和中线长定理
教材延展
角平分线定理 在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,则=.
进而得到:
(1)AD2=AB·AC-BD·CD(斯库顿定理).
(2)==.
张角定理 在△ABC中,D为BC边上的一点,连接AD,若∠BAD=α,∠CAD=β,
则+=.
中线长定理 在△ABC中,AD为BC边上的中线,则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
[例]　(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=7,b=8,c=9,则AC边上的中线长为　　　　.
7
[解析]　法一:在△ABC中,设BD是AC边上的中线,由中线长定理知,
AB2+BC2=2(BD2+DC2),
即c2+a2=2(BD2+b2),
则BD2=-=49,所以BD=7,
故AC边上的中线长为7.
法二:因为a=7,b=8,c=9,由余弦定理得cos B===.
设BD是AC边上的中线,则=(+),
两边平方得=(+2·+)
=×(81+2×9×7×+49)=49,
所以||=7,即AC边上的中线长为7.
[解析]　如图,∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=,
由张角定理得=+,即=+,∴+=,
∴2b+c=(2b+c)(+)×2
=6++≥6+2=6+4(当且仅当=,且+=,即c=b=2+2时取等号).
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD是∠BAC的平分线.若∠BAC=,AD=2,则2b+c的最小值为　　　　　　　.
6+4
跟踪训练
在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AB=3,AC=5,∠BAC=120°,则AD=　　　　　.
解析:法一:∵AD是∠BAC的平分线,且∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠CAD=60°.
∵S△ABD+S△CAD=S△ABC,
∴AB·ADsin∠BAD+AC·ADsin∠CAD=AB·ACsin∠BAC,
即×3AD×+×5AD×=×3×5×,
解得AD=.
法二:由张角定理得+=,即+=,解得AD=.第31讲 三角形中的高线、中线、角平分线
考点一　三角形中的高线
[例1]　(2026·山东聊城模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin B+btan Bcos A=2bsin C.
(1)求B;
(2)若a=3,且AC边上的高为,求△ABC的周长.
[解]　(1)因为asin B+btan Bcos A=2bsin C,
由正弦定理,得sin Asin B+sin B·cos A=2sin Bsin C.
又因为B∈(0,π),可得sin B>0,
所以sin A+cos A=2sin C,
即===2sin C.
因为C∈(0,π),可得sin C>0,所以cos B=.
又因为B∈(0,π),所以B=.
(2)由AC边上的高为,可得S△ABC=b·,
又由a=3且B=,可得△ABC的面积为S△ABC=acsin B=c×=c,
所以c=b·,解得2b=c,即c=,
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,
可得b2=9+()2-3×,整理得b2+2b-21=0,
解得b=或b=-3(舍去),此时c=2,
所以△ABC的周长为3++2=5+.
方法总结
高线问题的处理策略
1.等面积法:AD·BC=AB·AC·sin∠BAC.
2.AD=AB·sin∠ABD=AC·sin∠ACD.
1.(2026·云南昆明模拟)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且asin C-c=ccos A.
(1)求A;
(2)若b=2,c=3,求BC边上的高AD.
解:(1)因为asin C-c=ccos A,所以由正弦定理得sin Asin C-sin C=sin Ccos A.因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以sin A-1=cos A,即sin A-cos A=1,
所以2sin(A-)=1,即sin(A-)=.
因为A∈(0,π),所以A-∈(-,),所以A-=,所以A=.
(2)由余弦定理得a2=22+32-2×2×3×cos=7,所以a=.
因为S△ABC=bcsin A=×a×AD,
所以2×3×sin=×AD,所以AD=.
考点二　三角形的中线
[例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为,D为BC的中点,且AD=1.
(1)若∠ADC=,求tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
[解]　(1)在△ABC中,因为D为BC的中点,∠ADC=,AD=1,
则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=×1×a×=a=S△ABC=,解得a=4.
在△ABD中,∠ADB=,由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB,
即c2=4+1-2×2×1×(-)=7,解得c=,则cos B==,
sin B===,
所以tan B==.
(2)在△ABC中,因为D为BC的中点,则2=+,又=-,于是4+=(+)2+(-)2=2(b2+c2)=16,即4+a2=16,解得a=2,
在△ABC中,由余弦定理,
得cos∠BAC===-,
所以S△ABC=bcsin∠BAC
=bc
=bc==,
解得bc=4.由
方法总结
在△ABC中,AD是边BC上的中线,
(1)余弦定理法
在△ABD中,AB2=AD2+BD2-2BD·ADcos∠ADB,①
在△ACD中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC,②
①+②,得到AB2+AC2=2(BD2+AD2).
(2)向量法:
=(+),
=(b2+c2+2bccos∠BAC).
(3)中线公式
在△ABC中,BC边上的中线和三边有如下关系:
AD=
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos B=-.
(1)求C;
(2)若b=2,D为边AB的中点,CD=,求a.
解:(1)由cos B=-,得2ccos B=2a-b,
由正弦定理得2sin Ccos B=2sin A-sin B,
即2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B,
化简得sin B=2sin Bcos C.
∵B∈(0,π),∴sin B≠0,∴cos C=.
又∵C∈(0,π),∴C=.
(2)∵D为边AB的中点,∴=(+),
则==(++2·)=(4+a2+2×2×a×cos),
化简得a2+2a-24=0,解得a=4或a=-6(舍去),故a=4.
考点三　三角形的角平分线
[例3]　(2026·四川乐山模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos B+sin B=2.
(1)求B;
(2)若a=2,c=+1,角B的平分线交AC于点D,求BD.
[解]　(1)由cos B+sin B=2,得cos B+sin B=1,
所以cos(B-)=1.
因为0(2)法一:因为a=2,c=+1,由(1)知∠ABC=,
所以S△ABC=×2×(1+)×sin=,
S△ABD=×BD×(1+)×sin=BD,
S△BCD=×2×BD×sin=BD.
因为S△ABC=S△ABD+S△BCD,
所以=BD+BD,
解得BD=2.
法二:在△ABC中,因为a=2,c=+1,由(1)知∠ABC=,
由余弦定理b2=a2+c2-2accos∠ABC,解得b=,
由正弦定理==,
所以sin A=,即A=或A=(舍去),
所以C=.
又∠BDC=+=,所以△BDC是等腰三角形,
所以BD=BC=2.
方法总结
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠BAC及角B,C所对的边分别为a,b,c.
因为S△ABD+S△ACD=S△ABC,
所以c·ADsin+b·ADsin=bcsin ∠BAC,
所以(b+c)AD=2bccos,
整理得AD=(角平分线长公式).
3.(2023·全国甲卷)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　　.
答案:2
解析:如图所示,记AB=c,AC=b,BC=a.
法一:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6.
因为b>0,解得b=1+.由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得,
×2×b×sin 60°=×2×AD×sin 30°+×AD×b×sin 30°,
解得AD===2.
法二:由余弦定理可得,22+b2-2×2×b×cos 60°=6,因为b>0,解得b=1+.
由正弦定理可得,==,解得sin B=,sin C=.
因为1+>>2,所以C=45°,B=180°-60°-45°=75°.
又∠BAD=30°,所以∠ADB=75°,即AD=AB=2.
　　　　　角平分线定理、张角定理和中线长定理
在△ABC中,AD为∠BAC的角平分线,则=. 进而得到： (1)AD2=AB·AC-BD·CD(斯库顿定理). (2)==.
在△ABC中,D为BC边上的一点,连接AD,若∠BAD=α,∠CAD=β, 则+=.
在△ABC中,AD为BC边上的中线,则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
[例]　(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=7,b=8,c=9,则AC边上的中线长为　　　　.
[答案]　7
[解析]　法一:在△ABC中,设BD是AC边上的中线,由中线长定理知,
AB2+BC2=2(BD2+DC2),
即c2+a2=2(BD2+b2),
则BD2=-=49,所以BD=7,
故AC边上的中线长为7.
法二:因为a=7,b=8,c=9,由余弦定理得cos B===.
设BD是AC边上的中线,则=(+),
两边平方得=(+2·+)
=×(81+2×9×7×+49)=49,
所以||=7,即AC边上的中线长为7.
(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AD是∠BAC的平分线.若∠BAC=,AD=2,则2b+c的最小值为　　　　　　　.
[答案]　6+4
[解析]　如图,∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=,
由张角定理得=+,即=+,∴+=,
∴2b+c=(2b+c)(+)×2
=6++≥6+2=6+4(当且仅当=,且+=,即c=b=2+2时取等号).
在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AB=3,AC=5,∠BAC=120°,则AD=　　　　　.
答案:
解析:法一:∵AD是∠BAC的平分线,且∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠CAD=60°.
∵S△ABD+S△CAD=S△ABC,
∴AB·ADsin∠BAD+AC·ADsin∠CAD=AB·ACsin∠BAC,
即×3AD×+×5AD×=×3×5×,
解得AD=.
法二:由张角定理得+=,即+=,解得AD=.(共7张PPT)
1
2
3
A组　基础保分练
1.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2asin B.
(1)求A;
解:由正弦定理可得sin B=2sin Asin B.
因为sin B≠0,所以=sin A.
又△ABC为锐角三角形,A∈(0,),所以A=.
1
2
3
(2)若b=c+1,a=,求边BC上的高AD的长.
解:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可知()2=b2+c2-2bccos=b2+c2-bc=(b-c)2+bc.
又b=c+1,即b-c=1,代入上式可得bc=6,
则S△ABC=bcsin A=×6×=,
则S△ABC=BC×AD=××AD=,
解得AD==.
1
2
3
2.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin C+ccos A=2c.
(1)求A;
解:因为asin C+ccos A=2c,所以由正弦定理得sin Asin C+sin Ccos A=2sin C.
因为C∈(0,),所以sin C≠0,所以sin A+cos A=2,
整理得2sin(A+)=2,即sin(A+)=1.
因为A∈(0,),所以A+∈(,),所以A+=,即A=.
1
2
3
(2)若AB=3,BC=,D为AC的中点,求cos∠DBC.
解:在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos,
即AC2-3AC+2=0,解得AC=2或AC=1.
若AC=1,则cos C==<0,则C为钝角,舍去,
所以AC=2,cos C===>0.因为AB>BC>AC,根据正弦定理,角C最大,所以△ABC为锐角三角形,符合题意.
1
2
3
因为D为AC的中点,所以AD=DC=1,
所以在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A=9+1-2×3×1×=7,
所以BD=.
在△BCD中,cos∠DBC===.
1
2
3
3.(2026·北京模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的平分线交BC于点D,且asin C=ccos.
(1)求A;
B组　能力提升练
解:由已知asin C=ccos,
又由正弦定理可得sin Asin C=sin Ccos,
又C∈(0,π),所以sin C≠0,
则sin A=cos=2sincos,
又A∈(0,π),∈(0,),所以cos≠0,
则sin=,所以=,A=.
1
2
3
(2)若b=2,且△ABC的面积为,求AD的长.
解:由已知S△ABC=bcsin∠CAB=c=,所以c=.
因为AD为∠CAB的平分线,故∠CAD=∠BAD=,
所以S△ABC=S△ACD+S△ABD=b·AD·sin∠CAD+c·AD·sin∠BAD,
即=AD+AD=AD,
解得AD=6(2-).[A组　基础保分练]
1.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2asin B.
(1)求A;
(2)若b=c+1,a=,求边BC上的高AD的长.
解:(1)由正弦定理可得sin B=2sin Asin B.
因为sin B≠0,所以=sin A.
又△ABC为锐角三角形,A∈(0,),所以A=.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
可知()2=b2+c2-2bccos=b2+c2-bc=(b-c)2+bc.
又b=c+1,即b-c=1,代入上式可得bc=6,
则S△ABC=bcsin A=×6×=,
则S△ABC=BC×AD=××AD=,
解得AD==.
2.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin C+ccos A=2c.
(1)求A;
(2)若AB=3,BC=,D为AC的中点,求cos∠DBC.
解:(1)因为asin C+ccos A=2c,所以由正弦定理得sin Asin C+sin Ccos A=2sin C.
因为C∈(0,),所以sin C≠0,所以sin A+cos A=2,
整理得2sin(A+)=2,即sin(A+)=1.
因为A∈(0,),所以A+∈(,),所以A+=,即A=.
(2)在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos,
即AC2-3AC+2=0,解得AC=2或AC=1.
若AC=1,则cos C==<0,则C为钝角,舍去,
所以AC=2,cos C===>0.因为AB>BC>AC,根据正弦定理,角C最大,所以△ABC为锐角三角形,符合题意.
因为D为AC的中点,所以AD=DC=1,
所以在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A=9+1-2×3×1×=7,
所以BD=.
在△BCD中,cos∠DBC===.
[B组　能力提升练]
3.(2026·北京模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的平分线交BC于点D,且asin C=ccos.
(1)求A;
(2)若b=2,且△ABC的面积为,求AD的长.
解:(1)由已知asin C=ccos,
又由正弦定理可得sin Asin C=sin Ccos,
又C∈(0,π),所以sin C≠0,
则sin A=cos=2sincos,
又A∈(0,π),∈(0,),所以cos≠0,
则sin=,所以=,A=.
(2)由已知S△ABC=bcsin∠CAB=c=,所以c=.
因为AD为∠CAB的平分线,故∠CAD=∠BAD=,
所以S△ABC=S△ACD+S△ABD=b·AD·sin∠CAD+c·AD·sin∠BAD,
即=AD+AD=AD,
解得AD=6(2-).

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