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[A组　基础保分练]
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2B+cos 2C-cos 2A=1-2sin Bsin C.
(1)求A;
(2)若a=4,求△ABC面积的最大值.
解:(1)由已知1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1-2sin Bsin C,
即sin2A-sin2B-sin2C=-sin Bsin C,由正弦定理得a2-b2-c2=-bc,
所以cos A==.又0(2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,又a=4,
所以16=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c=4时等号成立,
所以S△ABC=bcsin A=bc≤4,故△ABC面积的最大值为4.
2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4cos A=2cos 2A+3.
(1)求A;
(2)若a=4,求△ABC周长的取值范围.
解:(1)因为4cos A=2cos 2A+3,所以4cos A=4cos2A-2+3,即(2cos A-1)2=0,解得cos A=.
又A∈(0,π),所以A=.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
即16=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-=,
故b+c≤8,当且仅当b=c=4时取等号.
又b+c>a=4,故a+b+c∈(8,12],即△ABC周长的取值范围是(8,12].
[B组　能力提升练]
3.(2022·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.
(1)若C=,求B;
(2)求的最小值.
解:(1)∵==,即=,
∴cos Acos B-sin Asin B=sin B,
即cos(A+B)=sin B.又C=,
∴sin B=cos(A+B)=-cos C=-cos =.
∵0(2)由(1)知,sin B=cos(A+B)=-cos C,
∵sin B>0恒成立,∴C∈(,π).
∵-cos C=sin(C-),
∴C-=B或B+C-=π(不合题意,舍去),
∴A=-2B.
∵A>0,
∴B∈(0,),
∴==
=,
令cos2B=t,t∈(,1),
∴==4t+-5≥4-5,
当且仅当4t=,即t=时,取“=”.
∴的最小值为4-5.第32讲 解三角形中的最值、范围问题
考点一　利用基本不等式求最值(范围)
[例1]　(2026·山东德州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2sin B=sin A+cos Atan C.
(1)求C;
(2)若2(a+b)=c2,求c的最大值.
[解]　(1)由2sin B=sin A+cos Atan C,得2sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C,
即2sin Bcos C=sin(A+C).又A+B+C=π,则sin(A+C)=sin B≠0,
于是cos C=.又0(2)由(1)知C=,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,
而2(a+b)=c2,则2(a+b)=(a+b)2-3ab,
因此(a+b)2-2(a+b)=3ab≤(a+b)2,解得a+b≤8,
当且仅当a=b时取等号,则c=≤4,
所以c的最大值为4.
方法总结
在△ABC中,如果已知一个角及其对边,假设已知A,a,根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即可得到“b2+c2”与“bc”的等量关系.
1. S=bcsin A,求面积的最值时,即求bc的最值,在等量关系中,利用基本不等式b2+c2≥2bc,即可求得bc的最值.
2.求周长a+b+c的最值,即求b+c的最值,在等量关系中,把b2+c2换成(b+c)2-2bc,再利用基本不等式bc≤()2,即可求得b+c的最值.
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求C;
(2)若a+b=4,求△ABC面积的最大值.
解:(1)由=,得(a+b+c)cos C=c(cos A+cos B+cos C),
故(a+b)cos C=c(cos A+cos B),
由正弦定理得(sin A+sin B)cos C=sin C(cos A+cos B),
即sin Acos C-sin Ccos A=sin Ccos B-sin Bcos C,
即sin(A-C)=sin(C-B).因为A-C,C-B∈(-π,π),
所以A-C=C-B,或A-C+C-B=±π,
即A+B=2C,或A-B=±π(舍),
故C=.
(2)因为a+b=4,故()2=4≥ab,
则S△ABC=absin C=ab·≤,
当且仅当a=b=2时等号成立,
故△ABC面积的最大值为.
考点二　转化为三角函数求最值(范围)
[例2]　已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=3,求△ABC周长的取值范围.
[解]　(1)∵acos C+asin C-b-c=0,
∴由正弦定理得sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0.
在△ABC中,∵A+B+C=π,∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
∴sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.
∵sin C≠0,∴sin A-cos A=1,即2sin(A-)=1.
∵A为锐角,∴A=.
(2)由正弦定理得2R====2,B+C=,
∴b+c=2Rsin B+2Rsin C=2(sin B+sin C)=2[sin B+sin(-B)]=2(sin B+cos B)=6sin(B+).
∵△ABC是锐角三角形,
∴0∴即∴3+3∴△ABC周长的取值范围为(3+3,9].
方法总结
对于三角形中的最值(范围)问题,如果三角形为锐角三角形,或受其他限制,则一般采用正弦定理边化角,利用三角函数的范围求出最值或范围.
2.已知△ABC为锐角三角形,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b2+c2-a2)tan A=bc.
(1)求A;
(2)若a=,求2b-c的取值范围.
解:(1)在△ABC中,由余弦定理得,b2+c2-a2=2bccos A,
所以(b2+c2-a2)tan A=2bccos Atan A=2bcsin A=bc,所以sin A=.
又因为△ABC为锐角三角形,所以0(2)在△ABC中,由正弦定理得,===2,
所以2b-c=4sin B-2sin C=4sin B-2sin(-B)=4sin B-2(cos B+sin B)=3sin B-cos B=2sin(B-).
因为△ABC为锐角三角形,
所以所以0则0<2sin(B-)<3,
所以2b-c的取值范围为(0,3).
考点三　转化为其他函数求最值(范围)
[例3]　(2026·江苏南通模拟)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,满足2S=(b2-a2)sin B.
(1)求证:B=2A;
(2)求的取值范围.
(1)[证明]　由2S=(b2-a2)sin B,得2×acsin B=(b2-a2)sin B,又sin B≠0,即ac=b2-a2,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即b2-a2=c2-2accos B=ac,
化简得c-2acos B=a,
由正弦定理有sin C-2sin Acos B=sin(A+B)-2sin Acos B=sin A,
即sin Acos B+cos Asin B-2sin Acos B=sin A,化简得sin(B-A)=sin A.
因为0因为正弦函数y=sin x在(-,)上单调递增,故B-A=A,即B=2A.
(2)[解]　由正弦定理得=cos B-=cos 2A-=cos 2A-=2cos2A-3cos A-1.
因为△ABC为锐角三角形,
则
解得令t=cos A,设f(t)=2t2-3t-1,所以函数f(t)在(,)上单调递减,在(,)上单调递增,
则f(t)min=f()=-.
因为f()=,f()=-,故f()故-≤f(t)<.
所以的取值范围是[-,).
方法总结
解决此类题目,一是利用正弦、余弦定理,转化成关于边的函数,或转化成关于正弦、余弦或正切的函数,根据函数的单调性求解;二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数,根据函数的单调性求解.
3.(2026·辽宁鞍山模拟)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,4S+3a2=3b2+3c2,则的取值范围为　　　　　.
答案:(1,10)
解析:由4S+3a2=3b2+3c2,则3b2+3c2-3a2=2bcsin A,故cos A==sin A.
由A是△ABC的内角,得tan A=3,
所以sin A=,cos A=,
由正弦定理,得==
=,
由△ABC是锐角三角形,
所以tan C=-tan(A+B)=-=>0且tan B>0,
解得tan B>或tan B<-3(舍去),
令x=tan B>,设g(x)==10-,
当x>时,g(x)单调递增,
故g(x)>g()=1,
而g(x)<10,故1第32讲解三角形中的最值、范围问题
考点一　利用基本不等式求最值(范围)
[例1]　(2026·山东德州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2sin B=sin A+cos Atan C.
(1)求C;
[解]　由2sin B=sin A+cos Atan C,得2sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C,
即2sin Bcos C=sin(A+C).又A+B+C=π,则sin(A+C)=sin B≠0,
于是cos C=.又0(2)若2(a+b)=c2,求c的最大值.
[解]　由(1)知C=,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,
而2(a+b)=c2,则2(a+b)=(a+b)2-3ab,
因此(a+b)2-2(a+b)=3ab≤(a+b)2,解得a+b≤8,
当且仅当a=b时取等号,则c=≤4,
所以c的最大值为4.
方法总结
在△ABC中,如果已知一个角及其对边,假设已知A,a,根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即可得到“b2+c2”与“bc”的等量关系.
1. S=bcsin A,求面积的最值时,即求bc的最值,在等量关系中,利用基本不等式b2+c2≥2bc,即可求得bc的最值.
2.求周长a+b+c的最值,即求b+c的最值,在等量关系中,把b2+c2换成(b+c)2-2bc,再利用基本不等式bc≤()2,即可求得b+c的最值.
跟踪训练
1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求C;
解:由=,得(a+b+c)cos C=c(cos A+cos B+cos C),
故(a+b)cos C=c(cos A+cos B),
由正弦定理得(sin A+sin B)cos C=sin C(cos A+cos B),
即sin Acos C-sin Ccos A=sin Ccos B-sin Bcos C,
即sin(A-C)=sin(C-B).因为A-C,C-B∈(-π,π),
所以A-C=C-B,或A-C+C-B=±π,
即A+B=2C,或A-B=±π(舍),
故C=.
(2)若a+b=4,求△ABC面积的最大值.
解:因为a+b=4,故()2=4≥ab,
则S△ABC=absin C=ab·≤,
当且仅当a=b=2时等号成立,
故△ABC面积的最大值为.
考点二　转化为三角函数求最值(范围)
[例2]　已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
[解]　∵acos C+asin C-b-c=0,
∴由正弦定理得sin Acos C+sin Asin C-sin B-sin C=0.
在△ABC中,∵A+B+C=π,∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
∴sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.
∵sin C≠0,∴sin A-cos A=1,即2sin(A-)=1.
∵A为锐角,∴A=.
(2)若a=3,求△ABC周长的取值范围.
[解]　由正弦定理得2R====2,B+C=,
∴b+c=2Rsin B+2Rsin C=2(sin B+sin C)=2[sin B+
sin(-B)]=2(sin B+cos B)=6sin(B+).
∵△ABC是锐角三角形,
∴0∴即∴3+3∴△ABC周长的取值范围为(3+3,9].
方法总结
对于三角形中的最值(范围)问题,如果三角形为锐角三角形,或受其他限制,则一般采用正弦定理边化角,利用三角函数的范围求出最值或范围.
跟踪训练
2.已知△ABC为锐角三角形,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b2+c2-a2)tan A=bc.
(1)求A;
解:在△ABC中,由余弦定理得,b2+c2-a2=2bccos A,
所以(b2+c2-a2)tan A=2bccos Atan A=2bcsin A=bc,所以sin A=.
又因为△ABC为锐角三角形,所以0(2)若a=,求2b-c的取值范围.
解:在△ABC中,由正弦定理得,===2,
所以2b-c=4sin B-2sin C=4sin B-2sin(-B)=4sin B-2(cos B+sin B)=3sin B-cos B=2sin(B-).
因为△ABC为锐角三角形,
所以所以0则0<2sin(B-)<3,
所以2b-c的取值范围为(0,3).
考点三　转化为其他函数求最值(范围)
[例3]　(2026·江苏南通模拟)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,满足2S=(b2-a2)sin B.
(1)求证:B=2A;
[证明]　由2S=(b2-a2)sin B,得2×acsin B=(b2-a2)sin B,又sin B≠0,即ac=b2-a2,
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即b2-a2=c2-2accos B=ac,
化简得c-2acos B=a,
由正弦定理有sin C-2sin Acos B=sin(A+B)-2sin Acos B=sin A,
即sin Acos B+cos Asin B-2sin Acos B=sin A,化简得sin(B-A)=sin A.
因为0因为正弦函数y=sin x在(-,)上单调递增,故B-A=A,即B=2A.
(2)求的取值范围.
[解]　由正弦定理得=cos B-=cos 2A-=cos 2A-=2cos2A-3cos A-1.
因为△ABC为锐角三角形,
则
解得令t=cos A,设f(t)=2t2-3t-1,所以函数f(t)在(,)上单调递减,在(,)上单调递增,
则f(t)min=f()=-.
因为f()=,f()=-,故f()故-≤f(t)<.
所以的取值范围是[-,).
方法总结
解决此类题目,一是利用正弦、余弦定理,转化成关于边的函数,或转化成关于正弦、余弦或正切的函数,根据函数的单调性求解;二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数,根据函数的单调性求解.
跟踪训练
3.(2026·辽宁鞍山模拟)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,4S+3a2=3b2+3c2,则的取值范围为　　　　　.
(1,10)
解析:由4S+3a2=3b2+3c2,则3b2+3c2-3a2=2bcsin A,故cos A==sin A.
由A是△ABC的内角,得tan A=3,
所以sin A=,cos A=,
由正弦定理,得==
=,
由△ABC是锐角三角形,
所以tan C=-tan(A+B)=-=>0且tan B>0,
解得tan B>或tan B<-3(舍去),
令x=tan B>,设g(x)==10-,
当x>时,g(x)单调递增,
故g(x)>g()=1,
而g(x)<10,故11
2
3
A组　基础保分练
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2B+cos 2C-cos 2A=
1-2sin Bsin C.
(1)求A;
解:由已知1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1-2sin Bsin C,
即sin2A-sin2B-sin2C=-sin Bsin C,由正弦定理得a2-b2-c2=-bc,
所以cos A==.又01
2
3
(2)若a=4,求△ABC面积的最大值.
解:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,又a=4,
所以16=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c=4时等号成立,
所以S△ABC=bcsin A=bc≤4,故△ABC面积的最大值为4.
1
2
3
2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4cos A=2cos 2A+3.
(1)求A;
解:因为4cos A=2cos 2A+3,所以4cos A=4cos2A-2+3,即(2cos A-1)2=0,解得cos A=.
又A∈(0,π),所以A=.
1
2
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(2)若a=4,求△ABC周长的取值范围.
解:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
即16=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-=,
故b+c≤8,当且仅当b=c=4时取等号.
又b+c>a=4,故a+b+c∈(8,12],即△ABC周长的取值范围是(8,12].
1
2
3
B组　能力提升练
3.(2022·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=.
(1)若C=,求B;
1
2
3
解:∵==,即=,
∴cos Acos B-sin Asin B=sin B,
即cos(A+B)=sin B.又C=,
∴sin B=cos(A+B)=-cos C=-cos =.
∵01
2
3
(2)求的最小值.
解:由(1)知,sin B=cos(A+B)=-cos C,
∵sin B>0恒成立,∴C∈(,π).
∵-cos C=sin(C-),
∴C-=B或B+C-=π(不合题意,舍去),
∴A=-2B.
∵A>0,
∴B∈(0,),
1
2
3
∴==
=,
令cos2B=t,t∈(,1),
∴==4t+-5≥4-5,
当且仅当4t=,即t=时,取“=”.
∴的最小值为4-5.

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