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(共15张PPT)
第33讲正、余弦定理的应用举例
考点一　测量距离问题
[例1]　(多选)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向,距离为12 n mile,灯塔C在A的北偏西30°方向,距离为12 n mile,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向,则下列结论正确的有(　 　)
A.AD=24 n mile
B.CD=12 n mile
C.∠CDA=60°或∠CDA=120°
D.∠CDA=60°
ABD
[解析]　如图,由题意得∠BAD=75°,∠CAD=30°,
∠ADB=60°,AB=12,AC=12,在△ABD中,
易得B=45°,由正弦定理=,得AD==24,故A正确;在△ACD中,由余弦定理CD2=AC2+AD2-2×AC×AD×cos 30°,得CD2=(12)2+242-2×12×24×=144,所以CD=12,故B正确;在△ACD中,由正弦定理=,得sin∠CDA==,故∠CDA=60°或∠CDA=120°,因为AD>AC,所以∠CDA为锐角,所以∠CDA=60°,故C错误,D正确.
方法总结
距离问题的解题思路
解决距离问题,实质就是解三角形,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.
注意:(1)基线的选取要恰当准确;(2)选取的三角形及正、余弦定理的应用要恰当.
跟踪训练
1.如图,某市地面上有四个信号塔A,B,C,D.已知信号
塔C,D建在江的南岸,距离为10 km,信号塔A,B建
在江的北岸,测得∠ACB=45°,∠ACD=30°,∠ADC=120°,∠ADB=75°,则信号塔A,B之间的距离为　　　　 km.
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解析:在△ACD中,∠ACD=30°,∠ADC=120°,又∠ADB=75°,
所以∠BDC=45°,∠CAD=30°,所以∠ACD=∠CAD,所以AD=CD=10,
在△BCD中,
∠CBD=180°-(30°+45°+45°)=60°,
由正弦定理得BD===5+5,
在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=(10)2+(5+5)2-2×10×(5+5)cos 75°=500,
所以AB=10 km,即信号塔A,B之间的距离为10 km.
考点二　测量高度问题
[例2]　(2026·江西上饶调研)某中学研究性学习小组为测量某旗杆的高度,在和它底部O位于同一水平高度且共线的三点A,B,C处测得旗杆顶端P处的仰角分别为,,,且AB=BC=20 m,如图,则该旗杆的高度为 (　　)
A.15 m　　　　　　 B.10 m
C.6 m D.5 m
B
[解析]　设OP=h,则OA=h,OB=h,OC=h,
在△ABO中,由余弦定理的推论得
cos∠ABO==,
在△BCO中,由余弦定理的推论得
cos∠OBC==.
因为∠ABO+∠OBC=π,
所以+=0,
即800-h2=0,解得h=10,
所以该旗杆的高度为10 m.
跟踪训练
2.(2026·江西鹰潭模拟)一同学为测量某信号塔的高度MN,在该信号塔的正北方向找到一座建筑物AB,高为7.5 m,在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A、信号塔顶部M的仰角分别为15°和60°,在A处测得信号塔顶部M的仰角为30°,则该信号塔的高度约为(参考数据:≈1.73)(　　)
A.37.52 m B.35.48 m
C.33.26 m D.31.52 m
B
解析:sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=,在△ABC中,AC==,在△ACM中,∠ACM=180°-60°-15°=105°,∠MAC=30°+15°=45°,则∠AMC=180°-∠ACM-∠MAC=30°,由正弦定理,得=,则MC==×,所以MN=MCsin∠MCN=××sin 60°=≈35.48(m).
考点三　测量角度问题
[例3]　一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°方向,距离为
6 n mile,灯塔C在A的北偏东60°方向,距离为6 n mile,该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向,则此时灯塔C位于渔船的(　　)
A.北偏东60°方向 B.北偏西30°方向
C.北偏西60°方向 D.北偏东30°方向
D
[解析]　如图,由题意,在△ABD中,∠DAB=60°,AB=6,
∠ADB=60°,则△ABD为正三角形,则AD=6,
在△ACD中,因为AC=6,∠CAD=30°,
由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos 30°=(6)2+62-2×6×6×=36,
所以CD=6,所以∠ACD=∠CAD=30°,故∠CDA=120°,
此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向.
跟踪训练
3.公路北侧有一幢楼,高为60 m,公路与楼的底部在同一水平面上.某人在公路的点A处测得楼顶的仰角为45°,他在公路上自西向东行走,行走60 m到点B处,测得仰角为45°,沿该方向再行走60 m到点C处,测得仰角为θ,则sin θ=(　　)
A. B.3
C.-2 D.-
A
解析:如图所示,由题意有DE=AB=BC=60,∠DAE=∠DBE=45°,
则有AE=BE=AB=60,故∠EAB=60°,
则EC=
=60,
故DC==120,则sin θ=sin∠DCE==.(共27张PPT)
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A组　基础保分练
1.如图,设A,B两点在河的两岸,在点A所在河岸边选一定点C,测得AC的距离为50 m,∠ACB=30°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离是(　　)
A.25 m　　　　　　　 B.50 m
C.25 m D.50 m
A
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解析:在△ABC中,∠ACB=30°,∠CAB=105°,
所以∠ABC=180°-30°-105°=45°,
由正弦定理=,
得AB====25(m).
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2.(2026·山西太原模拟)已知一个足球场地是南北走向.在一次进攻时,某运动员从点A处开始带球沿正北方向行进16m到达B处,再转向北偏东60°方向行进24m到达C处,然后起脚射门,则A,C两点间的距离为 (　　)
A.8m B.8
C.32m D.8
解析:如图,根据题意可知,AB=16m,BC=24m,∠ABC=120°,
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°=162+242-2×16×24×(-),解得AC=8(m).
D
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3.(2026·贵州贵阳模拟)某研究小组为测量某建筑最高点A离地面的高度,选取了与该建筑底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2 m,在点C处测得该建筑顶端A的仰角为72.4°,则该建筑的高度约为(参考数据:tan 72.4°≈3.15,sin 53°≈0.80)(　　)
A.18 m B.20 m
C.22 m D.24 m
C
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解析:由题意可知,∠BCD=23°,∠CDB=30°,
所以∠CBD=127°.
又因为CD=11.2 m,
由正弦定理=,
可得=,又sin 127°=sin(180°-53°)=sin 53°,则CB≈7 m.
又因为∠ACB=72.4°,所以AB=CBtan∠ACB≈7×3.15=22.05≈22(m).
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4.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°(A,B,C在同一铅垂平面内).若CD=50 m,且山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ= (　　)
A. B.
C.-1 D.-1
C
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解析:因为∠CBD=45°,所以∠ACB=45°-15°=30°,又sin 15°=,
在△ABC中,由正弦定理可得=,解得BC=50(-),
在△BCD中,由正弦定理可得=,解得sin∠BDC=-1,
即sin(θ+90°)=-1,所以cos θ=-1.
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5.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作,其中第一道题目是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若ED=GF=4,EG=15,EH=8,GC=13,则海岛的高AB为(　　)
A.16 B.24
C.32 D.40
A
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解析:设AE=x,
在△ABH中,== =,①
在△ABC中,== == =,②
由①②可得
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6.(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向,距离为12 n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,则下列说法正确的是(　　)
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是8 n mile
C.灯塔C在D处的南偏西30°方向
D.D处在灯塔B的北偏西30°方向
AC
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解析:在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,∠DAB=75°,AB=12,
则∠B=45°,由正弦定理得AD===24,
∴A处与D处之间的距离为24 n mile,故A正确;
在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°,
又AC=8,解得CD=8,∴灯塔C与D处之间的距离为8 n mile,故B错误;
∵AC=CD=8,∴∠CDA=∠CAD=30°,灯塔C在D处的南偏西30°方向,故C正确;
灯塔B在D处的南偏东60°方向,D处在灯塔B的北偏西60°方向,故D错误.
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7.(多选)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,从D处往正东方向行驶
30 n mile至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是(　　)
A.∠CAD=60°
B.A,D之间的距离为15 n mile
C.A,B两处岛屿间的距离为15 n mile
D.B,D之间的距离为30 n mile
BC
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解析:由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°, ∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,
所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°
=45°≠60°,故A错误;
∠ADB=15°+45°=60°,
在△ACD中,由正弦定理得=,得AD==15(n mile),故B正确;
在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=CD=30≠ 30(n mile),故D错误;
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在△ABD中,由余弦定理得,
AB==
=15(n mile),故C正确.
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8.如图,位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向
相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营
救,甲船立即前往救援,同时把消息告知位于甲船南偏西30°且与甲船相距10 n mile的C处的乙船,乙船也立即朝着渔船前往营救,则
sin∠ACB=　　　　.
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解析:由题意得∠CAB=120°,AC=10,AB=20,
由余弦定理得,CB2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB=700,∴CB=10,
由正弦定理得,=,即=,解得sin∠ACB=.
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9.(2026·河南南阳模拟)如图,a是海面上一条南北方向的
海防警戒线,在a上一点A处有一个水声监测点,另两个监
测点B,C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻,监测
点B收到发自静止目标P的一个声波,8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km,求x的值;
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解:依题意,得 PA-PB=1.5×8=12(km),
PC-PB=1.5×20=30(km),所以 PB=(x-12)km,
PC=(x+18)km.在△PAB 中,AB=20 km,
由余弦定理得cos∠PAB===.
同理在 △PAC 中,cos∠PAC=.
由于 cos∠PAB=cos∠PAC,所以 =,解得 x=.
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(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(结果精确到0.01 km)
解:作 PD⊥a,垂足为 D,在 Rt△PDA 中,
PD=PA·cos∠APD=PA·cos∠PAB=x·≈17.71(km).
所以目标 P 到海防警戒线a的距离为 17.71 km.
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10.为了测绘海面上一座活火山顶点E的高度,测绘船围绕
活火山展开测量,如图为测绘活动的俯视图,在测绘船的路
线中,三个观测点A,B,C恰好构成正三角形,点D为火山口
在俯视图中的位置.已知从A,B,C三点测量点E的仰角的正切值分别为,,.
(1)求∠BDA的正弦值;
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解:取线段AC的中点F,连接BF,DF,设火山顶点E的高度为h,
则依题意可知AD=CD=3h,BD=4h.
∵AD=CD,AB=CB,
∴DF⊥AC,BF⊥AC,且BF平分∠ABC,
∴B,D,F三点共线,∴∠ABD=∠ABC=,
由正弦定理可知sin∠BAD=·sin∠ABD=·=,
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∴cos∠BAD==,
∴sin∠BDA=sin(π-∠BAD-∠ABD)
=sin(∠BAD+∠ABD)
=sin∠BADcos∠ABD+cos∠BADsin∠ABD
=·+·
=.
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(2)若正三角形ABC的边长为a,求火山顶点E的高度.
解:在△ABD中,由正弦定理可知,=,
∴AD=AB·=a·=(2-)a,
即3h=(2-)a,∴h=a.
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11.如图,在山脚A处测得山顶P的仰角α为45°,沿倾斜角β为15°的斜坡向上直走100m到达B处,在B处测得山顶P的仰角γ为60°,则山的高度PQ为(　　)
(参考数据:sin 15°=)
A.50(+) m
B.50(+1) m
C.100(+1) m
D.120 m
B组　能力提升练
A
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解析:依题意,∠PAQ=45°,∠BAQ=15°,则∠PAB=30°,∠APQ=45°,
又∠PBC=60°,则∠BPC=30°,即有∠APB=15°,∠ABP=135°,
在△ABP中,AB=100,由正弦定理=,
得AP====100(+1),
在Rt△PAQ中,PQ=APsin 45°=100(+1)·=50(+),
所以山的高度PQ为50(+) m.
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12.在某海域开展的海上演习中,我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰A位于B市的南偏西25°方向上,且在C岛的北偏西58°方向上,B市在C岛的北偏西28°方向上,且距离C岛248 km,此时,我方军舰沿着AC方向以50 km/h的速度航行,则我方军舰到达C岛大约需要　　　　h.(参考数据:≈1.73,sin 53°≈,cos 53°≈)
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解析:设我方军舰大约需要x h到达C岛,则AC=50x,
依题意,∠ABC=28°+25°=53°,∠ACB=58°-28°=30°,BC=248 km,
在△ABC中,sin∠BAC=sin(53°+30°)=sin 53°·cos 30°+cos 53°sin 30°≈×+×=≈=0.992,
由正弦定理得=,即≈,解得x≈4,
所以我方军舰大约需要4 h到达C岛.第33讲 正、余弦定理的应用举例
考点一　测量距离问题
[例1]　(多选)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向,距离为12 n mile,灯塔C在A的北偏西30°方向,距离为12 n mile,该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向,则下列结论正确的有 (　　)
A.AD=24 n mile
B.CD=12 n mile
C.∠CDA=60°或∠CDA=120°
D.∠CDA=60°
[答案]　ABD
[解析]　如图,由题意得∠BAD=75°,∠CAD=30°,∠ADB=60°,AB=12,AC=12,在△ABD中,易得B=45°,由正弦定理=,得AD==24,故A正确;在△ACD中,由余弦定理CD2=AC2+AD2-2×AC×AD×cos 30°,得CD2=(12)2+242-2×12×24×=144,所以CD=12,故B正确;在△ACD中,由正弦定理=,得sin∠CDA==,故∠CDA=60°或∠CDA=120°,因为AD>AC,所以∠CDA为锐角,所以∠CDA=60°,故C错误,D正确.
方法总结
距离问题的解题思路
解决距离问题,实质就是解三角形,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.
注意:(1)基线的选取要恰当准确;(2)选取的三角形及正、余弦定理的应用要恰当.
1.如图,某市地面上有四个信号塔A,B,C,D.已知信号塔C,D建在江的南岸,距离为10 km,信号塔A,B建在江的北岸,测得∠ACB=45°,∠ACD=30°,∠ADC=120°,∠ADB=75°,则信号塔A,B之间的距离为　　　　 km.
答案:10
解析:在△ACD中,∠ACD=30°,∠ADC=120°,又∠ADB=75°,
所以∠BDC=45°,∠CAD=30°,所以∠ACD=∠CAD,所以AD=CD=10,
在△BCD中,
∠CBD=180°-(30°+45°+45°)=60°,
由正弦定理得BD===5+5,
在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=(10)2+(5+5)2-2×10×(5+5)cos 75°=500,
所以AB=10 km,即信号塔A,B之间的距离为10 km.
考点二　测量高度问题
[例2]　(2026·江西上饶调研)某中学研究性学习小组为测量某旗杆的高度,在和它底部O位于同一水平高度且共线的三点A,B,C处测得旗杆顶端P处的仰角分别为,,,且AB=BC=20 m,如图,则该旗杆的高度为 (　　)
A.15 m　　　　　　 B.10 m
C.6 m D.5 m
[答案]　B
[解析]　设OP=h,则OA=h,OB=h,OC=h,
在△ABO中,由余弦定理的推论得
cos∠ABO==,
在△BCO中,由余弦定理的推论得
cos∠OBC==.
因为∠ABO+∠OBC=π,
所以+=0,
即800-h2=0,解得h=10,
所以该旗杆的高度为10 m.
2.(2026·江西鹰潭模拟)一同学为测量某信号塔的高度MN,在该信号塔的正北方向找到一座建筑物AB,高为7.5 m,在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A、信号塔顶部M的仰角分别为15°和60°,在A处测得信号塔顶部M的仰角为30°,则该信号塔的高度约为(参考数据:≈1.73) (　　)
A.37.52 m B.35.48 m
C.33.26 m D.31.52 m
答案:B
解析:sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=,在△ABC中,AC==,在△ACM中,∠ACM=180°-60°-15°=105°,∠MAC=30°+15°=45°,则∠AMC=180°-∠ACM-∠MAC=30°,由正弦定理,得=,则MC==×,所以MN=MCsin∠MCN=××sin 60°=≈35.48(m).
考点三　测量角度问题
[例3]　一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°方向,距离为6n mile,灯塔C在A的北偏东60°方向,距离为6 n mile,该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向,则此时灯塔C位于渔船的 (　　)
A.北偏东60°方向 B.北偏西30°方向
C.北偏西60°方向 D.北偏东30°方向
[答案]　D
[解析]　如图,
由题意,在△ABD中,∠DAB=60°,AB=6,∠ADB=60°,则△ABD为正三角形,则AD=6,
在△ACD中,因为AC=6,∠CAD=30°,
由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos 30°=(6)2+62-2×6×6×=36,
所以CD=6,所以∠ACD=∠CAD=30°,故∠CDA=120°,
此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向.
3.公路北侧有一幢楼,高为60m,公路与楼的底部在同一水平面上.某人在公路的点A处测得楼顶的仰角为45°,他在公路上自西向东行走,行走60m到点B处,测得仰角为45°,沿该方向再行走60m到点C处,测得仰角为θ,则sin θ= (　　)
A. B.3
C.-2 D.-
答案:A
解析:如图所示,由题意有DE=AB=BC=60,∠DAE=∠DBE=45°,
则有AE=BE=AB=60,故∠EAB=60°,
则EC=
=60,
故DC==120,则sin θ=sin∠DCE==.[A组　基础保分练]
1.如图,设A,B两点在河的两岸,在点A所在河岸边选一定点C,测得AC的距离为50 m,∠ACB=30°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离是 (　　)
A.25 m　　　　　　　 B.50 m
C.25 m D.50 m
答案:A
解析:在△ABC中,∠ACB=30°,∠CAB=105°,
所以∠ABC=180°-30°-105°=45°,
由正弦定理=,
得AB====25(m).
2.(2026·山西太原模拟)已知一个足球场地是南北走向.在一次进攻时,某运动员从点A处开始带球沿正北方向行进16m到达B处,再转向北偏东60°方向行进24m到达C处,然后起脚射门,则A,C两点间的距离为 (　　)
A.8m B.8m
C.32m D.8m
答案:D
解析:如图,根据题意可知,AB=16米,BC=24米,∠ABC=120°,
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°=162+242-2×16×24×(-),解得AC=8(米).
3.(2026·贵州贵阳模拟)某研究小组为测量某建筑最高点A离地面的高度,选取了与该建筑底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=11.2 m,在点C处测得该建筑顶端A的仰角为72.4°,则该建筑的高度约为(参考数据:tan 72.4°≈3.15,sin 53°≈0.80)(　　)
A.18 m B.20 m
C.22 m D.24 m
答案:C
解析:由题意可知,∠BCD=23°,∠CDB=30°,
所以∠CBD=127°.
又因为CD=11.2 m,
由正弦定理=,
可得=,又sin 127°=sin(180°-53°)=sin 53°,则CB≈7 m.
又因为∠ACB=72.4°,所以AB=CBtan∠ACB≈7×3.15=22.05≈22(m).
4.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m到达B处,又测得C对于山坡的斜度为45°(A,B,C在同一铅垂平面内).若CD=50 m,且山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ= (　　)
A. B.
C.-1 D.-1
答案:C
解析:因为∠CBD=45°,所以∠ACB=45°-15°=30°,又sin 15°=,
在△ABC中,由正弦定理可得=,解得BC=50(-),
在△BCD中,由正弦定理可得=,解得sin∠BDC=-1,
即sin(θ+90°)=-1,所以cos θ=-1.
5.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作,其中第一道题目是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若ED=GF=4,EG=15,EH=8,GC=13,则海岛的高AB为 (　　)
A.16 B.24
C.32 D.40
答案:A
解析:设AE=x,
在△ABH中,== =,①
在△ABC中,== == =,②
由①②可得
6.(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°方向,距离为12 n mile;在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向,距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向,则下列说法正确的是 (　　)
A.A处与D处之间的距离是24 n mile
B.灯塔C与D处之间的距离是8 n mile
C.灯塔C在D处的南偏西30°方向
D.D处在灯塔B的北偏西30°方向
答案:AC
解析:在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,∠DAB=75°,AB=12,
则∠B=45°,由正弦定理得AD===24,
∴A处与D处之间的距离为24 n mile,故A正确;
在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°,
又AC=8,解得CD=8,∴灯塔C与D处之间的距离为8 n mile,故B错误;
∵AC=CD=8,∴∠CDA=∠CAD=30°,灯塔C在D处的南偏西30°方向,故C正确;
灯塔B在D处的南偏东60°方向,D处在灯塔B的北偏西60°方向,故D错误.
7.(多选)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,从D处往正东方向行驶30n mile至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是 (　　)
A.∠CAD=60°
B.A,D之间的距离为15n mile
C.A,B两处岛屿间的距离为15n mile
D.B,D之间的距离为30n mile
答案:BC
解析:由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,
所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°≠60°,故A错误;
∠ADB=15°+45°=60°,
在△ACD中,由正弦定理得=,得AD==15(n mile),故B正确;
在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=CD=30≠30(n mile),故D错误;
在△ABD中,由余弦定理得,
AB==
=15(n mile),故C正确.
8.如图,位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救,甲船立即前往救援,同时把消息告知位于甲船南偏西30°且与甲船相距10 n mile的C处的乙船,乙船也立即朝着渔船前往营救,则sin∠ACB=　　　　.
答案:
解析:由题意得∠CAB=120°,AC=10,AB=20,
由余弦定理得,CB2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB=700,∴CB=10,
由正弦定理得,=,即=,解得sin∠ACB=.
9.(2026·河南南阳模拟)如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上一点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20 km和54 km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5 km/s.
(1)设A到P的距离为x km,求x的值;
(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离.(结果精确到0.01 km)
解:(1)依题意,得 PA-PB=1.5×8=12(km),
PC-PB=1.5×20=30(km),所以 PB=(x-12)km,PC=(x+18)km.在△PAB 中,AB=20 km,
由余弦定理得cos∠PAB===.
同理在 △PAC 中,cos∠PAC=.
由于 cos∠PAB=cos∠PAC,所以 =,解得 x=.
(2)作 PD⊥a,垂足为 D,在 Rt△PDA 中,
PD=PA·cos∠APD=PA·cos∠PAB=x·≈17.71(km).
所以目标 P 到海防警戒线a的距离为 17.71 km.
10.为了测绘海面上一座活火山顶点E的高度,测绘船围绕活火山展开测量,如图为测绘活动的俯视图,在测绘船的路线中,三个观测点A,B,C恰好构成正三角形,点D为火山口在俯视图中的位置.已知从A,B,C三点测量点E的仰角的正切值分别为,,.
(1)求∠BDA的正弦值;
(2)若正三角形ABC的边长为a,求火山顶点E的高度.
解:(1)取线段AC的中点F,连接BF,DF,设火山顶点E的高度为h,
则依题意可知AD=CD=3h,BD=4h.
∵AD=CD,AB=CB,
∴DF⊥AC,BF⊥AC,且BF平分∠ABC,
∴B,D,F三点共线,∴∠ABD=∠ABC=,
由正弦定理可知sin∠BAD=·sin∠ABD=·=,
∴cos∠BAD==,
∴sin∠BDA=sin(π-∠BAD-∠ABD)
=sin(∠BAD+∠ABD)
=sin∠BADcos∠ABD+cos∠BADsin∠ABD
=·+·
=.
(2)在△ABD中,由正弦定理可知,=,
∴AD=AB·=a·=(2-)a,
即3h=(2-)a,∴h=a.
[B组　能力提升练]
11.如图,在山脚A处测得山顶P的仰角α为45°,沿倾斜角β为15°的斜坡向上直走100m到达B处,在B处测得山顶P的仰角γ为60°,则山的高度PQ为 (　　)
(参考数据:sin 15°=)
A.50(+)m
B.50(+1) m
C.100(+1) m
D.120 m
答案:A
解析:依题意,∠PAQ=45°,∠BAQ=15°,则∠PAB=30°,∠APQ=45°,
又∠PBC=60°,则∠BPC=30°,即有∠APB=15°,∠ABP=135°,
在△ABP中,AB=100,由正弦定理=,
得AP====100(+1),
在Rt△PAQ中,PQ=APsin 45°=100(+1)·=50(+),
所以山的高度PQ为50(+) m.
12.在某海域开展的海上演习中,我方军舰要到达C岛完成任务.已知军舰A位于B市的南偏西25°方向上,且在C岛的北偏西58°方向上,B市在C岛的北偏西28°方向上,且距离C岛248 km,此时,我方军舰沿着AC方向以50 km/h的速度航行,则我方军舰到达C岛大约需要　　　　h.(参考数据:≈1.73,sin 53°≈,cos 53°≈)
答案:4
解析:设我方军舰大约需要x h到达C岛,则AC=50x,
依题意,∠ABC=28°+25°=53°,∠ACB=58°-28°=30°,BC=248 km,
在△ABC中,sin∠BAC=sin(53°+30°)=sin 53°·cos 30°+cos 53°sin 30°≈×+×=≈=0.992,
由正弦定理得=,即≈,解得x≈4,
所以我方军舰大约需要4 h到达C岛.

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